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Digitized by the Internet Archive 

in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/s1nouvellesannal14pari 



NOUVELLES ANNALES 



MATHÉMATIQUES. 



1855 



PARIS. — IMPP.lVF.niE DE MAIXET-BACHEL1ER, 

rue du Jardinet, 12. 



1*1 PC 



DE 



MATHÉMATIQUES. 

JOURNAL DES CANDIDATS 

AUX ÉCOLES P©EATEOIJ\IOTE ET XORMAIjE: 



Par m. Tercj ueau , 

Odicier de l'Université, l'odeur es sciences, Professeur aux Kcolcs Impériales d'Artillerie, 
Oflicier de la lésion d'honneur. 



H. («eroiio , 

Professeur de Mathématiques. 




TOME QUATORZTEJfE, 

AUGMENTÉ d'un 

BULLETIX DE BIBLIOGRAPHIE, D'HISTOIRE 

ET DE 

BIOGRAPHIE MATHÉMATIQUES. 



PARIS, 

MALLET-BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

DO BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, ETC., 

Quai (les Augusrins, n" 55. 



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DE 



MATHÉMATIQUES. 



AVIS DE L'EDITEIK. 



Les Nouvelles Annales de Mathématiques vont en- 
trer dans leur quatorzième année, et, malgré les sacrifices 
que nous nous sommes souvent imposés, elles ne sont pas 
encore, nous devons l'avouer, parvenues à nous donner 
une juste rémunération. Les Nouvelles Annales auraient- 
elles manqué au but qu'elles se sont proposé, de pré- 
senter aux jeunes gens qui se destinent aux Ecoles Poly- 
technique et Normale les solutions des problèmes qui 
peuvent le plus les intéresser? Nous ne le pensons pas. 
En elfet, les Annales ont traité toutes les belles et diffi- 
ciles questions des anciens examens, et également les 
questions des nouveaux examens lorsqu'elles présentaient 
quelque intérêt. On a donné des exercices de calculs nu- 
mériques, logarithmiques avec une étendue qu'on ne 
trouve nulle part ailleurs. 

Nonobstant la position restreinte faite aux Nouvelles 
Annales parles Programmes officiels, nous allons faire, 
«à partir de janvier i855, de nouveaux efforts dans Fin- 
de la science. 



Chaque mois contiendra en plus une feuille au moins. 
avec une pagination à part et sous ce titre: Bulletin de 

Bibliographie , d'Histoire et de Biographie mathéma- 
tiques, par M. O. Terquem. 

Le titre de Bulletin annonce suffisamment l'objet. 

L'histoire de la science est celle de l'esprit humain., 
tandis que les annales de l'homme ne sont le plus sou- 
vent qu'un récit perpétuel de nos folies, de nos vices, de 
nos passions. Toute la dignitc de l'homme est dans la 
pensée, selon Pascal. Les Mathématiques sont une 
pensée continue. 

Puissions-nous nous rendre digne de notre nouvelle 
mission! 

Tout ouvrage qui sera adressé à la rédaction sera ana- 
lysé avec une étendue réglée sur son importance. 

En janvier, nous présenterons l'historique de l'établis- 
sement des logarithmes depuis l'invention (Neper, Briggs, 
^ lacq, Justus lîyigius) jusqu'à nos jours ( Vega, Leonelli , 
Gauss, Babbage); ensuite l'histoire de la duplication du 
cube , les biographies de M. Gauss , d'Abel , de Jacobi, etc. 
Ce numéro contiendra un travail d'Amoretti, suivi d'une 
Note biographique sur cet élève qui donnait de si belles 
espérances. 



(7 ) 



PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES ALGÉBRIQUES PLANES , 
DIAMÈTRES BISSECTEURS; 

Par M. P. BRETON (de Champ), 
Ingénieur des Ponts et Chaussées. 



Les diamètres dont il est question dans cet article sont, 
comme pour les lignes du second ordre, des droites divi- 
sant en deux parties égales une suite de cordes parallèles 
entre elles. 

On doit entendre expressément cette définition dans ce 
sens, que, si d'un point quelconque de la courbe on 
mène une droite jusqu'au diamètre, parallèlement aux 
cordes qu'il divise en parties égales ou qui lui sont conju- 
guées , et que l'on prolonge celte droite d'une quantité 
égale à sa longueur, le point ainsi obtenu appartient à 
la courbe (*). 

Théorème I. Quand l'équation d'une courbe est irré- 
ductible, aucune de ses branches ne peut avoir un dia- 
mètre qui ne soit pas un diamètre général. 

S'il existe un diamètre particulier, divisant les cordes 
d'une brandie de la courbe, mais non de la courbe en- 
tière, en deux parties égales, on pourra le prendre pour 
axe des x, et prendre pour axe des y une parallèle aux 
cordes conjuguées. Soit alors 

F(*, r) = o 

l'équation de la courbe, sous forme rationnelle et entière 

(*) Ces recherches se confondent, en quelques points , avec celles qu< 
renferme le Mémoire posthume de Wantzel, insère dans le Journal de 
M. I.iouville , tome XIV, page m. Cette publication esl trop récente pour 
ju'il soil néces .aire de signaler ici ce qui appartient à ce géomètre. 



( 8) 
Il faut que, pour chaque valeur du x, 

F (■*■, y) = o 

donne deux valeurs au moins dey égales et de signes con- 
traires, et d'autres ayant entre elles des relations diffé- 
rentes 5 en d'autres termes, F (x,y) doit contenir à la fois 
des puissances impaires et des puissances paires de y. Par 
conséquent, si l'on change le signe de y, léquation 

F(x, — y)=o 

donnera pour y un certain nombre de valeurs comprises 
parmi celles déduites de F ( .r, y) = o, et d'autres qui leur 
seront étrangères. Il y aura donc un commun diviseur 
entre F (x, y) et F (x, — y), et ce diviseur sera nécessai- 
rement d'un degré moindre que celui de l'équation pro- 
posée. D'après le procédé connu qui sert à l'obtenir, ce 
diviseur ne pourra qu'être entier en x, y, de sorte que 
l'on aura 

F (*> X ) = ¥ ( x > y) X + (x, y) , 

çp [x, y) étant le diviseur en question, et ^ [x, y) le quo- 
tient de la division de F (x, y) par cp (x,y). On pour- 
rail donc décomposer la courbe proposée en deux autres 
ayant pour équations 

?(*> y) = °, M*» y) = °- 

Or nous avons supposé F (x,y) irréductible : donc il est 
impossible que la courbe qui a pour équation 

«>it un diamètre qui soit particulier, par exemple, à une 
de ses branches et étranger aux autres. 

Scholie. En général, on oe peut supposer, entre quel- 
ques-unes des valeurs de j qui satisfont à une équation 
irréductible !•'(•- y) o, une relation qui ne soit pas 



( 9 ) 
commune à toutes ces valeurs. Soit en effet , s'il est possi- 
ble, /(/i, y%) = o une telle relation sous forme ration- 
nelle et entière. Comme on a en même temps 

F(j?, j,) = o, 
si l'on élimine y 2 entre cette équation et la précédente, 
l'équation finale obtenue entre x et y x aura un certain 
nombre de racines communes avec F (a^, f t ) = o , et 
non toutes, puisque, par hypothèse , la relation 

est restreinte à certaines valeurs de y. Donc il y aura entre 
les premiers membres de ces deux équations un commun 
diviseur de degré moindre que celui de F (x, y)\ donc 
F (x.y) ne serait pas irréductible , contrairement à l'hy- 
pothèse. C'est ainsi, par exemple, qu'il n'existe aucune 
courbe à équation irréductible , dans laquelle une suite de 
cordes parallèles soient divisées par une ligne droite en 
segments ayant entre eux un rapport constant autre que 
l unité. 

Théorème II. // ne peut y avoir, pour chaque dia- 
mètre d'une courbe algébrique à équation irréductible, 
qu'un seul système de cordes conjuguées à ce diamètre. 

Soit, s'il est possible, /Hj le point d'une courbe possé- 
dant un diamètre conjugué à la fois à deux systèmes de 
cordes affectant des directions différentes, et m t m 2 la 
corde appartenant à l'un de ces svstèmes. Construisons la 
corde nu m^ appartenant au second système, puis les 
cordes m 3 ?«,, ni?, /» 3 , m 5 w 6 , tour à tour dans l'un et dans 
L'autre système. On aura ainsi une ligne brisée indéfinie, 
et les points m t , m. 2 , m z , /?/ 4 , m 3 , etc. , seront sur deux 
droites parallèles au diamètre. Or il est évident, par cette 
construction, que le nombre des points que l'on peut 
ainsi obtenir est infini , de sorte que la courbe serait cou- 
pée par deux droites en un nombre infini de points, Ce 



( io ) 
qui ncsaurait avoir lieu pour une courbe algébrique , .1 

moins que ces deux droites n'en fassent partie, auquel 
eas l'équation de la courbe serait décomposable contrai- 
rement à l'hypothèse ; donc, etc. 

Théorème III. Une courbe algébrique à équation 
irréductible qui a deux diamètres non conjugués en a 
nécessairement un troisième. 

Soient OD', OU" les deux diamètres supposés et m i un 
point quelconque de la courbe. Ayant construit les points 
m 2 > "':j sur les cordes m t m 2 , m t m z conjuguées respective- 
ment à OD', OD", et ensuite au moyen de m* le point m, , 
sur la corde m 2 w ; , parallèle à m 1 ??? 3 , ou conjuguée à OD", 
je dis que la droite OD'", qui divise m :i m, t "en deux parties 
égales, est un nouveau diamètre de la courbe. 

En effet, par cette coustructiou , la figure m t m. ? m s m, 
est un trapèze, dont les côtés parallèles m, /« 3 , m* ni; ont 
leurs milieux sur la droite OD". Il suit de là que, de part 
et d'autre de ce diamètre, à l'inclinaison près des cordes 
qui lui sont conjuguées, tout est symétrique. Donc les 
cordes telles que /» 3 m^, qui répondent à un système de 
cordes parallèles, conjuguées à OD', sont aussi parallèles 
entre elles: et, de ce que les milieux des unes sont en li- 
gne droite, on en conclut que les milieux des autres sont 
également sur une ligne droite, laquelle coupe OD' au 
même point que OD' et , par conséquent , passe en O. 

Il est évident que OD'" ne peut être le prolongement de 
OD"; il ne peul 1 être non plus de OD', car les cordes 
m, m», m, m, n'étant point parallèles, puisque les dia- 
mètres OD', OD" sont supposés non conjugués entre eux, 
il faudrait admettre que la droite D' D"' est conjuguée à 
deux systèmes de cordes de directions différentes, ce qui 
ne saurait être, d'après le théorème qui précède. 

Remarque. On ne peut pas supposer que les tordes 
conjuguées à <\i'\\\ diamètres différents soient de menu 



{ II ) 

direction, ou, ce qui revient au même, qu à un système 
de cordes parallèles puissent répondre deux diamètres 
distincts. Il est facile de voir qu'autrement il y aurait sur 
chaque corde un nombre infini de points appartenant à 
la courbe, ce qui ne peut avoir lieu pour une courbe al- 
gébrique. 

Théorème IV. Une courbe algébrique à équation 
irréductible ne peut avoir deux diamètres parallèles 
entre eux. 

Il faut excepter la parabole qui a une infinité de dia- 
mètres parallèles entre eux, et la ligne droite qui en est 
un cas particulier. 

Cela posé, soient, s il est possible, J'D', r/^D^deux 
diamètres parallèles dune courbe algébrique-, il yen aura 
un troisième d'"T)'", que l'on obtiendra par une con- 
struction toute semblable à celle qui nous a servi dans 
le théorème III. On en trouvera de la même manière un 
quatrième, puis un cinquième, etc., et tous seront paral- 
lèles entre eux. Or il résulte de ce mode de construction 
(pie si l'on fait passer par le point m i de la courbe et par 
les points >//,, m s qui s'en déduisent, une parabole avant 
son axe parallèle aux diamètres dont il s'agit, tous les 
autres points en nombre infini, tels que ra 4 , qu'on peut ob- 
tenir, de proche en proche , au moyen du point de départ 
/»( et des divers diamètres, appartiendront à cette para- 
bole, qui couperait ainsi une courbe algébrique en un 
nombre infini de points, ce qui ne saurait avoir lieu, à 
moins que la parabole ne fasse partie de la courbe elle- 
même. Mais alors l'équation de celles-ci serait décompo- 
sable, contrairement à l'hypothèse; donc, etc. 

Théorème "\ . Les points dune courbe algébrique à 
équation irréductible que l'on peut construire au moyen 
d'un de ses points et de ses diamètres, son/ toujours sur 
une ellipse, et jamais sur une hyperbole. 



( 12) 

On doit excepter de cet énoncé le cas ou la courbe u a 
que deux diamètres, lesquels sont nécessairement conju- 
s entre eux. 
Nous avons vu, par le théorème III, comment deux 
diamètres OD', OD" d'une courbe étant cosinus, ainsi 
que les directions des cordes qui leur sont respectivement 
conjuguées, on peut , au moyen d'un point m u construire 
de nouveaux points /?/.,, m 3 , m 4 , puis un troisième diamètre 
OD w . Rien n'empêche de continuer la même construction 
au moyen des diamètres OD", OD w et du point m 3 , et de 
déterminer ainsi d'autres points el d'autres diamètres. Il 
est toujours possible de faire passer par les trois points 
/«!, /»,, '«s une section conique dont le point O soit le 
(entre. Or, par la nature même des constructions que Ton 
vient de rappeler, les points m u , /« 5 , etc., appartiennent 
évidemment à cette section conique, je dis maintenant 
que celle-ci ne peut être qu'une ellipse. 

Admettons en effet, pour un instant, que celte courbe 
soit une hyperbole, et que les points m,, m 2 , m % soient 
situés sur la même branche. Il en sera de même de ///;. 
obtenu en conjuguant m i m^ à OD"; de m s obtenu en con- 
juguant m 2 m s à OD"', etc. On resterait donc ainsi sur la 
même branche , laquelle rencontrerait la courbe proposée 
en un nombre infini de points, ce qui ne saurait avoir 
lieu, cette courbe étant algébrique, à moins toutefois que 
l'hyperbole n'en fasse partie. Mais alors son équation 
serait décomposable , contrairement à l'hypothèse. 

Si l'un des trois points m l5 ?n : , w* s ne se trouvait pas 
sur La même branche (pie les deux aulres , on trouverait 
facilement deux diamètres de la courbe rencontrant 1 hy- 
perbole, cl l on serait ramené au cas précédent. 

Donc il est impossible que la section conique qui a pour 

centre le point (), et qui passe par les points ///,, ///,,, /// ; , 

mi une l>\ perbole ■ donc elle ne peut être qu'une ellipse. 



( «3 ) 

rHÉORÈME M. L'ensemble de tous les diamètres d } une 
courbe algébrique à équation irréductible forme une ro- 
sette elliptique. 

Bien qu'il ne soit pas encore établi que les diamètres 
déterminés en vertu des théorèmes précédents, et se cou- 
pant en un même point, forment Y ensemble de tous les 
diamètres de la courbe, j'admettrai provisoirement celte 
proposition, qui sera démontrée plus loin. 

Cette réserve faite, on remarquera qu'il est permis, 
sans diminuer la généralité du théorème qui nous occupe, 
de supposer les deux diamètres OD', OD" choisis de telle 
manière qu il ne s'en trouve aucun autre entre eux. 

Les secteurs mi Om„ m z Om 3 , m^Om„ formés par les 
rayons menés du centre aux points m l5 ra 2 , /r? 3 , etc., dans 
l'ellipse, que, d'après le théorème précédent, on peut 
toujours faire passer par ces points, sont divisés respecti- 
vement en deux parties équivalentes par les diamètres 
OD', OD", OD'", etc., qui passent par les milieux des 
cordes m, m 2 , m s m 3 , m z m,,, etc. Le secteur m x Om^ étant 
de même divisé en deux parties équivalentes par le dia- 
mètre OD" qui passe par le milieu de m t ra 4 , on en con- 
clut que les secteurs compris dans les angles D' OD", 
D"OD'" sont équivalents entre eux. Il résulte de là que 
le secteur déterminé par les deux diamètres consécutifs 
OD', OD" est nécessairement une partie aliquote de l'aire 
de la demi-ellipse. S'il en était autrement, l'un des dia- 
mètres obtenus en formant une suite de secteurs équiva- 
lents, ou son prolongement, tomberait dans l'angleD'OD", 
contrairement à l'hypothèse. Donc l'ensemble des dia- 
mètres divise l'ellipse en secteurs équivalents , ce qui est 
la définition même de la rosette elliptique. 

Théorème VII. Une courbe de V ordre n à équation 
irréductible ne peut avoir plus de n diamètres . 

Car, d'après le théorème qui vient d'être démontré, le 



( »4 ) 

nombre des points d'intersection de la tourbe avec l'el- 
lipse m, m. m 9 ..., est égal à deux foislc nombre des dia- 
mètres. Si ce dernier surpassait », le nombre des intersec- 
tions surpasserait m. Or une ligne de 1 ordre n ne peut 
être rencontrée en plus de in points par une ligne du 
second ordre; donc, etc. 

Remarque. Une ligne d'ordre impair à équation irré- 
ductible ne peut avoir un nombre pair de diamètres, mais 
une Ligne d'ordre pair peut en avoir un nombre impair. 

En effet, quand les diamètres sont en nombre pair, ils 
pement se combiner deux à deux comme les diamètres 
conjugués d'une ellipse, ainsi qu'on le voit par le théo- 
rème VI. Si l'on rapporte la courbe «à l'un de ces systèmes, 
toutes les puissances impaires de chacune des coordonnées 
doivent disparaître, et il ne peut rester qu'une équation 
de degré pair. 

Pour démontrer que la réciproque n'est pas vraie , c'est- 
à-dire qu'une ligne d'ordre pair peut avoir un nombre 
impair de diamètres, il suffit d'un exemple. Prenons l'é- 
quation polaire p = cos 3w, qui appartient à une courbe 
à trois axes. Faisant 



x . y 

cos&) = -'> sin w = — et 



il vient, en coordonnées rectangulaires, 



P» 



-f- y 2 )- = x l — 3 Xf 2 , 

équation du quatrième degré. 

Théorème Mil. Une courbe algébrique à plusieurs 
diamètres est toujours la projection orthogonale d'une 
courbe ayant le même nombre d^axes. 

C'esl une conséquence intuitive du théorème VI. 

Corollaire. Appelons a, A, les longueurs des demi-axes 
principaux de l'ellipse m t m* /// : ,..., a soit 

, y ) = o 



( *5 ) 
1 équation de la courbe, rapportée au centre et aux axes 
de cette ellipse. Si l'on pose 

x , y , i i 

.r = -, y = -, OU X = ax , Y — OY , 

a b 

la transformée F [ax', by') = o n'aura plus que des axes. 
Si l'on fait ensuite x' = p cosw , y' = p sinco, on aura 
l'équation polaire F [ap cos &>, bp sinw) = o de la trans- 
formée. Cette équation jouitd' une propriété remarquable, 
définie par l'énoncé suivant. 

Théorème IX. L équation polaire 

F [a p cos w , b o sin w) = o 

]>eul toujours être mise sous la forme 

y (o, cos du, sincjw) = o, 

/ désignant une Jonction rationnelle et entière. 

Car cette équation est de telle nature, que, si l'on y 
change successivement w en 

27T 2TT 27T 277 

O) H > « + 2 . i W -f- O . » • • • t W -h ( SJ I ) J 

GT CT CT GT 

elle û'épi'ouve aucun changement de forme. Appelons 
F l9 F 2 , F 3 ,...,F W _,, les résultats de ces substitutions : 
on pourra en conséquence prendre pour équation de la 
courbe l'équation 



Or. on sait que les fonctions ainsi composées , lorsque Ton 
remplace les puissances de sin a et de cosw par leurs ex- 
pressions connues en fonction des sinus et cosinus des 
multiples de », ne peuvent contenir que ceux de ces mul- 
tiples qui renferment le facteur cî, les autres disparaissant ; 
donc, etc. 



Corollaire Pour reconnaître si une courbe, donnée 
par son équation 

rapportée à des axes quelconques, admet un groupe do 
zs diamètres se coupant en un même point, il faut chan- 
ger d'axes en s'imposant la condition (pic l'équation nou- 
velle soit delà forme indiquée ci-dessus, ce qui revient à 
poser 

or = E H — J— \a sinfO — to) cosw — b cos(0 — ») sin w "I, 
sinô L v '' - T ' J 

y = V H — r — fa sin es cosw -h b cosep sinwl: 
sinô v T J 

£, y) sont les coordonnées de la nouvelle origine, B dési- 
gne l'angle des axes , et cp est l'angle formé par la ligne 
polaire avec l'axe des x. Faisons, pour abréger, 

p = [ffsin (G — ipjcosw — b cos (0 — y) sinw], 
q = [a sin <j> cosw -f- b cos© sin w], 



de sorte que l'on ait 

sin G 



IL, 
sin G 



la substitution de ces valeurs dans F (x, y) = o donnera 



o = F(Ç,uM-/; 



rfF(Ç,,; 



(Il 
rfF(Ç.n) 



r/v; 



sin G 



+■ />' 



2/>7 



, rf 2 F (£,») 



*f(ç,i>; 






i.2.sinG ] 



ce développement procède suivant les puissances ascen- 
dantes de o, et son lerme général peut s'écrire sous la 
forme symbolique 

dm J i . 2.3. ... j sin 8' 



1/ *\ 



( *7 ) 

Il faut disposer de £, /;,«,&, <p de manière que les coef- 
ficients des diverses puissances de p se réduisent àdes fonc- 
tions rationnelles et entières desinrjco, costôto, ce que 
l'on fera en égalant à zéro tous les termes de ces coeffi- 
cients qui ne satisfont pas à cette condition. S il existe un 
groupe de r? diamètres, toutes ces équations admettront 
une solution commune , et nous verrons bientôt qu'elles 
n'en pourront admettre qu'une seule. 

On aura toujours , dans le cas de plusieurs diamètres , 
quel que soit w, 

,/F $,«) </F(?,>i) 



P 7Z H 7 



di_ ' dn 

ou , en remettaut pour p et q leurs valeurs , 

a — '- sin ( — o) H sin o cos w 

L r/ Ç "" 'J 

p/FU,*) . rfF(Ç,„) 1 . 

— b cos (0 — <p) y — cos® s inw = °- 

Cette équation devant être satisfaite quelque valeur que 
l'on attribue à w , il faut que les coefficients de sin m et de 
cos w soient nuls séparément, ce qui donne, en dévelop- 
pant sin (0 — çp) et cos(0 — cp) et supprimant les facteurs 
a et b qui ne peuvent être nuls, 

K — — - sin = ~ — cosO —^ tanc œ 

rfÇ L d l fin J b ' 

rfF(Ç,*) . . r rf F(Ç,n) „ r/F(Ç, 

sin y 



rf£ 



pF(-: ,Vi , rfF(Ç,«n 
tang tp = — cos — — ■ : 



multipliant membre à membre, il vient 
7/ F 



HHJ sm ' 9+ [; 



Ann. de Malhëmat., t. XIV. (Janvier l855.) 



( '* 

D supposant que I on ait reconnu que l'angle o n'esl pas 
nul, ce qui exige des essais préalables faciles à imaginer. 
Celte dernière équation se partage en deux autres. 

savoir : 

<*F(g,q)__ W F ( g , >3 1 

df~ dvi 

D'où l'on conclut que les coordonnées £, y; des points 
où peuvent se couper plusieurs diamètres sont celles qui 
satisfont à la fois aux équations que Von obtient en 
égalant à zéro les dérivées par rapport à x et par rap- 
porta y du premier membre de l'équation proposée 

Théorème X. Tous les diamètres d'une courbe algé- 
brique à équation irréductible se coupent nécessairement 
en un marne point. 

Supposons, s'il est possible, un triangle formé par trois 
diamètres, et admettons , ce qui est évidemment permis, 
que ce triangle ne soit traversé par aucun autre diamètre. 
Au moyen de la direction des cordes conjuguées à chacun 
d'entre eux, on répétera d'un de ses côtés à l'autre, non- 
seulement la courbe , mais aussi les deux autres diamètres , 
en formant de nouveaux triangles de même surface que 
le premier, et les côtés de ces triangles seront eux-mêmes 
des diamètres. Par une construction semblable, poursuivie 
de proche en proche sur le périmètre du polygone ainsi 
obtenu, on formera un réseau de ces triangles, lesquels 
devront se juxtaposer, car si cette condition n'était pas 
remplie, et que l'un en couvrit un autre partiellement , ce 
dernier serait traversé par un diamètre, et en revenant, 
par une voie inverse, au triangle primitif, ce diamètre s'y 
trouverait répété, et traverserait par conséquent ce 
triangle, contrairement à 1 hypothèse. Le réseau . consi- 
déré dans toute son étendue, couvrira donc entièrement le 



( '9 ) 
plan de la courbe, et le divisera en triangles de même 
surface. De plus, chaque côté ou diamètre prolongé sera 
rencontré par tous les autres , puisque deux diamètres ne 
peuvent être parallèles entre eux , et le nombre de ces ren- 
contres , pour un même diamètre , sera infini , puisque n 
étant l'ordre de la courbe, il ne peut jamais arriver, 
d'après le théorème VII, que plus de n diamètres se cou- 
pent en un même point. 

On a démontré dans le corollaire du théorème précé- 
dent, que F (.r, y) = o, étant l'équation delà courbe, 
les points d'intersection des diamètres sont donnés par 
les équations 

</F(3?,.r) _ o dv(x, r) _ c 

clx dj 

d'où il suit que les lieux géométriques qui expriment cha- 
cune d'elles passent par tous les points de rencontre des 
diamètres. Ces lieux sont ainsi coupés en un nombre infini 
de points par toute droite faisant partie du réseau , et cela 
ne peut être qu'autant que les premiers membres des équa- 
tions ci-dessus ont pour facteurs les trinômes du premier 
degré, lesquels étant égalés à zéro donnent les diamètres. 
Ceux-ci étant en nombre infini , il en est de même de ces 
facteurs, de sorte que le degré des équations ci-dessus , et 
par conséquent celui de l'équation proposée , ne sau- 
raient être finis; donc , etc. 

Waring a énoncé {Proprieta tes algebraïcarum curvarum, in-4 , 1772; 
théorème VI, p. i3) plusieurs propositions sur les diamètres bissecteurs, 
et entre autres celle-ci: Quand le degré n de l'équation d'une courbe algé- 
brique est un nombre premier, celle courbe a n diamètres , ou n'en a qu'un, 
ou n'en a pas du tout. « Si modo n est primus numerus, tuni habet unam vel n 
diametr.os vel nullam omnis algebraïca çurva. « Proposition fausse. Par 
exemple , l'équation 

(*'H-.r s )(;c«-3*.r*) = 1, 

qui est du cinquième degré, revient à p s cos3« = 1 et représente 1 
quemment une courbe à trois diamètres. 



( *o) 



SIU LES QIESTIONS 24 i ET 141; 

Par M. BRIOSCHI, 

Professeur à Université de Pavie. 



Question 241. — Théorème d'Euler démontré par 
M. Loxhay. [Nouvelles Annales, tome XI, page 4^4) • 

"0> A|, "I) • • • } A r 

sont les termes d'une série récurrente: si l'on a 

A r+i = «A w + & A,, 



on a aussi 



A'_h— flA r A, +l + b Al 



const. 



Théorème plus général. En supposant 



on a 



A r A r+ | 



• A. r j_t — i 



= const. 



"■r+s — I A-r+s • • • A r -{-7s — ; 

En effet, en substituant au lieu des éléments de la der- 
nière ligne de ce déterminant les valeurs données par l'é- 
quation caractéristique, on a : 

A r -A r _)_| . . . A r+J — | 

Ar+s—2 Ar+s—f' Ar-t-Js—3 



A r A r _f.| . .. A r+i _i 

A r _|_| A r _(_; . . . A r _(.j 



= (— I 



A r+J _i A,+ s . . . A r+ 2j — 2 

et, par conséquent (*) 

A r A r _i_i . . • A r _)_,_i 

A r _|_i A r . . . A r _)_j 

»f+J-l A, +J . . . Ar+n—1 



= (— iVC-), 



A A, . . . A,_, 
A, A,. . . A, 

A,_, A, . . . A :j _i 



(*) Tous les a , à l'exception de «, , s'en vont ; ensuite on passe de A 
à A r _ 2 . de là à A / ._. etc. 



21 



Si, dans le premier membre de cette équation, on met 
pour A r+J , A r+s+i etc., leurs valeurs données par l'équa- 
tion caractéristique, on a 

<p(fl,, a 2 ,. . ., a s , A r , A r+ ,,. . ., A, +J _,) = a r s . const. 

La question 141 (t. VI, p. i34) est un théorème 
énoncé par Fourier (*). M. Tardy (**) pense qu'il s'est 
glissé quelque erreur dans ce qu'avance Fourier à propos 
de l'application du même théorème à la recherche des 
racines d'une équation par l'emploi des séries récurrentes. 
Je suis conduit à partager l'opinion de mon savant ami 
en m'appuyant sur les considérations suivantes. 

Sohf(x) = o l'équation donnée 5 soient x t1 x iy .., x n 
ses racines -, je suppose 



<■) 



A ,=y 



et je considère les deux séries récurrentes 

L , Lu, . . . , L r> . . . , M , Mi, • . . , M r , 



dans lesquelles 



L r = 



A, iir+l 

A,+i A, 



A, 

l r-t-2 A r+i 



M r 



A r A r+l 
A rd _, A, +J 



En substituant pour A,., A,. +1 , etc., les valeurs données 
par l'équation ( 1 ), on a 



L f = 









2,2, 



c s c, 



[x s x,) 



I 


I 1 


x t 


I 


I 


x t 


^7 



(') Analyse des équations déterminées, Exposé synoptique , p. 72, 

(**) Nouvelles Annales, janvier i8'>'| 



( ") 

c'est-à-dire , 

ci analoguement , 

N-S.S.^-i ■■'■«-*')■ 

J observe que les séries des quotients - — j — — ne peu- 
vent avoir pour limites que le produit x s x t des deux pre- 
mières racines de la proposée 5 et cela est contraire à ce 

qu'avance Fourier à propos de la première série - — -■ 

Mais nous pouvons former une autre série de termes de 

la forme rr— 5 qui évidemment a pour limite la somme 

.t, -f- x t des deux premières racines. 

Pour déterminer les trois premières racines on pourra 
former trois séries récurrentes : 



L , L,, . . 


• » Lr> ..• ; M , 


M 


? • • 


, M r 


• • 


;N„ 


N„.. 


., N r 


en posant 












A r A r+ i A f+ 2 








A r 


Ar+l 


A r +2 


U — 


Ar+3 A, +i A r+i 


5 


M, 


== 


A r +i 


A, +î 


Ar+3 




A r +2 A r .|_ 3 A r+i 








A r+3 


A, +1 


Ar+5 




A r 


A r -4-l 


Ar^.2 








N r = 


A f+1 


A r -(-2 


■Ar+j 








En ef 


et , on a 


' 


<W, 


Ar-f-3 


Ar, 


r-< 









L r = 



Ai* A <+ 5 A< + -' 

A .<+' A x™ A aÇ» 

V _fl- V -£i_ V _£i_ 

^, x; • Ai; +I <*- 



( *3 ) 



Lr ~ 2é s ^à t 2à, ( X , X t Xi) r+i ' x, x[ 

ou bien 



A , 


, 1 


xf 


X, 


■< , 


Xi 



Cs C t Ci 






A (x, + .r, -f- j-] 



et analoguement 



M r 



= 2. 






2, 



•"-2,E,2,.(^ 



i(-r^i + ^ #; -+• #, *i ) 



A 



ayant pose 



X ( X L Xi 

i i i 



Les trois séries composées des quotients 5 — — , 

N 
— - ne peuvent donner que le produit x s x t x t \ mais les 



deux séries:-—^ — ^-peuventdonner la somme x,-\- x t -{-Xi 

■^r+l ™r+l 

des trois premières racines, et la somme des produits 
Jeux à deux x s x t -f- x s x L -+- x t x,. 

Quoique, pour l'application des séries récurrentes à la 
recherche des racines selon les vues de Fourier, il n'y ait 
besoin que des séries qui donnent les sommes et les pro- 
duits des racines; cependant je vais donner le moyen de 
former aussi les autres séries en considérant s racines. Je 
nomme L,. ; , , L r> , , . . . , h r>s les termes généraux de ces 
séries récurrentes , et je pose 

";■ A r +| ■ . . A r .j_j_i 

A, + i A r 4.i . . . A;- + j 



Lr.j 



■ 



A 



( 24 ) 
On obtient L, ! en substituant aux éléments de la se- 
conde ligne de I ,.,, les éléments suivants : 

de même on obtient L,. j2 en substituant aux éléments de la 
troisième ligne de L, v ces dernières quantités, et ainsi de 
suite. Les séries des quotients 

Lr.l Lr,2 Lr,j— l 

donnent la somme des racines, la somme des produits 
deux à deux, la somme des produits à s — i à s — i , et 

chacune des séries — —5 _ r '* •> etc., donnera le produit 

•t-T— 1,1 •L'i— |,J 

des racines. 

L'exposé synoptique des recherches de Fourier sur l'ap- 
plication des séries récurrentes a la résolution des équa- 
tions se termine par ces paroles : « Au reste, nous ne 
pensons point que Von parvienne assez promptement 
par cette 'voie à la connaissance des racines. Les exem- 
ples cités par Euler sont ingénieusement choisis , mais 
ce mode d'approximation exige en général trop de cal- 
culs. IS'ous ne considérons donc cette question que sous 
les rapports théoriques. » C'est pour cela que je crois inu- 
tile d'entrer en de plus longs détails. 



DEMONSTRATION DU THÉORÈME DE LEXELL ; 

Par M. LEBESGUE. 



1 . Lemmc. Etant donnés sur une sphère deux cercles 
parallèles, situés de part el d'autre el à distances égales de 
l'équateur, les arcs de grands cercles interceptés entre 



( *5 ) 
ces parallèles sont coupés en parties égales par l'équateur. 

2. Lemme. Si Ton prend sur le premier parallèle un 
arc ab , et sur le second un arc a ' b' égal à ab et que l'on 
joigne les points a, a', Z>, b' par des arcs de grands 
cercles aa' bb', ces arcs sont égaux ; les diagonales ab' , 
ba' sont égales et se coupent mutuellement en parties 
égales, sur l'équateur; les triangles aa' b, ba' b' sont 
égaux, et chacun est la moitié du quadrilatère sphérique 
aba' b' ; de même les triangles aa' b ', abb' . 

Observation. Le quadrilatère sphérique a' b' ab a des 
propriétés analogues a celles du parallélogramme plan ; 
nous le désignerons par le nom de parallélogramme 
sphérique. 

3. Théorème de Lexell. Prenons sur le premier paral- 
lèle un arc C6?égal à l'arc ab , et menons les arcs de grand 
cercle a' c, b'd; on aura un second parallélogramme 
sphérique a'b' cd\ et on démontre, comme dans la géomé- 
trie plane, que le parallélogramme a' b'cd est équivalent 
au parallélogramme a' b' ab ; et, par conséquent, le tri- 
angle a' b' c, moitié du second parallélogramme, est équi- 
valent au triangle a b' a, moitié du premier parallélo- 
gramme. 

Si par les points a', b' nous menons un arc de grand 
cercle a' mb', il est évident que les deux triangles sphé- 
riques ayant pour base a' mb' et leurs sommets en a et c 
sont équivalents. 11 en est de même pour tous les triangles 
qui ont pour base a' mb' et leurs sommets sur le paral- 
lèle abcd. C'est le théorème de Lexell ( voir t. Y, p. 22). 

Note du Rédacteur. On trouve le théorème de Lexell 
dans les Eléments de Géométrie de M. Catalan (liv. MI , 
probl. VII). 

4. Il est évident que le théorème subsiste pour les points 
correspondants <v, a', b. b' de courbes quelconques, mais 
déterminées pat- deux points, par exemple, des lignes 



( 26 ) 
loxodromiques; il subsiste aussi pour toutes les surfaces de 
révolution qui ont un équateur, en prenant toujours les 
parallèles à égale distance de Féquateur; les triangles ont 
pour côtés des lignes loxodromiques ou géodésiques. 

5. Dans tous les triangles sphériques équivalents , la 
somme des angles est la même. Donc, si l'on fait la pro- 
jection stéréographique de tous les triangles équivalents 
a' b' a, a! b' b, a' b' c, a. b' cl, etc., on aura dans un 
même plan des triangles formés par des arcs de cercles , 
dans lesquels la somme des angles est constante, qui ont 
une base commune et dont les sommets sont sur uuemême 
circonférence. • 



DEIX THÉORÈMES DE M. BORCflARDT 

Sur les fondions symétriques des racines d'une équation algébrique 
et sur les rayons de courbure principaux des surfaces. 



Fonctions sjmètiùjues. 

Soit l'équation algébrique 

o = <j>(.r) =x n — Ax"- [ +...-J- 
racines (a,, a t1 a 3t . . . , a„); 

la fonction symétrique ? t a" 1 a"' . . . a?' est le coefficient 

du terme 0:7 (a ' +l) x7^ - hl) ... ^r (y ' +0 dans le déve- 
loppement, suivant des puissances décroissantes, de 1" ex- 
pression suivante : 

S±p\g,W(*»)-?(*»)][*i?V.)-'*.?(*.^ 

On voit que ce théorème est une extension du théo- 
rème donl nn se sert ordinairement poui trouver la 



( 27 ) 
somme de la fonction symétrique a"' 4- «"'H- ... -h «"» 

somme qu on obtient en développant . ; • 

Hayons de courbure principaux. 
Soit/ (x, ^, z) = o l'équation d'une surface et soient 

y/R^' \/R^'' y/R' /3 ' 

de sorte que £ 2 ■+- >r -f- £ 2 = x • Cela posé, faisons 

x,=x—pz, y l =y—pvi i z t = z—pK; 

p désignant une quantité indépendante de x, y, z \ for- 
mons le déterminant 

2 dx, dy x dz, 
~dx~dy dz 

Ce déterminant , égalé à zéro, donne une équation du 

second degré en p ; car le terme p 3 est multiplié par le 

i , • -^\ d'i dr t dZ. , , .j5 

déterminant > ± — — — — , qui s évanouit d après un 

principe général pour tout déterminant dans lequel les n 
fonctions de n variables dont on considère les coefficients 
différentiels au premier ordre ne sont pas indépendantes. 
Or l'équation du second degré en p a pour racines les 
rayons des deux courbures principales de la surface. 

Observation. Ces deux théorèmes sont dans une Lettre 
de M. Borcliardt, du 21 mars i854, adressée à M. Her- 
tnite, qui a bien voulu m'en faire part. 



( -8 ) 



SUR LA QUESTION DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 
QUI AVAIT ÉTÉ PROPOSÉE AU DERNIER CONCOURS. 



Au Rédacteur. 
Monsieur, 

Je lis dans Je numéro de septembre dernier des Nou- 
velles Annales , page 359 , à propos de la question de 
mathématiques spéciales qui fut proposée au concours 
général et retirée par suite de réclamation , l'observation 
suivante : 

« La première partie est facile, mais la seconde parait 
» difficile, si l'on n'emploie pas le calcul infinitésimal. » 

La seconde partie se résout aisément en s'appuyant sur 
ce que l'aire elliptique décrite par le rayon vecteur est 
dans un rapport constant avec le secteur qui lui corres- 
pond dans le cercle décrit sur le grand axe de l'ellipse 
comme diamètre. 

Deux mots vont éclaircir ce point. 

B 




Lorsqu'un cercle OC A' roule intérieurement sur la cir- 
conférence d'un autre cercle AA'B d'un rayon double, on 
démontre d'abord sans difficulté que tout point M situé à 
l'extérieur ou à l'intérieur du cercle mobile et lié inva- 
riablement à ce cercle, est dans les mêmes conditions 



( *9 ) 
que s'il appartenait à une droite mobile MCID dont le 
segment CD , intercepté entre deux axes fixes et rectan- 
gulaires (OA, OB), serait constamment égal au diamètre 
du cercle roulant (A est le point de contact des deux cercles, 
quand le point M se trouve en S sur la ligne<les centres). 

Il résulte de là , comme on sait , que le lieu décrit par M 
est une ellipse SMA T dont les demi-axes ont pour lon- 
gueurs OS et AS, et sont dirigés suivant OA et OB. La 
normale à cette ellipse est la droite qui va du point dé- 
crivant M au point de contact A' du cercle roulant. 

Maintenant, si l'on décrit un cercle sur le grand axe ST 
comme diamètre, et qu'on mène l'ordonnée PMQ, on a 

secteur elliptique MSO _ OV _ SA. 
secteur circulaire QSO OS OS ' 

or le secteur circulaire croit proportionnellement à son 
angle QOS. Il sera donc prouvé que le secteur elliptique 
croît proportionnellement à l'angle MCS décrit par le 
rayon qui va du centre I du cercle mobile au point dé- 
crivant, si l'on démontre l'égalité des deux angles QOS 
et MCS. En effet, on a 

MP _ SA _ MC 

PQ ~" ÔS~ ÔQ ; 

donc les triangles rectangles QOP, MCP sont sembla- 
bles, et MC est parallèle à OQ, etc. 

Cette solution s'est également présentée à mon hono- 
rable collègue M. \annson,qui surveillait avec moi les 
opérations du concours. 

Agréez, etc. 
16 octobre 1 8 5 4 - 

Jules ^ ieille. 

Note. M. le lieutenant Mannheim nous a aussi communiqué une solution. 
M. Mauduit, professeur au lycée de Metz, vient de nous adresser une 
bonne solution complète des deux parties du problème. Tu. 



3o 



Sur le dernier ternie de l'équation au carré des différences et sur le véritable 
auteur d'un théorème d'analyse sur les racines d'une équation. 

(Extrait d'une Lettre.) 



Permettez-moi de vous adresser une très-courte obser- 
a ation au sujet d'une phrase que je viens de lire dans les 
Nouvelles Annales (septembre, page 355). 

Après avoir apprécié d'une manière très-bienveillante 
et très-juste l'excellent ouvrage d'algèbre dont M. Serret 
vient de donner la seconde édition , vous analysez les 
notes ajoutées au texte primitif, et vous dites, à propos 
de l'une d'elles : 

« Le dernier terme de l'équation au carré des di/Fé- 
» rences occupe une place importante dans certaines- 
» recherches 5 on indique, pour le former, le procédé de 
» M. Cauchy, et, dans une note, une méthode nouvelle 
» qui semble fondée sur celle de M. Joachimstahl et 
» même ne pas en différer essentiellement. » 

Savez-vous que les choses qui ne diffèrent pas essen- 
tiellement sont bien rares:' Leibnitz doutait même qu'il 
en existât. Nos grands-pères, d'un autre côté, croyant 
qu'entre deux idées quelconques on peut toujours établir 
un rapprochement tel quel , s'exerçaient quelquefois à 
chercher une ressemblance et une différenceplus ou moins 
ingénieuses entre deux choses proposées. 

Il me semble qu'un géomètre ne serait guère embarrassé 
si , jouant à ce vieux jeu, il avait à comparer la Note de 
M. Serret à celle de M. Joachimstahl. 

Les deux géomètres s'occupent de l'équation au carré 
des différences , et examinent d'abord sous quelle forme 



( 3i ) 
ligure dans L'expression de son dernier terme , le terme 
tout connu de l'équation proposée. 

Voilà la ressemblance. 

M. Serret, partant de ce résultat presque évident , par- 
vient à un moyen fort ingénieux d'obtenir L'expression 
eomplète du dernier ternie. La Note de M. Joachimstahl 
ne donne aucun procédé pour atteindre ce but. Voilà la 
différence. 

Elle me semble établir entre les deux méthodes une 
séparation essentielle. 

Vous tenez beaucoup, je le sais, à l'indication exacte 
des sources et à ce que les noms des inventeurs soient mis 
sous les yeux du lecteur Quand il s'agit d'un ouvrage 
élémentaire, je ne partage pas entièrement votre opinion, 
et vous avez pu vous en apercevoir en parcourant mon 
Traité d'Algèbre. Le livre de M. Serret, s'adressantà des 
savants, est dans des conditions toutes différentes; aussi 
je m'associe volontiers aux reproches que vous lui faites 
indirectement (page 355) de ne pas avoir cité l'auteur de 
ce beau théorème : 

Toute fonction rationnelle des racines d'une équation 
peut être rendue entière. 

.Mais le véritable nom à citer est celui de Gauss; il a 
donné ce théorème dans son Mémoire trop peu connu 
sur la détermination numérique des intégrales {Commen- 
taires de Gottingue, t III, p. 53 ; 1816) , et l'une de ses 
démonstrations est précisément celle que M. Serret dé- 
veloppe en indiquant qu'elle s'étend d'elle-même au cas 
de plusieurs racines. 

Recevez, etc. J. Bertrand, 

Professeur au Lycée Napoléon. 

Note duRédactcur . Nous acceptons avec reconnaissance 
ces savantes et spirituelles indications. Un journal jouit 
de l'avantage de pouvoir réparer le lendemain les erreurs 



( 32 ) 

commises la veille, et nous considérons comme un devoir 
d'user d'un tel privilège. Mais nous nous permettrons dé- 
faire observer que l'équation auxiliaire A,„ = /?,'„_, V ra _, 
(p. 453, Serret) appartient à M. Joaehimstahl, c'est con- 
venu. Quant à la méthode pour parvenir à l'équation fon- 
damentale (même page) 

dV a . . dV a 

m — — -+- [m — 1 ) p x h. . •= O , 

dp, dp, 

on la trouve dans les deux dernières pages du Mémoire 
français de M. Cayley : Nouvelles Recherches sur les 
covariants (Cielle, tomeXLYII-, i853) : observation que 
je dois à l'obligeance de l'éminent analyste M. Brioschi. 
Je dois une autre indication historique à l'érudition si 
vaste de M. Angelo Genocehi : la démonstration du théo- 
rème que le produit de deux expressions de la forme 
]?-— B7 2 — Cr'-hBCi 2 , 

conserve la même forme (leçon vingt-cinquième), dé- 
monstration attribuée à M. Hermite, coïncide exactement 
avec celle qui est donnée par Lagrange (Mémoires de 
V Académie de Berlin, 1767 et 1770). 



NOTE SIR LA SOLUTION DE LA QUESTION 289 

voir tome XIII, p. 331 ). 



Cette solution n'est pas exacte. Abaissons du sommet A 
une perpendiculaire AF sur le côté BC. Tant que le point 
D est entre F et D, le raisonnement est juste. Il n'en est 
plus de même lorsque F est entre D et D'; alors on peut 
avoir AD' ^> AD et la conclusion du § 2° n'est plus 
admissible. Le § 3° étant fondé sur le § 2°, cesse aussi 
d'être concluant. (Observation de M. Angelo Genocehi.) 



( 33 



CONCOURS D'ADMISSION A L ÉCOLE POLYTECHNIQUE 
EN 1854. 



Épreuve graphique. — Questions proposées. 

Cette année, presque toutes les questions ont été em- 
pruntées à l'intersection des surfaces courbes , l'une de ces 
surfaces étant toujours cylindrique ou conique 5 de sorte 
que le résultat représente, finalement, un effet d'ombre 
portée sur un corps de révolution dont l'axe est vertical , ou 
d'ombre portée par ce corps sur lui-même. La surface cy- 
lindrique inclinée répond au cas d'un système de rayons 
lumineux parallèles , et la surface conique au cas d'un 
point lumineux. Ces sujets mixtes, où la Géométrie et 
la Physique s'unissent dans les conditions les plus sim- 
ples, nous paraissent très-convenables. 

On voit que l'Ecole Polytechnique poursuit son oppo- 
sition contre les épures qui ne sont que la reproduction 
des planches gravées des auteurs de géométrie descriptive. 
c'est-à-dire, contre un enseignement graphique plus ré- 
pandu encore qu'on ne le pense. 



Etant donné un corps solide formé de deux cylindres 
droits de même axe , l'un inférieur ayant pour base sur le 
plan horizontal un cercle de 3 centimètres de rayon et 
10 centimètres de hauteur, Tautre surmontant le pre- 
mier, ayant 5 centimètres de rayon et 2 centimètres de 
hauteur : 

1 . Considérez la base inférieure de ce second cylindre 
comme la base d'un cylindre oblique, dont les génératrices 

Ann. de Malkcmat. , t. XIV. (Janvier iS5">.ï 3 



( 34 ) 
seraient parallèles à la diagonale dun cube qui aurait une 
face sur le plan horizontal et une sur le plan vertical. On 
propose de trouver l'intersection du cylindre oblique avec 
le premier cylindre droit et de déterminer ensuite trois 
tangentes à cette intersection ; savoir : une tangente en un 
point quelconque, la tangente au point situé dans un 
plan tangent au premier cylindre et parallèle au cylindre 
oblique, la tangente au point le plus bas. 

2. Sur la projection horizontale O de l'axe des deux 
cylindres, menez dans le plan horizontal une droite qui 
fasse avec la ligne de terre un angle de 4^ degrés; sur 
cette droite portez a partir du point O une longueur 
OS =11 centimètres, puis concevez qu'au point S on 
élève une verticale ST de 16 centimètres. 

Cela posé, on propose de construire l'intersection du 
cylindre de 3 centimètres de rayon avec le cône qui aurait 
pour sommet le point T, et pour base la base inférieure 
du cylindre supérieur. On veut aussi connaître : la tan- 
gente en un point quelconque de l'intersection , la tan- 
gente en un point situé dans un plan tangent mené au 
cylindre inférieur parle sommet du cône, un point où la 
tangente soit horizontale. 



Un tronc de cône droit à bases parallèles est posé sur 
le plan horizontal par sa grande base , qui est un cercle de 
5 centimètres de rayon; la hauteur du tronc est de io cen- 
timètres et la petite base a i centimètres de rayon. Ce 
tronc de cône est surmonté dun cylindre droit avant 
même axe que le tronc, un rayon de 5 centimètres et 
o. centimètres de hauteur. 

3. On veut connaître l'intersection du tronc de cône 
avec un cylindre oblique qui aurait pour base la base in- 
férieure du cylindre qui surmonte le cône, et dont les 



( 35 ) 
génératrices seraient parallèles à la diagonale d'un cube 
dont une face serait sur le plan horizontal , l'autre sur le 
plan vertical. 

On cherchera aussi : la tangente en un point quelcon- 
que, la tangente au point situé dans le plan tangent mené 
au tronc de cène parallèlement au cylindre oblique, un 
point où la tangente soit horizontale. 

i. Dans un plan passant par l'axe commun des corps 
ci-dessus et faisant un angle de 4^ degrés avec le plan 
vertical , on prend un point S distant de cet axe de 1 1 cen- 
timètres et de 20 centimètres du plan horizontal. 

Cela posé, on propose de construire 1 intersection du 
tronc de cône avec un cône oblique avant pour sommet 
le point S , et jjour base la base inférieure du cylindre qui 
surmonte le cône tronqué. 

On veut aussi connaître : ia tangente en un point quel- 
conque \ la tangente en un point situé dans un plan tan- 
gent mené au tronc de cône par le sommet du cône obli- 
que; la tangente en un des points pour lesquels elle a une 
direction horizontale. 

5. Un hyperboloïde de révolution dont l'axe est ver- 
tical a ses génératrices inclinées de 45 degrés sur le plan 
horizontal, et un cercle de gorge de 2 centimètres de 
rayon ; il est supposé limité à deux plans horizontaux 
distants chacun de 5 centimètres du cercle de gorge. 

On propose de trouver son intersection avec un cylin- 
dre oblique ayant pour directrice la circonférence qui 
limite l'hyperboloïde à sa partie supérieure, dont les gé- 
nératrices seraient inclinées sur le plan horizontal comme 
«(lies de 1 hyperboloïde, et dont les projections horizon- 
laies feraient avec la ligue de terre un angle de 4^ degrés. 

On construira la tangente en un point quelconque de 
cette intersection. 

3. 



( 36) 

0. Un cône droit a pour base sur le plan horizon lai 
un cercle de 3 centimètres de rayon; ses génératrices 
sont inclinées sur le plan horizontal d'un angle dont la 
tangente est 2. Un cylindre oblique a pour base sur le 
même plan horizontal un cercle de 4 centimètres de rayon ; 
les génératrices font aussi avec le plan horizontal un 
angle dont la tangente est i , et leurs projections horizon- 
tales sont inclinées de 45 degrés sur la ligne de terre. 

On propose de trouver l'intersection du cône et du 
cylindre, et de construire la tangente en un point quel- 
conque de cette intersection. 

On aura soin de placer les bases des deux surfaces de 
manière que le cylindre pénètre entièrement dans le cône 
par une de ses nappes. 

7. La question précédente , mais avec cette différence : 
les bases des deux surfaces seront placées de manière que 
l'intersection ait des branches infinies, dont on détermi- 
nera les asymptotes. 

8. Un cône droit a pour base sur le plan horizontal 
un cercle de 5 centimètres de rayon-, les génératrices 
sont inclinées de 45 degrés sur le plan horizontal. 

Trouver son intersection avec un cône droit de même 
axe, dont le sommet esta 7 centimètres et demi au-dessus 
du plan horizontal et dont la base sur ce plan serait, en 
supposant qu'on fît descendre ce second cône jusqu'à ce 
qu'il ait même sommet que le premier, une ellipse dont 
les axes inclinés à 45 degrés sur la ligne de terre auraient 
pour longueurs 5 centimètres et 10 centimètres. 

On construira la tangente en un point de l'intersection, 
et les asymptotes de cette courbe, s'il y en a. 



Une calotte de sphère creuse repose par sa base sur le 
plan horizontal; le rayon extérieur de cette base est de 



( 3 7 ) 
10 centimètres, le rayon intérieur de 3 centimètres et 
demi. La hauteur delà calotte, mesurée jusqu'à la sur- 
face extérieure, est de 3 centimètres. 

9. Par le centre de la base on mène une droite paral- 
lèle à la diagonale d un cube dont une face serait sur le 
plan horizontal et une autre sur le plan vertical ; puis on 
prend cette droite pour l'axe d'un cylindre dont la section 
droite serait un cercle de 3 centimètres de diamètre. 

Celaposé, on veut connaître l'intersection de ce cylindre 
avec les deux surfaces sphériques qui limitent la calotte 
creuse, ainsi que la tangente en un point quelconque de 
l'une de ces courbes. On construira en outre le dévelop- 
pement de la surface cylindrique du solide commun aux 
deux corps. 

10. Par le centre de la base on mène une droite dont 
la projection horizontale fait un angle de 4$ degrés 
avec la ligue de terre et la projection verticale un angle 
de 6o degrés, puis on prend cette droite pour l'axe d'un 
cône dont le sommet est à 8 centimètres du centre de 
la base de la calotte et dont la section, faite perpendicu- 
lairement à l'axe et à 3 centimètres du sommet, est 
un cercle de i centimètre de rayon. 

Cela posé, on veut connaître l'intersection de ce cône 
droit avec les deux surfaces sphériques qui limitent la 
calotte creuse, ainsi que la tangente en un point quel- 
conque de l'une de ces courbes. On fera une coupe par le 
plan des deux axes , et cette coupe devra être dégagée de 
toute ligne de construction, afin de représenter plus 
nettement l'ouverture faite par le cône dans la calotte. 



1 1. Étant donné un corps solide dont deux faces sonl 
des plans verticaux représentés sur le plan horizontal par 
les droites parallèles xy et uf, entre lesquelles il y a une 



( 38 ) 
distance de 9 centimètres; on suppose que dans ce corps 
solide on pratique un vide composé comme il suit : i° un 
prisme droit ayant 3 centimètres de hauteur et pour base 
le parallélogramme ABCD dans lequel les côtés AD, BC 
sont à 8 centimètres l'un de l'autre, et inclinés de 45 de- 
grés sur les premiers 5 2 un demi-cylindre surmontant 
ce prisme, ayant ses génératrices horizontales, une sec- 
tion droite circulaire de 8 centimètres de diamètre, et 
placé de telle sorte qu'il soit tangent aux deux plans ver- 
ticaux AD et BC 

Cela posé, on demande de représenter sur un plan ver- 
tical parallèle à AB les limites de la partie enlevée dans le 
corps solide, en ayant soin de distinguer les parties vues 
des parties cachées. 

On propose de construire l'intersection des surfaces 
qui limitent ce solide enlevé par un cylindre oblique qui 
aurait pour base l'ellipse projetée sur CD, et dont les gé- 
nératrices seraient parallèles à une droite dont la projec- 
tion horizontale fait un angle de 45 degrés avec la ligne 
de terre, et la projection verticale un angle de 60 degrés. 
On veut aussi connaître le point où l'intersection des 
deux cylindres rencontre l'ellipse projetée sur CD et la 
tangente au point d'intersection situé sur une des généra- 
trices AD ou BC. 

42. Etant donné un tore produit par la rotation d'un 
cercle de 3 centimètres de rayon autour d'un axe verti- 
cal situé dans son plan , et distant de 5 centimètres du 
centre du cercle générateur, on suppose qu'un plan pa- 
rallèle à la ligne de terre soit incliné de 4o degrés sur le 
plan horizontal et placé de telle sorte qu'il coupe à la fois 
la nappé du tore décrite par le demi-cercle qui tourne sa 
concavité vers l'axeei celle qui es! décrite par l'autre demi- 
cercle, sans cependani <\nc ces courbes soient séparï 



( 3 9 ) 

Ou propose de construire l'intersection du tore par le 

plan, ainsi que la tangente en un point quelconque de 

cette courbe. Il faudra aussi trouver cette section en vraie 

grandeur, et ce que devient la tangente au point considéré. 



13. Une demi -sphère creuse de 9 centimètres de rayon 
intérieur et de 2 centimètres d'épaisseur est posée sur le 
plan horizontal , la convexité en dessous. 

On veut connaître son intersection avec un cône 
oblique déterminé comme suit : le sommet est au point 
le plus bas de la surface intérieure de la sphère; l'axe es 
la corde du quart de cercle , section de la sphère inté- 
rieure par un plan méridien vertical , faisant un angle 
de 45 degrés avec le plan vertical 5 la base du cône sur le 
plan de l'hémisphère est un cercle de 6 centimètres de 
rayon. On construira en outre la tangente en un point 
quelconque de l'intersection. 

On fera une coupe par le plan des deux axes ; elle sera 
dégagée de toute ligne de construction , afin de représen- 
ter plus nettement l'ouverture faite par le cône dans la 
demi-sphère. 

La question sera traitée sans changement de plans de 
projection. On pourra indiquer des méthodes de solution 
où la position de ces plans serait changée. 

Note du Rédacteur. On cherche avec raison à ré- 
pandre, à populariser cette langue universelle qu'on ap- 
pelle le dessin. Pourquoi cette langue est-elle exclue du 
grand concours universitaire? pourquoi négliger un tel 
stimulant? On pourrait donner des prix adaptés à ce 
genre de connaissances; entre autres les notes et croquis 
de Géométrie descriptive ou quelques uns des solides de 
la collection en relief (t. XII, p. \^6). Nous ne saurions 
trop recommander res productions du ehef des travaux 



( 4o ) 

graphiques à l'École Polytechnique à l'attention de l'Uni- 
versité, des professeurs et des chefs d'institution. 

Outre le sentiment de l'art, l'habileté de lartiste, 
M. Bardin possède les qualités du professeur et les théo- 
ries graphiques spécialement enseignées dans la grande 
école. De là le mérite distinctif de ses ouvrages. 



SUR U FRACTION CONTINUE 



2-f- 



3 + 



4 + ...' 

Par M. F. AMORETTI , 

Élève du Lycée de Versailles {*). 



Travaillant sur la fraction continue que l'on doit à 
Brounker, pour représenter 7T, j'ai été conduit à me de- 
mander ce que pouvait représenter la fraction 



i-f 



»+!• 



Après quelques recherches inutiles, j'ai trouvé dans les 
Notes à la Géométrie de Legendre un passage qui se rap- 
portait à ma question ; je copie textuellement (Note IV, 
page 289 de la i4 e édition). 

« Considérons la suite infinie : 

. . a 1 a 2 1 a 3 

fW "- I+ 3 + 71T(7+ô + 7X3 , »( 3 +i)(. + a ) + "" 



( *) Lauréat de i85.'|. 



( 4i ) 

dont le terme général est 



1.2.3... « z (z -f- i). . .(z -+- n — i) 

Si l'on remplace z par z H- i dans <j> [z) el qu'on retran- 
che , on aura 

a a 2 \ 

^^ Z+I (!+l)(ï+2) 

et 

f (.)- t (,+ I ) = -^[,+ ^ + l. (> + ^ + 3) + ...J 

» Dans la série entre crochets , on reconnaît <p (z -f- 2), 
on a donc 

? ( = )- ? (z + I )=- T -f_^ ( p(z- < -2). 

Divisons par 9 (z -f- 1), et posons 

« T(«) " /() ' 



/(«) = 



Mettant successivement z-|-i,z-f-2,àla place de z, 
et mettant sa valeur pour f [z -\- 1) dans y (s), pour 
y (z -f- 2) dans ^ (z -f- 1) , etc. , on obtient 

/(*) = f — : 



z + H- 



z-f- 2-f 



z+3 
» Posant (*) 



a = z = 1 , 



( * ) Ce dernier alinéa n'est pas dans Legendre Tu 



(4: 
on obtient 

/(0= — 



i 
i H 



i 

2H 

3 n 



[C'est ici que commence le travail qui m'est propre.] 
On a 



i a 1 

+ . . • 



/(z) = 



a i a' 

3 2 Z ( 3 -+- i) 



faisant z = a = i , 



i i r i i 

1.2 1.2 1.2.3 1.2.3 1.2.3.4 



I \I 1 j \l .2.3 

Il s'agit de sommer les suites des deux termes. Posons 
) ,{.(*) = a; -h -f- + — — _- + 



1.2 i'.s'.S i*.2 3 .3'.4 
Dilîërentiant les deux membres, 

, v d-!j x x 1 x* 



dx 1 1-.2- i 2 .2 3 .3- 

et divisant membre à membre. 



x-] h- — - t -h-., 

«x 1.2 1 - . 2- . j 



H h 



I I 2 .2 J 



On voit maintenant que u n'est autre chose que ce que 
devient la fonction — — -' < quand on y fait x =1; il ne reste 



(43 ) 
donc plus qu'à trouver la nature de la fonction <J>, qui se 
développe suivant la série (i), ou seulement la nature de 
sa dérivée que je désigne par t et qui se développe suivant 
la série (2) , 



x 
f = H \ 



1 1-.2- i 2 .2 2 .3 2 
Diiîérentiant les deux membres, 

dt x x* x 3 

= 1 +— h - — r-^ + 



dx 1-.2 I*.2 J .3 i 2 .2 2 .3 2 .4 ' 

multipliant par x et différentiant de nouveau, 

xdt x 1 x 1 

dx l 2 .2 I 2 .2 2 .3 

d'où 

, / xdt\ l x x 2 x z \ 

\ dx / \ 1 i 2 .2 2 1 2 .2 2 .3' / 

Mais la série du second membre est précisément celle 
dont t désigne la somme : par suite , la sommation de cette 
série est rappelée à l'intégration de l'équation du second 
ordre , 

tdx = dy, 

dy xdt xd'y 

dx dx dx* 

nou3 aurons, en substituant, 



Faisons 
d'où 



et en intégrant, 

xd'y 



dx 2 ~' + A ' 



A désignant la constante arbitraire. 



( 44 ) 

On donnera une forme plus simple à l'équation en 

posant 

d'y d'p 

y -+• A = v, d ou — — = -7— ■ 1 
J ' ' dx' dx 1 

et, en substituant, 

w $=* 

Nous ramènerons cette équation au premier ordre en po- 
sant^? = e-f*" 1 *, ^ étant une autre fonction de #, car on a 

<-//>< = e^ dx . <>dx , d 2 p = <£r (/*<& -f- v"- pdx) , 

on trouve, en reportant cette dernière expression dans 
l'équation (3) et supprimant le facteur p, 

dv 

— — Y- p 1 — x~' = o ; 

dx 

cas particulier de l'équation de Riccati. 

Versailles, il\ octobre i85/j 



(La Note suivante a été communiquée par M. Herlobig, 
chef de l'institution Saint-Louis, à Versailles, neveu 
et successeur de M, Potin.) 

Emile-Michel Amoretti est né à Moscou, le i e ' juin 
i838, de parents piémontais. Son père naquit à Nice 
alors que le Piémont , sous le nom d'Alpes-Maritimes, 
appartenait à la France. En i83o, sa famille quitta Nice . 
où elle avait été malheureuse , pour aller chercher for- 
tune en Russie. 

E. Amoretti dès son enfance aimait l'étude. Son père 
fit un dernier sacrifice et l'amena en France en 18.49, 
le confia d'abord aux soins de M. Tanquerel , maître de 
pension à Saint-Germain, puis, peu de temps après, à 
ceux de M. Potin, chef de l'institution Saint-Louis, à 
Versailles. Son nouveau maître reconnut bientôt toutes les 



( 45 ) 

brillantes qualités de son élève et mit tout en œuvre pour 
lui assurer un bel avenir. 

A Fàge de i3 ans, Amoretti obtint au concours gêné- 
néral de i85i le premier accessit de mathématiques acces- 
soires : succès qui devait en faire présager bien d'autres. 

En i85o , la position de M. Amoretti ne lui permit plus 
de subvenir aux besoins de son fils, et il pria M. Potin 
de ne point abandonner son élève. M. Amoretti mourut 
en i852, et M. Potin devint le père adoptif de cet or- 
phelin qui s'est toujours montré digne et reconnaissant 
d'un pareil sacrifice. 

Le malheur qui venait de frapper E. Amoretti lui in- 
spira de nouveaux efforts ; son intelligence supérieure 
grandit encore par le travail qui devenait pour lui 
une nécessité plus pressante, une passion impérieuse. 
« Je veux, disait-il, me faire une position 5 je me sens la 
force de tout faire pour arriver à mon but. » 

Il ne s'occupait pas exclusivement des ouvrages des 
grands maîtres en mathématiques, mais il lisait avec une 
satisfaction aussi grande Montaigne et Montesquieu; l'T- 
mitation était sa lecture favorite. Sa mémoire était pro- 
digieuse. 

Il observait dans les plus petites choses un ordre mer" 
veilleux , réglant jour par jour, heure par heure, l'em- 
ploi de son temps. Depuis le mois de janvier i852, il a 
consigné sur un carnet ses moindres actions; il n'oublie 
pas le plus petit détail, mettant en toutes choses une 
exactitude mathématique. 

S'il se livrait presque exclusivement aux mathéma- 
tiques , c'était pour arriver plus tôt à son but; mais il 
aurait eu une aptitude presque égale pour les langues. 
Il put sans peine étudier avec succès l'hébreu , l'anglais et 
l'allemand , et jamais il n'a fait montre de son savoir. 
Lauréat du grand concours, admis sans concours à l'Ecole 



(46) 

Normale, présenté à l'Impératrice, il ne conçut pas le 
moindre orgueil. Sa modestie était extrême (*). 

D'vm caractère très-gai , il avait une conversation très- 
aimable et très-spirituelle lorsqu'on le mettait à Taise. 

D'une constitution robuste, d'une santé de fer, Arao- 
retti fut légèrement indisposé vers la fin du mois d'oc- 
tobre; il combattit ce malaise jusqu'au 28. Cette indispo- 
sition devint plus grave et le força à garder le lit; c'était 
la veille de son entrée à l'Ecole. Les symptômes de la 
lièvre typhoïde se manifestèrent; il eut deux hémorragies 
très-abondantes qui, en diminuant ses forces, nous don- 
naient de l'espoir ; mais la fièvre, qui avait pendant les 
huit premiers jours suivi un cours parfaitement régulier, 
fut, le 8 novembre, accompagnée de nouveaux accidents; 
et, à la suite d'une crise violente, il y eut une prostra- 
tion complète de forces et Amoretti mourut paisiblement. 
On est contraint à admher une existence aussi belle, aussi 
bien remplie , une intelligence aussi brillante qui pouvait 
rendre des services à la science. 

Note du Rédacteur. M. Vannson, le professeur d'A- 
moretti, nous écrit : « Depuis trente ans que j'enseigne 
les mathématiques je n'ai jamais rencontré dans aucun 
élève une intelligence aussi remarquable et un goût aussi 
prononcé pour l'étude des sciences. » 

(*) C'est lui qui lors du dernier concours a déclaré connaître la pre- 
mière question (voir t. XIII, p. 296): acte de délicatesse et de loyauté 
plus honorable que le prix du concours. 

Dans une Lettre jointe à son travail, i'. dit qu'il nous enverra le pris 
couronné, en ajoutant quil cherchera à relever la Faiblesse du sujet par 
quelques considérations générales. 

Lauréat de 1810, M. Cousin, âgé de 18 ans, fut admis à l'École Nor- 
male, sans concours : premier el illustre précédent. I h 



47 



DESCRIPTION D'UN APPAREIL DESTINÉ A L'ENSEIGNEMENT 
DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE, 

Construit par M. WEISSAND, 

Professeur de travaux graphiques, chargé des Cours municipaux de Dessin, à Strasbourg; 

Par M. TERQUEM (Alfred), 
Professeur de Physique au Lycée de Châteaurovix. 



L'appareil de M. Weissand se compose de deux plans 
rectangulaires ayant environ 3o centimètres de longueur 
sur 20 centimètres de largeur; les deux plans en zinc 
recouvert de bois noirci sont réunis par une charnière 
placée le long de la plus grande dimension; ils font entre 
eux un angle droit, et figurent ainsi les deux plans de pro- 
jection , la charnière étant la ligne de terre. Comme, dans 
certains cas, il faut employer des plans auxiliaires de 
projection, à la suite de chacun des plans de projection 
se trouve placé un rectangle de mêmes dimensions que 
le premier, qui peut tourner autour d'une charnière per- 
pendiculaire à la ligne déterre, verticale pour le plan 
vertical de projection , horizontale pour le plan horizon- 
tal. On a ainsi deux plans auxiliaires qui peuvent se 
placer perpendiculairement à la ligne de terre et se ra- 
battre l'un sur le plan vertical et l'autre sur le plan ho- 
rizontal. Si l'on ne veut pas se servir de ces plans, placés 
«à la suite des premiers, ils doublent la longueur de l'ap- 
pareil. 

Chacun des plans de projection porte parallèlement à 
la ligne de terre une rainure qui le divise en deux par- 
ties égales; quatre autres rainures, également espacées, 



(48) 
sont disposées perpendiculairement à la première. Ces 
rainures ont pour section un trapèze, afin que les règles 
qui y glissent , et les remplissent quand on ne veut pas s'en 
servir, ne puissent s'en échapper. C'est dans ces diverses 
rainures que l'on glisse le support sur lequel on fixe les 
diverses figures destinées à être projetées. 

Ce support consiste en un tronc de pyramide quadran- 
gulaire glissant à frottement dur dans les diverses rai- 
nures. Ce tronc de pyramide est traversé, suivant son 
axe , par un cylindre creux dans lequel peut tourner, à 
frottement dur, un cylindre plein des mêmes dimen- 
sions. Sur ce cylindre est placée une petite virole de 
cuivre, dans laquelle peuvent se visser diverses petites 
tiges de fer. Cette virole n'est pas invariablement liée au 
cylindre qui la supporte, mais elle peut tourner autour 
d'un axe perpendiculaire à celui du cylindre et parallèle, 
par suite, au plan de projection sur lequel est fixée la 
petite pyramide. On peut donc donner à cette virole 
deux mouvements rectangulaires. 

i°. En faisant tourner le cylindre sur lui-même, le 
mouvement de rotation s'exécute autour d'un axe perpen- 
diculaire au plan de projection. 

2°. En faisant tourner la virole autour de l'axe perpen- 
diculaire à celui du cylindre, on peut lui donner, ainsi 
qu'à la tige qu'elle supporte, toutes les inclinaisons sur 
le plan de projection. 

3°. Enfin, en faisant glisser tout le support dans les 
diverses rainures, on peut faire occuper à cette tige des 
positions très-variées. 

Dans la virole viennent se fixer, à l'aide d'un pas de 
vis, diverses tiges de fer représentant des lignes droites, 
courbes, planes, à double courbure, etc. On peut ainsi 
démontrer tous les théorèmes relatifs à la ligne droite et 
aux lignes courbes. 



( 49 ) 

Pour placer dans l'espace des figures planes, on visse 
dans la virole une tige sur laquelle glisse un curseur 5 le 
curseur porte latéralement un petit axe qui traverse les 
diverses figures planes figurées par des petites plaques de 
tôle découpées qui sont fixées invariablement à l'aide 
d'un écrou de pression. 

Enfin on peut également prendre des volumes quel- 
conques, faits également en tôle vernie, tels que des cy- 
lindres , des cônes , des pyramides, des sphères, etc. Pour 
soutenir ces corps , on fixe sur la virole une tige qui porte 
perpendiculairement une seconde tige; celte dernière se 
replie ensuite d'équerre parallèlement à la première; on 
a ainsi deux tiges parallèles très -rapprochées l'une de 
l'autre et invariablement liées ensemble. Les divers corps 
solides que l'on veut placer dans l'espace sont traversés 
à la fois par ces deux tiges et se trouvent ainsi fixés d'une 
manière invariable. A ces diverses figures sont joints des 
plans qui sont découpés de manière à s'appliquer entre les 
deux plans de projection sous différentes inclinaisons. 

A l'aide d'un petit fil à plomb et d'une règle, on peut 
tracer avec de la craie sur les plans de projection les 
projections des diverses lignes, plans, corps situés dans 
l'espaee et surtout montrer les transformations que ces 
projections subissent, quand on donne aux figures à pro- 
jeter tel ou tel mouvement. 

Telles sont les principales dispositions de cet ingénieux 
appareil avec lequel il est facile de construire toutes 
les figures qui doivent être étudiées dans un cours de 
géométrie descriptive; appareil supérieur à ceux qui ont 
déjà été construits pour le même but, à cause de la 
généralité de son emploi. Iî peut être surtout utile pour 
l'enseignement de la géométrie descriptive à des Telèves 
peu accoutumés aux considérations abstraites et qui ont 
peu l'habitude delà géométrie. Sa place est naturellement 

Ami. de ifaihémat., t. XIV. (Février i8V>.) 4 



( 5o ; 
marquée dans lous les cours industriels où il est appelé 
à rendre de grands services au professeur et aux audi- 
teurs. 



QIESTION. 



296. On donne dans le même plan deux systèmes de 
sept points cliacun et qui se correspondent. Faire passer 
par chacun de ces systèmes un faisceau de sept rayons, de 
telle sorte que les deux faisceaux soient homographiques. 
Démontrer qu'il n'y a que trois solutions. ( Chasles.) 



EXERCICES SIR DE GRANDS NOMBRES. 



2 M = 63382 533ooi 14114700748351602688 = a, 
log 2 = o,3o 102 9995663981 19521 373889472449» 

a log 2 donne pour caractéristique 

19080 04273 45073 52812 2179413680 = b, 

ainsi , b -f- 1 est le nombre de chiffres de 2". 

Ce calcul a été fait par Clausberg et se trouve dans son 
ouvrage Démonstrative!' Recherikunst, Arithmétique dé- 
monstrative , III e partie, § i4j4 î Leipsig, 1782; in-8°. 
On y donne les logarithmes de Briggsde 1 à 100 avec 32 
décimales. Les Tables de Callet renferment de tels loga- 
rithmes de 1 à 1097 avec 6i décimales ; mais il faut pren- 
dre les dix décimales à gauche dans la Table des 20 dé- 
cimales. 



( 5i ) 



THÉORIE DE LA DIVISION ARITHMÉTIQUE DES NOMBRES ENTIERS ; 

Par M. L.-E. FAUCHEUX. 



Traitée avec la simplicité convenable . la division ne 
présentera pas aux élèves plus de dilTicultés que les 
autres réaies arithmétiques. 

Vi uvea t Programme de l Ecole Polytechnique.) 



Lemme. Soit à multiplier deux nombres, par exemple 
j436 par 48- On pourra toujours obtenir le produit de la 
manière suivante. On multipliera d'abord 48 par 6, ce qui 
donnera 288; on écrira 8 et on retiendra 28. On multi- 
pliera ensuite 48 par 3 , ce qui donnera i44> à quoi on 
ajoutera 28 du produit partiel précédent, ce qui donnera 
1725 on écrira 2 et on retiendra 17. On multipliera 48 
par 4» et au produit 192 on ajoutera 17, ce qui donnera 
209; on écrira 9 et on retiendra 20. Enfin on multipliera 
48 par 7, et au produit 336 on ajoutera 20; on aura 356, 
qu'on écrira entièrement , et le produit sera 306928. 

On pourra toujours considérer le produit d'une multi- 
plication elïectuée comme ayant été obtenu par ce pro- 
cédé-là. 

Dans cette multiplication, il n'y a qu'un produit par- 
tiel entièrement écrit, c'est le dernier, c'est-à-dire le 
produit du multiplicateur par le chiffre des plus hautes 
unités du multiplicande. Des autres produits partiels on 
n'a écrit que le chiffre des unités; et ce chiffre exprime 
des unités de même ordre que celles du chiffre du multi- 
plicande qui a donné le produit partiel. 

Les retenues de chaque produit partiel n'égaleront ja- 
mais le multiplicateur 48 ; en effet, le premier produit 

I- 



( 5 2 ) 
partiel sera au plus 48 X 9 < 48 X io , ou 48 dizaines ; 
donc les retenues du premier produit partiel seront moin- 
dres que 48 ; le deuxième produit partiel sera encore au 
plus Q X 48, et il faudra l'augmenter d'un nombre moindre 
que 48'-) la somme sera donc plus petite que 10 fois 48; 
donc les retenues du deuxième produit seront aussi moin- 
dres que 48? et ainsi de suite. 

Ce qui précède sont des remarques qui appartiennent 
à la multiplication. 

Division . 

Définition. La division a pour but de trouver un 
nombre nommé quotient, qui , multiplié par un nombre 
donné nommé diviseur, reproduise un troisième nombre 
aussi donné, nommé dividende . 

De cette définition résulte comme conséquence qu'on 
doit employer la division pour partager un nombre donné 
en parties égales, ou pour chercher combien de fois un 
nombre en contient un autre. 

Soit à diviser 0J6928 par 48- D'après la définition, 
nous pouvons regarder le quotient comme étant le multi- 
plicande d'une multiplication dont 48 serait le multipli- 
cateur et 356928 le produit. 

Nous avons vu que daus toute multiplication il y avait 
un produit partiel entièrement écrit , et qu'il n'y en avait 
qu'un, que c'était le dernier produit partiel , et que, par 
conséquent, il était exprimé par un certain nombre de 
chiffres à gauche du produit total. Or il est facile de trou- 
ver ce dernier produit .partiel dansleproduit total 356928. 

En effet, dans notre exemple, il a été obtenu par la 
multiplication de 48, nombre de deux chiffres par un 
nombre d'un chiffre; il y a donc au plus trois chiffres et 
au moins deux. C'est donc 356 ou 35 ; mais il est au moins 
égal à 48 et plus petit que 10 fois 485 donc c'est 356. 



(53 ) 

[De là la règle suivante: Pour trouver le premier 
chiffre du quotient , il faut prendre au dividende autant 
de chiffres qu'il y en a au diviseur, si , etc., ou un chiffre 
de plus, si , etc.] 

Ce nombre 356 a été obtenu en multipliant 48 par le 
chiffre des plus hautes unités du multiplicande qui est 
le quotient cherché, et augmentant le produit des retenues 
du produit précédent, retenues qui sont moindres que 48. 
Donc 356 tombera entre deux multiples consécutifs de 48 , 
et le plus petit de ces deux multiples sera le produitdc 48 
par le chiffre des plus hautes unités du multiplicande, 
c'est-à-dire du quotient. Donc si l'on forme le tableau 
des 9 premiers multiples de 48, celui qui sera immédia- 
tement inférieur ou au plus égal à 356 sera le dernier 
produit partiel débarrassé des retenues du produit pré- 
cédent. 



356928 j 


48 


336 1 


9 436 


209 




192 




172 




«44 




288 




288 





1 


48 


2 


9<> 


3 


144 


4 


192 


5 


240 


6 


288 


7 


336 


8 


384 


9 


432 



En consultant le tableau des multiples de 48 , on trouve 
que le multiple immédiatement inférieur à 356 est le 
septième, qui est 336; donc le chiffre des plus hautes 
unités du quotient est 7. Retranchant 336 de 356, le 
reste 20 représente les retenues, c'est-à-dire les dizaines 
du produit partiel précédent 5 de plus, le chiffre des uni- 
tés de ce produit esl 1;- chiffre qui, dans le dividende, est 
immédiatement à la droite de 356. ; c'est-à-dire 9 : l'avant-< 



( ^4 ) 
dernier produit partiel augmenté des retenues du produit 
partiel précédent était donc 209. Mais ce produit a été 
obtenu par la multiplication de 48 par le chiffre du quo- 
tient immédiatement à droite de 7; donc on aura ce 
chiffre en cherchant quel est le multiple de 4$ immédia- 
tement inférieur ou au plus égal h 209. On trouve que 
c'est 192, qui est Je quatrième multiple : donc le second 
chiffre du quotient est 4; et en continuant le même rai- 
sonnement on aura successivement tous les chiffres du 
quotient. 

Les différents produits 256,209, 172, 288 , se nomment 
dividendes partiels. 

Abréviation. On peut se dispenser de faire le tableau 
des neuf multiples. En effet, en reprenant l'opération ci- 
dessus, on voit qu'il s'agit de trouver par quel chiffre il 
faut multiplier 48 pour avoir 356 ; or ce chiffre est à peu 
près le même que celui par lequel il faudrait multiplier 
4o pour avoir 35o , lequel est exactement le même que le 
chiffre par lequel il faudrait multiplier 4 pour avoir 35. 
Mais ce dernier se trouve immédiatement par la table de 
Pythagore; donc on pourra se dispenser de former les 
multiples du diviseur. 

On démontrera sans peine que le chiffre ainsi obtenu 
ne peut être jamais trop faible, mais qu'il peut être exact 
ou trop fort. Il faudra donc vérifier le chiffre obtenu: ce 
que l'on fera en le multipliant par le diviseur et retran- 
chant le produit du dividende partiel. Si la soustraction 
peut se faire , le chiffre trouvé sera le chiffre convenable. 
Si le produit est plus grand que le dividende partiel, le 
chiffre trouvé sera trop fort, il faudra diminuer le quo- 
tient d'une unité et recommencer l'essai. 

Il n'existe pas toujours un nombre entier qui, multi- 
plié par le diviseur, reproduise le dividende. Alors le 
quotient est compris entre deux nombres entiers consé- 



( 55 ) 
cutifs, el eu prenant pour quotient l'un ou l'autre de ces 
deux nombres entiers, on a le quotient, à moins d'une 
unité. Dans ce cas, le reste de la dernière soustraction 
n'est pas nul ; on le nomme le reste de la division. 

Si l'on prend pour quotient le plus petit des deux 
nombres entiers , on a le quotient par défaut et le reste 
par excès 5 si l'on prend le plus grand des deux nombres , 
on a le quotient par excès et le reste par défaut. Il est 
facile de voir que le reste par excès plus le reste par défaut 
égalent le diviseur. 

En choisissant convenablement l'un des deux quotients, 
on peut obtenir le résultat à moins dune demi-unité : il 
suffit de prendre le quotient qui donne le plus petit reste. 

On déduira facilement de là , la règle générale ordi- 
naire. 

Cette théorie, dont quelques points sont seulement es- 
quissés, est soumise à l'appréciation critique de MM. les 
Professeurs, et cette Note, tirée à très-petit nombre, 
leur est uniquement destinée. 



CONTACT DES CERCLES SIR LA SPHÈRE, PAR LA GEOMETRIE h 
ParM.VANNSON, 

Processeur ;i Versailles. 



1 ". Par un point C mener un arc de grand cercle tan- 
gent à un petit cercle donné. 

Soient Pie pôle du petit cercle donné, r sa distance po- 
laire <C -1 et A la distance de C à P; de P comme pôle, 

avec ir pour dislance polaire, décrivez un arc de cercle, 
<'l de C comme pôle un autre arc avec A pour distance 



( 56 ; 
polaire. Soil X un des points de rencontre de ces deux 
arcs ; joignez X avec P : la rencontre de; l'arc obtenu avec 
la circonférence donnée sera le point de contact. Deux 
solutions. Pour que le problème soit possible, il faut 
qu'on ait A ^> /' et A <^ 71 — r. 

2°. Étant donnés deux petits cercles } construire un 
grand cercle qui leur soit tangent . 

Soient P, P' les pôles des cercles donnés ; A la dis- 
tance P, P'; R , /• leurs distances polaires. Considérons 
d'abord le cercle tangent qui coupel'arc PP' sur son pro- 
longement -, on trouvera le pôle de ce grand cercle tangent, 
m construisant un triangle sphériquedont les côtés soient 

A, ( R), I- — /' J • P,P' seront deux sommets, 

le troisième sommet sera le pôle cherché. On trouve 
pour conditions 

A>R — /, et A-f-R+rO. 

Considérons mainlenaut le cercle tangent qui coupe 
lare PP' entre P et P'. Son pôle sera le troisième sommet 

d'un triangle avant pour côtés A , I 1- r J j ( R ) • 

On trouve pour conditions 

A>R-+-r, A-+-R — /-<tt. 

• 3°. Théorème. Si trois cercles tracés sur une sphère 
se coupent deux à deux , les trois arcs de grands cercles 
qui joignent les points d'intersection sur un même cercle 
concourent au même point. 

Ce théorème se déduit facilement de son analogue sur 
un plan, à 1 aide des projections sléréographiques. Pour 
cela, traçons sur un plan P trois cercles qui se coupent 
deux à deux; soient AH, A'B', A"B" les trois cordes 
communes, el \ leur point de concours. Du point \ 



comme centre, décrivons une sphère, et prenons pour 
centre de projection le pôle P' du plan P. Les trois cercles 
donnés auront pour projection sur la sphère trois autres 
cercles, et les cordes communes auront pour projections 
trois arcs de grauds cercles qui passeront par les points 
communs aux trois cercles de la sphère pris deux à deux, 
et par les pôles du plan P : ce qui démontre le théorème 
énoncé. 

4°- Etant donné un petit cercle sur une sphère, si de 
son pôle on décrit un second cercle ayant pour distance 
polaire Je complément de la distance polaire du premier ', 
et que , par le pôle commun, on trace un arc quelconque 
de grand cercle coupant les deux petits en A et B ; ces 
deux points convenableme.jit choisis seront à 90 degrés 
de distance l'un de l'autre, et chacun d'eux sera le pôle 
de la tangente menée par l'autre au cercle sur lequel d 
se trouve. On les nomme points conjugués. Les deux 
cercles ainsi obtenus sont appelés polaires réciproques. 

Cela posé, si deux cercles se coupent en deux points A, 
B, et qu'on trace pour chacun d'eux le cercle polaire ré- 
ciproque, les grands cercles ayant A et B pour pôles se- 
ront tangents à ces deux derniers cercles en des points 
conjugués de A et de B, et l'intersection de ces deux tan- 
g< nies communes sera le pôle de Tare passant par A et B. 

5". Si trois cercles se coupent deux à deux, et qu'on 
trace leurs cercles polaires réciproques , puis qu'on mène 
à ces derniers cercles, pris deux à deux, deux tangentes 
communes , les trois points de rencontre de chaque couple 
de tangentes seront les pôles des trois arcs menés par les 
points d intersection. Or ces trois arcs concourent en 
un même point O-, donc les trois points de rencontre 
des tangentes seront sur un grand cercle ayant O pour 
pôle. 

()'". Si par deux points A , B on fait passer des cercles 



( 58 ) 
et que par un point C , pris sur AB prolongé, on leur 
mène des arcs de grands cercles tangents, le lieu du 
point de contact sera une circonférence ayant pour pôle 
le point C. 

Ce théorème se démontre facilement par les projections 
stéréograpliiques. Si le point C est pris entre A et B, l'arc 
tangent se remplace par l'arc minimum , et le point de 
contact par le point où cet arc minimum coupe la cir- 
conférence. 

7 . Problème. Par deux points A , B mener un cercle 
tangent à un petit cercle. 

Le théorème 3 conduit à la construction suivante : 
Par A et B menez un cercle quelconque, qui coupe le 
cercle donné aux points C , D ; prolongez les arcs CD, AB 
jusqu'à ce qu'ils se rencontrent en un point O; menez 
de ce point O deux tangentes au cercle donné. Soient M 
et N leurs points de contact : la question sera ramenée 
à faire passer un cercle par les trois points A, B, M ou 
A, B , N. L'explication se ferait comme sur un plan. 

Cette construction ne serait pas applicable si le cercle 
donné était un grand cercle. Mais en se reportant au théo- 
rème 6, on est conduit à la construction suivante: Par 
A et B menez un cercle arbitraire et par le point O une 
tangente à ce cercle. Soit D le point de contact-, prenez, 
à partir du point O sur le cercle donné, deux longueurs 
OM, ON égales à OD : les points MN seront les points 
de contact demandés. 

8°. On peut résoudre de la même manière le problème 
suivant : 

Etant donnes un cercla et deux points , faire passer 
par ces deux points un second cercle qui coupe le pre- 
mier en deux points éloignes l'un de l'autre dune lon- 
gueur do ? niée. 

^°. La considération des cercles polaires réciproques per- 



( H) ) 

met de ramener au problème 8 celui dont voici l'énoncé : 

Étant donnés deux grands cercles et un petit A , me- 
ner aux deux premiers un cercle tangent B tel, que si 
l'on mène aux deux cercles A et B deux tangentes com- 
mîmes, V angle de ces tangentes soit égala un angle 
donné. 

io°. Problème. Étant donnés deux points et un grand 
cercle, trouver sur ce cercle un point tel, que la somme 
des distances de ce point aux deux points donnés soit 
égale à un arc donné. 

Ce problème se ramène facilement au problème 8, 
comme sur un plan. 

ii°. Parla considération des cercles polaires, on ra- 
mène le problème suivant au problème io : 

Étant donnés un point et deux arcs de grands cercles, 
mener par le point un troisième cercle coupant les deux 
autres sous deux angles dont la somme est donnée. 

\i°. Les problèmes io et n peuvent encore s'énoncer 
de la manière suivante : 

i . Etant donnés les foyers d'une ellipse sphérique et 
l'axe des foyers , trouver son intersection avec un grand 
cercle donné de position. 

2. Construire un triangle sphérique , connaissant la 
surface , un angle et un point par lequel doit passer le 
côté opposé. 

i3°. Théorème. Étant donnés deux petits cercles sur 
une sphère , on peut évidemment mener une infinité de 
grands cercles qui les coupent tous deux sous des angles 
égaux ; tous ces cercles passent par un point fixe sur le 
prolongement île la ligne des pôles , ou par un second 
point sur la même ligne entre les deux pôles. Le premier 
point se nomme centre de similitude directe ,• le second, 
centre de similitude inverse. 

Soient A, B , A', IV les quatre points de rencontre de 



(6o ) 
l'arc des pôles avec les circonférences données , A , B étant 
les deux points les plus rapprochés. (Nous supposerons, 
pour fixer les idées, deux cercles extérieurs l'un à l'autre.) 
Supposons mené un grand cercle coupant les cercles don- 
nés sous des angles égaux, et soient C , D,C, D' les 
quatre points de rencontre, C, D désignant les plus voi- 
sins. Les quatre points A,B, C, D sont sur un même 
cercle : on le démontre facilement en faisant voir que 
dans le quadrilatère ABCD, la somme de deux angles op- 
posés égale celle des deux autres. Soient E, H, E', H' les 
quatre points analogues aux précédents pour un autre 
grand cercle , les quatre points A , B , E , H sont de même 
sur un cercle, ainsi que les quatre points C, D, E, H 
(même démonstration). On a donc deux cercles qui se 
coupent deux à deux-, donc (n° 3) nos deux grands cercles 
et Taxe des pôles se coupent au même point. 

C. Q. F. D. 

Remarque. Il est aisé de voir qu'un grand cercle cou- 
pant les deux donnés sous des angles égaux peuvent cou- 
per l'axe des pôles entre les deux pôles ou sur le prolon- 
gement de cet arc; de Là la distinction des deux centres 
de similitude. Pour trouver géométriquement le premier 
centre de similitude, considérons d'abord deux cercles 
extérieurs l'un par rapport à l'autre; soient PP ; leurs 
pôles , RR' leurs distances polaires , A la distance de leurs 
pôles. De P comme pôle avec R-h a comme distance po- 
laire décrivons un cercle , et de P' comme pôle un second 
cercle avec R' -f- a pour distance polaire °, ces deux cercles 
se couperont, pourvu qu'on ail ia <^ A — (R -}- R') et 
9.a ^> az — ( A -f- R + R') , conditions auxquelles on 
peut toujours satisfaire. Joignons le point de rencontre 
à P et à P' par deux aies de grands cercles, ils couperont, 
nos deux cercles en deux points C et 1); joignant CD , 
li rencontre de cet arc avec l'axe des pôles sera, comme 



( 6i ) 
il est aisé de le voir, le centre de similitude directe. L'autre 
centre de similitude se trouve d'une manière analogue, 
quelle que soit la position des deux cercles. 

i4°. Problème. Etant donnés un point A et deux 
grands cercles, construire un cercle passant par le 
point A et tangent aux deux cercles donnés. 

Première solution. Si 1 on divise l'angle des cercles en 
deux parties égales et qu'on prenne par rapport à l'arc 
bissecteur le symétrique de A , on ramènera le problème 
à celui du n° 7. 

Deuxième solution. Soit C l'intersection des deux 
grands cercles, joiguons A avec C, et menons un cercle 
tangent quelconque aux deux côtés de l'angle C dans le- 
quel est A : le cercle tangent coupera l'arc AC en deux 
points F, G. Joignons chacun d'eux au pôle (P) du cercle 
langent , nous obtiendrons le triangle isocèle PFG. Main- 
tenant menons par le point A deux arcs de grands cercles 
formant avec AC deux angles égaux à l'angle à la base de 
ce triangle isocèle. Ces grands cercles détermineront sur 
l'arc bissecteur deux points qui seront les pôles de deux 
cercles satisfaisant à la question. Cette construction est 
une conséquence immédiate du théorème précédent. 

i5°. Mener par un point connu (A) un cercle tan- 
gent à deux jietits cercles donnés. 

Supposonsles cercles extérieurs; soient P,P'leurs pôles, 
C, D les points les plus voisins l'un de l'autre, où l'axe 
des pôles coupe les circonférences données; supposons le 
problème résolu dans le cas du contact extérieur, et soient 
X,l les deux points de contact. L'are XY ira évidemment 
passerparle centre de similitude directe. Soit Z ce centre ; 
je le joins à A par un arc qui coupe la circonférence de- 
mandée en un point O. Les quatre points C, D, X, Y sont 
sur un même cercle, ainsi que les quatre points X, Y, A, O. 
D'où il est facile de conclure quelcsquatrepointsC.D, A,0 



(6 2 ) 
sonl aussi sur un même cercle. Un connaît trois points 
de ce cercle, on peut donc le tracer, et, par suite, déter- 
miner le point O; nous rentrons ainsi dans le cas du 
n° 7. Ce qui donne deux solutions. Les autres cercles 
tangents se trouvent de la même manière, en employant 
le centre de similitude inverse. 

La même construction s'applique encore, si l'on rem- 
place un des petits cercles par un grand. 

Le problème de mener un cercle tangent à trois autres 
se ramène au précédent, comme dans la géométrie 
plane. 

On peut aussi le résoudre directement, comme sur un 
plan, en se fondant sur quelques propriétés des axes radi- 
caux et des centres de similitude que nous allons exposer. 

i°. Les sinus des distances du centre de similitude de 
deux cercles aux pôles de chacun d'eux sont comme les 
sinus des distances polaires. 

2 . Si par le centre de similitude on fait passer un 
grand cercle, les sinus des distances de chaque pôle «à ce 
grand cercle sont aussi comme les sinus des distances 
polaires. 

3°. Si le grand cercle coupe les deux cercles donnés, 
les tangentes des demi-cordes interceptées sont comme 
les tangentes des distances polaires. 

4°. Les tangentes des distances de chaque pôle au grand 
cercle sont comme les sinus des demi-cordes , et aussi 
comme les sinus des arcs compris depuis le centre de si- 
militude jusqu'au milieu de chaque corde. Si dans la 
dernière proportion entre ces quatre sinus on fait la 
somme des deux premiers termes et leur différence, on 
arrive au théorème suivant : 

Les tangentes des moitiés des quatre arcs compris entre 
Je centre de similitude et les quatre points d'intersection 
sont proportionnelles. 



( 63 ) 

5°. On sait que le produit des tangentes des demi-seg- 
ments relatifs à un des cercles est égal au carré de la tan- 
gente du demi-arc tangent mené parle centre de simili- 
tude. Si l'on combine cette relation avec le théorème 4 -> 
on arrive à cette conséquence : 

6°. Si par le centre de similitude de deux cercles on 
mène un cercle sécant , les tangentes des demi-segments 
homologues sur ce grand cercle sont comme les tangentes 
des demi-arcs tangents menés par le centre de similitude. 
Si le centre de similitude est dans l'intérieur des cercles, 
le théorème 6 a toujours lieu, en remplaçant lare tangent 
par la moitié de lare minimum passant par ce centre. 

7°. Si après avoir mené un grand cercle par le centre 
de similitude , on détermine son pôle relativement à cha- 
que cercle donné , ces deux pôles et le centre de similitude 
sont sur un grand cercle. 

8°. Etant donnés trois cercles sur une sphère , si Von 
détermine leurs centres de similitude directe et inverse en 
les prenant deux à deux , les trois centres de similitude 
directe seront sur un même grand cercle, qu'on nomme 
axe de similitude directe; deux centres de similitude in- 
verse et un des centres de similitude directe so?it aussi sur 
un même grand cercle , qu'on nomme axe de similitude 
inverse. 

Ce théorème se démontre comme sur un plan par la 
théorie des transversales. 

9°. Si par le pôle P d'un petit cercle on fait passer un 
arc de grand cercle , et qu'on prenne sur ce cercle à partir 
de P deux arcs PA, PB tels, qu'on ait 

tangPA X tangPB = tang-r, 

r, étant la distance polaire, ces deux points sont appelés 
points conjugués. Si par A ou B on mène un grand cercle 
perpendiculaire surPA, ce cercle s'appelle cercle polaire 



( ^4 ) 
du point B ou du point A, et, réciproquement , B se nomme 
[evôle du grand cercle mené par le point A. Les pro- 
priétés des pôles et polaires sont les mêmes que sur un 
plan, et se démontrent sans difficulté. 

10". A xe radical de deux cercles. Si l'on coupe deux 
cercles par un cercle arbitraire qui rencontre le premier 
en A et B , le deuxième en A' et B', qu'on fasse passer par 
A et B un arc de grand cercle , et un autre par A', B', ces 
deux cercles se couperont en un point O. Le lieu du 
point O est un grand cercle perpendiculaire à l'axe des 
pôlesdes deux cercles donnés 5 on le nomme axe radical de 
ces deux cercles. 

Démonstration . Soit M la projection de O sur Taxe 
des pôles P, P'; soient/ 1 , r' les distances polaires 5 nous 
avons j par un théorème connu , 



OA OB 

tang — X tang — 



tan: 



OA' OB' 

tans; 

2 L 2 



OP X r OP X r 
Mais le premier produit égale tang — X tang 



et le second égale tang 



OP' 



tang 



OP'- 



OP + r OP — /■ OP' + r' 

cot X cot = cot cot 

22 2 

delà, par une transformation très-simple, 

cosOP -+- cos/' cos OP' H- cos/ 



: donc 
OP'— r" 



et enfin . 



cosOP — cosr cosOP' — cos/-' 



cos OP 
cosOP' 



Mais cos OP=cosOM cos PMetcosOP'=cosOMcosFM; 

<!onc on a 

cos PM cos r 
cosP'M ~~ eus/'' 



65 ) 
d'où 

PM — P' i\I 

tan" tari" 



P + P' 

tant; 



Ce qui démontre que la position du point M est la même, 
quel que soit le cercle sécant. Donc le lieu demandé est un 
grand cercle perpendiculaire à l'axe des pôles. 
Si l'on calcule tang PM, on trouve 



pp' fr+r'\ 

ta ng' _ + tang ^ — — \ tang 

[i - tang ( r -±^) ,a "g(^)] * n 6 



PP' 

2 



résultat analogue à celui de la géométrie plane. 

Les trois axes radicaux de trois cercles combinés deux 
à deux se coupent en un point, qu'on nomme centre ra- 
dical des trois cercles. 

Remarque. Quand deux cercles sont tangents , le point 
de contact peut se trouver entre les deux pôles, ou sur le 
prolongement de l'arc qui les joint. Dans le premier cas, 
nous dirons qu'il y a contact de première espèce , et de se- 
conde dans l'autre cas. Cette convention nous servira 
pour énoncer en moins de mots les théorèmes suivants. 

1 1°. Etant donnés deux cercles!? ,P' ', si Von trace deux 
autres cercles Q, Q' ayant, avec chacun des premiers un 
contact de même espèce, le centre de similitude directe 
de PP' sera sur l'axe radical des cercles Q et Q', et réci- 
proquement. 

Si le cercle Q a un contact de première espèce avec P 
et P', et Q' un contact de deuxième espèce avec chacun 
des mêmes cercles, il faudra dans la deuxième partie de 
l'énoncé prendre le centre de similitude inverse. Si le 
cercle Q a avec P un contact de première espèce, et Q' 

Ann. de MalLcmat. , I. XIV. (FiViiei |855.) 5 



( 66 ) 
avec P' un contact de la deuxième, il faudra dans les deux 
parties de l'énoncé considérer le centre de similitude 
inverse. Ces théorèmes résultent immédiatement de la 
définition de l'axe radical. 

i2°. Étant donnés trois cercles!*, P', P' 7 , si l'on trace 
deux cercles Q,Q' , ayant avec chacun des premiers un con- 
tact de première espèce pour Q, de deuxième pour Q', le 
centre de similitude inverse de Q etQ' sera sur chacun 
des trois axes radicaux des cercles donnés pris deux à 
deux; il sera donc le centre radical de ces trois cercles; 
de plus, comme chaque centre de similitude directe des 
cercles P, P', P" appartiendra à l'axe radical des cercles 
Q, Q', ils' ensuit que l axe de similitude directe des cercles 
donnés sera F axe radical des mêmes cercles Q, Q'. 

Si le cercle Q avait avec P, P' un contact de première 
espèce, et de seconde avec P" ; si de plus Q' avait un con- 
tactde seconde espèce avec P, P', et de première avec P", il 
faudra prendre, au lieu de Taxe de similitude directe, un 
axe de similitude inverse. 

Étant donnés trois cercles P, P', P" sur une sphère, 
leur mener un cercle tangent. 

Supposons le problème résolu, et soient Q, O' deux cer- 
cles ayant avec les trois cercles donnés un contact de pre- 
mière espèce pourQ, de seconde pour Q'. Soient X", X',X 
les trois centres de similitude directe des cercles donnés et 
O leur centre radical. [Ce point sera le centre de similitude 
inverse des cercles cherchés. Nommons A, A' les points 
de contact sur le cercle P, l'arc A A' passera par le point O. 
Pour avoir un second point de AA', menons par les points 
A, A' deux arcs tangents au cercle P : soitZ leurpoint de 
rencontre 5 comme de ce point Z partent deux tangentes 
égales menées aux cercles Q, Q', ce point Z est sur Taxe 
radical des cercles Q, Q', c'est-à-dire sur l'arc XX' X". 
Donc l'arc A A' doit passer parle pôle de Tare XX" relati- 



( ^7 ) 
vement au cercle P. 11 suiiira donc de joindre ce pôle au 
point O par un arc de grand cercle , et l'intersection de 
cet arc avec le cercle P déterminera les points A, A'; 
les autres points de contact se trouvent de la même 
manière. 

Si Ion fait la même construction en remplaçant l'axe 
de similitude directe par chacun des trois axes de simili- 
tude inverse, on déterminera les cercles qui ont avec P et 
P' un contact de première espèce, et delà seconde avec P", 
ou réciproquement. La construction relative à chaque 
axe radical donnant deux cercles , on aura en général huit 
solutions. 

Beaucoup de problèmes peuvent se ramener à une 
question de contact. Nous nous bornerons à indiquer quel- 
ques exemples. 

i°. Étant donnés deux points sur une circonférence, 
trouver sur cette circonférence un troisième point tel, que 
le joignant aux deux points donnés par deux arcs de grand 
cercle, ces arcs fassent entre eux un angle donné. 

Par la considération du triangle polaire , on ramène le 
problème à construire un triangle connaissant le cercle 
inscrit, un angle et le côté opposé, et cette question revient 
elle-même à mener un grand cercle tangent à deux cercles 
donnés. 

2°. Construire un triangle sphérique, connaissant le 
cercle circonscrit, un côté et la surface. 

Ce problème se résout comme le précédent. 
3°. Construire un triangle sphérique, connaissant la 
base , la hauteur et la surface. 

Il peut aussi se ramener par le triangle polaire à me- 
ner un cercle tangent à deux cercles donnés. 

4°. Etant donnés les grands axes et les foyers de deux 
ellipses sphériques qui ont un foyer commun , trouver 
leurs points d'intersection. 

5. 



(GH ) 
Ce problème se ramène à tracer un cercle tangent à 
deux cercles et passant par un point donné. 

Nous terminerons cette Note par quelques énoncés de 
théorèmes et problèmes de Géométrie sphérique. 

i°. Étant donnés deux points A etB sur une circonfé- 
rence, si Ton prend un point quelconqueC sur l'arc AMB, 
qu'on mène les arcs CA , CB et qu'on les prolonge jusqu'à 
leur rencontre en C, le triangle AC'B aura une surface 
constante, et, par suite, le lieu du point C sera une cir- 
conférence de cercle (*). 

2°. Si par le point de contact de deux cercles tangents 
on fait passer un arc de grand cercle qui coupe les cercles 
donnés en A et B , et un second qui les coupe en A' et B', 
si l'on joint A à A' et B à B', qu'on prolonge les arcs A A', 
BB' jusqu'à leur rencontre aux points C et D, les deux 
triangles AA'C, BB'D seront équivalents. 

3°. Étant donné un arc de grand cercle AB, si à partir 
de son point milieu M on prend sur cet arc un quadrant 
MN, qu'on mène par Nun arc perpendiculaireNP sur AB, 
la somme des distances d'un point quelconque O de NP 
aux points A et B est constante et égale à tt, et les angles 
formés par OA et 0\) avec l'arc AB seront égaux. Si l'on 
diminue de plus en plus l'arc AB jusqu'à la limite zéro , 
on arrive au théorème suivant: Le lieu des intersections 
successives des cercles qui font avec une circonférence de 
grand cercle donnée des angles égaux, est une circonfé- 
rence de petit cercle ayant pour distance polaire le < om- 
plément de la mesure de l'angle donné. 

4°. Etant données deux circonférences qui se coupent 
aux points A et B, si par le point A on suppose mené un 
arc sécant MAN de longueur donnée, trouver la distance 



(*) Si l'ârc V.MB est une demi-circonférence . la surface constante sera 
équivalente à un grand cercle de la sphère. 



( e&) 

polaire d'un cercle qui passerait par les trois points MJNB. 

5°. Etant donné un triangle sphérique ABC, si Ton 
prolonge les trois côtés jusqu'à ce qu'ils se coupent aux 
points A', B', C, on aura formétrois triangles ABC, etc.; 
si à chacun d'eux on circonscrit un cercle, les tangentes 
des dislances polaires de ces trois cercles sont comme les 
tangentes des demi-côtés du triangle donné. 

6°. Dans un triangle sphérique rectangle, la tangente 
carrée de la moitié de l'hypoténuse est plus petite que la 
somme des carrés des tangentes des demi-côtés, et la diffé- 
rence est égale au produit des carrés des tangentes des trois 
demi-côtés. 

y . Transformer par une construction géométrique un 
parallélogramme sphérique en un carré sphérique équi- 
valent. 

8°. Etant donnés deux polygones réguliers sphériques 
d'un même nombre (n) de côtés , on propose de construire 
un polygone régulier du même nombre de côtés, équiva- 
lent à leur somme. 

Ce problème se résout aisément par la géométrie. Si on 
le traite par le calcul on trouve, en désignant par p, p', p" 
les distances polaires des trois cercles circonscrits aux 
polygones , 



tang 2 — = 



Si n = 4 5 on a 



tang 2 - 



• , P • , P* / • P ■ ?' ■ n 
.. sin 2 - + sur ' A sin 2 - sin 2 - sin 2 - 

O • r\ ' r, n »i 



^) 



p p . 

sin 2 - cos ' — f- cos- - sin 2 '- 



P + p' (c — p' 
cos — cos — 

\ 2 



Si n = 30 , on trouve 

p" P • p 

sin* — = sin- ' — h sin 2 '-> 
222 

résultat facile à vérifier. 

9 . Si Ton projette un point C d'une circonférence sur 
un arc AB passant au pôle, les carrés des sinus des demi- 
arcs AC et CB sont comme les sinus de leurs projections 
sur Tare diamétral. 

io°. Étant donnés un triangle sphérique ABC et un 
point O, si l'on joint ce point à un sommet A, qu'on mène 
sur l'arc OA et par le sommet A un arc perpendiculaire 
prolongé jusqu'à la rencontre de BC en un point X, si 
l'on opère de même pour les deux autres sommets , les 
trois points ainsi obtenus sont sur une circonférence de 
grand cercle. 

ii°. Etant donnés une courbe sur la sphère et un 
point O, si on le joint à un point A quelconque de la 
courbe, puis qu'on divise lare OA au point A' de manière 

à avoir - — ——. = a , la courbe, lieu du point A', aura la 
sin AA/ r 

propriété suivante: si par les points homologues A et A' 
on mène une tangente à chaque courbe , le point de ren- 
contre (X) des arcs tangents sera toujours à 90 degrés de 
distance du point A, ce qui donne une construction sim- 
ple pour mener une tangente 41a seconde courbe, si Ton 
sait mener une tangente à la première*, si la première 
courbe est une circonférence, le lieu du point X sera une 
autre circonférence ayant même pôle que la première. 
Si a = 1, le lieu du point A' sera une ellipse sphérique 
dont on peut trouver géométriquement le centre et les axes. 
12°. Si l'on projette deux points A, A' sur une circon- 
férence de grand cercle ('"«)• par les arcs AB, A' B\ si Ton 
prend sur ces arcs ou leurs prolongements deux points 



(7' ) 
C, C' tels, qu'on ait la proportion 

tang(AB) tang (A' B'; 



tang(CB) tang(C'B / )' 
si enfin on joint A à A', C à C, les arcs ainsi déterminés 
et l'arc mn auront un point commun, et réciproquement. 
Corollaire. Si Ion projette un point quelconque A 
dune courbe donnée sur une circonférence de grand cer- 
cle mn, si l'on détermine sur l'arc AB projetant un point 

G par la relation — ^—— = ce, le lieu du point C jouira de 
r tangCB r J 

la propriété suivante : les tangentes aux deux courbes me- 
nées par les points conjugués A et C iront couper l'arc nui 
au même point ; ce qui donne un moyen simple de mener 
une tangente à la seconde courbe par un point pris sur la 
courbe ou hors de la courbe, si l'on sait résoudre le pro- 
blème de contactpour la première. Si , par exemple, on com- 
pare l'ordonnée y d'une ellipse sphérique à l'ordonnée Y 
de son cercle principal , on démontre facilement qu'on a la 

, . tang y tang b , 1 , , , , 

relation — ^-— = — - — a et o étant les demi-axes de 
tang Y tang a v 

l'ellipse). Cette relation combinée avec le théorème (12) 
donne une construction simple de l'ellipse parpoints et un 
moyen de mener une tangente à l'ellipse par un point pris 
sur la courbe ou hors de la courbe. On peut appeler el- 
lipses semblables celles pour lesquelles on a la relation 

T = - — =-77« Si les axes homologues de deux ellipses 

tang b tang b' 01 

semblables sont sur une même circonférence, on pourra 
leur mener une tangente commune. Il suffira pour cela de 
1 racer une circonférence qui soit tangente commune aux 
deux cercles principaux. Soient A, A' les points de contact : 
si Ton détermine sur chaque ellipse les points correspon- 
dants A et A', ces points correspondants détermineront 
la circonférence tangente aux deux ellipses. 



( 7- ) 



CONCOURS D'AGREGATION AIX LYCÉES, ANNEE 1848; 

Par M. DIEU, 

Agrégé, docteur es sciences. 



Composition de Mécamque. 

Un cylindre droit à bases circulaires , rie matière hété- 
rogène , mais dont tous les points situés sur une même 
droite parallèle à Taxe ont la même densité , est posé 
sur un plan horizontal. Déterminer le mouvement au il 
prend sous l'action de la pesanteur, et en particulier le 
mouvement du centre de gravité , ainsi que celui d'un 
point quelconque du rayon qui passe par ce centre. On 
fera abstraction du frottement. 

I. Lorsqu'un cylindre droit quelconque, posé par une 
arête sur un plan horizontal sans frottement, de manière 
que son centre de gravité ne soit pas dans le plan vertical de 
l'arête de contact , est abandonné sans vitesse à l'action de 
la pesanteur, les arêtes ne doivent pas changer de direc- 
tion pendant le mouvement qu il prend , et 1 es bases doi ven t 
rester toujours dans les plans verticaux où elles se trouvent 
d'abord; caries forces qui donneraient à chaque instant 
à ce corps supposé libre le mouvement qu'il a dans son 
état réel , savoir : son poids et la résistance du plan d'ap- 
pui suivant l'arête de contact, sont des forces verticales 
qui ne peuvent conséquemment ni faire tourner autour 
d'un axe vertical , ni faire glisser dans la direction hori- 
zontale des arêtes. 

Quand le cylindre est formé de filets homogènes pa- 
rallèles aux arêtes, son mouvement ne dépend pas de sa 
hauteur, ou, en d'autres termes, un tronçon compris 
entre deux plans perpendiculaires aux arêtes, s'il était 



(73 ) 
détaché du reste, prendrait d'abord et aurait continuel- 
lement ensuite un mouvement identique à celui qu'il a 
dans son état réel. En effet, si le cylindre, au moment 
où on le pose sur le plan , était coupé en un nombre quel- 
conque de tronçons égaux par des plans perpendiculaires 
aux arêtes , et si ces tronçons étaient sans action les uns 
sur les autres , il est clair qu'ils prendraient tous le même 
mouvement; or la juxtaposition des parties ne saurait 
altérer ce mouvement commun , car elle ne peut produire 
ou amener aucun frottement, et il ne sera pas altéré da- 
vantage par la liaison complète qui reconstitue le cy- 
lindre. 

D'après cela , il suffit pour résoudre le problème pro- 
posé de considérer un tronçon détaché du cylindre par 
deux plans perpendiculaires aux arêtes; nous pourrons 
supposer ce tronçon infiniment mince et le regarder 
comme un cercle composé de points matériels inégalement 
pesants, puisque le cylindre dont il s'agit est de révolu- 
tion; enfin nous pourrons prendre la section circulaire 
contenant le centre de gravité G du cylindre, qui est équi- 
distante de ses bases, et dont le point G sera aussi le 
centre de gravité. 

II. Soient, à la fin du temps t écoulé depuis que le 
mouvement a commencé, 
C la position de centre du cercle qui louche alors en A 

le plan horizontal; 
M un des points matériels dont il se compose ; 
f la force variable , dirigée suivant AC, qui représente 

la résistance du plan : 
et , par rapport à Ja trace invariable du plan du cercle sur 
le plan horizontal et à un axe vertical, pris pour axes 
des x et des y d'origine O, soient 

x' l'abscisse des points A et C (l'ordonnée de C est 
toujours égale au rayon ) : 



( 74 ) 
x, , ji les coordonnées de G ; 

x, y celles de M. (Ces deux dernières varient avec le 
temps comme les précédentes, de plus avec la 
position de AI dans le cercle.) 
Nous désignerons en outre par a le rayon du cercle , 
par m sa masse et par u celle du point matériel M. 

En appliquant au cercle la force f, on peut le consi- 
dérer comme libre et l'on a les équations 
. , d'x 

d 7 y 

( 2 ) /— m S~ 2 -P-^7 = °' 

/ cPx rf»r\ 

(3) x'f— mg X l + I.. it l jr—.-j; — j=o, 

qui expriment l'équilibre des forces perdues, [g repré- 
sente la gravité et le signe 2 indique une somme qui s'é- 
tend à tous les points du cercle. ) 

On déduit immédiatement de l'équation (î) que x x = <x, 

a étant une constante , car — est nulle pour t = o. 

Donc le centre de gravité du cylindre ne quittera pas 
la verticale sur laquelle il se trouve d'abord , et ne pourra 
que s'élever ou s'abaisser sur cette droite. 

L'élimination décentre les équations (i) et (3) donne 

c/2 y I (^X d 2 r\ 

en remplaçant x x par a. 

Soient encore : 
r et 6 les coordonnées polaires du point quelconque M 
du cercle par rapport à Taxe vertical CA et au 
point C pris pour pôle (0 est positif en tour- 
nant autour de C dans le même sens que de O.r 
vers () y autour du point O) ; 



( 7^ ) 
i\ et Q x les coordonnées polaires du centre de gravité G. 

i\ est constant , r ne varie qu'avec la position de M 
dans le cercle, t qu'avec le temps, et 9 varie des deux 
manières. 

On a évidemment 

[ x' = a — r, sinô,, 
(5) l x = a. — r, sin9, -f- /"sin9, 

\ et y = a — rcosQ. 

Substituant ces valeurs de x', x ety dans l'équation (4), 

en ayant égard à ce que 

d* 9 d i 6 { 
1. u.r cos 9 = mr x cos 9, et —— = ——? 
r af tir 

ainsi qu'au mode de variation de r, et 6 t , et mettant 
?;j (A 3 -f- /•*) aulieudeS.y. /' 2 (moment d'inertie du cercle 
par rapport à son centre), il vient, toutes réductions faites, 

(6)(A î +rïsin ï e i )~ I +rîsinO I .cose 1 .f^j 

Cette équation est susceptible d'abaissement, car elle 
ne contient pas t d'une manière implicite; pour arriver 
tout de suite à une équation linéaire du premier ordre , il 
suffit de poser 

ï = <«>♦• 

d'où 

d 2 9, _ rfÇ 
~dF ~ d9 t ' 

En substituant dans l'équation (6) , on trouve 
- , rfÇ 2r, sin9,cos9, sr.sinO, 



+ ffr,sin9 l = o. 



d9, A 1 +r] sin^Qt A i + r]sin 1 9 l 

L intégrale de cette équation s'obtient par un calcul 



connu : c est 



C, + gr t cos 9, 
Ht, -f- r 7 sin-9, 



(76) 

et, en déterminant 1 arbitraire Ci de manière à ce que, 

d 
pour t = o, 0, = O el — - = o (0 O est la valeur initiale 

donnée de0j), on arrive à 



, . d9 t , /cos0, — cos& 

^ 8) A^^V * + *?**'«. ' 

La forme de cette équation montre l'impossibilité 
d'exprimer t en fonction de t autrement que par une sé- 
rie ou une intégrale définie, et d'avoir 0, en fonction de t\ 
mais cela ne serait nécessaire que pour assigner à cbaque 
instant la position du cylindre , et, comme on va le voir, 
la discussion de quelques-unes des équations précédentes, 
ainsi que de 

(9) yi = a — r, cosG, , 

achève de faire connaître toutes les circonstances du 
mouvement. 

III. Il faut remarquer d'abord que si X ne restait pas 

dû 
entre O et — O , l'expression (8) de -— - deviendrait ima- 
ginaire, ce qui ne doit pas arriver 5 qu'ainsi, en suppo- 
sant Tr^>0 o ^>o , on doit prendre premièrement le signe — 
devant le radical, dans le second membre de l'équation (8), 
afin que J0 t soit négative jusqu'à ce qu'on ait 9 1 = — O , 
puis le signe H-, afin que dQ x soit positive jusqu'à ce 
qu'on soit revenu à 0j = 0, et ainsi de suite alternative- 
ment. Cela posé : 

i°. D'après l'équation (8) , la vitesse angulaire relative 
du cercle autour de son centre C , représenté par le se- 
cond membre de cette équation , est maxima (abstraction 

laite du signe) et égale a 2 1 -y- • sin - pour 0j = o, mi- 
nîtna et nulle pour 0, = ± o . el cette \ iio^ rst la mêmi 



( 77 ) 
sauf le sens, pour des valeurs de 0, équidifférentes de 
zéro. Donc 

Abstraction faite du mouvement rie l'axe du cylindre, 
ce corps oscille autour de celte droite entre deux posi- 
tions symétriques par rapport au plan vertical qui la 
contient ; les oscillations sont isochrones et se composent 
chacune de deux parties égales. 

L'ampli tnde de ces oscillations est i9 , et leur durée T 
sera donnée par la formule 



X'^V 



,'cosO — cosl 

T = 2 



A 3 -+- r\ sin 2 i 



2°. La plus petite et la plus grande valeur de x' que 
donne la première des équations (5) sont a — i\ sin 9 Q et 
a -h /*! sin O qui répondent à 0, = ± O , et cette équa- 
tion fournit des valeurs de x' équidifférentes de a pour 
celles deôj qui sont équidifférentes de zéro. En outre, on 
déduit de la même équation et de l'équation (8) 



dx' . I „ /co 

— = ±r t v/2gr 1 .cos0 1 .i / /- 



cos 9, — cosi 



r] sin 2 G, 

ce qui montre que la -vitesse du centre C sur la droite 

y = a est toujours égale à la vitesse angulaire relative 

autour de ce centre, multipliée par la projection de CG 

. dx' 
sur la verticale Oy\ ainsi — est nulle pour 6 t = zfc 9 n , 

atteint (abstraction faite du signe) son maxima 

s/Jr, . e„ 

■>.r -2— • sin- 
/• 2 

pour 6 i = o, et prend des valeurs absolues égales pour 
des valeurs de 0j équidifférentes de zéro. Donc 

L'axe du cylindre oscille parallèlement à sa première 
position (I), dans le plan horizontal oit il doit toujours 



( 78) 
rester entre cette position et une autre située à la dis- 
tance ai^sinGo de celles-là; ces oscillations coïncident 
avec les précédentes , ont même durée et sont aussi for- 
mées de deux parties égales. 

3°. D'après l'équation (9), les valeurs extrêmes de 7, 
sont a. — Tj cos O et a — i\ qui répondent à t = ± O 
et 9 t = o , et ji prend des valeurs égales pour des valeurs 
de 0j équidifférentes de zéro. De plus, cette équation et 
l'équation (8) donnent 



dy, 1 . /cosô, — cos0 o 

-J7 — ^F r ' V 2 S r i - sin e ' " V/ 77-; — 2 • ,/> ' 

d'où il suit que -^ est nulle pour t = ± O et t = o , 

nécessairement maxima (abstraction faite du signe) pour 
de certaines valeurs de B x entre o et zh O , et prend des 
valeurs qui diffèrent seulement par le signe pour des va- 
leurs de t équidifférentes de zéro entre lesquelles on n'a 
qu'une fois 8 i = o. Donc 

Le centre de gravité G oscille sur la verticale de sa 
position primitive [x 1 = a, II], en descendant d'abord 
de i\ (1 — cos0 o ), puis remontant de la même quantité; 
et ces oscillations coïncident encore avec celles qui se 
font autour de Taxe du cylindre. 

4°. Pour un point M' du rayon qui passe par le centre 
de gravité G, à la distance r' du point C, les deux der- 
nières des équations (5) donnent 
(10) x — a = (/ — r,)sin9,, y — a = / cosQ,. 
En éliminant 0j entre ces équations, il vient 

qui représente une ellipse si H \^ - j un cercle si /•' = -' : 
le centre est toujours le point (a, a) situé sur la verticale 



(79) 
où se meut le centre de gravité G : si r' ^> - > le grand axe 



de l'ellipse est parallèle a O/, et si r' <£ -j il est paral- 
lèle à Ox. 

v désignant la vitesse absolue de M' à la fin du temps /, 
on déduit des équations (8) et (10) 



v— i/igr, [r' 2 — t\ (2r' — r.Jcos'O,] 



cos9. — cos i 



A- 2 + r\ sin 2 0, ' 

ainsi cette vitesse, nulle pour t = ± 9 , prend la même 
valeur pour deux valeurs de 9 t équidifférentes de zéro, et 



atteint son maxima ± i (r' — r\) — r-!« sin — pour ^^o. 

Donc 

Le point M' oscille sur un arc d'ellipse ou de cercle, 
formé de deux parties symétriques par rapport à la 
verticale du centre de gravité, et ces oscillations iso- 
chrones, de durée T , coïncident avec les autres. 

Il ne reste plus à chercher que la pression exercée par 
le cylindre sur le plan horizontal. Soient, 
p cette pression à la fin du temps f, 
P le poids du cylindre. 

On a (I) 

,«-?-./. 

mg 

et, en remplaçant /"par sa valeur en fonction de 6 t tirée 
des équations (2, 5, 7, 8), 

— pjp I" l 2r 2 cosQ,.(cosQ, — cos9 ) -j 

I- \_k* + r\ sin 2 9, ( # -+- r] sin 2 G, )' J" 

On voit p augmenter de 

tandis que 9 1 varie de ± O à zéro , et prend la même valeur 
pour deux valeurs de y équidifférentes de zéro. 



(8o ) 
Notes. 

I. On pont arriver aux équations (i) et {l\ ), sans appliquer la force /au 
cercle afin de le considérer ensuite comme libre. Les composantes des 
forces perdues sont seulement ainsi 

pour l'élément ( x, y) de masse p : et on doit avoir 

-•4^' ; *" + ~(* + ^) o> ] = ° : 

S x, Sy étant liées par la condition que le cercle touche toujours le plan 
horizontal. Or i° pour un déplacement virtuel horizontal, ox^const , 
3y = o, ce qui fournit l'équation (1); 2 pour un déplacement virtuel 
dans lequel le cercle tournerait de l'angle infiniment petit ta autour de son 

centre C, 

o x — ' a — y) 0), oy = (x — x' ) o> , 

ce qui fournit l'équation ( [\ ) en ayant égard à l'équation (i). 

i II. Si le plan est incliné au lieu d'être horizontal, en y posant le cy- 
lindre de manière que ses arêtes soient horizontales , ce qui a été dit dans 
l'article I subsiste, pourvu que l'on considère un cylindre formé de filets 
homogènes aussi bien dans la première partie du raisonnement que dans 
la seconde. 

À désignant l'angle d'inclinaison du plan, et l'axe des a: étant une ligne 
de pente dirigée de haut en bas, on a, au lieu des équations (i), (a) et (3), 

d'x 
mgsin;. — Z.y. — •= o, 

d'y 

J — mg cos ). — 2 . ii. —t-j = o , 

/ d"x d'-y\ 

x 1 /— wgC-r.cos;. -t-r, sin;.) +2./* \y -^r - x — J =o. 

Le mouvement du centre de gravité parallèlement au plan est unifor- 
mément accéléré et déterminé par 

x t = « -1 — gt* sin ). . 

Les équations (G) et( 8) sont remplacées pardes équations qui diffèrent 
seulement de celles-là en ce que g cos X s'y trouve au lieu de g; par consé- 
quent, la partie de la discussion contenue dans l'article III (i°)sur le 
mouvement angulaire du cylindre autour de son axe subsiste , à cela près 
que la durée (les oscillations est réduite à T ycos/. 

>■' est donnée par l'équation 

x' = a. H — £ï 2 siii / — ; , sin t . 



1 8i ) 

ainsi cette abscisse du point C croîtra indéfiniment, et 1 axe du cylindre 
n'oscille pas de la manière indiquée dans l'article III ( 2° ). Cependant x' 
peut décroître au commencement, lorsque 0, passe de — O à 0„, car on a 

dx' . dO. 

-=■ := gt sin X — r, cos 0. — — ) 
dt h ' ' dl 

de 
et/-, cos0, •— r-i (qui est positif avec dd^ peut surpasser gt sin A; cela ne 

se présentera plus etx' sera constamment croissante, après que t aura at- 

2 /-. ./r.cos). . a . . . , r. CO3 0. dO, _ . 

teint — • \/ — sin— qui est le maximum de — : -•-—' Quand 

k sin / v « 2 g sin / de 

x' décroit, le cylindre remonte le plan incliné. 

L'équation (9) n'est pas modifiée, et, par conséquent, le centre de gra- 
vité G a, sur la droite mobile représentée par l'équation (11), le mouve- 
ment décrit dans l'article III (3°) ; la durée des oscillations est encore 
réduite à TyVos /• 

Enfin, un point M' du rayon CG ne se meut plus sur une ellipse fixe 
(III, 4°); mais sur une ellipse qui glisse parallèlement à Ox dans le 
plan xOy, sans changer de forme ni de grandeur, et dont le centre suit 
le point d'intersection des droites représentées par les équations 

1 , . 

x = a H gt- sin / , y = a. 



MÉTHODE POUR DÉTERMINER 
LES RACINES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS; 

Par M. BRIOSCHI, 
Professeur à l'Université de Pavie. 

Soient 

/(x) — a a x" -f- a,x"-' -+-. . . -f- «„_, x -f- <i n =0, 



(0 . 

[ 7 (x)= b x"' + '^.r""-' +.. /+ 6_,x+ b m = o, 

les deux équations; x l ,x i ,... x n les racines de la pre- 
mière supposées inégales, et 

(2) V = y(x t )<?(x 2 ). . . ?(*„). 

Supposons que les équations (1) aient r (et seulement /• 
racines communes, on a la proposition suivante : 
Ann. de Malhémat., t. XIV. (Mars i855.) 6 



( 8*) 
Théorème. Les r racines communes aux deux équa- 
tions (i) sont les racines de V équation suivante , 

d r V d r Y , r(r—i) r/'V 

x t r — x r ~' -\ •* — • • • 

dbln db r ~'db m _, 2 db r -*dbl l _ l 

d r V , , d r \ 

-(-0^ „ „ r -, * + (-')' 



0(/ c?e /a suivante , 

d r V d r \ 

— 7 • x-r — r — 7Z. x + • • 

da n da n ' da„_ y 



-(■-i^i 



^/ r v . f/ r V 



da n da r n ~, da n - t 

En effet, de l'équation (2) on déduit 

— - = x r > V, + <« V 2 -h . . . + <» V„ , 
db s 

s, j 2 

db s db s db s ~\ + x '\{ x ^ x ^ +x '\ x '^ j 

et ainsi de suite. On a posé 

V „ V, 

©(.*,) «p(.r 2 J 



V,, 2)3 = / '" ■■ ; • • • /"i = m — s { , r 2 =m —s 7 , 



V, 

Si les équations (1) ont une seule racine commune, par 
exemple Xi , la première des équations (3) donne 






et, par conséquent, 



rfV rfV 



■.r, 



résultat déjà obtenu par M. Richelot. 



( «3 ) 
Si les équations (1) ont deux seules racines x t , x f _ com- 
munes, la seconde des équations (3) donne 

r/ ' V f r r r r\„ 

= (x, 1 xs-\- x*arj) V, ,, 



db,db s 

de laquelle 

— = 2V,,.., — — = (ar, -t-x, V,, 2 , 

dfo* db m db m _, 

d'V 

; — 2.<T| .2"j Y 12, 

et les x x , JCj seront les racines de l'équation 

d'Y d 2 V d 2 V 

db m db m dù m _ l dbn-* 

De même , si les équations (i) ont trois seules racines 
communes x^ , x z , X 3 , de la troisième équation ( 3 ) , on a 

= OV,,, f3 , ; = 2(X, -h Xj 4-X-) V|,2,3» 

rfè„, dbmdbm-t 

d 3 V , rf 3 V 

= 2 (j7,x,-|-x 1 vC3+x J .r : j)V, )2# 3 , — 3 — = >r,x 2 x :) V,,2,3, 



dbdb^ n _ I db, n -i 

et en conséquence les trois racines communes seront les 
racines de l'équation 

d'V , d'V _ </ 3 V </ 3 V 

ï- x 3 — 3 — — .r 5 -(- O X g — = o . 

r/£,„ db] n db m ^ db m dèm-i db„,_ t 

Le théorème se trouve ainsi démontré par analogie (*). 

(*) M. Brioschi a trouvé depuis une démonstration rigoureuse. 



(84) 
SOLUTION DE LA QIESTION 256 

(TOir t. X, p. 256); 

Par M. COMBESCURE, 

Professeur. 



Soit un quadrilatère ABCD circonscrit à un cercle; 
on décrit un second cercle touchant le coté AB en B et 
le côté CD, puis un troisième cercle touchant le côté AD 
en D et le côté BC. La droite qui va du point A au centre 
du second cercle fait avec le côté AB un angle égal a 
l'angle que fait la droite qui va de A au centre du troi- 
sième cercle avec le côté AD. (Qiidde.) 

Soient Ole centre du cercle inscrit au quadrilatère ou le 
point de concours des bissectrices des angles A , E, F, B ( * ) ; 
I, l' les centres des deux cercles obtenus par l'intersec- 
tion des bissectrices EO , FO avec les perpendiculaires BI , 
DF aux côtés AB, AD. En désignant par A, B, C, D les 
angles du quadrilatère , le triangle BOE donne 

angle BOE = -B — -E = -B — -(180 — A + d) 
2 2 2 2 x 

_ A +B -+-D — 180 _ o C 

2 ^2 

On aurait semblablement 

Q 

angle DOF = 90 

Les triangles BOI , DOF donneront dès lors 



C 

BO.cos- 

BI- 


G 

BO.cos- 
2 


BO.cos- 
2 


sinBIO 

C 
DO . cos - 

DI' 2 


E 

cos- 

2 

DO . cos - 

2 


. A-+-D' 

sin 

2 


sinDI'O 


. A-f-D 

sin 

2 





(*) E est l'inlersection de AB. CD, el F l'intersection de RC \T> 



Mais 



doue 



( 85 



A . A 

AB.sin- AD.sm - 

sin sin 



. A C 

sin - cos — 

BI 2 2 DI' 



AB . A-t-B . A-+-D AD 
sin sin 

2 2 

Les triangles rectangles IBA , l'DA sont donc semblables, 
et, partant, les lignes AI, AI' sont également inclinées 
respectivement sur les côtés AB, AD. c. q. f. d. 



SOLITION DE LA QUESTION 276 

(voir t. XII. p. 259 ; 

Par M. l'Abbé PEPIN. 



Trois points A , B , C étant liés de manière à conserver 
toujours les mêmes angles, si trois forces appliquées à 
ces points sont en équilibre, il faut , outre les conditions 
ordinaires , que les trois points et le point de rencontre 
des trois forces soient sur une même circonférence. 

(Môbitjs.) 

Notations. x,y;x',y'; x" ,y", coordonnées rectan- 
gulaires des points A, B, C; 

P, P', V", forces appliquées respectivement aux points 
A,B,C; 

a, h , c, angles des directions de ces forces avec l'axe 
des x 5 

0, angle de la direction AB avec l'axe des x\ 

a, (3, angles constants formés par les directions AC, BC 
avec la direction AB. 



( 86 ) 
Les équations qui expriment les liaisons du système 



sont 

x 

y"— y' 



tango, ^ — = tang(9 -+- a), 

X X 

;•= tang(0 + p). 



En posant 

tang a = m , tang fi = n , 

on en déduira 

y' = y H-(*'— *) tangO, 

«(w -t- tangfl) , , 

i J w — « 

„ /« ( i — « tang 6 ) , « ( i — m tang Ô ) 



En différentiant ces équations, on obtient 

S y' = oy -\ — (x' — x) ■+- tang G (Sx' — Sx), 

î ,/ s "M ( , x 

7 * (« — n)cos 2 6 v ; 

, s n (m ■+■ tangQ) ... . , 

m — n 

. „ inn . SB , , , rn ( i — n) tang ô . 

**"== - (x'— x) -+- — i >- 2_ fo 

(/« « ) COS 2 9 /M — « 

«(i — w tangfl) ^, 
m — n 

Si dans l'équation 

2, ( P tos û o* -f- P sin « (îj- ) = o , 

que fournit le principe des vitesses virtuelles, nous sub- 
stituons les valeurs précédentes des variations ày\ dx", 
âj", en égalant ensuite à zéro les coefficients des varia- 
tions arbitraires dx, ") y. à'x , 30, nous obtiendrons lc^ 



quatre équations suivantes, pour exprimer les conditions 
d'équilibre : 

P cos a — P' sin b . tant; S + P" cos e • — ^ —5— ' 



■o 



m — n 



P " sin c — i — 2-j '. — o , 



(4) 



P sin a -+- P'sin b -+■ P"sinc — o, 
P' cos b -h P' sin b tanjr — P" cos c 



tangO) 



m — n 



_„ . m (i — « tan" 0) 

P sine— i 5_' — o, 



, . , „ ( cos c.mn — sinc.rc) 
P'sin b ■+■ P" v ' 



La direction de l'axe des x étant arbitraire, nous ferons 
6 = o. De plus , nous remplacerons la première de ces 
équations par la somme obtenue en l'ajoutant à la troi- 
sième. Ces équations seront ainsi remplacées par le sys- 
tème suivant: 

P cosrt -f- P'cos6 -+- P"cosc — o, 

P sin a + P' sin b -+■ P sin c = o , 

„ (cosc -f- sinr.w) n 
(4) <P'cos6 = P"- v — !—> 



\ 



, . , ,. (sine — cosr.w)« 
P' sin b — P • 



Il y a cinq inconnues , les rapports des forces et les 
angles a, b, c; on peut donc satisfaire d'une infinité de 
manières à ces quatre équations. Les deux premières ex- 
priment que la somme des projections des forces sur 
une direction quelconque est nulle. On pourrait aussi 
mettre en évidence l'équation des moments , qui exprime 
que les trois forces passent par un même point. 

Divisons la quatrième équation par la troisième, nous 



( 88 ) 
aurons 

sin y. 
sin c — cos c " 

cos y. . 

tarie b = . — = tang (c — a). 

sin a 
cosc -f- sine 

cos y 

En donnant aux forces P', P" un signe convenable, nous 
pouvons admettre que Jes angles b et (c — a) sont com- 
pris entre o et tt. Alors l'équation que nous venons d'ob- 
tenir équivaut à la suivante: 

(5) b=(c — a). 

Or on voit aisément que les angles b et c — a sont me- 
surés par la moitié d'un même arc AD, quand le point 
d'intersection des forces D est situé sur la circonférence 
du cercle circonscrit et qu'ils ont des mesures inégales , 
quand cette condition n'est pas remplie. Ainsi la con- 
dition nécessaire et suffisante pour que l'équation (5) soit 
vérifiée , est que le point d'intersection des forces soit si- 
tué sur la circonférence du cercle circonscrit au triangle. 



AUTRE SOLUTION M LA QUESTION 276; 

Par M. BELLAVITIS, 
Professeur à l'Université de Padouo. 



Pour l'équilibre , il faut que pour chaque mouvement 
infiniment petit la somme des moments virtuels des forces 
soit nulle. En supposant que le point C reste immobile, 
les deux points A et B peuvent, ou tourner autour du 
point C, ou se mouvoir le long des droites CA , Ci), et 
dans chaque cas leurs vitesses seront proportionnelles 
aux côtés CA , Clï; il faut, par conséquent, que les 
deux forces appliquées aux points A et 13 soient égalera 



( 8 9 ) 
inclinées sur les droites CA , CB. Donc le point de con- 
cours de ces forces est sur la circonférence CAB. 

De plus, les forces devront être inversement propor- 
tionnelles aux côtés CA, CB, c'est-à-dire elles seront 
proportionnelles aux sinus des angles A , B du triangle 
ABC; il en résulte que la troisième force, qui fait équi- 
libre avec les deux précédentes, doit passer par le point C . 
puisque chacune des trois forces en équilibre est propor- 
tionnelle au sinus de l'angle compris entre les deux au- 
tres, et les angles formés autour du point de rencontre 
des forces ont les sinus égaux à ceux des angles du tri- 
angle ABC. Ainsi l'équilibre subsistera encore, si l'on 
suppose que le point C soit mobile sous la condition 
proposée et qu'un des points A, B soit fixe. 

SOLUTION DE LA QIESTION 280 

'voir t. XII, : 

Par M. Fortunato PADULA , 
Professeur à Naples. 



Une courbe du troisième ordre étant composée d une 
branche infinie et d'un ovale, si Ion prend sur la 
branche infinie trois points en ligne droite, et que par 
chacun de ces points on mène deux tangentes à l'ovale . 
les trois cordes de contact passent par un même point. 

(Chasles.) 

Lorsque la branche infinie devient une droite, l'ovale 
se change eu conique et Ion revient au théorème de La 
Hire. 

La propriété dont il s'agit dans celte question étant 
projective, nous nous bornerons à la démontrer pour la 
courbe donnée par l'équation 
(i) my l = x{x + a)(x + b), 

où Fou supposera les quantités m . a . 1> positives et a<^b. 



(9«) 
Cette courbe est composée d'un ovale dont les points 
de Taxe des x qui ont pour abscisses respectives x = — a, 
x= — b sont deux sommets, et d'une autre branche qui 
a deux points d'inflexion à distance finie et s'étend à l'in- 
fini au-dessus et au-dessous de l'axe des x vers le troisième 
point d inflexion. 

Nommons x', y' les coordonnées d'un point quelconque 
de la courbe et x, y celles du point de contact d'une des 
tangentes menées à la courbe par le point x', y' \ on aura 
l'équation 

2 myy' == [3 x 1 -f- 2 ( a -+- b ) x + ab ] x' — x z -+- abx 

= 2 [x + a)(x H- b) x' -f- [x 2 — ab) {x' — x): 

mais l'équation (i) donne 

my'-z=x' [x' -ha){x' -f- b); 

donc on obtiendra 

/±xx' (x + a) {x H- b) (x' -f- a) (x' -f- b) 
- [2 {x -+-a) (x -+- b) x' -h (.r 2 — oZ>) (je' — #)] 2 . 
En réunissant tous les termes multipliés par 
^x' [x H- a ) [x -+- b) y 

telle équation est divisible par (x' — x) 2 , comme cela 
doit être, etl'on obtient l'équation du quatrièmedegré en x 
(4) (r 2 — ab) 2 = ^x' (x-ha){x + b)x. 

Lorsque l'abscisse x' est négative , les racines de cette 
équation sont toutes imaginaires, et réelles lorsqu'elle est 
positive : dans ce cas , l'équation (4) a deux racines posi- 
tives et deux négatives. Donc , par un point quelconque 
pris sur la branche infinie, on peut mener à la courbe 
quatre tangentes dont deux touchent la même branche et 
les deux autres l'ovale. Il est évident que l'on ne considère 
pas les deux tangentes réunies dans la même droite qui 
touche la courbe au point [x , y ) et qui sont données par 
les deux racines égales x = x' de l'équation (3). L'équa- 



(3) 



(9* ) 
tion (4) peut se décomposer dans les deux équations de 
second degré 

(5) x- ■+■ 2 [sj(x' ■+■ a) (y+ b) — x'] x -\-ab = o, 

(6) x 2 — 2 [ v/'(jf' -+- «) (.r' -f- 6) -+-x'] x + ab = o, 

dont la première, ayant les racines négatives, donne les 
abscisses des points de contact sur l'ovale, et la seconde a 
les racines positives et donne les abscisses des deux autres 
points. On voit cependant que, quelque soit le pointu!, y' , 
le rectangle des abscisses des points de contact sur V ovale 
est constant et égal au rectangle des abscisses des deux 
autres points de contact sur la branche infinie. 

Les équations (5) , (6) donnent les valeurs des ab- 
scisses des points de contact. Quant à la valeur de y cor- 
respondante à chaque valeur de x , on pourrait la déduire 
de l'équation (i) qui , ayant égard à l'équation (4), donne 

x 2 — oh 

(7) jr = ±— =_• 

2 ymx 

mais il resterait à déterminer lequel des signes -h ou — 
on doit prendre pour chaque valeur de x. Et, par con- 
séquent, il vaut mieux prendre la valeur de y de l'équa- 
tion (2), et, ayant toujours égard à l'équation (4), on 
aura 

(x- — ab) 2 , x i — ab 

imyr =- — h (x- — ab)(x — xj = [ixx — x 2 — au): 

JJ ix K /v ix K ' 

mais les équations (5), (6) donnent 

2 xx' — x 7 — ab 



IX 

donc on aura 



= ±\J(x' -ha) (x f H- b 



(S) y — zb ^' - "'^ ^ X ' + a ^ x ' + b 



où l'on doit prendre le signe supérieur pour les points de 
contact sur l'ovale et je signe inférieur pour les deux 
autres. La valeur (8) dey, en y substituant pour y' sa 



( .92 ) 
valeur, se réduit à la valeur (7), et 1 on voit que , lorsqu'il 
s'agit des points de contact sur l'ovale, on doit prendre 
dans l'équation (7) le signe supérieur ou inféiieur selon 
que la valeur y' est positive ou négative : le contraire a 
lieu pour les deux autres points de contact. L'équation (7), 
avant égard à un seul signe, représente une parabole qui 
passe toujours par les points de Taxe des x qui ont pour 
abscisses dr s/ab. Donc 

Si, par un point quelconque de la branche infinie, on 
mène les quatre tangentes à la courbe, les deux points 
de contact sur l ovale et les symétriques des deux autres 
points de contact sont sur une parabole du second 
degré qui a pour axe la tangente au sommet de la 
branche infinie et qui passe toujours par deux mêmes 
points de l'axe de la courbe. 

L'équation (8) donne immédiatement les équations des 
deux cordes de contact pour l'ovale et pour la branche 
infinie. En effet, substituant pour x~ sa valeur tirée des 
équations (5) (6), on obtiendra 



\J(x -f- a) {x' -h b) 17 ,— ; a ,1 






\ x' -\-a x? + b ) r ,—. rj-j n A . 1 

y = ~~^J' ; [{ S l{x' + a){x' + b)+x')x- ab\, 

ou bien 

(o) v \ mx' -h ( J_ —x' \ x -+- ab = o , 

K ^' \ \ mx' J 

■ 1 / ; ( mY ' \ 

\\o) jr\mx -+■- ( -— = + x ' \ x — ab=o, 

\ \ mx J 

qui expriment deux droites, dont la première est la corde 
des deux contacts sur l'ovale, et la seconde des deux points 
sur la branche infinie : dan-* ces équations on doit prendre 
\ ni.r avec le même signe de y', comme il résulte 1 
qu'on 9 dit ' -dire qu< >i 1 01 donn< • 



(9M 

est négative, on doit changer les signes de x' et de ab dans 

les équations (9) et (10). 

Cela posé , soit 

y — ax + p, 

l'équation d'une droite qui coupe la branche infinie en 
trois points (x', y') , (x",y")\ (x'", y"') ; les abscisses 
x', x'' r , x'" seront les racines de l'équation 

m (a.x -f- py = x [x ■+- a) [x +■ b), 



d'où 



lx' x" x" 



et, par conséquent, l'équation (9) donnera, pour les trois 
cordes de contact correspondantes sur l'ovale aux points 

/ y s] mx' H- (a \] mx' -+- \]x" x'" — x' ) x -f- ab = o, 
(11) < y \jmx" -+- (a \'mx" -+- \j x' x'" — x") x -f- ab = o, 
[ y y'm/' + (a \J mx'" + sjx' x" — x'") x + ab = o , 
et puisque le déterminant 

ab a \Jmx' -f- sjx" x" — x' sjmx' 
ab a.sjmx" -f- y/ or' x'" — x" sjmx" 
ab a sjmx'" -+- \]x' x" — x'" sjnîx 1 " 
1 \jx" x'" — x' \Jx' 



= ab \] 1 



fi 



= ab sjmx' x" x" 



! <jx' x " _ x '" ^x 






— absji 



1 X' \t.v' 

I x" sjx~" 
1 x'" sjx 17 ' 



(94 ) 
il s'ensuit que les trois droites exprimées par les équa- 
tions (n) passent par un même point (*). 

Note. La propriété est projeclive-, par conséquent, elle 
existe pour une courbe du troisième degré à deux bran- 
ches séparées, pourvu que l'une d'elles ne puisse être 
coupée par une droite qu'en deux points. Tm. 

THÉORÈME SUR LA SOMME DES PUISSANCES SEMBLABLES 
DES RACINES (BRIOSCHI); 

Par M. FAURE. 



Je viens de trouver une démonstration du théorème de 
M. Brioschi [Nouvelles Annales, tome XIII, page 352), 
relativement aux sommes des puissances semblables des 
racines d'une équation. Elle est un cas particulier d'un 
théorème beaucoup plus général , lequel donne une théo- 
rie complète des fonctions symétriques. 

(*) Il n'est pas inutile d'observer que, la courbe étant symétrique paT 
rapport à l'axe des x , on peut supposer sans restreindre la généralité de 
la démonstration que la quantité fi soit positive; alors les équations (i i) 
se rapportent au cas des ordonnées y', y", y"' positives; mais sijr' est po- 
sitive et les deux autres y", y'" sont négatives, au lieu des équations (u), 
on aura 

y \Jmx' -h (a \mx' -+- y x" x'" — x' ) x ■+- a b = o , 

y s/mx" -+- ( « \Jmx" -t- \jx' x'" -t- x" ) x — a b = o , 
y \Jmx'" -+- (a \/mx"' -+- \Jx' x" -+- x'") x — ab = o; 

et l'on continuera la démonstration de la même manière. 
En nommant i,,/,, ^s./j, x 3 jy 3 , ^j^les coordonnées des quatre 

points de contact correspondants au point x',y', on déduit des équations (5) 

et (6), 

(9) ^ + J ' ! + r 3+ JC < = 4*'i 

(10) y t +r a -hr 3 +y t = 8.r'. 

Donc le point x', — iy' est le centre des moyennes distances des quatre 
points de contact, et le point x', — y' est le centre des moyennes distances 
des points de contact de toutes les six tangentes qui passent par le point 
x',y'. 



(95 ) 
Si l'on divise le polynôme 

n (x) = a r"> + a,x m ~' -+- a^x m - i -J r . . a r x m ~ r . . 

par le polynôme 

F (x) = a x" -+- a, x" -1 -+- a 2 .r'" -2 -f- . . . , 

et que Ion représente le quotient par 

A x™-" H- A, ■r"—"-' -h A 2 «"-*- 1 -f . . . + A r x m - n ~ r -\- . . . , 

on trouve aisément qu'un terme quelconque de quotient 
tel que A r a pour valeur 



A r == 



a„ O 

a, a„ 

SC 2 «I 

a-, a-. 



o o . . . . a a 

o o o , 

a o <7 2 

a, a . . - . « 3 



: r a r _, a r _ 5 a r _ 3 . , . «,. 

C'est ce principe bien simple qui développé mène à de 
nombreuses conséquences; ainsi, relativement aux fonc- 
tions symétriques, on sait que si l'on veut avoir la somme 
des valeurs que prend une fonction entière <p (x) dans 
laquelle on remplace x successivement par toutes les ra- 
cines d'une équation 

F(x) =o, 

il faut effectuer la division — ^ , . — 1 et 1 

F{x) 

l'on demande est le coefficient du terme en - du quotient 

Supposons que II (x) = F' (x) <p (x) et que <p [x) soit 
dedegrér; le terme A r x'"~ n ~ r pour lequel m — n — /•= — i 
donnera A r pour la fonction symétrique cherchée. 

Si Ton a égard au procédé indiqué par M. Transon , on 



a somme que 



( 9« ) 
voit que la méthode précédente conduit à la détermina- 
tion dune fonction symétrique quelconque, et je substitue 
ainsi des multiplications aux divisions de M. Transon. 
Si l'on suppose en particulier que o ( x) = i , le quotient 

— j—— donnera la somme des puissances des racines de 

F(x) 

F (x) = o. 

JNotre valeur de A,, devient alors, en observant que 

a B = ma o, = {m — i) oc„ . . ,., 



A r = 



M 



et de la 



A P ( 



a, a. . . . [m — 1) a. 
a.j a, . . .(m — 2) a 2 , 

a,. a r _, . . .(m — r) x r 



o a O o 

«1 «1 <*o ° 

2aj j] a, o 



/' a r a,. a r _ 



Cette relation revient à celle de M. Brioschi , il suppose 
seulement a = 1 . 

Relativement à la division numérique , dans un système 
quelconque , on arrive à ceci : supposez que l'on veuille 
diviser le nombre 

5312367 par 23457, 

ccril , par exemple, dans le système décimal ; le quotient 
sera de la forme 



A 100 +• A, 10 + As 



(97 ) 

Or on a , cl après noire valeur générale de A, , 



A.= 



* "~4 



2 3 9 

3 3 ' ~~V 



A. 





2 <J 5 


8 


3 2 3 

4 3 i 



9. 



donc le quo lient entier est 

i . „ , 181 i 

- ( 2000 — i oo — 9 j = — ô — = 22b , 

o o 

comme on peut le vérifier directement. 

On voit de plus que les seuls chiffres qui servent à dé- 
terminer le quotient sont 53i dans le dividende, 234 dans 
le diviseur, et généralement autant de chiffres qu'il doit 
y en avoir au quotient. Ainsi le quotient des deux nom- 
bres précédents revient à celui de 53ioo par 234- 

Il y a encore d'autres conséquences relatives à la valeur 
du reste de la division de deux polynômes, aux séries ré- 
currentes, aux fonctions sturmiennes, etc. 

Note. Au moyen des déterminants, l'habile analyste 
M. Sylvester vient de trouver la solution générale de ce 
problème : Etant donné un coefficient différentiel d'un 
ordre quelconque, pour un nombre quelconque de va- 
riables , trouver ce que devient ce coefficient pour un. 
changement de système de variables. Problème qui n'a 
été résolu par Burmann et Jacobi que pour une seule 
variable. Tm. 



SOLUTION DE LA QlESTîON 272 (STGINER) 

voir tome XII , p. 100) ; 

Par M. FAURE, 
Officier d'artillerie. 



Lemmc. Soit 

ax i — b x- -+- ex- — ilx + c = o 
Ànn. de Mathémat.. i XIV Mars i855 



(9* ) 
une équation du quatrième degré; si l'on pose 

i 

x' 
] équation précédente deviendra 



c'y'' -+- ice r 3 -+- lae 
— d- — ibd 



/' + 7. ne 

— ¥ 



y -+- rt 5 = o 



Les racines de l'équation proposée étant designées par 
m t , ra 2 , m % , m 4 , celles de la transformée seront 



i i i i 
ml ml ml m'; 



et l'on trouve facilement 



i -+- 



mi 



( b — d) 2 -+- (a —c 



de sorte que si e est constant ainsi que les différences 
h — cl, a — c, le produit qui est dans le premier membre 
de l'équation sera aussi constant. 

I. Considérons une parabole y" 1 = ipx, à laquelle on 
mène quatre tangentes formant le quadrilatère ABCD et 
dont les côtés auront respectivement pour équation 



(AB) 
(AD) 
(CB) 
(CD) 



y = m,x -h 
y = m 7 x -f- 
y = w 3 x + 
y = m A x -t- 



P 

2/W, 
P 

im 2 

P 
a m , 

P 

4 w i 



les quantités /;/, , /»?, wi a , m u indiquant les tangentes des 



(99) 
angles que forment les côtés du quadrilatère avec L'axe 
de la parabole , ou si l'on veut avec la droite qui joint les 
milieux des diagonales du quadrilatère donné, car il est 
visible que ces droites sont parallèles (théorème de 
Newton). Pour abréger le discours, nous appellerons 
médiane la ligne dont nous parlons. 

Le côté AB touche la parabole au point M t qui a pour 
coordonnées 

r — -^— ■ — ?-. 

2 m \ m , 

Le côté AD touche la parabole au point M, . 

x= P i _ £ . 

im\ m. 

De sorte que le produit des distances du fover F de la 
parabole aux deux points de contact sera 

FM,.FM 2 =Ç ( 14- ' 



4 \ m \ 

Or le point A, intersection des deux côtés AB, AD, a 
pour coordonnées 

P p{m t -4-»>: 

x — , y = . 

2 /», m, •?. /», /;/ 

d'où l'on déduit 

FÀ Î =FM,.FM 2 . 

Désignant par M 3 , M 4 les points de contact des tan- 
gentes issues du point C opposé à A dans le quadrilatère . 
on trouve 

FC =FM ..FM. = Ç(,+ -L\ (i+ —\. 

De sorte que Ton obtient pour le produit des distam es 
du foyer de la parabole «à deux sommets opposés quel- 



( ioo ) 
conques du quadrilatère qui lui esl circonscrit, la rela- 
tion 



FA.FC= /? 



De là ce premier théorème : Un quadrilatère était t cir- 
conscrit à une parabole , le produit des distances de son 
foyer à deux sommets opposés est égal à la racine car- 
rée du produit des distances de ce même foyer aux 
quatre points de contact . 

On peut encore en déduire celui-ci : Si Von considère 
deux points fixes A et C , ainsi que des paraboles de 
même foyer F, et que l'on mène par les points donnés 
quatre tangentes à la parabole , le produit des distances 
de son foyer aux points de contact sera constant , etc. 

Les démonstrations géométriques de ces théorèmes sont 
faciles. 

II. Appelons « et a les foyers dune conique inscrite 
dans le quadrilatère ABCD: x, y-,x' et y' les coordon- 
nées respectives de ces foyers. Menons par ces deux points 
des tangentes à la parabole inscrite F , et soient p^ , u 2 
les coefficients angulaires des tangentes issues du point a ; 
p 3 , p k ceux des tangentes issues du point y.. On aura 



2p l( u 2 2p,p 2 

P y— P (&+_&! 



2^ p ( 2 (/;{*< 



On indiquera que la conique (a , a) est tangente à la 
droite AB, en écrivant que le produit des perpendicu- 
laires abaissées de ses foyers sur cette droite est égale à 
une certaine quantité & 2 . Cela donne la relation 

4 \ Pi,". pif*-' nl '/ \ |*sf*4 ' ' n/ t/ 



( ">I ) 

Or soient : 

Si la somme des quantités u, , u. 2 , p 3 , im 4 ; 

5 2 la somme de leurs produits deux à deux; 

5 3 la somme de leurs produits trois à trois ; 

5 4 leur produit. 

La relation précédente développée devient, en posant 
4*' K 

^r-K, 

(i) (i — KS 4 )i»; — S,»i? H-(S 2 — KS 4 )/wî — S 2 /»,4-S, = o. 

On aura trois autres équations pour exprimer que la 
conique est tangente aux autres côtés du quadrilatère et 
l'on obtiendra ces équations en remplaçant dans la pré- 
cédente rrii successivement par m 2 , m % , m^. D'où il suit 
que si l'on considère m t , m 9 , ;// 3 , m^ comme des incon- 
nues, elles seront déterminées par l'équation (1). Cette 
équation est de la forme indiquée dans le lemme; on aura 
en conséquence 

i+— ,)(i+— 2 )(i-f- -^)(i + — 2 

"v/V m J\ m J\ m \. 

(S, — S 2 )'+(i— S 2 ? -4-S,)' 

s; 

Appelons maintenant : 

M! la somme des quantités y.\ , u.\ , p* , p] ; 
M 2 la somme de leurs produits deux à deux ; 
M 3 la somme de leurs produits trois à trois; 
M ; leur produit. 

Développons le second membre de l'équation précé- 
dente et remarquons que 

S] — 2S 2 = M,, 

S^ - aS.S, + 2S« = M 2 , 

S; — 2 S 2 S, =M 3> 

S; ==M, S 



( ">2 ) 

on aura 






m ] ) \ m \ j \ m l/-\ m 4 / ÎM ; 

Cette égalité indique que si une conique est inscrite 
dans un quadrilatère et que par ses foyers on mène les 
quatre tangentes à la parabole (inscrite au même qua- 
drilatère), ces quatre tangentes feront avec la médiane 
des angles dont le produit des sinus est constant. 

On verra encore, après avoir fait la construction pré- 
cédente, que les quatre tangentes issues des deux foyers 
d'une conique quelconque inscrite à un quadrilatère ren- 
contrent la tangente au sommet de la parabole en quatre 
points dont le produit des distances au foyer de la para- 
bole est constant. 

Cette même égalité prouve aussi que si une conique est 
inscrite dans un quadrilatère, le produit des distances de 
ses foyers à celui de la parabole est constant. 

Si l'on fait varier la parabole et le quadrilatère, on 
obtient des théorèmes intéressants. Ainsi : 

Considérant une conique et un système de paraboles 
de même foyer Y et menant les quatre tangentes com- 
munes à la conique et à V une des paraboles ; i° le pro- 
duit des distances du foyer F à deux sommets opposés 
du quadrilatère déterminé par les tangentes est con- 
stant; 2° le produit, des distances du foyer F aux points 
de contact sur la parabole est constant. 

Le théorème subsiste encore si, au lieu de la conique 
donnée , on en considère une seconde de même foyer. 

III. Puisque les quantités iij , u.. 2 , u 3 , y. 4 entrent symé- 
triquement dans l'équation (i), on voit que si par les 
deux loyers a , a d'une conique inscrite dans un qua- 
drilatère :>n mène des tangentes à la parabole qui lui 



( io3 ) 
est inscrite, ces tangentes se coupent en deux autres 
couples de points qui peuvent être considérés comme les 
foyers de deux autres coniques inscrites. Sur chaque tan- 
gente à la parabole il y a donc trois points et seulement 
trois qui peuvent être regardés comme appartenant au 
lieu des foyers des coniques tangentes à un quadrilatère : 
ce lieu est par conséquent du troisième degré. La courbe 
dont il s'agit a été étudiée à plusieurs reprises dans les iYo?;- 
velles Annales- elle passe parles sommets du quadrilatère 
complet ABCD, et M. Terquem a indiqué une méthode 
pour lui mener une tangente aux points où elle coupe le 
quadrilatère (t. IV, p. 373) . Ainsi pour mener la tangente au 
point A, intersection des côtés AB, AD, on mène la diago- 
nale AC etlon trace une droite AR telle , que l'angle KAB 
soit égal à l'angle CAD; cette droite est la tangente. Je 
vais faire voir que l'on peut , par la même construction , 
mener une tangente en un point quelconque de la courbe. 
Soit , en elfet , a le point considéré , déterminons l'autre 
point a de la courbe tel, que 

Fa.FarrFA.FC, 

les deux points a et a seront les foyers d'une même co- 
nique tangente au quadrilatère. Par ces points, menons 
des tangentes à la parabole, et soient c, y les foyers d'une 
conique inscrite dans le quadrilatère déterminé par ces 
tangentes , on aura 

Fc.Fy = Ffl.Fa = FA FC; 
donc les points c et y appartiennent aussi au lieu des 
foyers des coniques inscrites au quadrilatère ABCD. Les 
deux lieux sont donc identiques , et la tangente au point a 
du second lieu , que Ton construit comme précédemment , 
sera aussi la tangente au même point du premier lieu. 

I\ . Théorème de M. Steiner (question 272). «, o>.\ 
bj (3 5 c, y étant les foyers de trois coniques inscrites an 



( io4 

même quadrilatère, on a la relation 

ac . a c a y . ay 

6c . (i c 6 y . [iy 

Formons le quadrilatère abafi et désignons toujours 
par F le foyer de la parabole inscrite au quadrilatère 
donné ABCD. Les côtés du quadrilatère abc/Jp sont né- 
cessairement tangents à une certaine parabole ayant pour 
foyer le point F, de sorte que l'on peut considérer c et y 
comme les foyers d'une conique inscrite au quadrilatère 
abzfi. Or, lorsqu'une conique est inscrite dans un poly- 
gone d'un nombre pair de côtés, le produit des distances 
d'un foyer aux sommets de rang pair, divisé par le pro- 
duit des distances du même foyer aux sommets de rang im- 
pair, donne le même quotient pour l'un et l'autre foyer 
(Nouvelles Annales, t. XII, p. 219). 

L'application de ce principe donne le théorème précé- 
dent. Dans le cas où le point y s'éloigne à l'infini , on re- 
trouve un théorème déjà démontré. 

V. On démontre encore que si parles points de contact 
d'une conique inscrite au quadrilatère ABCD, on mène 
des tangentes à la parabole, elles feront avec la médiane des 
angles dont le produit des sinus est constant, et cette con- 
stante est la même que celle que l'on obtient en menant 
par les foyers d'une conique inscrite des tangentes à la pa- 
rabole. 

On trouve aussi que le produit des perpendiculaires 
abaissées du foyer F de la parabole sur les tangentes pré- 
cédentes est constant, et de là résulte que le produit des 
distances de ce même foyer aux points de contact dune co- 
nique inscrite est constant et égal au carré du produit des dis- 
tances de ce foyer à deux sommets opposés du quadrilatère. 

J'ajoute encore ici les énoncés de quelques théorèmes 
analogues aux précédents. 



( io5 ) 

i". Étant donnés une droite et nu point F, décrivons 
quatre hyperboles équilatères tangentes à la droite et 
ayant pour centre le point F ; ces hyperboles déterminent 
un quadrilatère curviligne tel, que le produit des distances 
du centre à deux sommets opposés est le même pour 
chaque couple de sommets. 

2°. Une cassinoïde et une droite sont données : soient 
décrites cpiatre hyperboles écpiiiatères tangentes à la droite 
ainsi qu'à la cassinoïde et concentriques avec elle. Ces hy- 
perboles déterminent un quadrilatère curviligne tel, que 
le produit des distances du centre aux points de contact 
sur la cassinoïde ou sur la droite est constant. La con- 
stante reste la même si Ton fait varier la droite et la 
cassinoïde, pourvu que celle-ci conserve les mêmes 
foyers. 

3°. Soit F le point de rebroussement d'une épicycloide 
ordinaire (c'est-à-dire celle qui est engendrée par le point 
d'une circonférence roulant sur une circonférence égale)-, 
menons par ce point quatre cercles tangents à l'épicycloïde 
ainsi qu'à un cercle donné: le produit des distances du 
point F aux points de contact sur l'épicycloïde et le cercle 
est constant et égal au carré du produit des distances du 
même point à deux sommets opposés du quadrilatère cur- 
viligne formé par les cercles tangents. 



NOTE SIR LE PRINCIPE DES FORCES VIVES. 

Nous croyons utile démettre quelques idées sur ce 
qu'on appelle le principe des forces vives, dont on fait 
un si fréquent emploi, quoique l'application ne soit pas 
toujours aussi facile qu'on est tenté de le croire. Remon- 
tons à 1 origine de ce principe. Toute question sur les 



i «ofi ) 

quantités^ nombres, lignes, forées, etc., se réduisent 
finalement à des équations qu'il faut résoudre, soit en 
cherchant les valeurs des inconnues, objet de l'Algèbre 
ordinaire, soit en cherchant la forme des fonctions des 
inconnues, objet de l'Analyse infinitésimale. On cherche 
autant que possible à diminuer le nombre des équations ; 
ainsi dans l'analyse élémentaire, en élevant au carré 
toutes les équations (à second membre nul) et égalant la 
somme à zéro, cette équation unique , avec quelques res- 
trictions, peut tenir lieu de toutes les équations. Il en est 
de même dans le calcul transcendant ; une intégrale peut 
souvent tenir lieu de beaucoup d'équations différentielles : 
ainsi tous les problèmes de mécanique, en dernière ana- 
lyse , se bornent à obtenir pour les forces égales , mais in- 
connues , des expressions diverses 5 cette diversité d'expres- 
sions fournit des équations différentielles dites à' équilibre, 
que l'on remplace autant qu'on peut par des intégrales ; et 
c est une de ces intégrales qui a reçu le nom spécial d'é- 
quation aux forces vives, dénomination, à certains 
égards, très-vicieuse 5 car, si la force est une entité méta- 
physique dont on pourrait, dont on devrait débarrasser 
la science , mais dont au moins on croit avoir une idée pré- 
cise , à la portée de nos sens matériels , la forte vive est un 
surcroit d'entité, une double entité à laquelle rien de réel 
ne correspond dans îa nature. On a matérialisé un résul- 
tat de calcul ; et de même que dans le langage ordinaire, 
les expressions métaphoriques donnent naissance à tant 
de conclusions fausses ou boiteuses, la création d'êtres de 
raison dans les sciences amène souvent de fausses ap- 
préciations, des jugements équivoques; toutefois, n'im- 
porte le nom, l'équation des forces vives est précieuse, 
en tant qu elle représente le double <!e la quantité de tra- 
vail, quantité qu'il est souvent plus facile de reconnaître 
dans le jeu des machines que les forces motrices doni 



( io7 * 
cette quantité tire sa source : c'est à l'invasion de plus en 
plus considérable des machines dans le monde industriel 
qu'il faut attribuer le rôle important que les forces vives 
ont pris dans la pratique et dont ne s'occupaient naguère 
que les philosophes, et les géomètres quand ils étaient 
philosophes. 

Dans ce nombre brille au premier rang le célèbre Bos- 
cowich , membre d'une Société fameuse par sa puissante 
organisation , par son indestructible vitalité. L'idée lumi- 
neuse et profonde d'assimiler les forces instantanées dites 
percussions, chocs , etc., à des sommations instantanées 
de forces continues , émise par l'illustre jésuite, est aujour- 
d'hui implicitementlabasede la mécanique industrielle. 
Le principe de la continuité ainsi introduit dans la phoro- 
nomie, la pesanteur qui est une force continue agissant 
sous nos veux à chaque instant, seprésentaitnaturellement 
comme l'unité dynamique indiquée par la nature-, aussi 
aujourd'hui toute pression, compression, dilatation, 
élasticité, tension, etc., est évaluée par des poids en équi- 
libre, et toute percussion , impulsion, choc, etc., par 
des poids en mouvement. Mais cette évaluation des forces 
vives est souvent sujette à de grandes difficultés et peut 
occasionner de singuliers mécomptes*, car alors il n'est 
pas permis de négliger les mouvements mêmes molécu- 
laires : toute manifestation de mouvement, n'importe sa 
nature, se fait aux dépens de la force et ne peut être né- 
gligée. Ainsi lorsque Laplace compare la quantité de 
mouvement à un lluide qui se transmet d'un vase dans un 
autre, la comparaison n'est pas seulement poétique, elle 
est d'une grande justesse; le fluide qui pénètre partout 
et qui va d'un coté est enlevé à l'autre. Prenons, pour 
éclaircir ceci , l'exemple très-simple de deux corps mus 
qui se choquent; outre l'impulsion , il y a déformation, 
et cet effet de déformation absorbe une partie de la force 



( io8 ) 
qui est ainsi dérobée à l'impulsion, tellement que, quel- 
que considérable que soit l'impulsion , si la mollesse du 
corps choqué est extrême, le choc ressenti sera faible, tout 
étant employé à déformer le corps: la composition phy- 
sique du corps influe sur les résultats mécaniques, de sorte 
que la quantité de travail n'est pas toujours une mesure 
précise delà totalitédela force vive réellement développée. 

Ecoutons ce que disait Lambert sur les forces vives 
en 1770. 

« H y a environ un siècle , ou, pour mieux dire , avant 
» le temps de Galilée et de Descartes, il était à peine né- 
» cessaire de s'arrêter longtemps , dans les Traités de sta- 
» tique, sur Vidée de la force. Aujourd'hui cela est de- 
» venu d'autant plus nécessaire, qu'en parcourant ce qui a 
» été écrit dans la discussion Leibnitz et dans la discussion 
» Maupertuis , on ne sait plus à quoi s'en tenir sur cette 
» idée par elle-même si simple. Depuis on a fait de 
» toutes les modifications de la force des forces particu- 
» Hères 5 on a mis ainsi sur la scène des forces vives, 
» mortes, intrinsèques, accélératrices, etc. Bilfinger y a 
» même ajouté ses vires indifférentes, consentientes , 
» coïncidentes , dissentientes , répugnantes , disjonctas , 
i) parallelas , mixtas , puras , etc.; à celles-ci viennent 
» encore se joindre : actio, potentia, pressio, sollicitatio, 
» impetus, conatus, impact us , etc., idées pour lesquelles 
» la langue fournit des mots qui , à cause de leur signi- 
» fication indéterminée , sont difficiles à déterminerez 
» sont d'autant plus propres , à laide d'arbitraires délî- 
» nitions, à fournir des théorèmes qu'on croît avoir dé- 
» montrés, tout embrouillés qu'ils sont. J'avoue volon- 
» tiers que je n'ai jamais pu bien comprendre la plupart 
» de ces mots, nonobstant leurs définitions. En effet, j'ai 
» toujours pensé que les premiers principes de la nicca- 
» nique devaient être plus simples et n'avaient pas besoin 



( I0 9 ) 
» de cet étalage de mots et de définitions. Ainsi je coni- 
» prenais très-bien, par exemple, que si le produit de la 
» masse par le carré de la vitesse avait quelque emploi 
» fréquent en mécanique, il était bon, pour abréger, de 
» donner un nom à ce produit ; et comme les mots sont 
» les signes arbitraires des idées , je compris encore qu'on 
» nommât ce produit -/brce et, si l'on veut, force vive. 
» Mais par là le mot force et même force vive ne devient- 
» il pas équivoque ? C'est une tout autre question à la- 
» quelle , après mûres réflexions, il faudrait répondre affir- 
» mativement, et , s'il en est ainsi, Leibnitz aurait à tout 
» égard mieux fait de choisir, pour désigner ce produit, 
» tout autre mot que le mot force. Par là du moins la 
» logomachie qui s'est introduite dans la dispute aurait 
» été évitée, et la question si ce produit reste constant 
» dans tous les cas et peut être admis comme cause 
» finale se serait présentée sous une autre face. On peut 
» dire la même chose de la moindre action de Mauper- 
» tuis : le mot action est depuis longtemps équivoque 
» dans la langue 5 par exemple, dans les expressions 
» action des rayons solaires , action du feu , etc., qui 
» désignent des idées compliquées ; on se sert, même de 
» ce mot pour désigner les actes des hommes , qui sont 
» composés de beaucoup d'actions plus simples. » [Bei- 
trage zum Gebrauche der Mathematik. Documents pour 
l'usage des mathématiques et leurs applications; 2 e par- 
tie, i c section, p. 370 \ Berlin, 1770. ) 

C'est donc une idée malheureuse d'avoir donné la notion 
obscure de la force vive pourbaseà l'enseignement élémen- 
taire de la mécanique, et, par contre, d'avoir retranché de 
l'enseignement la notion si claire des couples , la plus belle 
conception phoronomique du xix c siècle, conception fran- 
çaise. C'est plus qu'une faute : c'est un crime contre le 
pavs et contre la science. 



( iw ) 
Mais citons deux autorités qui pèsent dans la balance. 
« Quelles que soient , en réalité, les qualités fonda- 
» mentales de la conception de M. Poinsot par rapport 
» à la statique, on doit néanmoins reconnaître, ce me 
» semble, que c'est surtout au perfectionnement de la 
» dynamique quelle se trouve par sa nature essentielle- 
» ment destinée, et je crois pouvoir assurer à cet égard que 
» cette conception n'a point encore exercé son influence 
» la plus capitale. Il faut la regarder, en effet, comme 
» directement propre à perfectionner sous un rapport 
» très-important les éléments mêmes de la dynamique 
» générale. » 

Voilà comment s'exprimait, en i83o, un géomètre, 
philosophe éminent (Philosophie positive 3 t. I, p. 6i5). 
Depuis, deux Mémoires de M. Poinsot, chefs-d'œuvre de 
sagacité et de pénétration , ont réalisé les vœux de M. A. 
Comte et ont perfectionné considérablement les éléments 
de la dynamique. 

La seconde autorité est celle du célèbre auteur de la 
Géométrie supérieure. u Nous pouvons regarder cette 
» élégante théorie des couples comme une conception 
» éminemment heureuse. <> (Histoire des Méthodes. 
p. 4 l ^'-> 1837.) 

C'est donc, comme disent les Anglais, un ungeome- 
irical spirit qui a dicté la radiation de cette théorie; le 
même esprit qui a proscrit la Statique de Poinsot , a pres- 
crit la Géométrie de Clairaut, que l'illustre mathémati- 
cien paraît avoir écrite pour la célèbre marquise du Chà- 
telet-, mollement raisonné, cet ouvrage, pcr le. donne. 
n'est propre qu'à faire des non-géomètres. 

On vient de recommander Y Algèbre de Lacroix. A la 
bonne heure ! Cet ouvrage conserve son mérite intrinsèque 
d'être une œuvre mathématique. 



( III ) 



PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS ALGEBRIQUES, 
DES SURFACES ET DES LIGNES. 



1. Soient A,, Ag, A 3 ,..., A„, «fonctions algébriques en- 
tières, chacune de degré /«, entre n variables : le système 
d'équations 

(1) A, = o, A 2 =o,..., A„ = o, 

est satisfait par n m systèmes de n valeurs des variables. 
Posons 

(2) S= Y a p A p = o, 

l'indice sommatoire se rapportant à p ; et les a sont des 
constantes; les n m systèmes de valeurs des équations (1) 
satisfont aussi au système de degré m relatives à n valeurs 
différentes de n équations S', S ff , etc., aussi de degré m. 
Soient Bj, B 2 ,..., B„ d'autres «fonctions algébriques en- 
tières, chacune de degré m, entre les mêmes variables que 
les A ; le système d'équations 

(3) B, = o, B,= o,..., B„=o 

admet n m systèmes des valeurs des variables. 
Posons 

les b sont des constantes-, les mômes n m systèmes des va- 
leurs satisfont à n équations de degré m , pour n valeurs 
différentes de /> . savoir T", T", T'" . 



( I» ) 

Supposons de plus qu'on ait V identité 

(5) 2"<,A,= 5/,B,= V. 

Considérant les A et les B comme des inconnues du pre- 
mier degré, on peut les éliminer de l'identité (5) à l'aide 
des systèmes (a) et (4), et l'on obtient 

(6) V = yf(*,S + /,T). 

Les systèmes des valeurs qui satisfont aux équations 

S',S",...,T',T"..., 

satisfont au système V= o. 
j 

2. Soit/z = 3 ; A l5 A 2 , A 3 représentent trois surfaces qui 
secoupenten m 3 points-, de même B,, B 2 ,B 3 ,elc. : l'iden- 
tité (5) exprime que les ni 5 points du système A et les m 3 
points du système B sont sur une même surface V du de- 
gré m. Les intersections des trois surfaces S', S", S w sont 
les mêmes que celles du système A , et les intersections des 
trois surfaces T', T", T 1 " sont les mêmes que celles dusys- 
tèmeB; et l'équation (6) montre que; les intersections des 
surfaces S', T", T"; S",T', T'"; S w , T', T" sont une même 
surface V de degré m. 

3. Soit n = i\ les A, B, S, T représentant des lignes 5 
les 7/i 2 points intersection des A sont les mêmes que les 
nî 1 points intersection des S', S"; les m 2 points intersec- 
tion de B sont les mêmes que les m* points intersection de 
T', T'^ces 2m 2 points sont sur une même ligne ^ de 
degré/ra,les m 2 points intersection de S', T" et les m' 
points intersection de S", T' sont sur une même ligne de 
degré ni . 

Si m =, 2, on a un théorème énoncé par M. Cliasles 
[Comptes rendus, séance du 16 août i853), qu'il a dé- 
montré dans son cours en Sorbonne et dont on peut tirer 



( »3 ) 
une foule de corollaires. Voici les énoncés de nouveaux 
théorèmes qu'on doit à M. Wospcke [Journal de M. Liou- 
villc, t. XIX, p. 345 5 i854). 

Théorème. Sur une conique donnée, on prend trois 
systèmes de quatre points; par chacun de ces systèmes 
on fait passer respectivement deux coniques , savoir Ai, 
C t 5 A 8 , C ? 5 A 3 , C 3 ; les trois systèmes des huit points d'in- 
tersection de 

Ai , A 2 ; C| , (_._> , 

A 1 j A 3 ; L 1 , L3 , 

A 2 , A 3 ; Li; , L , 

soTit respectivement sur trois coniques qui ont les mêmes 
quatre points d'intersection. 

Les polaires réciproques fournissent un théorème cor- 
rélatif. 

Les coniques devenant des cercles , ou un système de 
deux droites, ou bien devenant homofocales, sont des cas 
particuliers. 

Depuis, M. Wcepcke a étendu les mêmes théorèmes 
aux surfaces. (Liouville, décembre 1 854) • 



TUEORÈME SIR LES DETERMINANTS CRAMRIENS; 

Par M. lk Docteur CANTOR, 
Professeur à Heidelberg. 



Soit un déterminant cramérien de m éléments, formé 
d'après le procédé combinatoire; soit I le nombre d'in- 
versions du terme de quantième n. Ordonnant n d'après 
les produits continuels, 1, 1.2, 1.2. 3, etc., on aura 

n = a,[a] + a 2 [y. — 1] + a,[x — 2] -f- . . . -f- a p [« — y,], 
Ann. de Malhcmal. , t. XIV. (Mars i855.ï 8 



( "4 ) 
les crochets représentent dos produits continuels; on a 

« (a — l) 

I = a, -h a 2 + a 3 + . . . — H : 

2 

I est indépendant de m. 

Exemple : 

«=356 = p.[5] + 4[4]H- 3[3J + i[a 

2. I 

1 = 2+4 + 3+1— iH — . io ; 

2 

soit 7?j = 6 ; le 356 e terme est 3'6f)i42 , qui a en effet dix 
inversions. 

On peut donc connaître à priori le signe d'un terme d'un 
quantième donné. (Communiqué sans démonstration.) 

Note du Rédacteur. L'auteur de cet article m'a écrit 
depuis que le même résultat a déjà été donné par M. Reiss 
( Correspondance matliémalique de Quetclet, tome Y) 

M. Cantor vient de publier : Grundziïge einer elemen- 
tar Arilhmclik, etc. Principes fondamentaux d'une aritli 
nié tique élémentaire, à l'usage des cours universitaires. 
Heidelberg, i855 ; in-8, 176 pages; ouvrage qui renferme 
des notions philosophiques et des renseignements histo - 
riques curieux; aussi peut-on le lire sans répugnance, 
même avec intérêt : chose rare quand il s'agit d'un 
Traité élémentaire d'Arithmétique. Je ne connais de ce 
côté-ci du Rhin aucun traité de ce genre. 

L'opuscule est terminé par la syntactique ou théorie 
combinatoire. La première trace de cette doctrine se 
trouve dans l'ouvrage de Jean Buteo, Logistica, i55cy, 
qui résout le problème de trouver tous les coups différents 
qu'on peut amener avec quatre dés. 



! n5 ) 
SUR LES FRACTSOXS DÉCIMALES PÉMODIQIES, 

D'après M. AV. LOOF, 
Directeur du Gymnase ducal à Gotha. 



(Archives de Grutier t , p. 54 j i85i.j 



Si la fraction - donne la période P de À chiffres , on a 

n L 

10''. — i = /îP; 

donc pour trouver le nombre ou les nombres n qui donner, I 
une période de k chiffres, il faut chercher tous les divi- 

I o" i 

seurs de io A — i oude = ui... (k fois le chiffre i ) 

9 V 

Dans le tableau suivant, n indique le dénominateur de 

la fraction - et k le nombre correspondant de chiffres de 



a période 




1, 


a 


i 


3 9 


2 


1 1 . 




3 7 . 


4 


IOI . 


5 


4' °7 l • 


6 


7 .i3. 


7 


239.4649- 


8 


7 3. 1 37 . 


9 


333667. 


10 


9°9 1 • 


1 ! 


:>. 16.19. :h 32 3ij. 


1 ' 


9901 . 


i ; 


53.79.265.37 i65 '» 


-4 


909091 . 


i5 


3i . 2906161 . 


t6 


■ 



( "6) 

* n 

17 inconnu (*). 

18 19.52579. 
io inconnu (**). 

20 354i. 27961. 

21 43.1933.10838689. 

22 23.4093.8779. 

2 3 mu. min (?)■ 

24 9999° 001 - 

25 i oooo 1 oooo 1 0000 1 00001 (?). 

26 85 9 .io583i3o4 9 . 

27 75 7 .44o334654 7 7763i (?). 

28 29.281.121499449- 

29 3191. x. 

30 21 1 .241 .2161 . 

3i 2791.398105020104303515267327521 (?). 

32 353.449.641.1409.69857. 

33 67. 1 3446282 ion 3298373 (?). 

34 io3. 4oi3. 2i9 9 383336 9 (?). 

35 71. 12676 18436747 7604353521 (?). 

36 999999 000001 ( ? )« 
37-40 inconnus. 

4i 83.i23i.x. 

42 127.2689.459691. 

43 173.0:. 

44 89.1112470797641561909 (?). 

45 299700000299700299999703 (?). 

46 47.139.2531.54979718449191 (?). 

47 inconnu. 

48 99999999 00000001 ( ? )- 

49 inconnu. 

50 25 i .5o5i .717061202105779291 (?). 

5i 61 3 1 4696588921 71 12709610099495907 (?). 

(*) Tous les nombres premiers de 1 à a3oooo ont été essayés sans sue- 

!S. 

(**) Les nombres premiers de 1 à 100000 essayés sans succès 



I XI 7 ) 
k n 

52 52i . 1900381976777332243781 (?)• 

53 107.0.-. 

5 4 999999999 000000001 ( ? )- 

55 i32i.ar. 

56 7841.127522001020150503761 (?). 

57 inconnu. 

58 59.i54o832o4 9 3o66255778i2oi84g(?). 

59 inconnu. 

60 61.1 6557 36o49 1 8 1 98360490 1 64 1 • 

Les (?) indiquent qu'on ignore si le nombre est pre- 
mier ou non. 



Ql'ESTIOXS. 



297. Construire un triangle, connaissant une hauteur, 
une bissextrice et une médiane : chacune de ces trois 
droites partant d'un sommet différent. (E. Colpy.) 

298. Étant donnés dans le même plan, de grandeur et 
de position, cinq segments, construire une conique qui 
coupe chaque segment harmoniquement (*). (Chasles.) 

ARITUMOLOGIE. 



Théorèmes empiriques. 

Définition. Avec Euler nous donnons ce nom à des 
théorèmes non démontrés, mais dont l'existence est véri- 
fiée depuis l'unité jusqu'à de très-grands nombres. 

i°. Tout nombre pair est la somme de deux nom- 
bres premiers. (Goldbach.) 

(*) Soient ab un de ces segments, y., /3 les points d'intersection avec la 
conique ; les quatre points a, y., b. 3 doivent être places harmonique- 
ment. 



( n8 ) 

2°. Tout nombre pair est la différence de 'Jeux nom- 
bres premiers ( * ) . ( Poligi* ac . ) 

3°. Tout nombre est la somme de neuf cubes entiers 
positifs au plus vérifié de i à 12000. (Edouard Waring , 
Meditationes algebricœ, p. 349, 3 fc édition; Cambridge, 
1782 ; Crelle, t. XLII, p. 4 1 •) 

4°. Tout nombre est la somme de dix-neuf bicarrés 
entiers positifs au plus. (Ibid.) 



SOTE SUR LA DIVISIBILITE DES NOMBRES. 



p étant le nombre des chiffres d'une période décimale 
provenant de la fraction —■> on a 



1 

m 

10P — 1 = m , et 1 o 1 '!' — 1 = m: 



A est un nombre entier positif quelconque. 

Corollaire I. N étant un nombre entier positif quel- 
conque, ou a 

N. iof k — N = m. 

Corollaire IL /;, m, N conservant même signification, 
si l'on divise N en tranches de p chiffres de droite à gau- 
che, la dernière tranche à gauche peut renfermer moins 
de p chiffres. Soit n la somme de toutes ces tranches, on 
aura 

N — n = m. 

En effet, soient r, , t ± , /,,. . . ces tranches, on a 

N = f, -f- t, . 1 oP + r 1 o> -4- . . , 

/, — f t = m , t ,. \ o-' — t ■=. m , 1 1 : >' — t t = m , . . . ; 

(*) Les travaux de MM. de Polignacel Tchetbichef sonl les premiers pa 
lémonstratii 



( i«9 ) 
ajoutant on a 

N — n = ///. 

Corollaire III Faisant p = ar, et soit m un nombre 
premier 

i o' r — 1 = m — ( i o r + 1) ( 1 o r — i ) ; 

10' — i n'est pas divisible par m, puisque la période a 
2r chiffres. Donc 

io'+i = w, et io( 2A+, ^ r H- i — m. 

Supposons qu'on partage N en Hanches de /• chiffres de 
droite à gauche, on aura 

N = t { -4- f a . i o r -\- i, . i o ; ' -f- f 3 . 1 o 3r -4- . 
t , — t { = m , f, . i o' -+- t. = m , 
i i o-' — t 3 = m , f, . io 3r -f- f, = m 
Soient 

f -h f» + /s + ■••=* i 
fj+^ + fe-f-- .= •», 

lira 

n — ( a — i>) = //( . 

Application. 

//* — .S } alors p=i$ il faut partager _S en tranches 
ij a< n nc de i chiffre. 

m = g i alors p=i- : il faut partagei N ... tranches 
■ hacune dé i chiffre. 

m = jj alors p = 6; il faut partage] oches 

de 3 chiffres , et faire la somme des tranches de rang 
pair et de rang impair. 

m = 1 1 , alors p = : d tranches 

mm ; 

= ■ 



( 120 ) 

ni = 17, alors p = 165 il faut partager ]N en tranches 
de 8 chiffres. 

m = 19, alors p = 18 ; il faut partager N en tranches 
de 9 chiffres. 

m = 23, alors ^ = 22 ; il faut partager N en tranches 
de 11 chiffres . 

m = 37, alors p = 3 ; il faut partager N en tranches 
de 3 chiffres. 

m '= 101, alors /7 = 4 t il f aut partager N en tranches 
de 2 chiffres. 

Ces théorèmes sont indiqués dans le Journal de Cam- 
bridge, et se trouvent dans Y Algèbre de Mayer et Cho- 
quet, 5 e édition, page 232. 



THÉORÈME SIR LES ÉQUATIONS AUGÉRRIQUES 
ET SUR UNE PROGRESSION ARITHMÉTIQUE; 

Par M. VOLPICELLI, 

Professeur à l'école d'artillerie de Rome ("). 



1 . Soit l'équation 

X " ~ 2! n-rlrl [< P + ^ ~ & + 1'))*™= °> 

/_> et q nombres entiers positifs; l'indice sommatoire se 
rapporte à /■; cette équation n'a qu'une seule ratine posi- 
tive réelle, et elle est toujours irrationnelle lorsque 
n ^> 2. 

2. La puissance n'\ n et a étant des nombres entiers 
positifs, est égale à la somme d'une progression arithmé- 



(*) Connu par ses belles observations sur la diversité des rayons solaires 
calorifiques, confirmant celles de Melloni. 



( 121 ) 

tique dont : i° la raison d est quelconque 5 2° le premier 

terme est n a ~ l -: 3° le nombre de termes est n. 

2 

Propriété énoncée par M. Wheatstone dans la Société 

royale de Londres. 

3. Il est facile de généraliser cet énoncé. 

Soit 

S,= V Tl («,6,c...-hr), 

o est une fonction quelconque donnée a, b, c,. . . , r des 
quantités quelconques ; l'indice se rapporte à r. 

Si l'on veut que S, =• f{n), où f est une fonction 
donnée, on peut déterminer les quantités, a, &, c, . . ., 
de manière à satisfaire à l'équation pour toute valeur 
de n. 

Si l'on avait encore d'autres équations semblables, par 
exemple 

S,= y ?2 (a,i,...r)..., et S, =/,(«), 
on pourrait déterminer les inconnues de manière que 

Oj O3 1 • • • • 

Note du Rédacteur. M. Coupy, professeur auPrytanée 
de la Flèche, nous a aussi adressé une démonstration de 
cette propriété et de ses diverses applications numériques. 
La même propriété a été insérée dans le Cosmos, tome V, 
page 645, i854? en ces termes : « Voyez ce que peut le 
» génie! Il a fait de M. YVheatstoue, petit fabricant d'in- 
» struments de musique, un des plus illustres pnysi- 
» ciens de l'Angleterre et du monde, le créateur de la 
» télégraphie électrique. M. Y\ heatstone quitte un instant 
» la physique pour aborder la science si difficile des noni- 
» bres et arrive d'un seul coup à constater une foide de 
» propriétés merveilleuses qui avaient échappé aux plus 
» habiles mathématiciens. » 



( » 

Comment celle assertion finale est-elle échappée au 
savant disciple Je l'illustre M. Cauchy? 



INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE 
D'une relation linéaire entre les coefficients de l'équation du second degré ; 

D'après M. Otto HESSE, 

Professeur à l'Université de Kœnigsherg. 



(Crelle, t. XLV, p. 82 ; i85a.) 



1 . Notation, u est unefonction algébrique entière , ho- 
mogène, du second degré de n variables x t , x« , x 3 , . . . , x n ; 
\> k est un coefficient différentiel de v pris par rapport à la 
variable x^\ ces coefficients au nombre de «sont des fonc- 
tions homogènes du premier degré des n variables; v k \ est 
un coefficient différentiel de v k pris par rapport à la va- 
riable xx: il y a n~ de ces coefficients différentiels du se- 
cond ordre , qui sont des quantités constantes, et l'on a 

"« = ";*> 
à cause de l'homogénéité. 

*2. Cette homogénéité donne l'identité connue 
n = fik X\ -+- fik x % H- . - . tv, x n , 
^e qui équivaut aux. n identités 

I', = V n Xi + (',, X, 

v =: p, ,x x r- i'- •'' + - - 
I i>„ =1 (',,,^.'1 -+- *'■:„ X, -+- • 

i où l'on déduit 

A.^,= V,,.», -h V 

A h. • 



( .23 ) 

A est le déterminai! i formé avec les n coefficient 

"llj "l 2) ■ • t ' 1M j 

et, par conséquent, A est une constante ne renfermant 
que les coefficients de la fonction v\ V„ est la dérivée de 
A prise par rapport à v rs \ et Ton a 

V„ = \',, , car v rs = c Jr . 

Multipliant la première des équations (i) par A et rem- 
plaçant A. a?!, A.x 3 , etc., parleurs valeurs, on obtieui 

A. <>,= (-, [i'„V„ H- «•• i ,V 21 + . . . <'„,¥„,], 
«',['•,, V, a -h i',V„ + . . . c nl V„ s ], 



«'« [<',. V,„ -f- 1- 2 , Vî„ -1- . . . c„i V„ n j , 
ce qui multiplie v, dans le second membre, est égal à A : 
les multiplications de t> 2 , p> 3 , . . . , v n sont donc nulles. On 
trouve des résultats analogues, en multipliant les autres 
équations du système (i) par A 5 on a donc en général 
( 3 ) O = P,i V i; + c, A . V., ; + . . . + v nk V„- , 

( 4 ) A = p.* Vu- +. p,j V,/ f -h . . . e„* V„* , 

^ et A étant deux nombres de la suite 1 , a, 3,..., n. 

3. On a 

»>* .r ; = (-,< r, j; ; -+- v 2k x t x x -(-... t'nk oc n x x . 

Si l'on remplace les produits x t x )y x 2 x p etc., par 
V,; , V 2 ;, etc., l'expression v k Xy s'annule, tandis que l'ex- 
pression v k x k prend la valeur de A. 

Soit iv une autre fonction algébrique entière homogène 
du second degré des mêmes variables x ti x 2 ,..., X n ] l'ex- 
pression du second degré v h w) — vy w k s'annule lorsqu'on 
y met V n , V 1S ,... , V 22 , ... à la place des produits x t X t , 
Cj .r 2 ,..., x-2 x., , . . . : c'est une conséquence du § 3. 

0. Lemme. v = o étant l'équation d'une conique, les 

coordonnées—^ — , du centre sont données par les deux 



( 124 ) 

équations 

p, = o , v-, — o ; 

si le centre est sur la courbe, la conique se réduit à deux 

droites- Outre ces deux équations, on a 

c = o : 
or 

2c = c, x x -+- o 2 x 2 4- Vs x 6 ; 
donc 

v 3 = o. 

Ainsi si Ion élimine x t , x 2 , x s entre les trois équations 

i>, = o , •', = o , t> 3 = o , 

l'équation finale donne la relation entre les coefficients de 
l'équation qui exprime que l'équation v = ose décompose 
en deux facteurs linéaires : cette relation est L = o, où L 
est le déterminant des coefficients de l'équation. 

6. Soient y = o, w= o les équations de deux coniques ; 
et alors n —3, c+lw = o est l'équation d'une conique 
quelconque passant par les quatre points d'intersection 
des deux premières coniques. Pour que cette dernière 
équation se décompose en deux facteurs linéaires , il faut 
avoir les trois équations 

v x -f- 1 w, = o , i'j-h 'kw i = o, Pj + ). w 3 =o. 

L'élimination de x u x%, x % donne une équation du troi- 
sième degré en 1 dont les trois racines X', X", 1'" sont les 
valeurs qu'il faut mettre pour X dans l'expression v -h ~ksv 
pour qu'elle se décompose en deux facteurs linéaires. 
Désignons par x\, ,r' 2 , x\ les trois coordonnées du point 
d'intersection 1 des deux droites qui correspondent à X'; 
de même, par x'[, x" 2 , x" 3 les coordonnées du point d'in- 
tersection 2 des deux droites qui correspondent à la valeur 
X", etc., on obtient ces trois systèmes d'équations : 

c', + V »'', = o , c", + \" (v\ = o , v"[ 4- V" a" = O , 

; .>; + >/ ».; = o , ,/; ■+■ r w \ = o , f t + r < = o , 

c' 3 -h /' u\. = , t>" t ■+- V n-'' — o , f'"' H- V m"' = o , 



( l ^ ) 

\'\ est la valeur que prend v x en y remplaçant .r, , ;r 2 , x 3 
par x , .r' 2 , x\ et ainsi des autres; de là, on déduit faci- 
lement ces deux systèmes d'équations : 

/ x'\ i" + x\ v'I -f- x" 3 v" = o , x'\ w[ -h x\ w\ + x\ w'l=zo, 
(6) x m t v\ -f- x"[v % -h x'j'i'j = o, x'" l iv\ -f- x1w\ + ar"«/ 3 = o, 

( x\ .", + x\ v\ -f- x\ v\ = o , a:, «** + a:', w" + a?' 3 w\ = o. 
En effet, on a 

x t v t + *,«», + *,•», + a (■*,"', 4-^ 2 «' 2 +^ 3 «' 3 ) = o, 

W w . ff/ If , //' W , «\ // / w tf , fil II , III If \ 

Or on a les deux identités 

il tu . /' Itl II m m II III II ut II 

ar.P, +x z v, -i-x 3 P 3 =x t v t +x 2 c, + & 3 t> 3 , 

it m , ti m , ii m ii m , it m . ii m 

ï,«', -\- x 2 M' 2 -h x 3 w 3 = .r, w x -f- x 2 «> 2 -f- ijiVj. 

On obtient ainsi les premières équations des deux sys- 
tèmes (6). Ces équations expriment que les points 2 et 3 
sont des pôles réciproques de la conique v = o et iv = o ; 
ainsi les deux systèmes (6) expriment que les points 
i, 2, 3 pris deux à deux sont des pôles harmoniques (*) 
simultanés des deux coniques u = o et \v = o. 

1. Définit ion . On nomme système de pôles harmoniques 
trois points tels , que, pris deux à deux, ils sont pôles har- 
moniques d'une conique. 

8. Deux coniques ont donc toujours un système de 
pôles harmoniques en commun et ce sont les intersec- 
tions des diagonales du quadrilatère complet qui a pour 
sommet les quatre points d'intersection; ce qui est d'ail- 
leurs évident à priori. 

En considérant la conique v= o comme donnée et fai- 
sant varier la conique w = o , on obtient de cette manière 



(*) Deux pôles sont harmoniques, quand la polaire de l'un de ces 

points passe par l'autre point. 



( 120 ) 

tous ies systèmes possibles des pôles harmonique ' 
quation donnée. 

9. Lemme. L'équation de la polaire réciproque de ! 
conique v = o , par rapport à la conique directrice 

x\ -+- x\ + x\ = o 
est 

V, , x, x, -+- V 2 , x 3 x, + Y , x. x -+- 2 V. 
-h 2V3, x 3 x, -|- V, , x, x, — o 

(voir Nouvelles Annales, t. VII, p. 4n) : l° s ^ ont ' a 

même signification que ci-dessus (§ 2). 

10. Reprenons les trois équations 

P, -+- X«'| = O, r 2 -h AWj = O, Cj -f- Ai'', =0; 

si l'on élimine / , on obtient 

C2W3 ''3«^ = O, ('.; ft'| <'|fl'„ = O, I', (V; !'_,»', = O , 

équations de trois coniques qui passent par les points 1 . 
2,3; ainsi l'équation 

u=zbi(v,fv 3 — r» 3 «' 2 ) H- ô./frjw, — p,w 3 ) + i^'ivr — p 2 h — o, 

où les Z> sont des constantes arbitraires, représente toute 
conique qui passe parles points 1, 2, 3, et si l'on fait 
varier iv, cette équation représentera toute conique pas- 
sant par un système quelconque de pôles harmoniques de 
îa conique v = o. Mais la fonction a s'annule lorsqu'on 
y remplace x x x t , x t x s , etc. , par \ , , . \ n , etc. (S 4)- 
Si donc 

a = a u x t ,r, + a 22 r 2 x 2 -+- <i ■ h •>'. 

-+- ?,J„ .r X f + 2(7,.. #1 •£• = O 

est l'équation d'une conique passai m systùrai 

pôles harmoniques de la conique v = o, on a la 

= o- 

C'esl une équ ndilion « 



( «7 ) 
les coefficients de l'équation d'une conique u = o . 01 
donc : 

Théorème. Lorsqu'il existe une équation linéaire de 
condition entre les coefficients de V équation d'une co 
nique, cette conique passe par le système de pôles har- 
moniques d une autre conique déterminée par V équation 
de condition. 

Pour trouver cette conique, il suffit de remplacer, 
dans l'équation de condition, rt n ,a 12 , etc., paravr, 
.r, t 2 , etc., on a 

V,, X t X t + V 22 >T t X 2 -f- V 33 .£; X 3 -f- 2 V 23 CCi x 3 

H- 2V3, x 3 x x -+- 2Vu x x x 2 = o. 

La polaire réciproque , par rapport h x] -h x] +x] = o, 
est v = o [Lemme {)) ; c'est la conique cherchée. 

11. Lemme. Les six points des deux systèmes de pôles 
harmoniques d'une conique sont sur une seconde co- 
nique. 

12. En combinant ce lemme avec le théorème précé- 
dent , on a : 

Théorème. Lorsque par trois points d'un système de 
pôles harmoniques d'une conique donnée on fait passer 
une -conique , le périmètre de cette conique renferme une 
infinité de systèmes de pôles harmoniques de la conique 
donnée. 

13. Soient /i = 4,*' = o,w = o, équations de deux 
surfaces du second degré; v-\-lw = o est l'équation 
d'une surface du second degré passant par les courbes 
d'intersection des deux surfaces données. Pour que cette 
équation devienne celle d'un cône (surface dont le centre 
est sur la surface), on doit avoir, en raisonnant comme 
ci -dessus , 

r, -f- \lV, =0, <> 2 ■+■ XWj =0, (>j -t- A W 3 ■-: O, i', -r- > M', = (i ; 

I élimination dex donne une équation du qnatri< 



( '28 ) 
en X, dont les racines correspondent aux cônes. Les som- 
mets de deux quelconques de ces cônes sont des pôles 
harmoniques simultanés par rapport aux deux surfaces , 
c'est ce qu'on démontre comme au § 6. 

On nomme système de pôles harmoniques d'une sur- 
face du second ordre quatre points dont deux quelconques 
sont des pôles harmoniques. Ainsi les quatre sommets 
1,2,3,4 des quatre cônes forment un système de pôles 
harmoniques simultanés pour les deux surfaces , théo- 
rème déjà démontré par M. Poncelet. 

Si l'on considère la surface u = o comme donnée et 
qu'on fasse varier la surface iv = o, on obtient, en dé- 
terminant chaque fois les sommets des quatre cônes, tous 
les systèmes de pôles harmoniques possibles de la surface 
donnée. 

14. En éliminant 1 de deux quelconques des quatre 
dernières équations , on obtient six équations de surfaces 
du second ordre dont chacune passe par les quatre som- 
mets i, 2, 3, 4 des quatre cônes. Ainsi l'équation sui- 
vante 

-h bzziWz — V3W1] ■+- bu[*i<*>* — ,, 4« , ->] + ^3'. [<V'4 — <',«•;] 

avec les constantes ai'bitraires b , représente toute surface 
du second ordre qui passe par les quatre points; mais 
cette équation représentera toutes les surfaces possibles du 
second ordre qui passent par un système de pôles harmo- 
niques quelconque de la surface donnée v = o. Si l'on 
fait varier la fonction iv, aussi bien que les constantes &, 
l'expi^essioiirt disparaît lorsqu'on y change X\X X ^ x x x iy etc. , 
t'n V n , V 12 , etc. Si donc 

u -— a n x { ,r, -4- ff 23 x 2 x 2 -f- a 3i x 3 x 3 -+- a i( x x x x 
-+- ?.r/, 2 .r,.r 2 + ?.a Vi x x x, -f- 2« 14 x x x t 
+ 2« 33 x. x 3 h 2(i u x.x, + •><7 , »• .i\ = o 



( I2 9 ) 
est l'équation d'une surface du second ordre, qui passe 
par un système de pôles harmoniques de la surface donnée 
v> = o, on a toujours l'équation 

BiiVii-f- «22 V M 4- « 33 V 33 -h a t4 Y u + 2ii l3 V l3 +. . = o, 

d'où l'on conclut : 

Théorème. «S*i7 existe une relation linéaire entre les 
coefficients d'une équation d'une surface du second de- 
gré, la surface passe par un système de pôles harmo- 
niques d'une autre surface du second degré déterminée 
par la relation donnée. 

Pour obtenir cette surface, on remplace dans la rela- 
tion a n , rt 12 , etc., par x n , x 12 , etc.; la polaire réci- 
proque de cette surface par rapport à la directrice 

x] ■+- x\ + x\ •+• x\ = o 

est la surface cherchée v = o. 

15. Lemme. Deux systèmes de pôles harmoniques par 
rapport à la même surface du second ordre peuvent être 
considérés comme les points d'intersection de trois sur- 
faces du second ordre. 

1(5. A laide de ce lemme, on démontre : 
Théorème. Si une surface du deuxième ordre passe 
par un système de pôles harmoniques d'une surface 
donnée du deuxième ordre, elle passe par une infinité 
de ces systèmes. 



DIVISION ABREGEE; 

Par M. HOUSEL. 



Pour établir d'une manière précise la théorie et le pro- 
cédé de la division abrégée, nous la considérerons comme 
l'inverse de la multiplication abrégée. 

Ann. de Maihêmat., t. XIV (Avril i855.) 9 



( '3o ) 

3i4i6o On sait que, pour multiplier 21,624 par 

42612 3,i4 1 6 en s'arrêtant aux dix millièmes (sauf à 

628320 effacer le dernier chiffre du produit si Ton craint 

3i4i6 qu'il ne soit pasexact),on écrit 21 ,624 sous 3 1416 

18849 en renversant les chiffres du multiplicateur de 

628 manière que le chiffre des unités soit sous le 

I2 5 chiffre que Ton veut conserver, et qu'on néglige 



67 ,q338 à chaque produit partiel les chiffres du multipli- 
cande restés à droite, en tenant compte cependant des 
retenues qui donneront aussi des dix-millièmes et que 
nous appellerons retenues supplémentaires . 

(On peut être tenté de prendre comme retenues supplé- 
mentaires 4 au li eu de 3 pour le produit de 6 par 6 , et 2 
au lieu de 1 pour celui de 4 par 4 : en effet , on cherche en 
général à compenser les retenues en plus par des retenues 
en moins ; mais ici, comme 3,i4 x 6 ^> ^ est un peu trop 
grand, on a pris les retenues en moins.) 
6nq338 I 3i 4*6 Réciproquement, sil'ondiviseôy, 9338 
62832 21 624 par 3,i4i6, on commencera par voir que 
5 101 8 le quotient a des dizaines 5 ensuite on 

3i4i6 obtient comme à l'ordinaire les deux 

£ premiers chiffres 5 mais après cela, au 

00/ lieu d'ajouter un zéro au dividende par- 

tiel, nous remarquerons que, dans la 

' multiplication ci-dessus, le 6 du nom- 

bre3i4i6 ne compte pour son pro- 

12 5 duit avec le 6 de l'autre facteur que par 

125 sa retenue supplémentaire \ donc ici nous 

o effacerons ce chiffre 6 au diviseur : mais 

après avoir obtenu 6 pour quotient partiel de 19602 par 

34i, nous ajouterons au produit de 3i4i par 6 la retenue 

supplémentaire 3 due au 6 effacé, etc. 

On a écrit dans la division tous les produits partiels 
pour montrer la correspondance des deux opérations. 



( '3i ) 

D'après cela , on peut conclure la règle suivante pour 
la division abrégée. 

Déterminez avant tout la nature des unités du quotient, 
ce qui sera toujours facile : cela fait, on n'aura plus à 
s inquiéter de la position des virgules. Soit alors p le nom- 
bre total de chiffres que l'on doit avoir au quotient, et 
soit n le nombre de chiffres que Ton veut prendre au divi- 
seur. Séparez à la gauche du dividende un nombre capa- 
ble de contenir ce diviseur modifié, vous aurez le premier 
chiffre du quotieut et il en reste p — i à obtenir; il faut 
voir combien on doit encore prendre de chiffres au divi- 
dende pour les abaisser. Remarquez que vous pourrez 
tout au plus effacer successivement les n — i derniers 
chiffres du diviseur modifié, et même il est plus sûr de 
n'en effacer que n — 2 pour en garder deux à la fin : il 
faut donc en prendre (p — 1) — [n — 2 ) = p — n -+- 1, 
et supprimer les autres. En général, on choisit n de ma- 
nière que/-? — n -h 1 soit petit ou même nul. 

Supposons qu'il s'agisse de diviser 67 ^gZ^ygg4636 par 
3,14129266 et d'avoir trois décimales au quotient, sauf 
à supprimer la dernière si Ion doute de son exactitude. 
Quand on a vu qu'il y avait des dizaines au quotient, 
tout se passe comme s'il s'agissait de nombres entiers : 
alors p = 5 et l'on prend n = 5 , de sorte que 

p — n + 1 = 1 ; 
en effet, on n'abaisse qu'un chiffre du dividende. 

Nous avons pris un exemple qui montre que, si dans 
une multiplication abrégée le multiplicande est terminé 
par un ou plusieurs zéros, on est conduit dans la division 
abrégée correspondante à abaisser un ou plusieurs chiflres 
du dividende; mais en général on n'en abaisse pas. v 



( i32 ) 



SOLUTION DE LA QUESTION 292 

[ voir tome XIII , page 192 (*) ; ; 

Par M. PAQUE, Professeur à Liège, 

ET 

M. DEVYLDER, Professeur à Namur. 



Question, n étant un nombre positif entier, prouver 
que l'on a 

,>Ji+JÎL.- 

1.2 5 . . . n 
Démonstration . On a 

( I ) t"=I+« + n +r— + ...+ 



W [3] [»-i] [»] ' 



est compris entre o et i 
Ecrivons la série 



i 



[„]' [«-i] 0—2] [« — 3] I ff*" 

tous les termes sont moindres que l'unité, à l'exception 
d'un seul terme égal à l'unité. Multipliant les termes du 
second membre de l'équation (i), respectivement parles 

termes de la dernière série et mettant = — = en facteur com- 

mun, on obtient 

n.n — x T 

i H- n . n H n 2 

« I « . « — I . « — 2 

H g /i 3 +. • . + «.«""' -f- «" ! 

ou bien 

^ f » + «)" 

e"> -• c Q. F. D. 



(*) J'ai réuni ces deux solutions qui ne diffèrent pas essentiellement, 



( i33 ) 
Note. M. Cauchy dans ses Exercice* cV Analyse , 
tome IV, page 106, démontre l'inégalité 



^<[n] 



H -+- I 
1 



d'après ce qui précède, on peut remplacer la limite supé- 

/ H- n \ " 
rieure par 



Stirling donne la formule 



n n v 2 n tt , „ ' ., 

e"> — j^j — (A, Genocchi). 



THEOREMES D'EISEÎVSTEI\ 



< liLLLL, tome XLIV, page lin ; [8 i ■ 

1. Lemme. Soit 



S = 



h 1 "i-, L 2y ■ ■ ■ y 



(1 n+i y "n+t > c n+i y ■ ■ ■ 

les barres désignent un déterminant entre [n -f-i) quan- 
tités, et l'oji suppose que S n'est pas nul. 
Soit un système d'équations 

<?! «i + b t u 2 +f,«j+... — 7u 

«2«l "+- b ? U 3 +^«3-1-... =7 2 , 



«„+, U, -f- &„_,_, «,, + C n+i «3 +. . . = 7„ +1 , 



"ii en déduit 



"i = ^- 1 '/ 1 + a 27^ + «s7s +• • •> 

»J = Pi 7, "f «27: -f- (Î 3 7j +• • •> 



Soit 



S, = 



on a 
et 



(«) 



( i34 j 

«,, u 2 , y., , . . . , 

p.» P*î Pj> ■ ■ • 5 

lu V--, Va,- •■ > 



rt,a, + a 2 a 2 + « 3 a 3 H- . 
M' 4- 6 2 [4.. 4- i 3 p 3 +• 
Ci7, -1- ^7,, 4- c 3 7j +• 


. = 1, 

.= i, 
■= i, 


«,7i -f- «iV 2 4- a 3 7a 4-. 
b t a, -\- b 2 a.i 4- &3«3 4- • 


. = o, 
. = o, 

. = o, 



ou bien symboliquement 

c'est-à-dire lorsque les lettres latines sont jointes aux 
lettres grecques correspondantes, la somme est égale à i, 
et si les lettres ne sont pas correspondantes, la somme est 
nulle. 

2. Théorème. Soit 

p,j. = a,j. 4- A , bjj. x 4- A 2 c u x" 4- A 3 d a .r 3 4- . . . , 
tùp = a,,. 4- A, py. \ 4- A 2 7y. ç 2 4- A 3 8* Ç 3 4- •' . . ; 

si Ion donne à p. les valeurs successives de la suite 
i , 2 , 3, . . . , n 4- i , les a , b, c , . . . , a , (3, y ayant même 
signification que ci-dessus, et les A étant des quantités 
quelconques, on a 

J^pu.=p, p., 4-/^ 4-. . ./?„+! fA„-H = fonction de xl. 

Démonstration. C est une conséquence immédiate du 
système d'équations (i). 



( i35 ) 

Corollaire. Si A„. est le coefticient biiiominal de z y ' 
dans (i-+- z) n , on a 

V/Jy. = (l -+-xiy. 

Ainsi le produit de n -+- 1 fonctions, chacune de degré n, 
se réduit ici à une fonction de degré 2net de degré n par 
rapport à chaque variable. 

application. Si l'on a n = 2, 

/?,w, +/>,w 2 -+-/?! wj = (1+ #!)*; 

posant 

/>,&), -f- p 2 u 2 — o, 
alors 

x et | ne sont plus des variables indépendantes, et l'on a 

w 2 

M|J9|/?3»3 

Pi Pi — 



P\ P2 lh — 



t>>î 6>3 
6> l/ ? î/ ? 3 <a 3 U|Wj6) 3 />î(l + xÇ] 



WjWj W 2 W 3 

d'où 

/ ) p K {i-\-x%) 

\PlP?f J ) = V W|W 2 W 3 . 

W2W3 

De là ce théorème : 

La racine carrée d'une fonction rationnelle en x du 
sixième degré peut être transformée rationnellement 
dans la racine carrée d'une fonction similaire d'une 
autre variable. 

Eisenstein applique ce théorème à la transformation 
des intégrales abéliennes de première classe; travail qui 
vient d'être considérablement perfectionné et étendu par 



( «36 ) 
VI. Hermite daus une suite de Mémoires insérés dans les 
Comptes rendus, et qui renferment de précieuses et pro- 
fondes recherches sur les déterminants, dont nous espé- 
rons pouvoir entretenir nos lecteurs. {Comptes rendus , 
i855, i CI semestre, pages 246, 304,365,4^7, 485 et 536.) 
Voici la marche d'Eisenslein: 

/j,w, -\- p 3 u>,= F(ar, l) = (1 -f- xl) 1 — p 3 v 3 = 8* — />3«3» 
4 r=: 1 -f- a; Ç ; 

G r /dô\ , ^w 3 ~] Ô 

/7/ô\ „ dw 3 

= - 2 ^bl + ^T 



— d-.l.dc g© 

r/ar =z — = = — - d t 

d x F » 3 rf, F ' 



dont 



\/p\Pt/h = \— w.w 2 w 3 — — 

W2&J3 



f/*' <7 c w~ 



Faisons 



\Jpi P2P3 \/— e»! w 2 w 3 "«F»/'" 

/?, = (a:— r) (a; — 5), 

r et s sont des quantités connues 5 il vient 
(x — s) dx de 



J p,p,pz S/— «i»i«»3 *'«*«*•(* — 5)* 

Entre .r et £ existe la relation quadratique 

/>.w, +/;jw : = o, ou F(.r, g) = o. 



( «3? ) 

Ainsi x est une fonction de £ , et x a deux valeurs en £. 

Mettant successivement ces deux valeurs et sommant. 

on a 

■^-i (x — s) clx de x^ 

w 2 



\/] J ipiP3 s/ — m,w 2 w 3 ** d x Y \X s) 

Mais est du premier degré en x , et F est du second de- 
gré-, on a donc, d'après la théorie de la décomposition en 
fractions partielles, 

Zid x ¥(x— r) F'(r, Ç)" 
Dans et F on a remplacé .r par /'; mais 

F(r,Ç) =-./»«('■). 
où /? 2 (r) est la valeur de p* dans laquelle x est remplacé 
par r; par conséquent /?2('') est une constante. On a 
donc 

[x — s)dx _ ®[r,t)dl 

et de même 



j — /-)rf.r 0(/-, £)<tf? 



2 



YPiPtPa P*( s ) V — w,w 2 w 3 

mais 

(#,£) = p 3 \/2(i — x%) -+■ 273Ç — 2<z 3 .r. 

Ainsi 6(r, £) est du premier degré en £, donc les membres 
à droite de ces équations sont des différentielles d'inté- 
grales abéliennes. 



QUESTIONS . 



299. Soient p un nombre premier plus grand que 3, et 
un nombre quelconque de la suite 2, 3, 4v* P — 2 - 



( i38 ) 
Ecrivons de gauche à droite sur une ligne horizontale 
la progression 1,2, 3, 4V)/ 7 ) et au-dessous une deuxième 
ligne horizontale i+r, 2 + r, 3 H- /*,..., p H- r- puis une 
troisième ligne 1 -}- 2 /', 2 -h 2 r, 3 -f- 2 /',..., /;> -f- 2 r, et 
ainsi de suite jnsqu'à la dernière ligne 1 + (p — 1) r, 
2 -f-(/> — 1) '',..-, /> H- (/? — r) r, et toutes les fois qu'on 
aura un nombre plus grand que p, on n'écrit que le résidu 
de ce nombre divisé par p. Démontrer qu'on ne rencontre 
aucun nombre répété dans aucune ligne horizontale, dans 
aucune ligne verticale, dans aucune des deux lignes dia- 
gonales. ( Crelle. ) 

300. Trouver une fonction de a , b , c , cl telle , qu'en y 

c d 

faisant b == <z, elle devienne — -■> et en y faisant 

2 (c -h ci) J 

c =: d, elle devienne —. r-- (Leibmtz. ) 

2(fl + i) V ' 

301. Soient a, , a % , a 3 ,..., a 9 neuf points d'intersec- 
tion de deux courbes du troisième degré -, par les quatre 
points (?!,«,, a z , a A , et successivement par chacun des 
points a 5 , a 6 , « 7 , a 8 , faisons passer une conique, on aura 
quatre coniques. Les quatre polaires d un point quel- 
conque du plan , par rapport à ces coniques, forment un 
faisceau dont le rapport anharmonique est constant (*), 
ce rapport est égal au rapport anharmonique du faisceau 
que 1 on obtient enjoignant par des droites le point a 9 
aux points « s , a 6 , a-, a s . (Chasles.) 

302. Problème. Toutes les courbes planes du troi- 
sième degré qui passent par huit points donnés se croisent 
en un seul et même neuvième point \ construire ce point 
au moyen du théorème énoncé dans la question précé- 
dente. (Chasles.) 

* yoiti'elles Annales, tome XII, page 36 1 . 



( i3 9 ) 
THÉORÈME DE M. MINDING SIR LA SURFACE D'AIRE MINIMA. 



1. Définitions. Soit une surface quelconque, hormis 
les surfaces développables. 

Section axiale est une section faite dans la surface par 
un plan passant par une droite considérée comme axe. 

Ligne méridionale correspondante à une section 
axiale; par un point quelconque de cette ligne menant 
une normale à la surface, elle est parallèle à la section 
axiale. 

Ily a autantde lignes méridiennes que de sections axiales; 
et toutes se croisent aux points où la normale k la surface 
est parallèle à l'axe. 

Lignes parallèles. A chaque point de cette ligne, la 
normale à la surface fait un angle donné avec Taxe. 

Ainsi, à chaque axe correspond un système de lignes 
méridiennes et de lignes parallèles à angle donné. 

2. Théorème. Soit une ligne fermée quelconque par 
laquelle passe la surface d'aire minima-, les lignes méri- 
diennes et parallèles correspondant à un axe quelconque 
se coupent à angle droit. 

3. Théorème. Dans un plan langent à un cylindre, soit 
tracée une courbe quelconque. Si Ion développe le plan sur 
le cylindre, la courbe engendre une surface telle, que si 
l'on prend pour axe celui du cylindre, les lignes méri- 
diennes et parallèles se coupent à angle droit; elles sont 
aussi les lignes de courbure delà surface. 

Note. M. O. Bonnet a eu la bonté de nous promettre 
prochainement une démonstration intuitive de ces théo- 
rèmes. 



i4o 



SLR M SYSTÈME DE COORDONNÉES DITES CIRCULAIRES-, 

D'après M. W. STAMMER (de Luxembourg). 



Crelle, tome XLI V, page 2g5 ; 1 852 . ) 



1. Soient un cercle donné de centre C, et M un point 
extérieur au cercle et dans son plan. Menons par M deux 
tangentes MA, MB au cercle; A et B sont les points de 
contact. Soit F un point fixe deia circonférence pris entre 
A et B; et désignons l'arc à droite FA par £ et lare à 
gauche FB par y}. Connaissant les arcs £ et y;, le point M 
est déterminé; £ etyj sont dites coordonnées circulaires du 
point M; les points intérieurs à la circonférence n'ont pas 
de coordonnées circulaires réelles. \ peut aussi exprimer 
l'arc FBA et n l'arc FAB ; on peut aussi augmenter \ et yj 
de plusieurs circonférences entières. L'auteur indique les 
formules faciles à trouver pour passer des coordonnées 
rectangulaires aux coordonnées circulaires et vice versa, 
et discute ensuite la courbe donnée par l'équation 

yj = a \ , 

où a est un nombre réel qu'on peut toujours supposer 
plus grand que l'unité. La courbe est formée par un cer- 
tain nombre de brandies infinies qui touchent toutes le 
cercle. On distingue les deux cas où a est positif et a né- 
gatif. 

Observation. L'idée des coordonnées circulaires appar- 
tient à M. Plucker, qui l'a exposée dans son cours à 
l'Université de Bonn pendant l'été de 1847. C'est le sujet 
de la thèse doctorale de M. Stammei . 



( 141 ) 



TIIÉORÈMES SIR LES COXIQl'ES; 

Par M. STEIXER. 



(Crelle , tome XI. IV, page 275 ; i85/j . } 



1 . Théorème. En inscrivant dans un quadrilatère com- 
plet deux coniques , les huit points de contact sont sur 
une même conique. 

2. Théorème. Une conique étant inscrite dans un qua- 
drilatère , si , par les quatre points de contact , on fait pas- 
ser une seconde conique, elle coupera les côtés en quatre 
nouveaux points de contact d'une conique inscrite. 

3. Théorème. Les huit points de contact de deux co- 
niques inscrites dans un quadrilatère complet donnent 
soixante-dix groupes de quatre points \ douze de ces grou- 
pes sont avec deux des quatre sommets opposés sur une 
même conique ; ces douze coniques se partagent en six 
toupies de coniques tels , que dans chaque couple les co- 
niques ont un double contact. 

Ce théorème subsiste aussi pour le quadrilatère com- 
plet. 

4. Théorème. Dans un quadrilatère complet inscrit au 
cercle, le produit des deux perpendiculaires abaissées d'un 
point de la circonférence sur les côtés opposés est con- 
stant. 

Note. On déduit facilement le théorème général suivant 
pour un polygone inscrit d'un nombre pair de côtés; le 
produit des perpendiculaires abaissées sur les côtés de 
rang pair est égal au produit des perpendiculaires abais- 
sées sur les côtés de rang impair [Géométrie supérieure) . 

5. Théorème. Quatre coniques étant inscrites dans un 
triangle, ces coniques prises deux à deux ont encore en 



( *4* ) 
commun, outre les côtés du triangle, une quatrième tan- 
gente T; il y a six de ces taugentes T et elles coupent 
chaque côté du triangle en six points en involution. 

6. Théorème. Si quatre coniques ont en commun un 
foyer et une tangente A , elles ont encore en commun 
prises deux à deux six tangentes T telles, quelles coupent 
la tangente A en six points en involution. 

7. Théorème. Si quatre paraboles ont le même foyer, 
prises deux à deux, elles ont une tangente commune T; 
si par un point p on abaisse des perpendiculaires sur ces 
six tangentes, on a un faisceau en involution. 

8. Théorème. UneparabolePet un systèmede coniques 
confocales C sont donnés dans un même plan. Menons 
les quatre tangentes communes à la parabole P et à l'une 
quelconque des coniques du système C •, soient a , h , c, cl 
les quatre points deconiact sur la parabole, pétant le foyer 
de la parabole, le produit fa. jb .fc.fd est constant. 

Pour toute autre parabole qui a le même foyer j\ le 
produit fa. fb. je. fd reste constant. 



SOLUTION DE LA QUESTION 296 

(voir p. 50); 

Par M. ABADIE, 

Capitaine d'artillerie. 



La question peut s'énoncer ainsi : Étant donnés deux 
systèmes chacun de sept points dans un même plan , trou- 
ver deux nouveaux points P et_P' tels, que si l'on joint le 
point P aux points du premier système et le point P' 
aux points correspondants du second système, les faisceaux 
résultants soient homographiques. Le caractère de deux 
droites correspondantes dans deux faisceaux homogra- 
phiques étani qu'à l'une d'elles dans le premier faisceau 



( <43 ) 
n'en correspond qu'une seule dans le second, il s ensuit 
que m et m' étant les coefficients angulaires de ces deux 
droites, on aura la relation 

(i) Affl»/+Bm + Cffl'+D=o, 

A, B, C, D étant des constantes inconnues, l^s mêmes 
pour deux droites correspondantes quelconques. Comme 
de plus, si l'on désigne par x, y et x',y' les coordonnées 
des points PetP', et par a n , b n et a',, b' les coordonnées de 
deux points quelconques donnés correspondants dans les 
deux systèmes, on aura 

r — b n t y — b , 
m = ? /«' = r » 



l'équation se changera en 

* } I +(x-a a )[C(f—b' n ) + T)(x'-a' n )] = o; 

en faisant successivement 

n = i, 2, 3. . .7, 

on aura les sept équations entre les sept inconnues x, y. 
, , B C D 

Des six premières équations éliminons les cinq der- 
nières inconnues; à cet effet , multiplions les six premières 
équations par les six coefficients indéterminés X n A,, l s , 
X 4 , X s , 1 6 et en posant 

*. (/— *0 + *« (r— *.)■+■•.. + *• (r— * 8 ) = o, 

X, (a? — «,)•+• À, ( -r — «0 + . . . 4- \ (.r — b c ) = o, 
X, ô', (j - 6,) 4- X, &', ( y — b,) r¥- . . . -f- X a b' G {r- b,) = o, 
X, a' [y— b,) + > 2 a' a [y — b 3 )-\-...+ \ e a' a (y— b,) = o, 
X, b\ (x — a,) ■+- X, b\ [x — a,) -h. . . -f- > &' e (.r — 6 S ) = o, 

X, «', ( .r — « , N 1 -+- X, fl', ( x — « : ) -f- . . . -+- X s «' fi ( x — b e ) = o, 



(3) o = détcr. 



( '44 ) 

on aura pour l'équation cherchée entre x et y, 

Cr-M, tr-*,), (■>"-*,), (r-* 4) (r-£ B ), Cr-* s ), 
b\ Cr~ *,), ft' s (r - &,), *3 (r - fc,), a', (r- * 4 ), *' s (r— *.), b' e (r— *«), 
«i Cr-M, "2 (*- 6 »)> "'s O- & 3 )» «4 (r— *«), «s (r —*«)/«• (r — & 6 ), 

(*—«,), (x — a s ), (x— «,), (*-«,), (* — "g), (*— * 6 ), 
°1 ( x — <*»)> fl » (* — a i); a 3 0~ a a)} "i ( x — a *)l "bi* — "ù> "*[* — "») 

équation du sixième degré, mais dans laquelle x et y ne 
dépassent pas le troisième degré. 

Si l'on examine l'équation (3) avec attention et qu'on se 
rappelle qu'un déterminant est nul quand deux lignes ho- 
rizontales sont les mêmes, on verra facilement que les 
coefficients des termes du sixième, cinquième et quatrième 
degré sont nuls; de sorte que l'équation n'est plus que du 
troisième degré. 

Si dans le déterminant on pose 

x = a a , y = b n , 

n étant un quelconque des six premiers nombres , ce dé- 
terminant devient identiquement nul; ce qui est d'ail- 
leurs une conséquence de l'équation (2): il s'ensuit que 
la courbe passe par les points Aj , A 2 , A 3 , A 4 , A s , A 6 du 
premier système P. 

Si dans l'équation de la courbe, on échange respective- 
ment <7 6 , & 6 , rt' g , b' a en rt 7 , & 7 , a',, b'., on aura une se- 
conde courbe du troisième degré passant par les points 
A f , A 2 , A 3 , A 4 , A s , A 7 , P. 

Eliminai! tj' entre ces deux équations , on obtiendra une 
équation en x du neuvième degré; mais comme les deux 
courbes ont en commun les points A t , A* , A 8 , A», A 5 , 
l'équation en x sera divisible par [x — rt-i) , (x — «*) , 
(x — rt 8 ), (,r — «.,), (x — a 6 ) et pourra être réduite à une 



( '45 ) 

équation du quatrième degré. Connaissant les valeurs de 
x, on sait par la méthode d'Abel , soit plus facilement par 
celle de M. Richelot , ou même par le procédé de M. Syl- 
vester, en tirer linéairement Jes valeurs correspondantes 
dey. 

Quant à la réduction de l'équation en x au troisième 
degré, je n'ai jusqu'ici trouvé rien de satisfaisant (*). 



NOTE SUR LES ERREURS RELATIVES ET ABSOLUES; 

Par M. E. GAUCHEREL, 

Capitaine, 
Sous-direcleur des études à l'École impériale spéciale Militaire. 



M. Vieille dit ( Théorie générale des approximations , 
Avertissement) : « Il m'a semblé que dans les Traités 
» d'Arithmétique on s'était attaché trop exclusivement à 
» Y erreur absolue , sans tenir compte de Y erreur rela- 

» tive » Il est bien certain qu'on a tort de s'attacher 

trop exclusivement à l'erreur absolue, mais je crains que 
M. A ieille n'ait quelquefois le tort contraire de chercher 
l'erreur relative, lorsque l'erreur absolue serait plus im- 
portante à étudier. 

Je ne citerai ici pour exemple que la question relative 
à la recherche des triangles les plus avantageux pour la 
mesure des hauteurs. Je traiterai plus tard la même ques- 
tion sur les triangles géodésiqucs. 

Si j'avais à détermiuer les hauteurs de divers édifices, 
je m'imposerais une même limite d'erreur absolue pour 
tous ces édifices , plutôt que d'adopter une limite d'er- 

(*) Les quatre solutions pouvant devenir imaginaires, cette réduction 
ne me semble pas possible, à moins qu'il n'y ait deux racines égales, ce 
qui est invraisemblable. Tm. 

Ânn. de Mathémat.j t. XIV. (Avril i855.) IO 



( '46 ) 
reur relative. Ainsi je chercherais à obtenir les hauteurs 

a un centimètre près, par exemple, et non a ou a 

1 L oooo 

près de la hauteur. 



ioooo 

Le développement de cette question est intéressant au 
point de vue de la pratique et instructif comme discus- 
sion; les applications numériques sont des exercices de 
calcul d'une grande utilité, dans lesquels les approxima- 
tions jouent un grand rôle: essayons de donner une solu- 
tion plus complète que celle de M. Vieille. 

i°. Pour obtenir la hauteur AB d'un édifice, on me- 
sure sur un terrain horizontal une base AC = Z> et l'angle 

ACB = C. 
On a 

AB = AC tang C. 

Mais, si l'angle C comporte une erreur BCD = a , quelle 
est l'erreur e = BD que comporte la mesure de la hau- 
teur h = AB ? 

On a dans le triangle BCD , 

BC . sin a BC . sin a 

sin(B — a) cos(C-f a) 1 

dans le triangle ABC , on a 

BC=-V. 
sin C 

donc 

h sin a 



e 



sinC cos(C + a) 
L'erreur a pouvant être négligée devant C, on a 

h sin a i h sin a 



sinCcosC sin 2C 



(*)■ 



(*) Ce résultat a déjà été obtenu par M Lccointc ( t. IV, p. 58i). 



( '47 ) 
App lication. Soient 

h=5o m , oc =. i' (division centésimale), C = 3o g , 

on a 

sin i'= = 0,000 1 5-- , 

20000 ' 

d'où 

e = o m ,oi9. 

La hauteur h est obtenue à 2 centimètres près. 

2°. Pour une même valeur de h et de a , le minimum 
de l'expression 

2 A sin 7. 
sin 2C 

a évidemment lieu pour C = 5o s . Donc , pour mesurer le 
plus exactement possible une hauteur /*, il faut prendre 
une base a peu près égale à la hauteur à mesurer. 
3°. Posant 

C = 5o% 
il vient 

e — 2 A sin a, 

relation qui indique qu'à des limites de e et de a corres- 
pondent des limites pour la valeur de h. 

Application . Si les hauteurs doivent être obtenues à un 
centimètre près avec un éclimètre donnant une approxi- 
mation d'une minute , la limite de h est 

e o m ,oi 

h = —. — = 4-7 = 32 m . 

2 sin a 0,000014 

Donc, avec un tel goniomètre , on peut obtenir les hau- 
teurs plus petites (pie 3o mètres avec une approximation 
d'un centimètre, en les observant sous un angle de 
5o grades. 

4°. On peut demander quelle approximation on doit 



( i48 ) 
obtenir dans la mesure de l'angle, poii.J avoir la hauteur 
à un centimètre près. On pose 



sin ot. = — - ■ 
ih 

Application. Soient 

* • °> ot , /•-.« 

e = o m ,o i , h = 5o m , sin a = -■> a = o ,bo . 

ioo 

L'approximation angulaire doit donc être d'une demi- 
minute environ. 

5°. On ne peut pas toujours se placer de manière à 
voir la hauteur à mesurer sous un angle à peu près égal 
à 5o grades. Il faut alors trouver la limite des valeurs de C 
pour lesquelles l'erreur sur la valeur de h est plus petite 
que la limite imposée. Cette limite est donnée par l'ex- 
pression 

_ i h sin a 

sin 2 C > ■■ 

e 

Application. Soient 

h = 25 m , a=i', e==o m ,oi; 
on a 

sin 2C^> 0,785, 

d'où l'on conclut que l'angle 2C doit être compris entre 
60 et i4o grades, et l'angle C entre 3o et 70 grades. 

Il n'est pas sans intérêt d'ajouter quelques considéra- 
tions géométriques d'une grande simplicité sur la même 
question. 

L'erreur linéaire qui résulte de l'erreur angulaire BCD 
étant BD, les trois points B, D, C sont sur une eirconfé- 
rence tangente à la ligne BM , faisant l'angle MBD = BCD. 
Cette circonférence coupe généralement l'horizontale \C 
en un autre point C. Tout autre point C" situé sur \C . 
en dehors des points C et C, donne une erreur plus grande 



( '4.9 ) 
que BD. En effet, la ligne C" D", parallèle à FD, donne 
évidemment BD" >> BD. 

Il suit de là que, si l'on conçoit une circonférence tan- 
gente en B à la ligne MB, et tangente à AC , le point de 
contact C sur cette dernière îïi^ne est le point pour lequel 
l'erreur angulaire MBD donne la plus petite erreur li- 
néaire. Si cette erreur linéaire est très-petite , on peut con- 
sidérer la circonférence comme tangente aux deux lignes 
AC , AB ; on a alors AC = AB , ce qui conduit au prin- 
cipe énoncé ci-dessus (*). 

Enfin, je ferai ressortir en terminant combien il est 
évident que l'erreur relative n'aurait aucune signification, 
s il s'agissait de déterminer les cotes de hauteur de diffé- 
rents points d'un terrain. 

Dans les opérations de nivellement, je ne considérerai 
donc que l'erreur absolue. 

On a 

BC sin y. 
~~ cos(C +a) ' 
mais 

AC 



BC = 



doi 



cosC 
b sin a 



cosC cos(C + a)' 
et, en négligeant a devant C, 

b sin « 
6 ~ cos 2 C' 



(*) On ne peut faire intervenir, dans cette question , la considération 
de l'erreur relative que pour faire comprendre que, toutes choses égales 
d'ailleurs, il faut apporter plus de soin dans les opérations quand on veut 
que la mesure dune grande ligne comporte la même erreur absolue que 
i elle d'une petite. 



( i5o ; 

On peut répéter sur cette expression une discussion 
analogue à celle qui a été faite ci-dessus , mais je me con- 
tenterai d'établir ici que , dans les nivellements topogra- 
phiques, on se contente généralement de déterminer les 
différences de niveau à un décimètre près ; que les écli- 
mètres donnent les angles à 2 minutes près, au moins, 
et que les angles à l'horizon sont rarement plus grands 
que i5 grades. 

Si l'on veut chercher la limite de b qui correspond à ces 

nombres , on a 

. c cos 2 C 

b — ; ; 

sin« 
substituant, il vient 

b = 3oi m ,o2. 

Enfin , le tableau suivant donne les valeurs de e corres- 
pondantes à 

a = i', b = ioo m , 

et à difîérentes valeurs de C, 

C= 5*. . . e — o'",oi58, 
C = 1 o g . . . e = o m , o 1 6 1 , 
C = i3* . .. t = o ,n ,oi66, 
C — 20 B . . . e = o m ,oi73 . 

La valeur de e étant proportionnelle à a et a & , on dé- 
duit facilement de ce tableau les erreurs que comportent 
les opérations faites dans des circonstances différentes. 

application . Soieu t 

a. = 2', b = 45o m , C = 12 B ; 
on a 

e = ■?. x 45 X o m ,oi63 = o m ,i48. 



( i5i ) 



RELATIONS 

Entre Ifs lignes trigonométriques circulaires et les lignes analogues 
hyperboliques. 

1 . y' 2 — x~ = — i est l'équation d une hyperbole équi- 
lalère à axes rectangulaires ^ O le centre; A le sommet; INI 
un point quelconque ; MP = y i OAP = x coordonnées du 
point M$ R le point où une parallèle à l'axe OA , menée 
par M, rencontre la tangente en A; S le point où cette 
même tangente est coupée par le demi-diamètre OM : 
OA = 1 . Faisons l'angle ROA = z\ l'aire du secteur exté- 
rieur MOAM = - «, MOP = <p. 

2. La quadrature connue de l'hyperbole donne (voir 
tome V, page 388) 

c" = x -f- y, é~ w == x — y ; 

il ou 

e» + <r 0> e b, —e M 
x = , y = , 



x et y sont des transcendantes auxquelles on a respecti 
veinent donné les noms de cosinus hyperbolique et de 
sinus hyperbolique de la variable w et que l'on désigne 
ainsi, 

x = cos h . w , y = sin h . w. 

Gudermann, comme nous avons vu , désigne ces lignes 
par les lettres de l'alphabet gothique; on a évidemment 

sin h . w = tang z , cos h .m = séc z , 
tang a . m = sinz , sin z = tang <p. 



( l52 } 

D'après ces relations , 

w = log (tang z -+- séc z.) = log tang I 45° H z 

ainsi faisant croîtrez de o à45 degrés, on pourra, au moyen 
des Tables des lignes trigonométriques circulaires, con- 
struire des Tables des lignes hyperboliques dites trigo- 
nométriques et des secteurs w correspondants. Quoique , 
en toute rigueur, on puisse se passer de ces dernières 
lignes, il y a des cas où il est utile d'avoir ces Tables cal- 
culées d'avance. En effet, lorsque, dans la solution d'un 
problème, on a supposé qu'une certaine quantité était 
égale au cosinus d'un arc dès que cette quantité n'est plus 
renfermée entre les limites -f- 1 et — i, les limites com- 
prises, la solution devient impossible; mais on peut alors 
égaler la quantité à un cosinus hyperbolique qui prend 
toutes les valeurs comprises entre H-oo et — oo , excepté 
celles qui sont renfermées entre -f-i et — i. 
Exemple. Soit l'équation 



x 3 — ax — b = o ; 




faisant 




4 /4 , 

/• = 4 / — a , cos â w = 


ib 

r 3 


on a 




x = r cos w : 




solution impossible lorsque — ^> i . 


Dai 


/ ^ 4^ 

cos h ■ . o w = — •, 
r 




et alors 




x = r cos h . w . 




Supposons 

a = 3 , b — 4 > 





Dans ce cas, on l'ait 



4^ 

— - = 2 =r COS // . O i 



( '53 ) 
Consultant les Tables, on trouve qu'à ce cosinus corres- 
pond le secteur 

3 w = o ,57 10,475, 
d'où secteur 

w = 0,1906492; 

et à ce dernier secteur correspond 

cosA.w = 1,0979133. 
Donc 

x = r cos /* . « = 2,1 958266. 

3. Nous avons pris cet exemple dans l'ouvrage de 
Lambert (J.-H.), intitulé : Zusatze zu den logarithmi- 
schen und trigonometrischen tabcllen , etc. Additions 
aux Tables logarithmiques et trigonométriques pour fa- 
ciliter et abréger les calculs qui se présentent dans les 
applications des mathématiques. Berlin, i^7o;in-8de 
210 pages. [Bulletin de Bibliographie, d'Histoire et 
de Biographie mathématiques y t. I er , p. 28.) 

La 32 e Table (page 178) est consacrée aux fonctions 
hyperboliques , et chaque double page est divisée en neuf 
colonnes . 

Colonnes. 

i re Valeurs de z (angle transcendant de Lambert ) croissant 

par degré de zéro à 90 degrés , 
2 e Valeurs correspondantes du secteur ^w, 
3 e — des sinus hyperboliques, 

4* — des cosinus hyperboliques, 

5 e — log sinus hyperboliques, 

6 e — log cosinus hyperboliques , 

7 e tangç, 

8 P log tang ? , 

9 e — <j> évaluée jusqu'à la tierce, 

le tout avec 7 décimales. 



( '54 ) 
Les Tables bien plus étendues de Gudermann ont été 
éditées en Allemagne. Celles de M. Yvon Villarceau , 
encore meilleures , ne trouvent point d'éditeur en France 
( voir tome XI, page 4 I2 )« 

4. Les noms de sinus , cosinus, etc., donnés à ces fonc- 
tions hyperboliques sont justifiés par les relations sui- 
vantes, Table 38 e de Lambert (page i36) : 

sin h ( y +î) = sin hy cos hz -+- cos hy sin hz , 
sin h ( y — z ) = sin hy cos hz — cos hy sin hz, 
cos h ( y -H z ) =• cos hy cos hz -h sin hy sin hz , 
cos h (y — z) = cos hy cos /iz — sin hy sin //z . 

En effet, pour vérifier ces formules , il suffit de remplacer 
les sinus et cosinus par leurs évaluations exponentielles. 
Une manière plus simple est de remplacer y et z par 

iy et iz on i = y — i , 
sin hiy = i sin y. 
cos hiy = cos y , 
sin hiz = / sin z, 

cos hiz = cos z; 
d'où 

sin /i/j cos /W'z + sin hiz cos A/j = i sin ( j + z) = sin h (iz -hiy). 

Faisons y égal à — iy et z égal «à — £2., on trouve la pre- 
mière formule. 

Ces formules servent à la multiplication cl à la multi- 
section de ces transcendantes 

5. Nous voyons encore ici l'immense puissance qu exerce 
sur nous l'habitude, même en mathématiques. Accou- 
tumés que nous sommes à manier les Tables des loga- 
rithmes et des sinus, ces transcendantes nous semblent 
aussi simples que des quantités algébriques ordinaires , et 
dès qu'une question est ramenée à ces transcendantes , 
nous la considérons comme étant résolue , tandis que 



( iS5 ) 
d'autres transcendantes, telles que celles dont nous ve- 
nons de parler, les transcendantes elliptiques, les 
gamma, etc., pour lesquelles les Tables n'existent pas 
ou sont peu connues, nous apparaissent sous un aspect 
eiïïayant, comme quelque chose d'éminemment difficile, et 
ces quantités très-utiles dans les applications sont re- 
poussées de l'enseignement. A ce propos, nous jugeons 
opportun de traduire ici en entier le § 55 (page 48) de 
l'ouvrage cité de Lambert. 

« Avant les temps de ]Neper, ceux qui faisaient de 
» l'arithmétique leur étude favorite trouvaient un passe- 
» temps agréable dans la comparaison des progressions 
» arithmétiques et géométriques, et fournissaient ainsi 
» à ceux qui aiment mieux injurier les mathématiques 
» que de les apprendre, un motif désiré de compter ces 
» comparaisons an nombre des plus inutiles spéculations. 
» Car alors aussi le virlus post nummos , s'opposait aux 
» progrès de la science. Toutefois jNeper n'y fit pas at- 
» tention. Il compara les deux progressions pour voir si , 
» parmi les propriétés remarquables de cette théorie, on 
» n'en trouverait pas plusieurs autres. Les propriétés re- 
» marquables sont rarement isolées. C'est ainsi que 
» Neper parvint à en tirer les logarithmes, et par là la 
» chose cessa d'être une pure spéculation. )> 

Si Neper n'avait pas fait son invention, le calcul inté- 
gral u'en aurait pas moins mené à la transcendante / — 5 

à laquelle on n'aurait certainement pas donné le nom 
de logarithme, et il se serait écoulé peut-être un temps 
très-long, avant de faire l'observation simple que 

h — = — 5 — est une propriété fondamentale pour 

x y xy ri j. 

faciliter les calculs arithmétiques; c'est alors seule- 
ment qu'on se serait mis à construire des Tables pour 



( '56 ) 
cette transcendante. Nous devons à Neper d'avoir cette 
construction probablement un siècle plus tôt. Ceux qui 
préconisent tant les logarithmes, ne savent pas qu'ils 
doivent cet admirable instrument à un arithmologue , à 
un homme aux spéculations abstraites et qui a même 
débuté par un écrit sur la théologie. Il en est de même 
partout. Que saurions-nous dans la mécanique pratique 
sans les méditations théoriques des Ârchimède, des Ke- 
pler, des Descartes, des Newton, des Leibnitz et autres 
illustres rêveurs, que saurions-nous? Rien, rien, rien. Sans 
les travaux de ces hommes illustres nous n'existerions pas. 



SIR LES FOYERS DES MIROIRS SI'HÉRIQllES ; 

Par M. Eugène ROUCHER, 
Ancien élève de l'École Polytechnique, Professeur de Physique 



au Lycée de Nantes. 



La marche suivie dans tous les cours de Physique pour 

démontrer la formule exacte des foyers conjugués des 
miroirs sphériques repose sur des considérations assez 
longues de calcul infinitésimal. Voici une méthode, à la fois 
simple et courte, qui permet d'introduire cette formule, 
et, par suite, les valeurs des aberrations de sphéricité 
dans les cours élémentaires. 

Soient S et C le sommet et le centre d'un miroir sphé- 
riquede rayon R; Pun point lumineux situé sur l'axe SC 
et «lélini par sa distance au centre PC = p ; P' son foyer 
conjugué, dont la distance au centre P'C = p' est in- 
connue. PI étant un rayon incident quelconque, défini 
par l'angle SCI = C , les triangles PIC , P' IC donnent 

P =C — i, 
P'=C-+-r, 



( 'S? ) 
ou 

P=C-/, 

P'=C+/, 

à cause de l'égalité des angles i et /' d'incidence et de ré- 
flexion. On en déduit 

sin P' — sin P = 2 sin i cos C , 
sinP' sin P 



sin; sin/ 



2 C cos C , 



et enfui 



R R 

— =2 cos L , 



1 1 2 

— = — cosL, 

// ,; R 



qui est la formule demandée. 



The Transactions of the Royal Irish Academy. Vo- 
lume XVII ; Dublin , 1837; i n_ 4' Printed by Dixnn 
Hardy, 3, Cecilia street, printer to the Royal Irish 
Academy. 

CjEOMETRICAL PROPOSITIONS APPLIED TO THE WAVE 

theory of Light ; by James Mac Cullagh F. T. C. D. 
Read june 24, i833; p. 241. 



Surfaces réciproques. 

1 . Théorème I. Soient une surface A , un point Qjixe, 
Q un point de la surface A, P plan tangent en Q, OP 
perpendiculaire surV; sur OP on prend l un point R tel, 
que 

OP. OR = &* = ronst. , 



[ l ^ ) 

les points R et Qsont dits réciproques, cl B, surface du 
lieu de R , est surface réciproque de A ,• c'est-à-dire si l'on 
mène un plan tangent à la surface B en R , et si de O on 
abaisse sur ce plan la perpendiculaire OX, elle passe 
par le point Q, et l'on a 

ON.OQ = K% 

et le plan tan gent enT\. coupe OQ perpendiculairement. 
Les rayons OQ et OR sont réciproques. 

2. Corollaire. Si le point Q est un point singulier par 
lequel on peut mener une infinité de plans tangents, au 
même point Q correspondent une infinité de points R 
formant une courbe , et le plan tangent en R à la sur- 
face B touche cette surface le long de cette courbe et est 
perpendiculaire à OQ. 

3. Soient abc, a'b'c' deux ellipsoïdes dont les demi- 
axes a, b, c et «', b', c' coïncident respectivement et ont 
la relation 

aa' = bb' = ce' = K 2 . 

On prend pour le point fixe O le centre commun des deux 
ellipsoïdes -, ces deux ellipsoïdes sont des surfaces réci- 
proques: a grand axe, b moyen, c petit axe 5 alors a' est 
petit axe, b' moyen axe et c' grand axe. Les sections cir- 
culaires des deux ellipsoïdes passent par le même axe 
moyen b, b'. 

Soient Q et R deux points réciproques des deux ellip- 
soïdes 5 OQR un plan passant par OQ, OR; Oqr une 
perpendiculaire au plan OQR coupant l'ellipsoïde abc 
en q et l'ellipsoïde a'b'c' en r\ les lignes OQ, Oq sont 
les demi-axes de l'ellipse, intersection de la surface abc 
par le plan QOq, et de même OR, Or sont les demi- 
axes des intersections de la surface a'b'c' avec le plan 
ROr. 

Si la droite OQ reste dans le même plan , il en sera de 



( IJ iM 
même du rayon réciproque OR. Ces deux plans sont dits 
réciproques. 

Si deux rayons réciproques sont dans le même plan 
principal et, par conséquent, perpendiculaire à un demi- 
axe de l'ellipsoïde , les plans passant par ce demi-axe et 
par les rayons réciproques sont évidemment réciproques. 

4. Théorème II. Si, par un point O de l'intersection 
de deux plans donnés, on mène une droite dans chaque 
plan, et perpendiculaires lune à Vautre, le plan de ces 
droites enveloppe un cône dont les sections, par des 
plans parallèles aux plans donnés, sont des paraboles ; 
la droite perpendiculaire au plan mobile décrit aussi un 
cône dont les sections parallèles aux plans donnés sont 
des cercles. 

5. Théorème III. O le centre d'un ellipsoïde; OQ et 
Oq les demi-axes d'une ellipse, section diamétrale ; en 
O on élève une perpendiculaire à ce plan diamétral. 
Sur cette perpendiculaire on prend OT=OQ, 0\=Oq; 
on aura une double surface, lieu des pointsT et \ . Soient 
OS la perpendiculaire abaissée de O sur le plan tangent 
en T à la double surface, et OP la perpendiculaire 
abaissée de O sur le plan tangent en Q à l'ellipsoïde , 
on aura : i° OP = OS-, i° les droites OP et OS sont à 
angle droit; 3° les quatre droites OP, OQ, OS, OT 
sont dans un même plan perpendiculaire à Oq. 

La double surface est la surface des ondes de Fresnel; 
on peut la nommer surface biaxiale, à raison de sa géné- 
ration et du rôle qu'elle joue dans la théorie des cristaux 
à deux axes. 

La surface biaxiale d'un ellipsoïde abc est désignée 
sous le nom de la biaxiale abc. 

6. Théorème I\ . Les surfaces biaxiales de deux el- 
lipsoïdes réciproques sont des surfaces réciproques. 

7. Premier cas particulier. La section QOq est un 



( I(J ° ) 

cercle dans V ellipsoïde abc. Alors les points T et V coïn- 
cident en un seul point // ; à ce point il y a une infinité de 
plans tangents, puisqu'il y a une infinité de diamètres conju- 
gués rectangulaires dans le cercle; «est le point où les deux 
nappes de ses surfaces bi axi aies se coupe nt : on peu 1 1 appeler 
point nodal ou nœud. OQ décrivant même plan circulaire, 
le rayon réciproque OR décrit un plan réciproque au cercle 
[voir ci-dessus), et comme O^ est dans le plan du cercle, 
nous avons trois droites OR, O/7, OS à angles droits, et 
dont deux, OR, On, sont assujettis à rester dans les mêmes 
plans; par conséquent OS décrit un cône dont les sections 
parallèles aux plans donnés sont des cercles. Or TS, main- 
tenant /? S, est parallèle au plan fixe qui contient OR; 
ainsi le point S décrit un cercle passant par n , c'est-à-dire 
la polaire du point O sur le cône nodal est un cercle. Parle 
point nodal- menons deux plans respectivement parallèles 
au cercle QOq et à son plan réciproque; nommons ces 
plans, plans tangents principaux, alors chaque plan tan- 
gent nodal coupe ces deux plans principaux suivant deux 
droites qui sont à angles droits. 

Par conséquent les sections du cône nodal par des plans 
parallèles aux plans tangents principaux sont des para- 
boles. 

Secoivo cas particulier. ROr est une section circu- 
laire dans l'ellipsoïde a'b'c'; OR, Or deux diamètres 
rectangulaires, et par conséquent 

OR = V. 
Mais 

OR.OP=K 2 = bb'i 
donc 

OP = b = OS. 

{Voir ci-dessus.) Ainsi OS est donné de grandeur et de 
position; car il est perpendiculaire au plan RO/\ Un plan 
mené par S perpendiculaire à OS est tangent au biaxial 



( *6i ) 
abc du point T, et ce plan tangent , parallèle à RO/\ reste 
le même, quelle que soit la position du système OR, Or 
dans son plan circulaire 5 mais le point T varie : car le plan 
ROS, dans lequel se trouve T, change avec OR. Donc le 
point T décrit une courbe de contact sur le plan tangent, 
et cette courbe est un cercle passant par S. 

En rapportant la même considération aubiaxial a' b'c', 
on trouve l'inverse : le point nodal se change en cercle et 
le cercle en point nodal. 

8. La section faite dans une surface biaxiale par un 
plan principal de l'ellipsoïde est généralement un cercle 
et une ellipse. Si la section est faite par le plan &c, le cercle 
est dans l'intérieur de l'ellipse; si la section est faite par 
ah, le cercle est hors de 1 ellipse; et par le plan ac , le 
cercle coupe l'ellipse. 

Surfaces apsidales. 

Les surfaces bi axiales sontuncas particulier des surfaces 
apsidales. 

9. G est une surface, O point fixe origine; par O me- 
nons un plan coupant la surface G suivant une courbe, et 
par ce même point élevons une perpendiculaire au plan 
coupant; sur cette perpendiculaire prenons des lon- 
gueurs g à partir de O, égales aux normales menées de O 
sur la courbe. Le lieu des points ainsi déterminé est une 
surface apsidale dont O est le centre, car les longueurs 
se portent en deux sens. 

Théorème. Si l'on mène des plans tangents à deux 
j>oints correspondants A et a. sur la surface G et sur la 
surface apsidale correspondante, ces plans tangents sont 
perpendiculaires l'un sur l'autre et au plan AOa. 

Théorème. Les surfaces apsidales engendrées par 
deux surfaces réciproques sont des surfaces réciproques 

Ann. de Mathcmat.. t. XIV. Mai i855 / I 



( i6 2 j 
Exemple. Si G est une sphère, la surface apsidale est 
une surface de révolution. 



SOLUTION D IN PROBLÈME SLR LE TRIANGLE RECT1LIGNE; 

Pak M. Jules VIEILLE. 



Étant donnés de position le centre A du cercle cir- 
conscrit à un triangle, le centre B du cercle inscrit, le 
centre de gravité G de Taire et le point de rencontre C 
des trois hauteurs , on peut se proposer de résoudre le 
triangle. On sait que trois de ces quatre points A , G etC 
sont toujours en ligne droite et que la distance GC est 
double de AG. Il en résulte que la connaissance des dis- 
tances mutuelles des quatre points n'équivaut qu'à trois 
conditions distinctes. 

Euler a montré [Mémoires de Saint-Pétersbourg, 1776) 
comment le calcul des côtés du triangle, en fonction des 
distances mutuelles de ces points , se ramenait à la réso- 
lution d'une équation du troisième degré. L'analyse d'Eu - 
1er a été reprise avec d'utiles développements par le sa- 
vant directeur des Nouvelles Annales (t. I, p. 79). 

Le but que nous nous proposons ici est plus restreint. 
Nous supposons que le centre B du cercle inscrit soit placé 
sur la ligne droite qui contient déjà les trois autres points, 
et, dans ce cas particulier, des considérations très-simples 
nous fournissent pour les côtés des longueurs construc- 
tibles avec la règle et le compas. 

Voici donc l'énoncé de notre problème : 

On suppose quele centreBdu cercle inscrità un triangle 
MNP soit situé sur la droite AGC qui joint le centre A 
du cercle circonscrit, le centre de gravité G. et le point 



( i03 ) 

cl "intersection C des trois hauteurs. On donne de plus les 
distances AB = f, BG = h. 

On propose de calculer les longueurs des côtés du tri- 
angle, et de construire les valeurs fournies par le calcul. 

FlG I. 




Solution. Démontrons en premier lieu que le triangle 
MNP est isocèle. Il est visible que la bissectrice MB passe 
par le milieu K de l'arc PN, et que la droite AK ren- 
contre le côté PN en son milieu I, situé sur le prolonge- 
ment de MG. De plus MC et AI étant parallèles comme 
perpendiculaires à PN, on a la proportion 



MC 
AI 



GC 
ÂG 



et comme on sait que GC est double de AG, on en lire 
MC = 2 AI. 



De même 



AC = 2 AH , 



II désignant le milieu du côté PM. 

Ceci ne suppose pas que le centre B du cercle in- 
scrit soit sur la droite AGC. Si maintenant nous avons 
égard à cette condition, les triangles semblables MBC, 



( ,64 ) 

ABK nous donneront la proportion 

MC_BC 
ÀK. - ÂB 1 
d'où 

AK.BC 

mais si Ton avait considéré, au lieu de la perpendiculaire 
MC qui répond au côté PN, la perpendiculaire NC qui 
répond au côté PM, on aurait eu une proportion qui 
n'eût différé de la précédente que par le changement de 
MC en NC. On conclut de là 

et , par suite, 

AI = AH. 

Mais AI et AH sont les distances du centre A aux deux 
cordes PN et PM. Donc ces cordes sont égales et le trian- 
gle MNP est isocèle. 

La droite des centres AGBC , ayant deux points A et C 
équidistants des sommets M et N, se confond donc avec 
la perpendiculaire élevée sur le milieu de MN-, et, par 
conséquent, elle passe par le sommet P du triangle isocèle. 

Il faut bien remarquer que le raisonnement par lequel 
on vient de prouver que MC = NC , ne s'appliquerait pas 
à la troisième hauteur PC. Car les points A, G, B étant 
situés sur cette droite, les triangles semblables, analogues 
à ceux dont on vient de faire usage, s'évanouiraient. 

Maintenant , connaissant f et h, proposons-nous de 
calculer les côtés PN = a, MN = b. 

SoitR le rayon du cercle circonscril ; on a 



MC = 2 AI 



v/*-f 



AK = R, 
AB=/, 

BC = 3 AG — AB = 3 (/-- //) - f =•>./— U 



( '«S ) 
Ces valeurs, substituées dans la proportion 



MC _ BC 
ÂK~ AB 



(loillK'Ilt 



«1 où Ton tiir 



4R -' — a 1 _ (2/— 3/<) : 



D'ailleurs on a 

PG = R + /—/<, 

égalant ces deux expressions de PG, il \ ient 
(2) tf=3R(R+/- h). 

L'élimination de R entre les équations (1) et (2) fait 
connaître a : 

_ /v / 3/.(4/-3/Q 
3A-/ 

les mêmes équations donnent aussi cette valeur remar- 
quable de R : 

/ : 
R = — 

3A-/ 

Pour achever de déterminer le triangle, il faut calculer 
le côté b. A cet efîet, remarquons que la bissectrice MB 
divise aussi en deux parties égales l'angle AMC, puisque 
les angles BMC, BKA sont égaux comme alternes-in- 
ternes, et que BKA est égal à A MB à cause de l'isocé- 
lisme du triangle MAK. On conclut de là que les angles 
CMQ, AMP sont égaux. Les triangles isocèles MCJN . 
M \ P sont donc semblables, et I on a entre les côtés homo- 



( M ) 



b MC 




a MA 




MC BC__a/— 3A 
MA ~~ BA " / 




b if—Zh 
~a~ f ' 




o= a - -, 




( 2 /-3A)v/3/*(4/- 


-3/0 



logues , 



Mais 



donc 



d'où 



enfin 



Zh—f 

Ces formules se construisent sans difficulté par moyennes 
et quatrièmes proportionnelles. Elles supposent/^ 3/ï, 
autrement les valeurs de a , b, R, seraient négatives. 
La condition /<^3/j équivaut à celle-ci : 

2/-3A</, 
ou encore 

. b<«. 
d'après la proportion établie plus haut. Ainsi les formules 
précédentes répondent au cas où les côtés égaux du tri- 
angle isocèle MNP sont plus grands que la base , ce qui 
a lieu dans la jig. i . 

Dans le cas contraire (fig. 2), les quatre points A, G, 



Fie 2. 




( »»7 ) 
B, C, quoique se succédant toujours dans le même ordre , 
sont disposés inversement par rapport à la base. L'équa- 
tion (i) ne change pas-, mais l'équation (2) devient 

o 2 — 3R (R + /i— /). 

Il en résulte un simple changement de signe dans le dé- 
nominateur commun des valeurs trouvées plus haut pour 
«, b, R: il faut écrire (/ — 3/i) au lieu de (3/* — f) 5 et, 
en effet, on a dans ce ca.sf~^> 3/*. 

Si l'on supposait f = 3 h , les formules précédentes 

se présenteraient sous la forme - ; cependant la propor- 
tion 

b _ if- 3k 

«~ f 
donne alors 

a=b. 

Pour interpréter ces résultats, remontons aux équa- 
tions (1) et (2). Elles se réduisent, dans l'hypothèse 
/'= 3 h , à 

a'= 3B*, a'= 3R(R+2/i): 

équations contradictoires, à moins que l'on n'ait 

h = o , 
et, par suite, 

/=o. 

S il en est ainsi , les deux équations s'accordent adonner 
a = R s/3, 

valeur qui appartient au triangle équilatéral, et le rayon R 
reste indéterminé. 

En effet, on sait que dans tout triangle équilatéral, 
les quatre points A , B, G, C sont confondus en un seul . 



( i68 ) 
En résumé, selon qu on aura 

/<3// ou />3A, 

le triangle isocèle aura son côté plus grand ou plus» 
petit que sa base : on ne saurait avoir f = 3 h, à moins 
que les distances/" et h ne soient nulles, auquel cas le 
triangle est équilatéral , et son côté reste indéterminé. 



QUESTION SIR UN JEU DE CARTES. 

(Crelle, t. XLIV, p. 3i8; i85.2.) 

1. Soient m et // deux nombres impairs , 
m = 2/> +1 , n — 1 q + 1 ; 

et soient mn objets différents , des cartes par exemple , dé- 
signées par c t , c t ,c 3 ,..., c„,„ réunies dans un paquet et où c* 
occupe la A"""" place 5 allant de gauche à droite, mettons les n 
premières cartes à côté les unes des autres, Ci,c 8 ,ç 3v ..,c n ; 
ensuite plaçons la n -h 1"'""* carte sur c, , la n -f- 2 ,ème 
carte sur c 2 , etc.; continuant de même, on aura n pa- 
quets de m cartes chacun. Considérons une certaine carte 
c< où À est un nombre donné; cette carte est dans un pa- 
quet de rang que nous désignons par /', et y occupe la 
place s t ; ou réunit de nouveau tous les paquets, sans 
mêler les cartes, mais en plaçant le paquet r\ au milieu, 
de manière qu'il y ait q paquets au-dessus et q paquets 
au-dessous. On recommence la même distribution \ alors 
c k sera dans le paquet de rang r 2 et y occupe la place s 2 ; 
on réunit de nouveau les cartes en un seul paquet, mais 
en plaçant le paquet i\ aumilieu, et ainsi de suite : de sorte 
qu'après la V ; ' mp distribution, c k est dans un paquet 
désigné par i\ et y occupe une place s t . On demande quelle 



( ^9 j 

valeur il faut donner à t pour que s, soit égal à p , c'est-à - 
dire pour que la carte c k soit au milieu du paquet. 

Lorsque t est connu, on a un moyen de deviner une 
carte pensée. Ordinairement on fait m = 7, n = 3 ; alors 
t = 3. 



NOTE 

gor les cercles des rapports taugentïels et leurs relations avec les axes 
radicaux et les cercles taugentïels ; 

D'après M. I.-I. WILKIXSON. F. R. A. S. 

Nous ne rapportons que les énoncés : 
Étant donnés deux cercles de grandeur et de position 
et de rayons r et R, si d'un point P on mène aux cercles 

PI 

retR les tangentes PI , P\ , telles que — = p = const. , 

le lieu du point P est un cercle M : c'est celui des rap- 
ports tangentiels; si p = — , le lieu est le cercle de simili- 
tude O des deux cercles r et R ; lorsque p = i, le cercle 
des rapports taugentïels devient l'axe radical des cercles 
re'R; les trois cercles r, R ef M oni /e même axe radi- 
cal. 

Quant aux propriétés résultant de cette relation, 
M. Wilkinson dit qu'on peut consulter le chapitre XXX 
of M. Chasles's admirable Traité de Géométrie supé- 
rieure, pages 5x8-532. 

Dans cet opuscule de huit pages, on cite les ouvrages 
périodiques suivants, nullement connus sur le continent ; 
Gentelmen's Diarj, Mathematical Compati ion , Boston 
J-.nquirer, Library ofUseful Knowledge. Les géomètres 
rites sont : John Gough, mathématicien aveugle de Ken- 



( «7° ) 
lalf, Richard Nicholson de Liverpool , M. Lowry, James 
Cunliffe de Balton , Butterwerth, Harvey, Eyres, Davies 
(mort), Morton, J.-H. Swale (mort). Tous ces géomètres 
se sont occupés des axes radicaux, des cercles de simili- 
tude, etc. 5 on cite aussi les Loci plani et de Porismatibus 
de Simson, et Geometrical analysa de Leslie. 



SOLUTION DE LA QUESTION 278 (JACOBI) 

(TOlr t. XU, p. 260) ; 

Par M. BRIOSCHI, 

Professeur à l'Université de Pavie. 



En posant 



R = 



abc 

a, b, c, 
« 2 b, c 



dR dR dR 

*=&' P= rf£' 7= ^' 



on a , par un théorème connu , 






a p 7 




R 2 = 


a, p, 7. 






a-i Pj 7i 1 


Si de plus on pose 




a' + p 2 + 7 * = A, 


aa, + pp, +77, = D , 


■ï+PÏ+7-ï=B, 


ax 2 + pp, +77, = E, 


«ï+Pï + vî-c, 


x,a+ p, p,+ 7,7,= F, 


et 




a- + a] + a* = A, , 


ap + a, p, + a 2 f$ 2 = D, , 


P+tf + K— ».i 


a7 + a, 7, + «57, = E,, 


7' + 7Ï+7! = Ci 


P? + Pi 


7l + p,7, = F,, 



( '7< ) 

les équations des deux ellipsoïdes, à cause des notalions 
ci-dessus, reçoivent la forme 

A / : + B /' + C z ! + îD jj + 2E xz -f- ?.F yz = /% 
A.x'-f-B, j 2 -l-C,3- ■+• 2D,xj-(- 2E,#z -f 2F, j»z = / ? . 

Ces deux ellipsoïdes sont égaux lorsque les coefficients 
des mêmes puissances de Q dans les deux équations sui- 
vantes sont égaux : 



= o, 



A — 9 D 


E 




A, - 9 D, E 


D B — 9 


F 


= 0, 


D, B, — 9 F 


E F 


C-9 




E, F, C,- 



ou lorsqu'on aura 



(0 



A -+- B 4- C = A, -h B, 4- C, 



(a) 


A D 
D B 


4- 


A E 
E C 


4- 


B F 
FC 


= 


A,D, 
D, B, 


-+- 


A, E, 
E, C, 


-+- 


B,F, 
F,C, 




A D E 




A, D, E, 




(3) 


DBF 


= 


D, B, F, 


• 










] 


E F 


C 




E, F, 


C, 









La première de ces équations est évidente. Pour vérifier 
la seconde, j'observe que, par un théorème connu, on a 

a (3 3 a 2 p 2 l 2 



A D 
D B 



4- 



ct que , par un autre théorème , on a 



« p 
a, p, 



= R 



dadb. 



Rt,, 



par conséquent, 



AD 
D B 



= R»(c» + c; +-cl). 



( »?3 ) 

= B i (b*+b\ +b\ I, 
= R (a s + a] -+- a?)» 
= R 2 (« 3 ! 4-£* 4-6-=), 
= R'(rtî -M* -hçî), 
= R 2 (« 2 -f- ¥ -+- c-); 

expressions qui vérifient la seconde équation. La troisième 
est vérifiée tout de suite en carrant l'équation (i) , et, en 
exécutant le carré par ligne et par colonne (*) , on aura 
ainsi 

R 1 = 



( h\ trouve de 


même 




A E 




E C 




R F 




F C 




A, D, 




D, R, 




A, E, 




E, C, 




R, F, 




F, C, 



A D E 




A, D, E, 


DBF 


= 


D, B, F, 


E F C 




E, F, C, 



RELATIONS DE DISTANCE ENTRE DES POINTS, 

Par M. RRIOSCHI, 

Professeur à l'Université de Pavie. 



Notation. Désignons par a rs le carré de la distance des 
deux points désignés par a,. , a s , de sorte que 
a rs = a sr et o rr = o. 
i". Trois points en ligne droite 



«II, «lï, «13, 1 



«„, «23, 



1 , 1 , 



a , esl uns pour la symétrie 



I, «11 
h 



a n = « 33 = II,, =: o, 



(*) 



> 3 + ;? : + /)4-... = (* a -+- Kj-t- »{) -¥.... 



( '73 ) 
2°. Quatre points dans un plaît. 



"n, <h:, «13» "i>5 l 
du , 1 



«ai ? ",2, 

«31 j «3», «33, «3(, ' 
",l , ««, «43 > «« ' • 
I, », I> 



'44 ? 






— «n 



3°. Cinq points dans l'espace. 



«u , a,, , «13 j "m "i5' 

«31, «23, «-3, «34, fl -'S' 

«31, «JJ, «33, «34, «35 

«41 . ",:> «43 , «44 > «4SI 

«SI , «Sï, «53, «54 ) «55 



I , I , I , I , I , «66 

Les barres désignent des déterminants. Ces valeurs ne sont 
pas nouvelles (Carnot) ; la nouveauté est dans la forme. 

Note du Rédacteur. Le5 déterminants forment au- 
jourd'hui une théorie importante , féconde , indispensable 
dans l'Algèbre, la Géométrie et la Mécanique élémen- 
taires et supérieure. De toutes parts, les professeurs de- 
mandent un ouvrage qui donne cette théorie et ses prin- 
cipales applications. L'Angleterre possèdedepuis quelques 
années un tel ouvrage, et M. Brioschi a publié l'an der- 
nier un Traité sur les Déterminants qui renferme tout 
ce qu'on peut désirer. Cet ouvrage étant de niveau avec 
tous ceux qu'on a écrits sur cet objet et les dépassant 
même en quelques points , M. le professeur Combescure 
en a fait une traduction qu'il a bien voulu me commu- 
niquer. Fidélité, élégance, éclaircissements, rien ne 
manque à ce beau travail, dont la publication très-pro- 
chaine satisfera à un devoir universitaire 



174 



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NOTE SIR LE SENS DES HÉLICES. 



4 . Nous supposons que l'hélice est décrite par un point 
qui se meut sur une droite parallèle à un axe fixe verti- 
cal autour duquel elle tourne. Si un spectateur est placé 
dans l'axe , la tête vers le zénith , il voit passer la droite 
mobile devant sa face, ou de gauche à droite (GD), ou de 
droite à gauche (DG); le mouvement de progression du 
point mobile peut avoir lieu du zénith vers le nadir (ZN ) 
ou du nadir vers le zénith (NZ) ; de là quatre sortes de 
mouvement: GD, ZN; GD, NZ ; DG, NZ; DG, ZN. Il 
est évident que les deux mouvements GD, NZ etDG,ZN 
désignent la même hélice; de même GD, ZN et DG, NZ. 

L'hélice GD, ZN est dite dextrorsum et l'hélice GD, 
NZ est dite sinistrorsum. A vitesses égales les deux hé- 
lices sont svmétriques, douées de propriétés d'égalité et 
non de superposition. 

On ne construit que des vis dextrorsum pour faciliter 
le mouvement naturel de la main droite. En donnant à 
ces vis le mouvement de rotation GD, elles prennent le 
mouvement de translation NZ, c'est-à-dire de haut en 
bas , ou en avant. En imprimant à ces vis le mouvement 
de rotation DG, elles prennent le mouvement de trans- 
lation NZ , c'est-à-dire de bas en haut ou en arrière. Car 
les deux hélices GD, ZN et DG, NZ sont identiques. 
Dans les plantes grimpantes , chaque espèce décrit une hé- 
lice déterminée, par exemple l'hélice du houblon est 
dextrorsum et celle du haricot est sinistrorsum (*). 

L'hélice apparente annuelle que décrit le Soleil est dex- 

(*) Les bouts d'essieux sont taraudés pour recevoir des écrous qui, 
pressant contre les moyeux, maintiennent la roue. Le bout de droite a une 
?H dixirorsum et le bout de gauche sinislrorsum, afin que dans la marche 
tu avant les moyeux frottant contre les écrous ne les dévissent pas. 



( «76 ) 
krorsum depuis le solstice d'été jusqu'au solstice d'hiver, 
et sinistrorsum du solstice d'hiver au solstice d'été, le 
spectateur étant l'axedel'hélice, la tête vers lepôleboréal, 

2. Lorsque l'hélice est plane, elle est ou une courbe 
fermée ou une spirale. Soient un point A situé dans l'inté- 
rieur et ZAN une perpendiculaire élevée en A sur le plan. 
Un spectateur placé en AZ, ayant la tête en Z, verra le 
point décrivant passer devant lui de G en D ou de D en G, 
et le mouvement sera désigné par GD, dcxirorsum, ou 
par DG , sinistrorsum . Si un second spectateur est 
placé en AN , la tête en N j il y a inversion ; le mouvement 
GD du premier devient DG pour le second. Ainsi placé 
au pôle boréal , la Terre tourne pour lui dans le sens DG 
et au pôle austral dans le sens GD. Dans la théorie des 
couples, on convient de porter sur l'axe AZ la valeur du 
couple qui , pour le spectateur AZ, tourne dans le sens 
GD ou dextrorsum , et sur AN la valeur du couple DG ; 
il en est de même pour un spectateur AN ; le couple GD 
est porté sur AN. En effet, le GD du spectateur AN est 
DG pour le spectateur AZ, on doit le porter sur AN. On 
voit donc que de quelque manière que le spectateur soit 
placé relativement au plan du couple, en dessus ou en 
dessous , le sens du couple est toujours représenté par la 
même portion de l'axe. Il n'y a jamais ambiguïté. 

3. Un spectateur placé dans l'intérieur de l'orbite de ta 
Terre, à un foyer par exemple, la tète vers le pôle boréal 
du monde, voit cette planète tourner autour de lui dans 
le sens GD, ce qui est le sensinversedes signes. La paral- 
lèle à l'axe terrestre menée par ce foyer décrit un cône bou- 
clé autour de l'axe, position du spectateur, par rapport 
auquel ce mouvement s'exécute dans le sens DG \ c'est 
aussi celui de l'intersection de l'équateur avec l'écliptique. 
ou le sens de la précession des équinoxes. Sur un cadran 
horizontal la marche de l'ombre est GD. On sait d'ail- 



( '77 ) 
leurs que cette ombre est la ligne d'intersection de la sur- 
face du cadran avec le cône qui a pour sommet l'extré- 
mité du style et pour directrice l'hélice annuelle du Soleil. 
Chaque spire de cette hélice étant sensiblement un cercle, 
la partie diurne de l'ombre est, dans nos latitudes et sur 
un cadran plan, sensiblement une portion d hyperbole. 

4. Coquilles gastéropodes. On sait que ces coquilles 
sont des surfaces hélicoïdales. Supposons la coquille dans 
sa position normale, celle qui a lieu dans le sens de la 
progression. Le sens de l'hélice est généralement dex- 
irorsum et de même 1 ouverture. Il y a une exception qui 
fournit un caractère générique. 

On connaît l'importance du sens des hélices dans les 
courants électromagnétiques et des déviations dextrorsum 
ou sinistrorsum des plans de polarisation. 

o. Le mouvement hélicoïdal est le seul qu on rencontre 
dans la nature, parce qu'il est le résultat de l'action de 
couples. Toute force qui ne passe pas par le centre de 
gravité d'un corps engendre un couple ; or le nombre des 
points d'un corps est infini et le centre de gravité est un 
seul de ces points : par conséquent, il y a à parier l'infini 
contre l'unité que la force ne passe pas par le centre de 
gravité et qu'il y a couple et hélice 5 ainsi le mouvement de 
tout corps céleste, sans excepter les soleils , est nécessaire- 
ment hélicoïdal, formé de progression et de rotation. Ce 
mouvement est décrit avec clarté et précision dans l'excel- 
lente Cosmographie de M. Faye, production d'un sava.it 
compétent, astronome pratique et dont l'ouvrage, d'une 
étude attrayante, ne saurait être trop recommandé. On y 
a adopté (il n'y aurait pas eu d'inconvénient à le dire) la 
méthode de Lacaille , qui consiste à partir des mouve- 
ments réels pour venir aux mouvements apparents, marche 
rationnelle et qui facilite tout. Car le système du Polonais 
Copernic, qui répugnait encore a Pascal comme jansé- 
.*••". ilr Mathcmat., t. MY. (Mai i855. 13 



( '78 ) 
nisle , est aujourd'hui du domaine public , et le système 
de Ptolémée est repoussé même par le vulgaire. Toute- 
fois, il règne encore dans l'histoire, c'est-à-dire que 
nous nous persuadons toujours que le genre humain est 
le pivot, le centre de tous les événements passés et à ve- 
nir et que le sort de l'univers est lié à celui de l'homme; 
inspiration de l'orgueil, mauvais logicien ,»qui sur mille 
nous trompe neuf cent quatre-vingt-dix-neuf fois, dans 
les appréciations individuelles et générales. 



THÉORÈMES 

Sur U disparition des rectangles dans les fonctions homogènes entières 

quadratiques à n variables, applications géométriques 

aux lignes et surfaces dn second degré ; 

D'après M. O. H ESSE, 
Professeur à l'Université de Kônigsberg. 



(Crei.le, t. XX, p. 285; i84o. 



1. Notation. Etant données les n variables x t , x 2 , 

x 3 ,..., x„, le symbole ^« x x' X x' x x signifie qu'il faut 

donnera y. et à / toutes les valeurs de la suile i, 2, 3,...,//, 
et poser 

a , — « , 

K , À X , X 

D'après celte convention, un rectangle aura pour coefii- 

• • i i-i ? n(n + i) 

cient 2 5 ainsi le symbole renterme — - — - termes, sa- 

n[n — i) , „ 

voir// carres et — * — — - rectangles. Prenons, par exem- 
ple , // = 3 5 alors le symbole désigne la fonction 
a u x) -f- n r2 .x\ -\- a 3i x] + 2/t l3 x l x i -h 2«,,.r, x 3 -+- 2a 13 ar a x ; 

car 



( K9 ) 
Soient n autres variables j,, y % ,..., y, n écrivons 

( i ) x . = x> 'j,+^x, + . . .-i-x'! y„ , 

et donnant à 1 les valeurs de la suite i, 2, 3,..., n, on 
obtient n équations de relation entre les variables x et 
les n variables y, dans lesquelles entrent n* coefficients, 
et où x^ est le coefficient de la variable y . Si n = 3, 
on a 

#. = ■*\ 11 Ji -+- ■* ," /a -H •*'," r :! , 
x 2 = x : y ! r, -h *£> r, -h .r 2 3 ) j 3 , 

.r, = x]> j, -f- ^/ a -f 4 3 >^ 3 . 

2. Substituant les valeurs dex ; tirées des h équations (1) 
dans la fonction 



Sa 



.x .x 



on obtient une fonction quadratique entière homogène 
en y. Si l'on donne aux n- coefficients indéterminés xS^ 
des valeurs telles, que les rectangles disparaissent, on 



aura 



( 2 ) S/*, *• r « -*i = Gi - r ' + G *rf + ■ ■ • + G ^ ' 

et ces équations de condition 

cl "V n . x'i'l X 1 ?) d V r/ #■'/) x^) 
o = x\P> \- X\f 1- . . . 

<ix\i 2 <U.;<> ^ 

d > a . x'-'iï xty 

4- x {^ , 

(4) <v = 2> ^ -;"; 

en donnant dans (3) à /> et </ les valeurs diverses de la 

o i • n ( " — ' ) ' 

suite 1, 2, o,..., m, on obtient — — équations entre 



( i8o ) 
jes w" coefficients xi^ qui expriment que les rectangles 
ont disparu. En effet, la substitution faite, ordonnons ce 
qui multiplie le rectangle J v y q -, d'après les coefficients 
r[>'\ x'f',..., x'/\ alors xW sera multiplié par 

ec >rj > n qui peut se mettre sous la forme 

d 5/<« *W«', 

dxY 1 

en donnant à x toutes les valeurs de la suite i , 2, 3,. . . , // 
De même, pour ce qui multiplie x'j'\ etc., on est ainsi 
amené au système (3). Pour « = 3, on a 

4?> [anx^ + a,, *«+«,,*«] 

+ x<f [p„ *« -+- a 2î *Ç> -h a 23 xf] 

-+■ x^ [a» *<■) 4- «»*« + « 2 , r/'] = o , 

et une seconde équation en changeant les indices supé- 
rieurs 1 en 2 et 2 en 3, et laissant les indices inférieurs, 
on déduit de même une troisième équation de la se- 
conde. 



Les ■ équations (3) renferment « 2 indétermi- 
nées 5 par conséquent on peut donner des valeurs arbi- 
traires a de ces indéterminées -, les n équations (4) 

donnent les n valeurs de G p . 

Il est évident que les équations (3) ne changent pas en 
remplaçant p par «7, et vice versa. 

Prenons n nouvelles variables y n+i , j„ +2) ..., J's,o et 
établissons la relation suivante entre les x et ces va- 
riables 

(5) x.=X^+>)y, l ^ + x!> + ^r )l ^+...- h ,r.}»)y, , 



( 181 ) 
et À prenant toutes les valeurs de la suite i, 2,..., // ; 

substituant ces valeurs dans la fonctions y a , X .X.. 

et taisant disparaître les rectangles, la fonction se ré- 
duit à 

*>i 1 ou a comme ci-dessus: 



6 



f ■<• 



n+p 



*2 fl .,^*ï ,+f) *î M ■ , 



dx^+ri 






niellant à la place de p et y les diverses valeurs de la suite 

, . ra(/i — 1) , . 
i,a, i;...j "1 on °klienl — - — — '- équations de condi- 
tion. 

Or les n[/i — 1) équations (3) et (6) renferment les 

n(n —1) , 4 , «(« H- 1) 

— constantes*?, ;, ou plutôt les — 1 rap- 

2 ' r 2 * 

ports entre ces constantes et lune d entre elles-, élinii- 

, . ( n — 1 ) ( n — 2 ) , 
riant ces constantes, on obtient- équations 

entre les 2 « 2 coefficients x\'\ x^\..., x!, 2 „"^ mais nous 
allons voir que ces équations peuvent être remplacées par 
d autres plus symétriques ci n'exigeant pas autant déli- 
!ni nations. 



( *8 2 ) 
3, A cet cfîet, si des équations (i) nous déduisons 
vice versa, 

( 8 ) y , = X ( , ;) *, + X ( 2 ;) *, + ./.+ X? 5 *„; 



(9) 



, = ,,L 1) x? ) .+-î , x? ) +...+*î ,) x? > . 



On obtient les deux premières équations en plaçant les 
valeurs des x déduites de (î) dans l'équation (8), et. les 
deux dernières en plaçant les y déduites de (8) dans l'é- 
quation (i). 

Mettant la valeur de r dans l'équation (2), on ob- 
tient 
( IO ) a y., 1 = Gr ' X x X ; + tr2X / X i +• • •+ G„X^'X; '; 

ayant égard aux équations (9), on trouve les ?i équations 
suivantes: 

j a n x'p) H- a l2 x[r"> -+- . . . + a ln *i P) = G p X\ p) , 
• 1 ) | a» xM + flM x <* -h . . . + a tn x^ = G p x[ p) , 



[ <? n i* C /° + tf„ s f l /° + • • • +- «„ -^ = & P X « P) - 
On tire de ces équations : 

tL = Al> , X^-J- A,,, X^-h. . .+ A,,„ X<f>, 
G P 

f-L = A,., XW+ A,,, Xi/) 4- . . + A,,„ X,/' , 

1 al ( "y, 



^L = A,,,, Xf>+ A,., XW+ . .+ A„,„ X«, 



( '83 ) 
oùles A sont des fonctions des a etl on a aussi À x ,i= A;,,; 
ces équations sont représentées par celle-ci, 

(p) 

-JL = A Xjl XW+ A z , 2 XW + ... + A,,, Xf, 
G, 

en donnant à x les valeurs de la suite r, 2, 3,..., «. 

Si nous multiplions cette équation par x* , et donnant 
hp les valeurs 1, 2, 3,..., //, on obtient h équations, dont 
T addition donne 



■'3) i A',>=-\ 






G, G 2 G f , 



la formule (5) fournit de même 

- A,.;. = 



(n-M) (n+1) (n-i-g) (n+2) 



y. à 



(«4) 



G,„ 
ajoutant, on a 

(«5) 



Gfl-H G n+ j 

(2; 
■T 

M 



* f27 V? n 



G, G 2 G 2 „ 

En donnant à y. et à X toutes les valeurs égales et diverses 
delà suite 1, 2, 3,..., /z, on obtient — équations 

symétriques , entre les coefficients x *' x. '~' et les quan- 

tités Gj, G 2 ,...,G 2 „; éliminant ces 2 n quantités, qui 

tiennent lieu de 2« — 1 rapports, on parvient à 

(n — 1) (n — 1) , . ■ , œ . ( x ) 

— équations entre les coemcients x. , etc; 

fjii on obtient également comme on a vu ci-dessus par 



( *84 ) 
l'élimination des constantes entre les équations (3) 
et (6). 

Il est facile de voir que des équations (i5), on peut re- 
venir aux équations (3) et (6); il suffit de décomposer 
l'équation (i5) en deux autres de la forme (i3) et (i4) 5 e t 

. . i . 2 ; 3 . . . 2 n , . , . . -p, 

il va — -, ^ — de ces décompositions. Posant cn- 

J 2(i.2.3... ny L 

suite les équations (9), on dérive de l'équation (i3) les 

équations (12), lesquelles résolues suivant X'f, X^), etc., 

donnent les équations (11); d'où l'on déduit facilement les 

équations (3) et (4)- On dérive de même les équations (6) 

et (7) de l'équation (i4) et les constantes de la fonction 

\^rt Z; ;. x A xy sont tellement disposées dans les équa- 
tions (3, 4)7 (6*, 7) : qu'on peut facilement a leur aide ré- 
tablir la fonction \ a, , x, xy. Il existedonc .'"' '" 

*-* 2 (i.2.3. .. ny 

fonctions, d'où dérivent deux systèmes d'équations (3), 
(6) qui peuvent remplacer l'équation ( 1 5 ) ; par exemple, 
on peut prendre 



>3.) 



(«4) 



11 (2) (2 

A',, = - - 1 - ■+- 



(n-y-i) (n-M 



( 

X 



(11) (n [n+1 

.'' , X X- t 



G„ (>„ 



I (2«~1 (2., 

x- À x r x t 

4- 



f'2„_ 1 Gj n 



4. Si l'on multiplie les équations (i5) par la constante 

b x>J , et donnant à v. et ?> les valeurs égales et diverses de la 

o 1 • n{n -\-\) , . . 

suitei, 2, 3, ...,n, on obtient équations, dont la 



, i85 ) 
somme peut être représentée ainsi : 



^^ / ■,/. /. À /S j /■>/./. À 

~gT — ôT 

(,6) ] 

Tl C M . • 1 ' • , « l // +l) 

11 est taeiie de voir qu on peut déterminer les — 

coeffieients b X) x de telle sorte que in — i de ces \* s'éva- 
nouissent, et alors le \^ restant s'annule de lui-même; 

et comme entre les in* coefficients x il n'existe que 

(n — i)[n — 2.) -. . ... 
relations , il s ensuit que 

i 1 

n — i ) ( n — 2 ) 3 ri 1 -f- 3 ai — 2 



de ces coefficients peuvent être pris arbitrairement. On a 
donc ce théorème. 

Théorème I. Soient les 211 systèmes de valeurs 

x? , xÇ . . . .r ; / ; x<« , -'V • • • < S) Î •r'"\ 4* } • • • *£" 
c • ■ ■ r ( n — ! ) ( ' n — 2 ) • 

ai ces an systèmes satisfont aux — equa- 

, 7 7 , . 7 • . • 7 n ( n -t- 1 ) 

£io/Z5 résultant de l élimination des constantes 

2 

a Xf ) entre les n (n — 1) équations (3) et (6); « r/e ,»>/«$ 

•211 — 1 fie ces systèmes satisfont respectivement à une 

équation homogène du second de gré en Ire n variables, le 

système restant y satisfera aussi. 

«'). /applications géométriques. Soil l 'équation duseconc( 



( i86 ) 

«Ir^ré// 3 (turc 1rs deux rapports v;u iables 's — i 

//, , x | -f- tfi] ■*' 4- tf„ .'/;' + 2 ", , -r, Xj 4- 2 df„ #s «î -h %tt n X n = O. 

Prenons dans le plan de cette conique six points 

Supposons que les équations (3) sont. satisfaites par les 
coordonnées des trois premiers points et les équations (6) 
pat les coordonnées des trois derniers points. Alors dans 
le triangle formé par les trois premiers points chaque 
sommet est le pèle du côté opposé, autrement les trois 
points sont polairement conjugués ; il en est de même des 
trois autres points. Or, par cinq de ces points, on peut 
faire passer une conique , c'est-à-dire que les coordonnées 
de ces points satisfont à une certaine fonction homogène 
du second degré; donc d après le théorème I. les coor- 
données du sixième point y satisfont aussi, On a donc ce 
théorème de Géométrie : 

Théorème II. Étant donnés une courbe du second 
degré et deux systèmes de trois points < !iti< un < onjugués 
relativement a. cette courbe^ les tix points se trouvent 
sur une autre courbe <ln, second degré. 

Observation. Si I on convient <le donner à ce triangle 
le nom de triangle polaire , le théorème s'énonce ainsi : 

les six. sommets île deux triangles polaires relatijs à 

une même conioue sont sur une seconde coni'aue (*). 
Ge théorème esl âù à M. Gha 

'J lir.or. I.MK 111. Six points étant situés sur lu im'ine 

conique , si l'on partage ces points il une manière auel- 

(Dlinue ill llru r j ;lriur\ de l/oi\ point;. 1rs d'il' n) t- 

i i , ic observation n*< I pu d< M Ht 



tèmes sont des triai , p désires relativement â une cer- 
taine courbe du second deg 

Le partage peut se faire de dix manié: - 

nt donnée? cinq paires de p - - - î 'a 

même conique . celle-ci est donnée. 

Théorème IV. Les suc cotés de deux triangles po~ 
laires touchent une ligne du second or 

Théorème. V. Ces i triangles 

conscrits à la même conique sont : c tri- 

angles pc relativement à une autre conique. 

nt données cinq paires de di tes , f, la 

conique est déterminée. 

Théorème "^ I. De» t triangles étant inscrits dans une 
conique, ils sont cm onscrip tildes à une autre corn 
et vice versa ; deux triangle? i ' 
conique , sont inscripubles 

Ces divers théorèmes se démontrent à l'aide des po- 
laires réciproqi 

Soit 

> .-• X* = o 

1 équation d'une surface du seconde: - - , 1 • 

coordonnées dos deux points n, q sont désigi 

r, r !■ • i 

. 

mettant pour/'. a les ■^ alenrs dîrerses de la suite i . 
les six équations iuient que le plan polain 

chacun de ces points passe par les trois autres, déserte que 

les quatre points sont polairement conjug 

.1 la surface et sont les sommets d'un tef 

IV même les six équation- riment que les points 

" i .^>t jkis île M. tira 



( i«8 ) 
5, 6, -, S soni les quatre sommets d un second télraèdre 
polaire. Appliquant le théorème I, on obtient: 

Théorème MI. Toute surface du second degré qui 
passe par sept sommets de deux tétraèdres polaires passe 
aussi par le huitième sommet. 

Par sept points , on peut mener une infinité de surfaces 
du second degré, n'ayant pas la même courbe d'intersec- 
tion , de sorte que le théorème précédent peut aussi 
s énoncer ainsi. Les huit sommets de deux tétraèdres po- 
laires peuvent être considérés comme les huit points d in- 
tersection de trois autres surfaces du second degré n'ayant 
pas les mêmes courbes d'intersection. 

Nous donnons plus loin le moyen de construire ce hui- 
tième point géométriquement. 

L'élimination des coefficients «,,;. des équations (3) et 
(6) donne trois équations de conditions auxquelles doi- 
vent satisfaire les coordonnées des huit points i, 2, — 8 
pour être les sommets de deux tétraèdres polaires (n° 2 ). 
Ainsi, prenantarbitrairementseptdeces points le huitième 
est déterminé. Or les douze équations (3), (6) renferment 
neuf équations où manquent les coordonnées du huitième 
point et trois équations linéaires relativesaux coordonnées 
du huitième point; ainsi les neuf équations suffisent pour 
déterminer les coefficients a /)Z ; et les trois autres équa- 
tions donnent linéairement les coordonnées du huitième 
point. Donc si dans deux tétraèdres polaires sept sommets 
sont donnés , les coefficients a X) x sont donnés et la surface 
est déterminée ainsi que les coordonnées du huitième 
point. On a donc ce théorème connu : 

Théorème ^ III. Toute surface du second degré qui 
passe par sept points pris arbitrairement passe également 
nar un huitième point déterminé. [\ oir Crellc, tome III , 
pages 199, 100 et 2o5.) 

Théorème JX. Trois surfaces du second degré 



( "»9 ) 
n'a) ant paslamêmc courbe d'intersection se rencontrent 
en huit points qui peuvent être considérés comme les 
huit sommets de deux tétraèdres polaires relativement a 
une autre surjace du second degré. 

Ces huit points fournissent trente-cinq systèmes de deux 
tétraèdres polaires. 

Théorème X. Toute surface du second degré qui tou- 
che sept faces de deux tétraèdres polaires touche aussi 
la huitième face. 

Théorème XI. Toute surface dusecondordrequitoucli 
sept plans touche aussi un huitième plan détermine. 

Théorème XII. Huit plans tangents communs à trois 
surfaces du second ordre n'ayant que ces huit plans tan- 
gents en commun peuvent être considérés comme les huit 
faces de deux tétraèdres polaires relativement à une su;- 
face du second ordre. 

Théorème XIII. Deux tétraèdres étant inscrits dans 
trois surfaces du second ordre , n'ayant pas une même 
courbe d'intersection , sont circonscriptibles à trois autres 
surfaces du second degré n'ayant pas plus de huit plans 
tangents en commun. 

Solutions géométriques de quelques problèmes men- 
tionnés ci-dessus. 

7. Lemmc. Etant données une conique et une droite 
dans le plan de la conique, on peut projeter la Cgure 
de manière que la droite aille à l'infini et que la conique 
devienne un cercle. (Porcelet, Propriétés projectives . 
page 54.) 

8. Lemme. Si dans un quadrilatère complet dont les 
trois diagonales sont aa\ bb' ', ce', les points aa' et bb ! 
sont deux paires de points conjugués relativement «à une 
conique, les points ce' sont aussi conjugués relativement 
à cette conique. 



( !0o ; 

Démonstration. 

À, A' points d'intersection de la diagonale aa' avec la conique. 

B, B' — bb' — 

C, C ce' 

Par liypotlièse les quatre points a' A a A' sont harmoni- 
ques etde même les quatre points b' B Z>B' ; il faut démon- 
trer que les quatre points c' CcC sont aussi harmoniques. 
Projetons la figure de manière que la droite a' b' c' aille à 
l'infini et que la conique devienne un cercle (n° 1 , lemme) ; 
dans la figure projetée le point a' étant à l'infini , le point 
a sera au milieu de AA' et de même le point b au milieu 
deBB'; il faut prouver que c est aussi au milieu de CC; 
or la perpendiculaire élevée en a sur la corde AA' passe 
par le centre du cercle et est perpendiculaire sur bc paral- 
lèle à A A' ; la perpendiculaire élevée en b sur la corde BB' 
passe aussi par le centre et est perpendiculaire à ac paral- 
lèle à BB'; la perpendiculaire élevée en c sur CC est 
perpendiculaire sur ab parallèle à CC'*, donc les trois 
perpendiculaires passent par le centre du cercle ; donc c 
est le milieu de la corde C c. q. f. d. 

9. Ce lemme, l'hexagramme de Pascal, et les théorèmes 
(II), (III) ci-dessus sont des propositions liées entre elles; 
de sorte que deux d'entre elles étant données, on peut en 
conclure facilement les autres. Par exemple, soient abc , 
a' b' c' deux triangles polaires relativement à la même co- 
nique et p' l'intersection des côtés ac et b' c' ; p l'intersec- 
tion de bc et a' c', p' et b sont des points conjugués, car 
ac polaire de b passe par p' et a' b polaire de// passe par 
b) on prouve de même que^y et b sont conjugués. Donc, en 
vertu du lemme (n° 8), le point P intersection de bp et 
de b' p' et le point P' intersection de bb' et pp' sont con- 
jugués; donc la polaire de P passe par P'. Mais la polaire 
de P est aa'\ donc les trois droites aa f , bb\ pp' passent 



( '9 1 ) 
par le même point P'. Ainsi les côtés opposés de l'hexa- 
gone aa' c' b' bc se rencontrent en trois points en ligne 
droi te, savoir au' et bb' (le point P'), bc et a' c' (le point/?), 
ac et b' c' (le point p')\ donc l'hexagone est inscriptible 
dans une conique (théorème VI). 

10. Problème. Etant donnés le triangle polaire abc et 
le couple de points conjugués a" A, b" B, construire les 
polaires de a" et de b". 

Solution. Ecrivons 



aa" 




pk 




pB 


fl $ b "\ 


bb" 


Pi 


(n 


*; 


ac 


*> Mil 


a. a" 


a. K 


, 


^p' 






<* ; 


|T; 




X " 5 


( 


rA 




ac 


6r 





P'; 



cela veut dire que p est le point d'intersection des droites 
aa" bb" \ que a est le point d'intersection des droites/; A 
et bc, et ainsi de suite ; la droite Bji 7 ' est la polaire du point 
b" et la droite Aa" est la polaire de a". En eiîet, la droite 
aefi est la polaire du point b ; donc b et |3 sont des points 
conjugués. Dans le quadrilatère Z>Z»"(3B, les deux som- 
mets opposés &/S et è"B sont un couple de points conju- 
gués; donc en vertu du lemme (n° 8) les points jS' et p, 
extrémités de la troisième diagonale (car l'intersection 
de bb" et (S B est la même que celle de aa" et bb"), sont 
conjugués. On démontre de la même manière , en consi- 
dérant les lignes fl«, a" A, py.' comme les trois diagonales 
d'un quadrilatère complet, que les points p et a.' sont con- 
jugués; ainsi a'(3' est la polaire du point//, donc bp ou 
bb" est la polaire de |5"; ainsi les polaires de B et de j3" 
passent par b" , donc B/3 ff est la polaire de Z» /7 ; on prouve 
de même que Aa" est la polaire de a". c. q. r. d. 
11. Soient rt, &, c, r/ et a', &'., c', ^' les huit sommets 

de deux tétraèdres polaires et soit , I p : c'est-à-dire 



( »9 2 ) 
que p est l'intersection du plan dbb' et de la droite aa' . 
p étant sur la droite aa', le plan polaire de p passe par 
l'interse< lion des plans bcd.b' c' cl' ; et étant aussi sur le plan 
dbb' leplanpolaire parle point d'intersection ac.a c d'; 
ainsi ce plan polaire passe par les trois points bcd.b' c', 
b'c'd'.bc, a'c'd'.ac. II est facile de trouver encore un 
quatrième point de ce plan. En effet, menons les droites 

pa' etpb'. La droite pa' passe par a. et soit . q; le 

plan polaire de q passant par a et le plan polaire de b' 
passant par a'\ en vertu du lemrne (n°8), le plan 
polaire de p passera par l'intersection des droites qa', ab' ', 
c'est-à-dire par l'intersection dba' .ab'. Ainsi les quatre 
points d'b'c'.bc , d'c'a'.ca, dbc.b' c' , da' b .ab' sont 
dans le même plan. Donc les deux droites [d' b' c'.bc) 
(d'c'a .ca) et (dbc.b' c' ) (da' b.ab') se rencontrent. 

Remplaçons les lettres cab' c' a' bdd' respectivement 
par les chiffres 1 , 2, 3, 4? 5, 6^ 7, 8, alors les deux droites 
(j34-6i) ( 743 -12), (856. 23) ( 861 .34) se rencontrent. 

Mais les huit sommets des tétraèdres polaires peuvent 
être divisés de diverses manières en quatre systèmes de 
points conjugués. Pour trouver les diverses droites qui 
correspondent à ces systèmes, formons l'hexagone 1 23456. 
et désignons-le par H; par le point 7 et un côté du poly- 
gone, soit 34, menons un plan qui coupera le côté op- 
posé 61 en un point : c'est le point désigné par 734.61 
On aura ainsi un point sur chaque côté de 1 hexagone. 
Désignons par A le second hexagone dont ces points sont 
les sommets; opérant de même avec le point 8 sur le 
polygone H, ou obtient un troisième hexagone B. Ces 
trois hexagones jouissent de propriétés remarquables; 
les trois droites qui joignent les sommets des angles op- 
posés de 1 hexagone A passent par le point 7; car les 
points (734-61) et (761.34) sont des deux sommets 



( Ijp I 

opposés dans le polygone A} cette droite étant dans les 
deux plans y34 et 761 passe par le point 7, etc. On dé- 
montre de même que les droites qui joignent les som- 
mets opposés dans le polygone B passent par le point 8. 

Désignons par A t le côté (734-60 (745.21); dans 
lhexagone A nous avons vu que ce côté rencontre le ( ôté 
(856.23) (86i.34), ou B, de lhexagone B: le côté A, 
rencontre encore le côté B â (834-6i) (840.12) : car les 
deux côtés sont situés dans le plan 61 2 ; de plus le inème 
< ôté A t rencontre le côté B 3 (812.48) (823.56) de 
l'hexagone B, car si nous remplaçons l'ordre 12345678 par 
">6 123487, Aj se change en B 3 et B t en Aj. Or A, et Bj 
se coupent : donc le côté A t de 1 hexagone A rencontre 
trois côtés Bj. B 2 , B 3 , et vice versa- par conséquent les 
douze côtés des deux hexagones sont situés sur le même 
hvperboloïde. De là : 

Théorème XIV. Si parmi les huit points d'intersection 
de trois surfaces du second degré (ri ayant pas une courbe 
commune d'intersection), on en choisit, six qui forment 
les sommets d'un hexagone H \ et si l'on coupe chaque 
côté par un plan passant par le côté opposé et le sep- 
tième point, on obtient ainsi les sommets d'un second 
hexagone A ; opérant de même dans V hexagone H avec 
le huitième point , on obtient les sommets d'un hexa- 
gone B5 les deux hexagones A et B sont sur le même 
hyperboloïde. 

12. Deux des trois hexagones étant donnés, on peut 
construire le troisième. 

D'abord connaissant A, B, on trouve H-, en effet, en 
joignant le sommet (745 .12) de l'hexagone A avec le som- 
met (845.12) de l'hexagone B, on obtient le côté 12 df 
l'hexagone H, et ainsi des autres côtés. 

Connaissant les hexagones H, A, on détermine B. En 
effet, le côté (834 -6 1) (845.12) de l'hexagone B, en joignant 

\nn de Mathémat., X XIV Mai 1 855. ) ' • 



( '94 ) 
les points d'intersection du plan conduit par le point i el 
la droite (734.61) (745.12) avec les côtés (756.23) 
(761 .34) et (712.45) (723. 56), et ainsi des autres. On 
voit donc que, pour construire l'hexagone B, il suffît de 
connaître seulement les sept points 1 234567 des deux 
hexagones H et A-, l'intersection des trois plans qui pas- 
sent par les côtés opposés de l'hexagone B donne le hui- 
tième point 8. Ainsi est résolu le problème mentionné 
ci-dessus. 



NOTE 

Sur les valeurs que prennent les racines des équations de 3 P et \ e degré 
lorsque le coefûcient du premier terme est nul 

(voir tome IV , p. 382); 

Par M. FAURE, 

Officier d'artillerie. 



La méthode que j'indique ici est celle que l'on suit or- 
dinairement pour le second degré. Je suppose que le lec- 
teur a sous les yeux l'article d'Eisenstein où il traite de la 
résolution générale des équations des quatre premiei s 
degrés (tome VIII, page no). 

4 . L'équation générale du troisième degré 

n.v 7, -f- 3 bx n -f- 3 ex -\- d = o 
donne 

* = £[-*+ p*(«) + p*+(M1» 

On a d'ailleurs , d'après l'article cité, 

a. = — b 1 +■- a[<?(c) — ad +■ 3 bc]; 



( w ) 

nous écrirons simplement 

k contient ainsi a en facteur. On aura alors 



*(») 



ôb> 



a 



en ne prenant que les deux premiers termes de la racine 
cubique de a , tous les autres termes contenant au moins 
le facteur a 2 . 
On a de même 

Remplaçant dans les expressions de x , on trouve 

" ai * + *' 1 

-è(i + P + P : ) + ^ (/y + r P ) + .. 

ayant égard à la valeur de p , qui est l'une des racines cu- 
biques imaginaires de l'unité, supprimant le facteur a et 
faisant ensuite a = o, on trouve facilement que les va- 
leurs précédentes se réduisent à 

X =35 , 

x = ^[ — 3r -h ? ( 9 c 2 — 12M)], 

x = —[— '6c — ? (9c 2 — 12W)]; 

les deux dernières sont les racines de 1 équation du se- 
cond degré, 

3 b x 7 + 3fx-f r/= o. 

2. Je prends maintenant l'équation générale du qua- 

i3. 



( «96 ) 
trième degré 

ax* 4- 4^-*' + 6cx- 4- ^dx + e = a; 
elle donne 

*= -[— 6 4- <p(v) H- ?(*) 4- ?(«)]» 



a 



i 



«=-[ — ^ — <?('/) 4- ?(*) — ?( e )l> 
# = -[ — 6 — ç(v) — ?(*) + ï(01» 
avec 

7 = lr — ac -;- -rt[ •(?)+ ^(n)] = 6- — «r -f- /> 

<J = b % — ac-h-a[ p«p(Ç) 4- p 2 ^ (»))]= 6 J — flf + A', 
e = fr — ae + -a[p 2 <p(î;) 4- P?(»i)]= l > 7 — ac + *"• 

Je prends les racines carrées de ces quantités et je re- 
marque que le produit <p (y) <j> (d) © (e) devant être égal à 

q 
_ £3 a ^ d -\- - abc , 

2 2 

il est nécessaire de prendre pour deux des radicaux <p (y) 
et o(e), par exemple, le signe 4- et le signe contraire 
pour cp (e). De là 

f {«) = fr + ^gf*' — «+..,), 

»(«) = -*-^ (*•-«+...)• 

Les termes omis contiennent au moins le facteur </ ! . On 



( '97 ) 
a dune , pour la première des valeurs de x , 

»=;[i(* + *'-«T-.-H-.--]i 

mais 

/ + k' -h" = ^û[^(Ç)(l +f> — p')+j,(„)(l — p+p : )] 

= —.« [/^.(O + P+WL 

d'où, en supprimant un facteur a et faisant ensuite 



a = o, 

•i- = — ^ — c — p*4« (?o) — $(**) , 

en indiquant par £ et r, ce que deviennent £ et yj lors- 
qu'on y fait « = o. 

On trouve de même, pour les trois autres valeurs , 

x = — b [—c — p<p(Ç„) — p ! cp(»îû)], 

X = ce . 

Les trois premières valeurs sont les racines de l'équation 
du troisième degré 

4 £*e 3 + 6«* + 4^* "+~ e = °? 

car, d'après l'article d'Eisenstein , on a 

y 9 E.-h<p(3F.) 9 E - ? (3F ) 

Ç» = ! 5 >3» 1 

9 9 

F, = o 6' ( 3 £' c 1 — 4 c" </ : — 1 2 éf </t- 4- 6 c 3 <? J ) -+- 64 & <l* 



( «98 ) 



SOLUTION DE LA QUESTION 290; 

Par M. FAURE, 

Officier d'artillerie. 



Trouver le coefficient de a:' 1-1 dans l'équation en x de 
degré n + i qui a pour racines les ;i+i coefficients bi- 
nomiaux de (a-f- b) n . 

Ce coefficient, que je désigne par A, est égal à la 
somme des produits deux à deux des coefficients du déve- 
loppement de (a-\-b) n . 

Or, si l'on multiplie entre eux deux binômes tels que 

(i -+■ <x) n et I i h — J î on aura (en faisant a — i) dans le 

produit la somme cherchée, et en outre la somme des 
carrés des coefficients binomiaux, somme que j'appelle B. 

Donc 

2 Jn = 2A + B. 

Or, d'après les deux développements 

"(" — , , 



(] + a)"=iH-na + 



I .2 



i n [n — i) i 

i -r | = i -+- n - 4- -J - 



K)' 



B s'obtient en multipliant terme à terme ces deux séries; 
de sorte que l'on peut aussi regarder cette quantité 
comme étant le terme indépendant de a dans le dévelop- 
pement de 

(' + «)"(* + £)"== ^(* + «)*"• 
On a donc 

B = — -i J- — ; 

1.2 3 ... n 



( m ) 

de là 

— i) {in 



A = 2-"-' — 



SIR LES RACINES IMAGINAIRES. 

(Extrait d'une Lettre de M. E. Proihet.) 



La lettre de M. Vallès, insérée dans le numéro Je dé- 
cembre dernier (i854), m'a suggéré plusieurs réflexions, 
que je crois devoir vous communiquer, quoiqu'elles ne 
soient, en partie, que le développement d'une note fort 
judicieuse placée en bas de la page 461. Peut-être ne re- 
garderez- vous pas comme inutiles quelques considéra- 
tions qui me paraissent propres à mettre dans un plus 
grand jour un point de doctrine fort important. 

A mon avis, les auteurs qui cherchent à interpréter les 
symboles imaginaires oublient trop souvent défaire, sur 
l'origine de ces symboles, une distinction capitale, et 
ils font, par là , le plus grand tort à ce qu'il peut y avoir 
de bon et de véritablement utile dans leurs recherches. 

Cette distinction, la voici : Les inconnues qui entrent 
dans une question peuvent être ou des inconnues princi- 
pales, c'est-à-dire les quantités mêmes que l'on cherche, 
ou du moins des quantités sans lesquelles l'objet que l'on 
veut déterminer ne saurait exister ; ou des inconnues 
auxiliaires, introduites dans le calcul en vue de quelque 
avantage spécial, mais sans lesquelles l'objet en question 
peut très-bien exister. 

Lorsqu'on trouve pour une inconnue principale une ex- 
pression imaginaire, c'est un signe infaillible que la ques- 
iion proposée est impossible. Vous cherchez un point qui 
remplisse une certaine condition ; vous trouvez qu'une de 



ses coordonnées est imaginaire : donc il a existe pas de 
point qui remplisse la condition demandée. 

Lorsque le calcul donne une expression imaginaire 
pour une inconnue auxiliaire, cela indique que cette 
quantité n'existe pas, mais non pas que le problème est 
impossible. Exemple : Vous trouvez commode, pour dé- 
terminer l'axe radical de deux cercles, de calculer les 
coordonnées de leurs points d'intersection et d'en déduire 
l'équation de la droite cherchée -, mais ces coordonnées 
peuvent être imaginaires, c'est-à-dire que les cercles peu- 
vent ne pas se couper, et cependant l'axe radical existe. Il 
arrive même que ces coordonnées, traitées comme des 
quantités réelles, donnent encore l'équation de Taxe ra- 
dical , résultat d'ailleurs confirmé par d'autres méthodes. 
Ce résultat, singulier au premier abord, tient à ce que les 
coefficients de la droite cherchée dépendent de la forme 
des expressions générales trouvées pour les coordonnées, 
forme qui subsiste alors que l'expression n'a plus de si- 
gnification propre. 

Cela posé, il est facile de voir que les assertions de 
M. Vallès ne sont vraies qu'à moitié. Lorsqu'il parle de 
combler l'abîme entre le réel et l'imaginaire, il oublie la 
distinction que nous venons de faire. Cet abime existe 
bien réellement quand il s'agit d'inconnues principales, 
parce qu'il n'y a pas, je crois, de milieu entre être et ne 
pas être. L'approximation n'a rien à faire ici 5 mais, dans 
le cas des inconnues auxiliaires, M. Vallès a raison, et 
des valeurs approchées de quantités imaginaires peuvent 
servir à calculer, par approximation, des quantités dont 
la réalité est d'ailleurs hors de doute. 

Je ne puis être d'accord avec M. ^ allés lorsqu'il dit : 
«C'est un fait très-surprenant que celui qui , au moyen de 
la plus petite altération dans les coefficients d'une équa- 
tion peut faire passer les racines de celle- équation du 



( 201 ) 

réel à l'imaginaire, et vice versa » (page fâo). Le fait ne 
me semble pas surprenant du tout, à moins qu'on ne 
regarde comme un paradoxe cette proposition inoffen- 
sive : Quand on est sur la frontière d'un pays, le plus 
petit déplacement peut vous faire passer du dedans au 
dehors, et vice versa. 

Puisque je suis sur le sujet des interprétations, permet- 
tez-moi encore d'ajouter quelques mots sur certaines doc- 
trines assez répandues et qui me semblent être une dévia- 
tion bien prononcée de la logique du bon sens. 

Qu'est-ce qu'interpréter un résultat de calcul? C'est, 
il me semble , chercher en quoi ce résultat répond à la ques- 
tion proposée, en admettant même parmi les réponses 
possibles celle-ci : Ce que vous demandez n'existe pas. 

Cela paraît très- simple et très-naturel ; mais il y a des 
esprits auxquels le simple et le naturel ne suffisent pas. 
Quand ils ont trouvé un symbole d'impossibilité, ils le 
torturent de toutes les manières pour y trouver, au lieu 
de la réponse qui saute aux yeux, une réponse à une 
question nouvelle, peu différente, à ce qu'ils disent, 
de la première, et à laquelle ils ne songeaient pas 
d'abord. Ces modifications légères consistent à changer 
une perte en gain, à faire aller un courrier de droite à 
gauche, au lieu qu'il allait d'abord de gauche à droite, etc. 
A cela près, c'est toujours la même question. 

D'autres auteurs prétendent qu'un résultat de calcul 
sert quelquefois à rectifier un énoncé. Singulière asser^ 
lion! Le calculateur ne savait donc pas ce qu'il deman- 
dait ? Et s'il ne le savait pas, comment le calcul peut-il le 
lui apprendre ! 

Je conclus de tout cela que, lorsqu'on fait de l'algèbre, 
il ne faut pas se défaire du sens commun , don rare et 
précieux auquel a -+- b ne suppléera jamais. 

Cette Lettre étant déjà bien longue, je remets à une 



( 202 ) 

autre occasion pour vous entretenir de quelques tenta- 
tives faites pour résoudre la question laissée intacte par 
M. Vallès, savoir, celle des caractères auxquels on peut 
reconnaître l'existence des racines en faisant varier les 
coefficients approchés dans les limites de l'approximation 
supposée. 

3i décembre i85^. 



SIR LES OVALES DE DESCARTES 

(voir t. IX, p. 1S3, ; 

Par M. A. GENOCCHI. 



M. W.Roberls a trouvé, en enrployantles coordonnées 
elliptiques, que l'arc d'un ovale de Descartes s'exprime 
par une fonction ultra -elliptique dans laquelle la quantité 
soumise au signe radical monte jusqu'au septième degré 
(Journal de M. Liouville, tome XV, page 196). On ob- 
tient un résultat plus simple par les coordonnées polaires : 
si l'on prend pour variable indépendante l'angle polaire, 
le polynôme soumis au radical ne monte qu'au cinquième 
degré. 

Soient c la distance des deux fovers de la courbe , 
p et p' les deux rayons vecteurs de l'un quelconque de ses 
points, a) l'angle formé par le rayon vecteur p avec la 
ligue des foyers prise pour axe : on aura, m et n étant deux 

constantes , 

0' = /;/ p + n 
et 

p'- — c- + p" — 2 cp cos w ; 

il où, en posant 

< mu n 2 — c' 

1 — /// 1 — //r 1 — nO 



( 2o3 ) 

on tire l'équation des ovales 

p 2 — 2p(fl cosw -+• b) — h , 

et, en différentiant, 

dp (p — « cosw — b) -+- npdù) sin w — o. 

Or, si de ces deux équations on déduit les valeurs de 
cosw, sinw , Jw en fonction de p et dp , et qu'on substitue 
celle de dot dans la formule 



ds = y do' 1 -+- p 2 d w 2 , 
ou trouve 



v /^p 2 + p i p-6)(/7 P -h/) 

rfS = 2 - ._ :=- « p , 

v / 4« , p 2— (f 2 — 2 ^p — *) s 

de manière que la différentielle ds de Tare de la courbe 
renfermera deux radicaux, et, en les réduisant à un seul 
par la multiplication, on obtiendra sous le signe un po- 
lynôme en p du septième degré. Mais si , au contraire, on 
résout l'équation de la courbe par rapport à p, il vient 



p — a cos w — b =. ziz y ^ : ~*~ V a cos w "*" ^ Y> 
et comme on a d'un autre côté 

<7p^/wsiriM 

dp = T i 

p — a cos w — 

et, par suite, 



\ «-'sin'w -+- (p — «cosw — bY 

ds = ! — ; — p «W , 

p — a cosw — b 
on en conclut 

, /— r, 1 ï ( , i_ (" COSw -h £ Ww \ 

ds = sjcf -+• b : + A + 2 ab cosw I r/w ± v ' - - ) 

\ V'^ +(«cosw -+- 1>Y ) 



( 204 ) 
.s — J cl m \ja- -h b 2 -+- k -f- i ab cos i 



/ 



Ja 2 -j- b' -+-/-+- ?.ab cosw . , , , 

■ («COS0)-f- U)(tr.>. 

\jk -f- ( « cos o) + 4) 2 
L'expression de l'arc 5 sera donc la somme de deux inté- 
grales : la première se ramène immédiatement à un arc 
d'ellipse, car, en faisant 

« == 2<p , (rt + i) ! +/- = /), /j <7& = (7, 

on la met sous la forme 

2 f d <?>/{p — tfsin'ç); 
la deuxième intégrale, en posant 

cos 6> = .r, «- + £--(- /- = r, 
deviendra 

(ax ■+- b) (r-+- iabx)dx 



f: 



\J(i — x 2 ) (r-h labx (k -+- b 2 -+- 2 a£.r -h «' .r ; ) 

Iranscendante abélienne, dans laquelle la quantité sou- 
mise au radical est une fonction entière de x du cinquième 
degré. 

Cette seconde intégrale se réduit elle-même à un arc 
d'ellipse, si A' = o, puisque alors elle est égale à la pre- 
mière. Dans ce cas l'équation de la courbe se décom- 
pose en 

p = o , et p = 2 ( a cos « -+■ b ) , 

et représente ainsi un point isolé qui est le pôle, et une 
ligne courbe. Cette courbe est en même temps une con- 
choïde circulaire et une épicycloïde, et a été étudiée pai 
AI. Quetelet comme la caustique secondaire par réflexion 
dans le cercle (JVoiw. Mém. de VAcad. de Bruxelles, 
tome III, page i3i) : elle est connue sous le nom de li- 
maçon de Pascal (*). 

(*) C.oltc dénomination a ule introduite par Roberval. [Voir nu Mémoir 
le Lan ire dans le volume de 1 V.cadému des Sciences de Paris pour 1708, 



( 2o5 ) 

Si l'on faii 

A = — («- b)\ 

on trouve, en réduisant, 

COSo -f- b) du> 



= 2 Jab I dw cos - m zh. J?.b I -è= 
J 2 ^ J sjao 



COS W — tf -|- 2 & 

relie expression se ramène aussi aux fouetions elliptiques, 

ear on a 

C j l ■ l 

I a m cos - w = 9. sin — w + const. , 

* s>. 2 

et, en posant 

W =r 2 o , 

on partage l'intégrale 

[a cos w + b) dm 



/; 



V « cos w — À + îi 
en deux intégrales elliptiques 

(o — b) y/2 l ' _ 1- y/ 9. / d®\ ! b — <zsin 2 cp, 

J \b — a sin 2 <p J 

l'une de première, l'autre de seconde espèce. 

Mais il faut remarquer que la courbe correspondante 
est encore un limaçon de Pascal. Prenons en effet, sans 
changer d ? axe polaire, un nouveau pôle à la distance « — b 
du premier, et nommons p' , w' les nouvelles coordonnées : 
nous aurons 

p 1 = p'M- la — b) 7 -4- 2 o'(a — b) cos w', 
p' 2 = p' + (fl — by — 2 p a — b) cos w . 

et l'équation de la courbe donnera 

[o 2 — 2«p cos m 4- (a — b) 1 } 2 = 4 é 2 p% 

page ^6. M. Quetclel appelle limaçon de Pascal la courbe qui répond au 
tas particulier a =s ?&. (Voir /oco ci/., p. 98 el 101.I 



( ao6 ) 
d'où, éliminant p 2 et p cos w , on déduit sans peine 

(p"— 2ip'cos«') 2 = 4<^p'% 
c'est-à-dire 

p' = o et p'=2(i cos w' -+- y aè ) . 

On a ainsi deux expressions de lare du limaçon , et l'on 
voit que leur rapprochement nous conduit à ce théorème 
connu, qu'une fonction elliptique de première espèce 
s'exprime par deux arcs d'ellipse. On peut aussi en con- 
clure la transformation analytique propre à opérer cette 
réduction . 

Si les coefficients a et b étaient affectés de signes con- 
traires , il faudrait supposer k = — (« + £>) 2 , et prendre 
le nouveau pôle à la distance a ■+• b de l'ancien, 
i 
m 



En remplaçant p par — p*, et w par 2W dans l'équation 
p 2 — 2p (a cosw + b) ■+- (a — by = o, 

[■— f-\- a — b) — A — p"- cos* w , 
\ m j m x 



il vient 
d'où 



p 2 — 2 p cosw sjam -+- m (a — b) = o, 

équation d'un cercle. On transforme donc par cette sub- 
stitution les limaçons en cercles: réciproquement, on 
transformera les cercles en limaçons , en remplaçant p et 

par \Jmp et - w. Ainsi il est visible que ce moyen, 



w 



employé par MM. Chasles et W. Roberts pour obtenir les 
ovales de Descartes, fournit seulement le limaçon de Pas- 
cal, comme l'a remarqué M. Cayley (Journal de M. Liou- 
ville, tome XV, page 354)- Il s'ensuit, en particulier, 
que l'ovale mentionné dans le théorème, dont M. P. 
Serret a indiqué la démonstration dans les Nouvelles 
Annales, tome IX , page 3a i, n'est aussi qu'un limaçon. 



( 2 °7 ) 
L'équation des ovales donne deux valeurs de p pour 
chaque valeur de o) : ces valeurs seront toujours réelles, si 
la quantité k est positive, mais seront de signes contraires; 
elles seront toujours imaginaires, si k est négative et 
\/ — k surpasse la différence entre les valeurs numériques 
de a et b; enfin, il y en aura des imaginaires et des 
réelles, lorsque, k étant négative, cette valeur est com- 
prise entre a et b. 



NOTE 

Sur la conformité, l'homogénéité, la ressemblance, la similitude, 
la symétrie et l'identité. 



Nous ne sommes mis en relation avec les choses exté- 
rieures que par l'action qu'exerce le non-moi sur le 
moi, action nommée impression et transmise au cerveau 
par divers systèmes nerveux; l'effet de cette impression se 
nomme perception. Lorsque ce viscère, par l'intermé- 
diaire d'un autre système nerveux, renvoie cette percep- 
tion au dehors, l'effet produit se nomme sensation. Ainsi 
la sensation est toujours le résultat d'un double courant 
du dehors au dedans et du dedans au dehors. Nihil est 
in sensu quod non prius fuerit in intellectu. C'est le 
contraire de l'assertion attribuée d'une manière trop ab- 
solue à Aristote qui est vrai, car le non-moi n'existe que 
par le moi, mais existence purement de relation, consti- 
tuant une modalité et nullement une réalité (*). La chose 
en elle-même, ens perse, ce qui occasionne l'impression , 

(*) Le cerveau agit comme pile; les nerfs sont les fils. Les tendons, 
muscles, os sont les aiguilles de cet instrument télégraphique; les pa- 
pilles nerveuses, les ganglions sont peut-être des piles secondaires; les 
agents anesthèsiques neutralisant les fils, la sensation disparaît. 



( *.o8 I 
re qui est dessous , la substance, nous est entièrement 
inconnue. Nous donnons un nom à ce qui semble enve- 
lopper cette substance, à ce qui est dessus , et nous l'ap- 
pelons surface. Lorsque cette surface engendre une im- 
pression nommée résistance, la substance qu'elle entoure 
prend le nom de corps, et, abstraction faite de cette 
résistance, la substance n'est qu'une image. La géomé- 
trie ne considère que des images y la mécanique considère 
les corps. 

Lorsque les concavités, les convexités, les saillies, les 
rentrants, les pleins, les vides, sont en même nombre et 
également disposés, boniologues les uns par rapport aux 
autres dans deux surfaces, on dit que l'une est conforme 
à l'autre ; c'est ainsi qu'il y a conformité entre deux indi- 
vidus de même espèce. Le même mode de génération 
constitue Y homogénéité. Les volumes sont homogènes 
entre eux, parce qu'ils sont tous engendrés par des sur- 
faces; les surfaces étant engendrées par des lignes, sont 
homogènes entre elles, etc.; mais les volumes et les sur- 
faces comparés les uns aux autres sont hétérogènes. Ceci 
est applicable aux corps organiques. 

Si deux surfaces conformes présentent les angles égaux 
ou sensiblement égaux, et dans le même ordre, on dit 
qu'elles se ressemblent , c'est l'égalité des angles qui con- 
stitue la ressemblance. 

Les rectangles sont des images qui se ressemblent, de 
même les parallélipipèdes rectangles; c'est ainsi que les 
enfants ressemblent aux parents. 

Lorsque deux surfaces se ressemblent et qu'eu outre les 
diverses dimensions homologues sont proportionnelles . 
sont en même rapport, elles sont semblables. Lorsque ce 
rapport est l'unité, on obtient Y identité', la symétrie est 
une similitude inverse et il y a aussi une identité inverse. 
Ainsi la similitude suppose trois conditions : l'homologie 



( ^°9 ) 
des parties constituantes, légalité des angles homologues 
et la proportionnalité des dimensions homologues. On ne 
peut démontrer la possibilité de la similitude que par la 
géométrie. Ce n'est que parvenu au VI e livre qu'Euclide 
établit la similitude de quelques figures planes, et dans 
le XI e livre, de quelques volumes semblables, mais im- 
parfaitement. Le vulgaire ne connaît que la ressemblance; 
le géomètre seul connaît la similitude. On a voulu ralta- 
eher la définition de la similitude aux systèmes à' échelles 
et dire que deux corps sont semblables lorsque leur con- 
struction ne diffère que par la grandeur de l'échelle -, mais 
la possibilité dune telle construction exige la connais- 
sance des théorèmes des onze livres, et encore ne suffisent- 
ils pas. 

Les définitions sont libres, dit Pascal, bien entendu 
lorsque la chose définie est possible; possibilité qu'il faut 
d'abord prouver : ainsi , par exemple, avant de définir les 
polygones réguliers , il est nécessaire de démontrer que de 
tels polygones existent. Il est vrai que ces définitions par 
échelles peuvent convenir à la géométrie poétique de nos 
industriels, mais hors de là elles n'ont aucune valeur lo- 
gique. 



CAICUL DE n VVEC 530 DECIMALES 

TOû t. IX, p. 12; 1 XIII, p. iiq ). 



M. Rutherford a calculé de nouveau 7r jusqu'à 44° ^'~ 
rimales (*) et M. W. Shanks, de Hougliton-le-Spring . 
stimulé par M. Rutherford, a porté ce nombre à 53o dé- 
i iinales. Les 33o premières décimales sont, chez les deux 
calculateurs, les mêmes que chez M. Richter (t. XIII. 

* Voir tome X, pa;;< ig8 
.\<ii de MathémcU , t. \l\ , Fuin i855 ' i 



6 



( aïo ) 
p. 419)5 mais les trois dernières décimales de M. Rich- 
ter, savoir 098 , sont remplacées chez les calculateurs an- 
lais par 962 5 ainsi 33o décimales sont vérifiées par trois 
calculateurs, Richter, Rutherfort et Shanks, et 44° P ar 
les deux derniers calculateurs. Nous donnons ici les 4° 
quines à ajouter aux 66 de M. Richter- ainsi en tout 
106 quines ou 53o chiffres: 

96282 92540 91715 36436 78925 90360 on33 o53o5 
48820 4^652 i384i 4^9^ 1 94 J 5i i6og4 33o57 27036 
57595 91953 09218 61 173 81932 61179 3io5i 18548 
07446 ^799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 
83on 94912 9 8336 73362 44o65 6643o 86021 3 9 488 

M. Shanks s'est servi de la formule de Machin. 
M. Rutherfoid a présenté ce travail à la Société royale 
de Londres en janvier 18 53. 
7T a été déterminé par : 

Décimales 
exactes. 

Archimède avec 2 

Les astronomes indiens 3 

J. Rheticus 8 

Pierre Metius 8 

Viète 11 

Adrien Romanus • 16 

Ludolf van Ceulen 35 

A. Sharp 73 

Machin 100 

Lagny 1 27 

Vega 1 4o 

Manuscrit de la Bibliothèque Radcliffe , à Oxford 1 56 

Dahse 200 

Clausen 256 

Richter 333 

Rutherford 44° 

Shanks 53o 

(Cosmos, t. VII, p. 335j |3 mais i855. ) 



QUESTIONS. 

303. Quelles conditions doit remplir un quadri- 
latère pour que tous les rectangles circonscrits soient 
semblables à un rectangle donné? Quel est le lieu géomé- 
trique des centres de ces rectangles ? 

304. Soient donnés dans un même plan : i° cinq points 
sur une droite A 5 i° cinq droites. Mener une transver- 
sale qui coupe les cinq droites en cinq points qui soient 
homographiques aux cinq points de la droite A 5 démon- 
trer qu'il n'existe qu'une seule transversale qui remplisse 
cette condition. (Chasles.) 

305. Soient donnés : i° sept points sur une droite A; 
2 sept plans dans l'espace. Mener une transversale qui 
rencontre les sept plans en sept points qui soient homo- 
graphiques aux sept points de la droite A. (Chasles. ) 

306. Soient donnés dans un même plan: i° un qua- 
drilatère ABCD et un point fixe S sur le côté AB. 2 deux 
faisceaux homographiques ayant le point S pour centre 
commun. Menons une droite quelconque , elle coupera 
les deux faisceaux en deux systèmes de points homogra- 
phiques -, soieut a v , b p deux de ces points homographiques. 
Dans le pentagone formé par lequadrilatèreetlerayonSa p , 
inscrivons une conique-, par le point b p menons deux 
tangentes à cette conique. Le lieu géométrique de l'inter- 
section de ces deux tangentes par le rayon Sa p est une 
ligne du troisième ordre passant par le point S et par les 
trois sommets du triangle formé par le côté CD opposé 
à AB et par les côtés CA, DB suffisammmt prolongés. 

(Chasles.) 



'4- 



( .'l". ) 



CONSTRUCTION NOUVELLE 

Des sections coniques par la perspective d'un cercle, 

[humant de suite le centre, les diamètres conjugués, les axes de la coirbe; 

Par M. POUDRA, 
Officier supérieur d état^major en reti aite 



/•.. 



; 




; I^P^/i^y^ 



\ 



fj-fiçbTy" 



\ T 



A^L 



J 



Pour obtenir la perspective d'une figure plane il fan* 
distinguer : 

i°. Le plan de la figure donnée, d'un cercle, par exem- 
ple (ce sera le plan horizontal de projection) ; 

2°. Le plan vertical du tableau (soit TT sa trace lui 
rizontale) ; 

3°. Le point de vue que nous désignerons par \ . 

Par le point V menons un plan parallèle à celui du 
tableau. Sa trace horizontale sera une droite JJ parallèle 
a TT. 

Rabattons ce dernier plan et celui du tableau sur 1< 
plan horizontal, en les faisant tourner autour de leurs 
traces respectives JJ et TT; dous obtiendrons la figure 



(«3 ) 
ci-dessus dans laquelle le cercle , sa perspective et le point 
de vue seront ramenés dans un même plan. 

Remarquons que tous les points du plan du cercle qui 
sont sur JJ passent dans la perspective à l'infini, de 
sorte que les droites de ce plan, qui concourent en un 
point de JJ , deviennent en perspective des droites paral- 
lèles. 

Sur JJ prenons arbitrairement deux points m et // . 
joignons-les par des droites au point de vue Y. Ces 
droites Vm, V n seront les directrices de la construction. 

Des points m et n tirons des droites à un point quel- 
conque de la figure donnée, tel que b. La droite mb ren 
contrera TT en |S, par lequel nous menons [ib' parallèle 
à la directrice V m. La droite nh rencontre TT en 7r, . 
par lequel nous menons TC t b' parallèle à l'autre direc- 
trice Vn. Les deux droites [3&', TC 1 b' se rencontrent en b' 
sur le rayon visuel Xb'b. Ce point b' est la perspective 
de b. Quels que soient les points m et n sur JJ, on ob- 
tiendra toujours le même et unique point b' pour la per- 
spective de b. 

En répétant cette opération pour divers points de la 
figure donnée, on obtiendra sa perspective. 

Cette nouvelle méthode de perspective peut se résumer 
en disant que la perspective d'une figure plane quel- 
conque est la résultante de deux perspectives sur une 
droite TT prises de deux points arbitraires m et n sur J.l 
parallèle à TT. 

D'après cette construction , on voit de suite que si le 
cercle est tangent à JJ sa perspective sera une parabole. 
S'il coupe cette droite , on aura une hyperbole. Dans le 
cas de la figure, ce sera une ellipse. 

La droite JJ a pour pôle dans le cercle le point P. 
( est à-dire que si , d'un point quelconque de cette droite, 
on mène deux tangentes au cercle , la corde qui joint le.v 



( "4 ) 

deux points de contact passe toujours par P. Pour un 
point m quelconque, la corde de contact bbi ira rencon- 
trer JJ en un point n tel , que si l'on mène deux tangentes, 
la corde de contact aa t ira passer par le premier point m. 
Les trois points 772, 77, P sont dits conjugués ; ils jouissent 
de cette propriété, que la polaire de l'un quelconque passe 
par les deux autres. 

Le point P, pôle de JJ par rapport au cercle, est très- 
connu. Il jouit de propriétés importantes ; mais il existe 
un point Q aussi remarquable et dont on n'a pas fait 
usage jusqu'ici. 

Si d'un point m de JJ comme centre, avec un rayon 
égal à la partie mb comprise entre le point m et celui b 
de tangence, on décrit une circonférence, elle passera 
toujours par un même point Q situé entre le centre O 
et le pôle P, et cela quelle que soit la position de ce 
point /n sur JJ. En outre, si , sur la droite 77777 qui joint 
deux points conjugués, comme diamètre, on décrit une 
circonférence, elle passera aussi par ce point Q, quels 
que soient les deux points conjugués 777 et n sur JJ . Comme 
ce point Q est important et qu'il a de l'analogie avec ce- 
lui P, je propose de le nommer pôle circulaire de JJ par 
rapport au cercle, tandis que P serait le pôle linéaire. 

La connaissance de ce point Q va nous permettre do 
déterminer de suite le centre et les axes de la section co- 
nique sans en chercher un seul point. 

Décrivons une circonférence passant par Q et V et dont 
le centre soit sur JJ. Par son intersection avec cette 
droite, elle déterminera deux points conjugués /// et n 
tels, que les deux directrices correspondantes Y 7// , \ n 
seront rectangulaires. Prenons ces deux points m. et 7/ 
pour les points de vue auxiliaircs.il est évident: i° qu'au 
point P correspondra celui P' qui sera le centre de la 
courbe; '2° aux deux droites majPû, nl^Vb correspon- 



( «5 ) 
dront les deux cordes rectangulaires conjuguées n' a\ P' a' 
et "Ri b\V b qui, passant par le centre, seront les axes 
de la courbe; 3° au quadrilatère circonscrit edej doul 
les côtés opposés concourent sur JJ aux points m et n. 
correspondra le rectangle c' d'e'j' circonscrit à l'ellipse 
et dont les côtés parallèles aux axes détermineront les 
sommets a', d y , b\b\ de la courbe. 

Toute autre circonférence qui aurait son centre sur JJ 
et qui passerait par Q, déterminerait sur JJ deux autres 
points conjugués m x , rc t auxquels correspondraient, dans 
la section conique, deux diamètres conjugués dont l'angle 
serait égal à celui m^n^ formé par les nouvelles direc- 
trices Yf«, , V«,. 

Toutes ces circonférences qui ont leur centre sur JJ et 
passent par Q, se coupent encore en un deuxième point Q, 
situé symétriquement par rapport à JJ. 

La connaissance du point Q nous a donné le moyen 
de trouver de suite le centre et les axes de la section co- 
nique qui doit résulter de la perspective d'un cercle donné. 
Nous ferons voir, dans un prochain article, qu'on peut, 
avec son secours, résoudre, dans tous les cas, le problème 
suivant : Connaissant les cinq conditions auxquelles doit 
satisfaire une section conique cherchée , trouver de suite 
le centre et les axes de cette courbe sans être obligé d'en 
déterminer aucun autre point ,• problème dont la solu- 
tion générale peut avoir des applications pratiques 
utiles. 

Dans la position Y du point de vue, on trouve facile- 
ment par la construction que 

PV _ /?Q nV 
Vb ~mQ' «TV' 

pour toute autre position V, on aurait une autre ellipse 

11 i . //Q «V, , .. 

dont le rapport des axes serait — - : : donc il en re- 



mite <{iie Le rapport des axes de la première sera a celui 

, , , '"V W/V, 

de la deuxième comme — — : — — — 
«V n\, 

Deux ellipses quelconques qu'on peut obtenir ainsi 
pour deux points de vue V et V, sont perspectives réci- 
proques Tune de l'autre, les droites homologues se cou- 
pent toujours sur TT, mais le point de vue pour deux de 
ces courbes sera à l'infini ; elles seront projection l'une de 
l'autre, et la direction qui joint les points homologues 
sera celle YV, des deux points de vue. 

En faisant varier la position du point V, on peut ob- 
tenir des ellipses dont le rapport des axes ait toutes les 
valeurs possibles. Ainsi, lorsque V sera sur JJ, par 
exemple en n , la courbe sera une droite ocx^ . S'il est en Q 
ou Q t , la courbe sera un cercle. Si le point \ reste sur 
la circonférence mQ«, les ellipses seront rapportées à 
leurs axes qui seront des droites homologues, et dans 
toutes ces courbes les points homologues seront sur une 
même circonférence dont le centre serait sur TT. 

Rappelons en terminant que toutes ces courbes, parmi 
lesquelles il y a des droites, des cercles, des ellipses dont 
le rapport des axes est indéfini , deux quelconques sont 
projection l'une de l'autre; d où. résulte quà des droites 
parallèles dans l'une correspondront des droites parallèles 
dans l'autre , et que les segments sur les premières se- 
ront proportionnels aux segments sur les deuxièmes. 

Il serait trop long d'exposer ici toutes les conséquences 
qu'on peut tirer de ces observations. Nous nous propo- 
sons , d'ailleurs , de donner, dans un autre article, toutes 
les propriétés de l'ellipse qui se déduisent . presque à vue , 
de celles du cercle. 



SOLUTION UNIQUE ET GÉNÉRALE 
DES QUESTIONS FONDAMENTALES SUR LES CONIQUES 

(voir tome XIII, page 394); 
Par M. POUDRA, 

Officier supérieur d'état-major en retraite. 



Il s'agit de trouver le centre et les axes d'une section 
conique non tracée et qui doit satisfaire à cinq condi- 
tions. 

Nous désignerons par «, b, c, r/, e des points de la 
courbe et par A, B, C, D, E les tangentes respectives en 
ces points. Cinq quelconques de ces dix quantités étant 
connues, la courbe est déterminée; il en résulte douze 
cas différents. Ne pouvant dans ce court article don- 
ner les douze solutions, nous exposerons les plus remar- 
quables qui font connaître l'esprit de la méthode. 

Dans un précédent article, nous avons fait voir com- 
ment on peut trouver, à priori, le centre et les axes 
dune section conique qui résulte de la perspective d'un 
cercle donné. La méthode générale que nous allons em- 
ployer consiste à retrouver, avec les conditions données, 
le cercle qui serait la perspective de la section conique. 



/' m r U n l 

"t 7K "*" 

■J \ / \A --:>'// / 




( *l8 ) 

I er Cas. Étant donnés les cinq points a, b, c, d, c, 
trouver le centre et les axes de la section conique qui 
passe par ces cinq points } et cela sans avoir besoin de 
déterminer un autre point de la courbe. 

Il y a plusieurs solutions, nous n'en donnerons qu'une 
seule. Quatre des points donnés , tels que a, b , c, d , for- 
ment un quadrilatère. Soient m et n les points de con- 
cours des côtés opposés 5 la droite mn qui joint ces deux 
points sera désignée par II. 

Si l'on joint le cinquième point e avec les quatre points 
a,b,c , c? et avec m et n,on aura un faisceau de six droites en 
involution.CefaisceaucstcoupéparladroitelIauxpointSf/i 

et n,p etq, r et s qui sont alors en involution ; 

il en résulte que si sur mn , pq, rs , comme diamètres, on 
décrit trois demi-circonférences , elles se couperont en un 
même point V. Ce sera le point de vue de la perspective. 

Prenons arbitrairement une droite TT parallèle à II 
pour la base du tableau 5 alors la droite II pourra être re- 
gardée comme celle qui, dans le plan delà section conique, 
correspond aux points situés à l'infini dans le plan du 
cercle. De sorte que la perspective du quadrilatère a , b , 
c, d, dont les points de concours sont sur II, sera né- 
cessairement un parallélogramme, et comme les deux 
directrices Vm, \n sont rectangulaires , la figure a' ', b' , 
c', d' sera un rectangle. Mais, déplus , comme les angles 
p\ q, J'Y s sont aussi droits, il en résultera que le point 
e', perspective du cinquième point e, sera tel, que les 
angles a'e'c', b' e' d' seront droits 5 donc il faut que les cinq 
points a', b', c', d', e' soient sur une même circonférence 
qui sera, par conséquent, la perspective de la section co- 
nique passant par les points donnés a, b, c, d, e. 

Nous avons la droite II qui, dans le plan de la section 
conique, correspond aux points qui , dans le plan du cer- 
cle , sont à l'infini. Mais nous avons besoin de connaître 



( 2I 9 ) 
celle qui , réciproquement dans le plan du cercle, corres- 
pond aux points à 1 infini dans le plan de l'ellipse. Or il 
suffit de mener la droite JJ parallèle TT à une distance 
de V égale à celle qui sépare les droites TT et II. Cela 
devient évident en observant que, de même que JJ repré- 
sente la trace horizontale d'uu plan parallèle à celui du 
tableau mené par "S , réciproquement la droite II repré- 
sente sur le plan du tableau la trace dun plan mené par 
V parallèle à celui du cercle. Ce serait pour les peintres 
la ligne d'horizon. 

En se reportant à notre premier article, on voit que le 
problème est résolu, car on connaît le cercle , le point V, 
les droites TT, JJ 5 par suite, on peut déterminer les pôles 
linéaires et circulaires Pet Q, et, par conséquent, le 
centre et les axes de la section conique qui serait perspec- 
tive du cercle et qui passerait par les cinq points donnés. 

2 e Cas. Connaissant trois points a, b, c, et deux tan- 
gentes C et E, on demande de trouver le centre et les 
axes de la section conique. 

On trace un cercle langent aux deux tangentes don- 
nées. Ce cercle , de rayon arbitraire , pourra être considéré 
comme étant la perspective de la section conique. V, le 
point de rencontre des deux tangentes , sera nécessaire- 
ment le point de vue. 

Les trois rayons visuels Y a, \ b, ^ d détermineront 
sur le cercle les trois points a', b' , d' ', perspectives de 
ceux a, b , c. Les droites homologues ab et a' b', ad et 
a' d', bd et b' d' se couperont deux à deux sur la droite TT 
qui sera ainsi déterminée. Pour trouver la droite JJ, on 
trace «à volonté, dans le plan de la section conique, deux 
systèmes de deux droites parallèles 5 ces droites coupent 
celles connues ab , bc , cd, de , etc. , en des points dont les 
perspectives seront : i° sur les droites homologues a' b', 
b'c',c'd', d' e', etc.. et 2 sur les rayons visuels menés 



( 220 , 

de V à chacun de ces points. Donc, les droites homologues 
à ces deux systèmes de deux droites parallèles seront dé- 
terminées, mais elles seront concourantes en deux points 
de JJ qui sera donc ainsi déterminée. 

La méthode employée pour ce deuxième cas peut con- 
venir toutes les fois que parmi les données il y aura 
deux tangentes. Maison sait que lorsque l'on connaît cinq 
points d'une section conique , on peut tracer de suite les 
cinq tangentes et réciproquement, et que, dans beaucoup 
d'autres cas, on peut encore déterminer des tangentes: 
nous ne donnerons donc pas les solutions directes des dix 
cas qui resteraient à examiner et qui peuvent se ramener 
la plupart à ces deux-ci. 

Lorsqu'on a déterminé le cercle qui est la perspective 
de la section conique non tracée, on peut résoudre très- 
simplement divers problèmes sur celte courbe. 

i°. Par un point a donné sur la courbe non tracée , 
lui mener une tangente. 

Le point a' du cercle sur le rayon visuel V a' a est la 
perspective de celui a. On mène la tangente en ce point a' 
au cercle, elle rencontre TT en un point qui, joint à celui 
a, donne la tangente cherchée, 

2°. Par un point K extérieur à la courbe non tracer, 
lui mener une tangente. 

Au point K correspond dans le cercle le point K' qui 
en est la perspective. Par ce point K/, on mène deux tan- 
gentes au cercle, elles rencontrent TT en des points qui, 
joints à K, donnent les tangentes cherchées. 

3°. Mener à la section conique non tracée des tan- 
gentes parallèles à une droite donnée. 

La droite donnée K rencontre TT en un point a. Par 
V, on mène une parallèle a K qui coupe JJ en un point c . 
la droite xc est la perspective de la droite K. On mène au 
cercle deux tangentes parallèles à cette droite «S ; elles 



( "I ) 

rencontrent TT en deux points par lesquels, menant deux 
parallèles «à K, on aura les deux tangentes cherchées. Si 
Ion veut les points de tangence, il suffira de joindre \ avec 
les points de contact des deux tangentes ci-dessus au 
cercle. 

4°. Trouver les points d'intersection de la droite K 
avec la sectioti conique non tracée. 

A la droite K correspond . comme ci-dessus, la droite ao 
qui coupe le cercle en deux points. Joignant ces points 
à V, l'intersection de ces droites et de celle de K donnera 
les deux points cherchés. 



THEOREMES DE GÉOMÉTRIE 
DEDUTS Dl CALCUL DES SYMBOLES. 

(voir Billetin, t. I", p. 83). 



1 . Les deux courbes données par les équations 

¥(x,y) = o, F (x + «, y +• b) = o 

se coupent en des points qui sont sur une troisième courbe 
donnée par l'équation symbolique 

e" D ^ lD ,¥(x,y) = o. 

Lorsque F (.r, y) est algébrique et de degré n, la troi- 
sième courbe est de degré // — i . 

2. Les deux surfaces données par les équations 

¥ (x, y, z) — o, F(.r -i- a, y + b f z H- c) = o 

se coupent en une ligne qui est sur une troisième surface 
donnée par l'équation symbolique 

et celle surface est de degré inférieur dune unité au de- 
i >■ îles surfaces données 



( 222 ) 

3- F(j;,r) = o 

étant l'équation dune courbe plane, si elle tourne d'une 
quantité infiniment petite autour d'un axe passant par 
l'origine perpendiculairement à son plan, les points d'in- 
tersection des deux courbes sont sur la courbe donnée 
par l'équation symbolique 

(arD,— jr)D x .F{x, J r) = o 

de même degré que les courbes données et passant par 
l'origine. Pour les coniques, c'est une hyperbole équila- 
tère. 

4. ¥(x,y, z) = o, 

étant l'équation d'une surface, si elle tourne infiniment 
peu autour d'un axe passant par l'origine et faisant avec 
les axes x,y, z supposés rectangulaires les angles /, m , 
/*, les points d'intersection sont sur une troisième surface 
donnée par l'équation symbolique 

["cos/(zD r — /D : ) -t-cos/»(jcD s — zD x )l ,*_„ 

-h cos* (jD x -.rD ; )J ( °' j - 

v [" ( y cos n — z cos m ) D x -+- (z cos / — x cos m ) Y5 r ~| 
-+- (x cos m — y cos /) D= J 
où m est une fonction de x , y ^ z. Telle est l'équation dif- 
férentielle d'une surface de révolution; cette équation 
exprime que la perpendiculaire au plan passant par l'axe 
de rotation et un rayon vecteur, fait un angle droit avec 
la normale à la surface. 

6. Soit 

U = u n + «„., -+- h„_ 2 + . . . H- «, H- «„ = o 

l'équation d'une courbe plane; iip est une fonction homo- 
gène en x , y et de degré p. Les tangentes distantes de 
l'origine d'une quantité constante Zr, ont leurs points de 
contact sur une courbe de degré 2 [n — i) et donnée par 
l'équation 

* , [(D,U)»H-(D r U)»] 

— (//„_, -+- 2 //„_,+ 3 «„_ 3 -f- ... -i- ««„)•'. 



( 11$ ) 

7. Soit 

U = //„ ■+- «„_, + «„_, -+-...-}-«, -f- « = o 

l'équatiou d'une surface de degré n. Les plans tangents, 
distants de l'origine d'une quantité constante A, ont leurs 
points de contact sur une surface de degré i [n — i) , 
donnée par l'équation 

**[(D.U)* + (1VU)» + (D,U)»] 

= («„_, +2B„_i 4- 3«„_ 3 -n. . . +• nu,,) 7 . 

8. a , (3 , y étant les coordonnées d'un point , l'équation 
de la surface polaire relative à ce point est 

aD*U-t- pD 7 U + vD,U + (U) — o, 
où 

(U) = «„_, 4- 2«„_ 2 + 3w„_ 3 H- . .H- ««o- 

Si le point (a , |3 , y) est une surface de degré m donnée 
par l'équation 

V = v m -f- v m _ i ■+- . . . -f- p = o , 

la surface enveloppe des surfaces polaires comporte les 

équations 

D,U.(fa + D / U.rfp'+D, XJ.'df = o, 
D K V.rfa+ D^V.rfp + D V.rf7 = o, 

d'où l'on tire les trois équations 

D a V + XD x U = o, 
D^V + XD r U = o, 

D„V -+- i^U- o. 
Or on a 

a D«V + p D /3 V + v D^ V =— (<>„_, + 2 <>,„ _., -K . . 4- /m> u ) = (V) , 
aD x U +■ pD r U -f- 7 D,U =—(«„_, 4-2w B _ 2 +...4-«a ) = (U); 
donc 

X — ffl. 

Pour avoir la surface enveloppe, il faut éliminer y..(i,y 



( 224 ) 

entre les quatre équations 

élimination que généralement on n'est pas parvenu à effec- 
tuer*, elle est possible dans quelques cas particuliers. 
Soit 

a m S'" v m 
V=- +.£■ -f i- — i = o. 
«"' 6'" c"> 

Les trois dernières équations deviennent 



«7™- 


H-^D,U = o, 




+ j^IVD=o, 


7'"~ 


'-nr) D ' u = °- 



Éliminant a. , (3 , y entre ces trois équations et la qua-* 
irième V = o , on obtient 

m m m m 

Lorsque m — 2 , cette équation est de degré i (n — î) ; 
si m = n = i, l'équation est du second degré et de la 
forme 

a 3 (D t U) 2 4- b* (D 7 U)' 2 4- c'(D,U) 3 = (h, + «„)'. 

Si le pôle est sur une courbe centrale du second degré et 
que la polaire soit prise par rapport à une ligne du troi- 
sième degré, l'enveloppe de cette polaire est une courbe 
du quatrième degré donné par l'équation 

a*(D x \jy -i- 6«(D r U ) = («, + 2 m, -+- «„)'. 

Note. Ces théorèmes sont extraits du Calcuîus of ope- 
rations duRév.Carmichael (voir le Bulletin, t. I er , p. 83). 



( aa5 ) 



NOTE SIR LA BASE DES LOGARITHMES NÉPÉRIENS-, 

Par M. LECLERC, 

Conducteur des Ponts et Chaussées, 
à Neufehàtel-en-Brav. 



On trouve dans la Note IV de la Géométrie de Le- 
srendre la formule suivante : 



, . e x -h e~* 

i) i 



3 + 



5+... 
Je remplace d'abord x par -•> ce qui me donne 



x + 



5x 7 



7^ 2 +. 



i 



« +i _ i 



On tire de cette équation la formule générale 
x + H ■ 

2 'SX + - 

, . r 5x -h. . 
(2) /- r = 



X — 1-4- 



àx -f- 

5.r +. . . 
Ann. d, Huthéniat., t. XIV. (Juin i855). t5 



( '2-26 ) 

En y faisant z=2,ona donc 

34- ! 

6 + ■- 



«4 + 



i 4- 



i 

o 4 



'4 ■+ 

puis , successivement , 



3 -\ 2 / 1 + 

6 + 



IO +. . . \ IO +• 

f=2H 

I 

n 

I 



64- 



IO -+- 



= 24- 



*t enfin 



I o -| 

e = 2 4- 



7 + 



'4 4- 



Les réduites de même rang, dans les deux fractions 
continues qui entrent dans cette formule, ayant mêmes 
dénominateurs, il suffira, pour obtenir des valeurs r, , 
r j , , e 3 , etc., de plus en plus approchées du nombre r, 
de calculer les numérateurs de ces réduites. On trouve 



( 22 7 ) 

ainsi 

5 
e, = 2 -t- - = 2 , 7 1 ■ • , 

5î Q 

e t — 2 H = 2,710 . , 

71 ' 

5i . 14 -h 5 710 _ „ 

^ = 2 H -. = 2 -i--LJL— 2,7182817. . . 

71 . 14 + 7 1001 ' ' 

Remarque sur la Note précédente. 

Si l'on prend la première valeur de e, on peut récrira 

ainsi : 

2 

e = J H 



I -t- 



IO -f 



en sorte que l'irrationnelle e se trouve développée en une 
fraction continue très-simple et très-rapidement conver- 
gente. 

Il est facile ensuite de transformer en série la fraction 
continue [Nouvelles Annales, tome Mil, page 170), et 

l'on trouve 

11 1 1 



1 7 7.71 
e = 1 -t- 2 J 

J 1 



V loor . 18089 

E. C. 

Note du Rédacteur. M. Leclerc indique la formule 

générale 

u T = 1 4- 



=)- 



1 + 



w 



! IÉ 



extraite de la Science du 4 et du 19 avril i855, journal 
scientifique quotidien , le premier de ce genre et auquel les 

i5. 



( "8 ) 

noms tics collaborateurs promettent mi grand succès 
pourvu que ces noms soient autre chose que des noms 



CONSIDERATIONS SIR LES DROITES DWS L'ESPACE, 

Par M. HOUSEL, 
Professeur. 



1. Nous appellerons dislance de deux droites leur plus 
courte distance. Lorsque deux droites se rencontrenl . 
leur distance est nulle. 

2. Etant données deux droites, la direction du plan 
parallèle à ces deux droites est donnée. 

3. Une droite parallèle à un plan est également dis- 
tante de toutes les droites menées dans le plan et qui ne 
sont pas parallèles à la droite. 

A. On peut appliquer, et d'une seule manière seulement, 
sur deux droites , une troisième droite donnée de direction 
et non comprise dans un plan parallèle aux deux droites. 

Ainsi , généralement parlant, on ne peut pas appliquer 
sur trois droites une droite donnée de direction. Les élé- 
ments d'un liyperboloïde à une nappe n'ont pas toutes les 
directions possibles. 

o. Problème. Trower sur une droite un point tel .qu'en 
abaissant de ce point une perpendiculaire sur une seconde 
droite, cette perpendiculaire ait une longueur donnée. 

Solution. Autour de la seconde droite comme axe, 
imaginons un cylindre de révolution de rayon égal en 
longueur à la perpendiculaire ; les deux poinis d'intersec- 
tion de ce cylindre avec la première droite satisfont à la 
question. 

f>. Si d'un point a pris sur la droite A, on abaisse la 
perpendiculaire aa x sur la droite B, et qu'ensuite on 
prenne sur la droite V> un point b tel, que la perpendi- 
culaire /'A, abaisséesur A s<>it égale à aà\ . la droite n t b, 



( aa 9 ) 
est également inclinée sur les droites A et B. Quelle est 
l'enveloppe de toutes les droites également inclinées sur 
AetB? 

7. Un calcul facile fait voir que le lieu d'un point éga- 
lement distant de deux droites données est un paraboloïde 
hyperbolique; donc le lieu du point également distant de 
trois droites est une ligne du quatrième ordre, intersec- 
tion de deux hyperboloïdes ; les trois paraboloïdes passent 
par la même courbe. Lorsque les droites données sont le 
même hyperboloïde de révolution, les trois paraboloïdes 
se coupent suivant Taxe de l' hyperboloïde. 



SIR LE THEOREME RE H. WHEATSTONE 

( voir pa?e l-ll 

Par M. CANTOR, 
Professeur à Heidetbeiff, 



Ce théorème a déjà été énoncé et démontré par M. 1 re 
giei ((îergokke, annales de Math., t. IX, p. 211). Kn 
effet . n a y est posé comme somme d'une progression 
arithmétique de n termes dont le premier est l'unité e1 

..a — I 

dunt la raison est 2 • 



n — i 



Il existe d'ailleurs un très-grand nombre de proposi- 
tions trop peu connues sur les progressions. En voici une 
de Jacques Bernoulli : 

« Les deux premiers termes d'une progression géome- 
» trique n , ne , «e', etc., étant positifs et égaux aux deux 
premiers termes d'une progression arithmétique a . 
» rt + f/, a -h 2(1. etc., chaque terme de celte dernière 
» progression sera plus petit que le terme de même quan- 
tième de la progression géométrique. » (De Seriebm 
injinilis, propositio IN . ) 



( 23© ) 

fl + f/= (ir , d— a (e — i ) , a + nd = a [t -+- n (c— »)], 
<?<?" — a — nd= a [e — i)[{e"- [ H- <?"-' -}- . . . + i) — n]. 

Le membre à droite est toujours positif, soit que Ton 

prenne e supérieur ou inférieur à l'unité; doue on a 

toujours 

a -\- nd <^ ne 



THEORIE DES PARALLELES. 



M. Cabot, conseiller général, nous a adressé une dé- 
monstration de cette tbéorie, dont nous extrayons les 
réflexions suivantes. 

« L'évidence est cette propriété qu'ont certaines vé- 
rités d'être saisies et admises par le sentiment, avant 
qu'aucune opération de l'entendement ait pu les faire 
admettre par l'esprit. C'est pour cela , sans doute, qu il 
est difficile, quelquefois même à peu près impossible, de 
démontrer ces vérités j car, quelque simple que soit le rai- 
sonnement que l'on produit, il ne sera jamais aussi satis- 
faisant et aussi clair, pour former notre conviction , que 
le sentiment même de ces vérités. Il est donc inutile de 
chercher à démontrer l'évidence, puisque le sentiment 
supplée, dans ce cas, avec avantage à la démonstration. 
Je dis en outre qu'il est nuisible de l'entreprendre , parce 
qu'en donnant une conviction moins facile à établir, cela 
fait naître des difficultés plus ou moins considérables. 
Ainsi, je crois que Legendre a eu tort de démontrer que 
tous les angles droits sont égaux entre eux, car cette dé- 
monstration n'était pas nécessaire. Ce fait de l'égalité de 
tous les angles droits , se présentant à chaque instant dans 
les démonstrations de la géométrie , est nécessairement as- 
sez important pour que les prédécesseurs de Legendre 



( a3i ) 
eussent cherché sa démonstration, s'ils avaient pu croire 
que cette vérité pût être raisonnablement contestée. » 

Ces réflexions très-justes s'accordent avec celles de 
Pascal sur le même sujet. La démonstration de Legendre, 
non-seulement n'est pas nécessaire (c'est le 10 e axiome 
d'Euclide) , mais manque même de rigueur. 

Pour démontrer les parallèles, M. Cabot admet que 
lorsqu'une droite a deux de ses points A etB inégalement 
éloignés d'une autre droite, la droite AB, suffisammentpro- 
longée, rencontre la seconde droite du côté où est le moin- 
dre éloignement, et cela d'après le sentiment qu'on a de la 
rectitude; autant vaudrait admettre le i I e axiome d'Eu- 
clide. D'ailleurs il vaut mieux s'en tenir à cet axiome de 
M. Gergonne: Par le même point ne passe qu'une seule 
parallèle à une droite . C'est ce qu'il y a de plus simple en 
fait de sentiments. 



THÉORÈME DE M. STEINER 
SIR UN CERCLE TANGENT A UNE COURBE 

(voir t. XII, p. 119) ; 

Par M. FA.URE, 

Officier d'artillerie. 



Si un cercle doit passer par deux points donnés et tou- 
cher une courbe de degré n , le nombre des solutions est 
en général // (n -+- i). 

Prenons pour origine le milieu de la distance des points 
donnés, pour axe des x la droite qui joint les points. 
L'équation du cercle sera de la forme 
(i) x 7 -H y- — 2^/ — a ? ; 

/3 ordonnée du centre, 10. dislance des points fixes. 

Appelant x , y les coordonnées du point de contact de 
ce cercle avec la courbe j (x , y) = o de degré n , la nor- 



( 2 ^ ; 

maie en ce point à la courbe sera 

X, Y étant les coordonnées courantes. Cette normale doit 
passer par le centre de notre cercle ; donc 

P/'x — x f'y — ïf'r = o. 
J'élimine (3 entre cette équation et F équation (i), il en 
résulte l'équation 

(•*'-' + y 2 — « 2 )/* + ->y{*f'y —xfx) = », 

laquelle combinée avec l'équation 

fait connaître les coordonnées des points de contact. Or 
la première est de degré n -h-i, la seconde de degré n , donc 
le nombre de leurs points d'intersection est n (n -+- 1) en 
général. 

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COIRBES PLANES. 

D'après M. STEINER, 



i . P t , P 2 étant deux points quelconques situés dans le 
plan d'une courbe de degré n , les pieds des normales 
abaissées de ces deux points sur la courbe sont distribués 
respectivement sur deux courbes, chacune de degré n, 
ayant en commun m 2 — »+ i points fixes, savoir les 
(« — i) 2 pôles de la droite située à l'infini , pôles pris re- 
lativement à la courbe donnée , et n points situés à l'infini . 

2 Le lieu des sommets de tous les angles droits cir- 
conscrits à une courbe delà classe n est une courbe de 
degré tz 2 (*). 

f*'i Dans les coniques., c'est un cercle double 



( a33 ) 

3. La développée d'une courbe de degré n est : 1" de 

degré 3n (h — 1)5 2 de la classe n % \ 3° parmi ses 

3/i(/z — 1) asymptotes, il y en a 3 /z situées à l'infini 5 4° e ^ e 

a n (in — 3) points de rebroussement , 2«(3n — 5) 

sommets (*) , - n (n — 1) (n 2 -f- n — 3) tangentes dou- 
bles parmi lesquelles - n (n — 1) sout a l'infini. 



NOTE SIR LES FRACTIONS DECIMALES PERIODIQUES 

(voir pa^'C 115] : 

Par M. COUPY, 
Professeur au Prytanée de la Flèche. 



C'est par erreur que Ton a inscrit le nombre non 
premier 265 vis-à-vis de'i3 (p. ii5). A cette occasion, 
nous rappelons un travail très-remarquable, très-complet 
de M. Thibault sur le même sujet (Nouvelles Annales, 

t. II, p. 80) ; il s'y est glissé une légère erreur. — donne 

35 chiffres à la période et non 71, ainsi qu'on le dit p. 8" 
où , ligne 5 en descendant, il faut lire neuf au lieu de dix. 



CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE 

D'une ligne plane du troisième degré passant par neuf points donnés ; 
D'aprks M. CHASLES. 



Comptes rendus, 3o mai 1 853, page 943.) 



1. Leninie. Etant donnés cinq points d'une conique et 
une droite dans le plan de la conique, on peut construire 

(*) Le sommet est le point où le cercle de courbure a quatre peint- ei 
commun avec la i ourbe 



( 234 ) 
géométriquement les intersections de la droite et de la 
conique sans décrire la conique. 

2. Lemme. Etant donnés quatre points dans un plan 
et le rapport anharmonique d'un faisceau passant par ces 
points, on peut construire géométriquement les sommets 
des faisceaux liomographiques passant par ces points , 
sommets situés sur une conique passant par les quatre 
points donnés. 

3. Lemme. Etant données deux coniques dans le même 
plan, chacune par cinq points, si, de plus, trois de ces 
points sont communs aux deux coniques , on peut con- 
struire géométriquement le quatrième point d'intersec- 
tion des deux coniques sans décrire ces coniques , et ce 
point est unique et toujours réel. 

4. Problème. Étant donnés neuf points d'une courbe 
plane du troisième degré, trouver deux faisceaux homo- 
graphiques F 1 et F 2 , dont les intersections donnent la 
ligne du troisième degré passant par les neuf pointa 
(t. XII, p. 36o). 

Solution . Soient a t , a 2 , a 3 , . . . , a 9 les neuf points don- 
nés et A , B, C les trois coniques déterminées, 
A par les points «,, a,, a iy a,, » 5 , 
B — «,, fl 2 , rtj, « 4 , a 6 , 

C <v,, a 3 . a 3 , rï 4 , a-, 

et une conique indéterminée D passant par les quatre 
points a t , « 2 , a % , <? 4 , Les quatre coniques ayant quatre 
points en commun appartiennent à un faisceau F 2 ( t. XII, 
p. 358 et 359). 

Les quatre polaires d'un point quelconque pris dans le 
plan par rapport aux quatre coniques sont un faisceau F 1 
homographique au faisceau F 2 , et dont le rapport anhar- 
monique est constant, quelque part qu'on prenne le pôle. 
Si Ton cherche un point V fixe tel, que les quatre rayons 



( 235 ) 
Pa 5 , Prt 6 , P« 7 , PK forment un faisceau Q' homogra- 
phique au faisceau des polaires , ce faisceau Q' sera aussi 
homographique au faisceau F 2 . 

Le quatrième rayon PK coupe la conique variable D 
correspondante en deux points 5 la suite de ces points est 
sur une courbe du troisième degré passant par les sept 
points a t1 rt 2 ,..., a 1 et par le point P (t. XII, p. 36o). 
Le point P est arbitraire, mais si l'on prend le point P 
sur la conique M passant par les points a s , a 6 , a-, , « 8 et 
tel, que le faisceau P« 5 , Pa e , Va-, , Prt 8 soit homogra- 
phique au faisceau des quatre polaires, il est évident que 
la courbe du troisième degré passera alors par les huit 
points rt t ,a 2 ,..., a^el encore par le point P. Construisons 
de même une conique N passant par les points a 5 , a 6 , 
a-, , a 9 et telle, que le faisceau Pa 3 , Pfl 6 , Va 1 , P« 3 soit 
homographique au faisceau des quatre polaires 5 les co- 
niques M et N ont en commun les points a 6 ,a 6 , a-, et 
encore un quatrième point (lemme3); prenant ce qua- 
trième point pour P, la courbe du troisième degré , donnée 
par l'intersection du faisceau F 2 et F 1 ayant pour som- 
met P, passera parles neuf points «, , a â , « 3 ,..., a 9 ; ce 
qu'il fallait faire. 



SOLUTION DE LA QUESTION 301 

(voir pa^-e 138); 

Par M. WOEPCKE. 

Soient huit points quelconques arrangésendeuxgroupes 
«,&, c,rtfete,y, g, h. Désignons par C e , Cy, C„, C/, 
des coniques ayant en commun les quatre points a, b, 
c , d et passant respectivement par e, /*, g, h. On con- 
struit facilement la conique S, lieu d'un point /> tel, 
que le rapport anharmonique des rayons pe , pf, pg, ph 



( 236 ) 
soit égal à relui tics coniques C C/-, C„ , C h . Prenons 
sur la circonférence de S un point p t et construisons . 
d'après le mode de description dû à M. Chasles [Comptes 
rendus des séances de V ^Académie des Sciences , séance 
du 3o mai i853) , une courbe du troisième degré passant 
par les huit points a, b, c, d, e^J", g, /z, en prenant /?, 
pour centre du faisceau de droites. Cette courbe passe 
par p t et rencontre la conique 2 en e,y, g, A, p x et en 
un sixième point n. Prenons ensuite pour centre du fais- 
ceau de droites un second point p 2 de la circonférence 
de S, et construisons pareillement une courbe du troi- 
sième degré passant par «, b , c, d, e,/\ g, h. Je dis 
que cette courbe passe aussi par n. En effet, les rayons 
;? 2 e, p°>f, Pïg, p%h , p t n correspondent anharmonique- 
ment aux rayons />,e , ptf, pig , Pià, pin , étant issus 
de deux points de la circonférence d'une même conique . 
et , en vertu de la construction de la première courbe 
du troisième degré , p t e , p\f, p t g , p\ h , p t n correspon- 
dent anliarmoniquement aux coniques C P , C^-, C„, C/ £ , 
C„. Par suite, le rayon p 2 n et la conique C,., qui l'un et 
l'autre passent par n, se correspondent anliarmonique- 
ment; donc n est aussi un point de la seconde courbe du 
troisième degré, c'est-à-dire // est le neuvième point en 
lequel se coupent toutes les courbes du troisième degré 
qu'on peut faire passer par les huit points a, b, c, d, c, 
J. g, h. Mais n est situé sur la conique 2, donc le rap- 
port anharmonique des quatre rayons ne, nf, ng, nh est 
égal à celui des quatre coniques C ( , , Cf, CL , C/,. c. Q. F. D. 
La solution de la question 302 est une conséquence 
immédiate de la précédente. 



( *3 7 ) 



INTERSECTION DE CONIQUES; 

Par M. WOEPCKE. 

Étant donnés cinq points a, b , c , p, q d'une conique 
et cinq points a . b, c, r, s d une secotide conique, ces 
coniques ayant en commun les trois points a, b, c; 
trouver le quatrième point d'intersection sans décrire 
les coniques. 

Solution. On mène une droite quelconque L coupant 
la première conique en m et m, et la seconde conique en// 
et //j , points qu'on sait construire sans que les coniques 
soient décrites, et soit o 1 intersection des deux droites L 
et ab\ soit o x le sixième point de 1 involution m, TOj , 
//, n x , o,Oi\ l'intersection de la droite co x avec l'une ou 
l'autre conique donne le quatrième point cherché. 



SIR LES COMQIES POLAIRES ET LES SECTIONS CYCLIQliES ; 
D'après M. R. RUBIM, 

Professeur à Naples . 



1. Soient les trois équations 

La . La 

I ■'■ = — (ait — n" 1 ) , /• 2 = — ( « U — II 2 ) , /• ; = 2 ///// . 
y- a? 

r csL un rayon vecteur et u lare correspondant ; a , a , m 
des constantes données. Les trois courbes passent évidem- 
ment par le pôle. La première courbe (ellipse polaire) 
est une courbe fermée ; la seconde courbe (hyperbole po- 
laire) a deux branches infinies en hélice; la troisième 
courbe (parabole polaire) a une branche infinie en hé- 



( 238 ) 
lice. Les constructions offrent un exercice et des lieux 
géométriques instructifs. 

La quadrature se ramène à des arcs de cercle, et la rec- 
tification, comme on s'y attend, à des fonctions ellip- 
tiques. La discussion des constantes présente quelques dif- 
ficultés que le savant calculateur surmonte avec habileté. 

2. Sur une section cyclique faite dans une surface du 
second degré prenons un point fixe O et un point quel- 
conque M sur la surface 5 la projection de OM sur le plan 
de la section rencontre le cercle en un second point O'. 
Soit m le point de rencontre des trois hauteurs du 
triangle MOO' 5 appelons M et m points correspondants . 
Soient trois autres points N , P, Q situés aussi sur la sur- 
face, et n , p , q les points correspondants*, on a ce théo- 
rème : 

Le volume du tétraèdre MNPQ , divisé par le volume 
du tétraèdre mnpq, est constant quels que soient les 
points M,N, P, Q. 

3. Si les points M , N, P, Q restent fixes et que le plan 
cyclique se meuve parallèlement à lui-même, le volume 
du tétraèdre mnpq reste constant. 

4. Par le point O menons dans le plan cyclique deux 
droites OO', OO", perpendiculaires entre elles, et éle- 
vons en O une perpendiculaire OR au plan cyclique. 

Si les axes de la section faite par le plan ROO'font 
des angles de 45 degrés avec OO', et de même les axes de 
la section faite par le plan ROO", avec la droite OO", 
alors le tétraèdre MNPQ est équivalent au tétraèdre mnpq . 

5. Dans un paraboloïde de révolution les quatre points 
m, », p, q sont dans un plan normal à 1 axe 5 plan 
distant du plan cyclique considéré d'une longueur égale 
au paramètre de la parabole génératrice. Ces théorèmes, 
ainsi que les suivants , sont démontrés analytiquement. 

(5. L'axe d'un cône du second degré est 1 intersection 



( ^9 ) 
des deux sections principales, majeure el mineure, qui 

passent par le sommet. Par un point que/conçue de cet 
axe, menons un plan A variable, mais toujours perpen- 
diculaire à cet axe 5 ce plan coupe le cône suivant une 
ellipse, et les deux plans cycliques qui passent par le som- 
met suivant deux droites. Les lieux géométriques des pôles 
de ces droites, pris par rapport à l'ellipse, sont deux 
droites passant par le sommet. Désignons ces droites par 
le nom de rayons polaires des plans cycliques. 

Le même plan A coupe les deux droites focales en deux 
points; les lieux géométriques des polaires de ces points, 
pris par rapport à l'ellipse considérée, sont deux plans 
passant par les sommets ; nous les désignons par plans 
polaires des lignes focales. Ce sont les plans directeurs 
de MM. Briot et Bouquet (Leçons nouvelles de Géomé- 
trie analytique , page 4 1 6). Ces définitions posées, on a 
ces théorèmes. 

Théorème, Dans tout cône du second degré dont la 
section principale mineure est égale à un angle droit , 
le produit du cosinus des angles que j orme une généra- 
trice avec les deux rayons polaires des plans cycliques 
est égal à la moitié du carré de la cotangente de la 
moitié de V angle de la section principale majeure. La 
somme des angles quejait un plan tangent quelconque 
avec les deux rayons polaires est égale à un angle droit; 
la tangente de l'angle que fait un rayon polaire et un 
plan tangent, multipliée par le carré du cosinus de 
l'angle quejait le même rayon avec la génératrice de 
contact, donne un produit constant. 

Observation. On entend par angle d'une section l'angle 
que font les deux génératrices situées dans cette section. 

7. Théorème. Dans tout cône du second degré les 
distances d'un point du cône à une focale et au plan 
polaire de cette focale sont dans un rapport constant . 



( Mo ) 
8. Pour demi m t ici le théorème du §4, l'auteur part 
de l'équation 

(i) x{a — x)-\- y(b — j)-t- Az 2 +Bjz-f- Crz-+-Dz = o, 

axes rectangulaires: les coordonnées du point M étant x', 

i , 11 i • / / x'[a — x')-*-y'(b — y') „, 
y\ z , cellesdupointmsont.r , y , — ! — 7 — "— =Z ; 

ce qui donne, vu l'équation (i), 

Az'+B/-hO' -f-D=: — Z'; 

et , par la méthode des déterminants , on déduit facilement 
les théorèmes énoncés. 

Les théorèmes sur le cône s'établissent à l'aide de 1 é- 
quation suivante du cône 

rr b 1 

axes rectangulaires \ a est la tangente du demi-angle de 
la section majeure et b la tangente du demi-angle de la 
section mineure. Alors 

Équations des Focales y = riz 4 / — 3, 



des plans cycliques , 



=*Vct- 



x- y 
de l'ellipse \- —- = X-, 

a- »■ 

des ravons polaires . y = rt b 1 / z , 

V "' -r- i 



des plans polaires . 



». /Z±~L 



Ces élégants résultats sont l'objet de deux Mémoires 
insérés, le premier en janvier i853 et le second en 
juin i854, dans les Annali di Scienze matematiche e 
fisiche, publiées à Rome par le célèbre géomètre Barnaba 
Tortollini, recueil qui entretient le feu sacré dans la 
patrie de Galilée. C'est l'Italie. 



( *4i 



SOLUTION DE LA QUESTION 293 (J.-A. SERRET 

(voir t. XIII, p. 814); 

Par M. Angelo GENOCCHI. 



Je m'appuierai sur la proposition suivante : 
Lemme. Soient n nombres entiers a , b , . .., h\ in leur 
somme ; p un nombre premier, et faisons 

1.1.. .m 
~ w .2. . ,a){\ .1. . ,b) . , . [\ .1. . .fiY 

je dis que si tous les nombres a, &,. .., A sont divisibles 
par p — i et forment une somme m<^p n — i, M sera 
divisible par p. 

Pour le démontrer, j'observe : i° que l'exposant de p, 
dans tout produit continuel i . i . . .N, est la somme des 
quotients entiers q t , q z , q 3 , etc., obtenus en divisant 
successivement N par p, ^>% p 3 , etc., ou, ce qui re- 
vient au même, en divisant N, puis q t , puis ^ 2 , etc., 
par p (Legendre, Théorie des nombres, t. I, p. 10)5 
2 que si plusieurs nombres étant divisés par p donnent 
les quotients «7, q', q", etc., et les restes /-, r', /'",etc, leur 
somme, divisée également par p, donnera pour quotient 
q -\-q' -h q" -+-... et pour reste r-f- r 1 -f- r" -+-... lors- 
qu'on aura 

et, dans le cas contraire, donnera un quotient supérieur 
à q -(- q' -f- q" -f- — Il s'ensuit que pour obtenir une va- 
leur de M non divisible par p, p devant alors monter à la 
même puissance dans le numérateur et dans le dénomi- 

Aim. de Hathémat.., t. XIV (Juillci i855.) J 6* 



( »4» ) 

nateur de M, on aura à considérer les équations 

m = pop 4- ff'o , Po = pi p 4- »ii > p-i = \>-iP + rti 2i . . . , 
a = a. p 4- a , a = a,/? -+- <7, , . . . , 
b = p o p+ b it p i -==p,/» + 4,,...., 

formées avec les quotients et les restes positifs ou nuls 
qu'on trouve en divisant par p, et il faudra supposer 

p„ = a„ -h ^ 4- . . . H- Xo , '«) = «o -f- ^o -I- • • • + *o , 

puis 

/x, = a, + p, 4-. . . 4- xu m, = «i+ 6, +. .*.+ ^,, 
p 2 = a 2 + p 2 -f- . • . 4- /s j «a = «» + *» -t- . . . -h *», 

d'où 

w„ +w l +nt > H-..i=^<i|+ 2 &i -H • •'• + 2 *' ' 
Mais on aura en même temps 

»î = /w 4- //? , p 4- «i,/> s 4- . . . , 
a =;a„ -h a, p -{- a 2 p- -+- . . . , 



D'ailleurs, si a est divisible par p — i, il en sera de 
même de la somme ^S ai , puisqu'on trouve 

a — o, (p — i) — a 7 (p* — i) — « 3 (/^ 3 — i) — • . • 
= a 4- «i 4- « 2 4- « 3 4- ■ . . ; 

cette remarque s'applique aussi à ^ &,-,..., 5j£i« Donc, 
en vertu de l'équation précédente, la somme 

m Q 4- '«i 4- w, 4-, . . 



( *43 ) 

ne sera pas inférieure à n (p — i). Or les restes m t sont 
tous inférieurs à p; donc le nombre de ceux qui ne sont 
pas nuls sera au moins égal à n : d'où l'on conclut 
que la valeur de m doit contenir des puissances de p su- 
périeures àp n ~*. Si elle contient seulement p" -1 , les coef- 
ficients m, seront tous égaux à p — i , sans quoi leur 
somme serait <^ n [p — i), et l'on aura 

m — (y, _,)(, -i-p _ + - /? 2_(_.. .-f-y?«- <)=p"~ i ; 

si la valeur de m contient p" ou des puissances supé- 
rieures, m sera plus grand que p n — i. Donc enfin, si 
M n'est pas divisible par p , le nombre m ne sera pas in- 
férieur à p n — i. c. Q. F. D. 

Remarque. Si m était égal à p" — i, on pourrait 
prendre , par exemple , 

a=p — i, h=p(p — i), c=p i (p — i),. . . , 

et alors M ne serait pas divisible par p (*). 
Cela posé, soit un polynôme 

X = a, -f- «j x -f- a 3 x* + . . .-f- a n x"~' , 

qui acquerra ^" valeurs distinctes en donnant à chaque 

(*) En représentant M par ( a, h , . . . , k), on a identiquement 
a ' a . I> , . . . À' ) = r» ( n — I ,&,..., A ) , 

et, par suite, a M est divisible par »!. Il en sera de même de b M, cM,..., 
A M, en sorte que si oi désigne le plus grand commun diviseur des nombres 
a, b, . . . k, alors m divisera le produit aM. Ce théorème a été donné par 
M. Cauchy (Comptes rendus, t. XII, p. 707). On en déduit que si m est 
une puissance du nombre premier p, toutes les valeurs de M, c'est-à-dire 
tous les coefficients du développement de la «'««« puissance d'un poly- 
nôme, autres que 1 , sont multiples de p : d'où résulte immédiatement 
un lemme employé souvent dans la théorie des congruences irréductibles, 
savoir que, f(r) étant un polynôme à coefficients entiers, on a 

(SERRET, Algèbre supérieure, 1 e édition, p. 357.) 

16. 



[ *44 ) 

coefficîenl <i t toutes les valeurs o, 1,2,3,...,/? — 1. Éle- 
vons ce polynôme à la puissance m et considérons un 
ternie quelconque du résultat ordonné suivant les puis- 
sances de x. Si tous les coefficients a^ , a 2 ,...,«„ n'entrent 
pas dans ce terme, s'il y manque par exemple a t , alors, 
en ajoutant les/? valeurs de X m qui correspondent aux p 
valeurs de a t et à une combinaison déterminée des autres 
coefficients , on trouvera p fois ce même terme. Si dans 
ce terme l'un, a,-, des coefficients est élevé à un exposant r, 
qui ne soit pas divisible par p — 1, dans la somme des 
mêmes valeurs de X'" ce terme acquerra pour facteur la 
somme o r + 1' -h i r + ...+ (/> — i) r , qui est, comme on 
sait, divisible par p. Enfin, si le terme qu'on considère 
renferme tous les coefficients a t , a a ,..., «„ élevés à des 
exposants divisibles par p — 1 , il sera affecté d'un coeffi- 
cient numérique M, qui, en venu dulemme, sera divi- 
sible par p tant qu'on aura m <Cp" — 1 • ® n conclut de 
là que , si m est plus petit que p" — 1 , la somme de toutes 
les valeurs de X" 1 ne renferme que des termes avant p 

pour facteur. Ainsi, dans ce cas, % X'" égale un mul- 
tiple de p. 

On voit immédiatement pour n = 1 et pour n = 2 que 
cette égalité n'a plus lieu lorsque m = p" — 1, et, pour s'en 
assurer, en général, on peut avoir recours à la théorie deq 
congruences irréductibles exposées dans la nouvelle édi- 
tion de V Algèbre supérieure, 25 e leçon. En effet, on dé- 
montre qu'il existe toujours une fonction entière F [x) 
du degré n à coefficients entiers, pour laquelle on ne 
saurait avoir identiquement 

<ï(x), ip (x), x(x) désignant trois polynômes à coefli- 
cients entiers; et qu'alors, pour chaque valeur de >r . zéro 



( *45 ) 

excepté, on peut poser 

/(*)F(«) = X"'-i+ PX (x); 

/ et y désignant des polynômes à coefficients entiers , m 
étant égal à p" — i , et en supposant que le coefficient de 
x" dans F [x) soit réduit à l'unité. Il s'ensuit que, si 
l'on prend pour x une racine de l'équation F [x) = o, 
on aura , pour ces p" — i valeurs de X , la congruence 

X m = i (mod. p), 

et , par conséquent , 

VX"^ — i == — i (mod. p), 

et qu'ainsi \* M"' ne sera pas multiple de p. 

Si l'on suppose que x représente un nombre entier 
quelconque, on verra aisément que ^ X" 1 sera toujours 
multiple de p , excepté dans le cas de ri = i et m = p — i . 



SOLUTION DE LA OPTION 239 

(voir tome X, page 357); 
Par M. Angelo GENOCCBI. 



En remplaçant la variable y par la nouvelle variable /, 
au moyen de la supposition 

[x> — a 2 )/ 5 



f 2 = 

x 2 —y* 

il vient 



— x i -ha ï x- dy 



J o 
po. e — i- at 



*" — r 2 sja'—r 7 

■t % dt 



(.246 ) 

et cette expression fait coïncider la formule proposée 
avec une autre que M. W. Roberts a obtenue en trans- 
formant une intégrale double par la méthode des coor- 
données elliptiques [Journal de Mathématiques pures 
et appliquées, t. XVII, p. 120). 



DEMONSTRATION DTN THEOREME DE M. RR10SCIII 

( voir t. XIII, p. 352, et t. XIV, p. 96); 

Par M. Angelo GENOCCHI. 



Soit l'équation 

x n + fl, x n ~ s -f- a 2 x"- 2 4- . • . H- a n — o , 

et nommons S r la somme des r' e " ,es puissances de ses ra- 
cines. Les formules connues de Newton montrent que S r 
est une fonction entière des coefficients a,- , et que la 
puissance a\ s'y trouve multipliée par ( — i) r , car on 
trouve 

S, = — «,, S 2 = fi' — 2a 2 , S 3 = — a\ -+- . . . , 

et l'on reconnaît sans peine la généralité de cette loi. 
Mais si Ton fait 

i _ S, _S 3 

x o — ^~ ' &\ — ^"> x i — ^~9 ' • ■ y 

&r »^r »^r 

on transforme les formules de Newton dans les suivantes : 

a t x -\- x t = o, 
2 a z .r„ -f- a, x, -+- x 2 = o , 

3 <7 3 x -4- ci : x t -f- a, x 2 -+- x 3 = o , 

(r — i) a r _ t x -+- (3r,_ 3 or, -f- a,_ 3 x 3 ■+■ . . . -f- x r _ x = o , 

ra r x + «,._, x, -h a,_~x 2 ■+-...■+■ a, !r r _, = — i , 

où rt, est censé égal à zéro lorsque i^> n. On voit donc 



( ^47 ) 
que S r sera égal , abstraction faite du signe , au détermi- 
nant A r , dénominateur des valeurs des r inconnues o'o, 
.r lv .., x r _i dans ces r équations, et comme, suivant 
une convention reçue, le terme a r sera positif dans le 
déterminant A,. , on conclut de là 

S r = (-i)'A r . 

Remarque. M. Cauchy a démontré d'une manière fort 
simple dans les Comptes rendus, t. XII, p. 701, la for- 
mule de Waring qui donne les sommes S r en fonction des 
coefficients a, et celle qui, réciproquement, exprime ces 
coefficients en fonction des sommes S,.. Lagrange déduit 
l'expression de S,, d'une série dans laquelle on ne doit 
retenir que les puissances négatives de //, l'équation pro- 
posée étant mise sous la forme 

x = a -+-/(x). 

On peut demander ce qu'il faut substituer au théorème 
de Lagrange lorsqu'on suppose le paramètre u = o et 
l'équation réduite à 

x=f{x) ; 

on trouvera aisément qu'alors , en laissant u indéterminé 
dans la série, il faut retenir seulement les termes indé- 
pendants de u. 

Je profite aussi de cette occasion pour renouveler une 
observation que j'ai déjà faite. Le théorème sur la réduc- 
tion des fonctions rationnelles non entières d'une ou de 
plusieurs racines à des fonctions entières des mêmes ra- 
cines a été démontré par M. Gauss dans un Mémoire 
de 181 4 qui fait partie du tome III des Commentatione.s 
Societatis Gottengensis recentiores ( voyez les Mémoires de. 
Mathématiques, page 53 , n° 1 1 . Le Mémoire de M. Gauss 
est intitulé : Methodus nova integralium valores per 
approriniationcm invcnicndi). Il est vrai qu'on n'y parla 



( ^48 ) 

que des fonctions d'une seule racine , mais on sait que les 
autres cas se réduisent à celui-ci. C'est pourquoi il me 
semble que le théorème en question n'est pas dû à Wantzel . 



SUR LA QUESTION 81 

(voir t. XIII, p. 132); 

Par M. Angelo GENOCCHI. 



L'exemple des paraboles et hyperboles cité dans la 
note de la page i35 montre que la spirale logarithmique 
n'est pas la seule courbe qui puisse être égale à sa polaire. 
Ayant obtenu 

/(?) F («-*>)' 
on a conclu que, lorsque les fonctions/ et F sont identi- 



ques, le rapport 



/'(<?) 
/(?) 



est constant , et cette conclusion 



serait juste si l'angle a. était arbitraire ou si les angles <p 
et w étaient indépendants \ mais ces conditions ne sont 
rien moins que nécessaires. Ainsi , pour la parabole 



sin tp 



P = 



eos 2 >sj 



on trouvera 



cot «p = — 2 tang w , 
équation qui lie entre eux les angles <p et w , et , de plus 



donc, en prenant 



_ , sin f 2 7r — w) 

R = 4r 2 A '■ 

COS 2 (2 7T — ») 






y. ~ 27T, 



( *49 ) 
les fonctions^et F seront identiques, mais le rapport 

p' 

- = cottp -f- 2tangcp 



ne sera pas constant. Cela étant, la question 81 est en- 
core à résoudre, car il ne suffit plus de remarquer que la 
courbe o = tango n'est pas une spirale logarithmique, 
pour en déduire qu'elle est différente de sa polaire. 

Je chercherai la polaire de cette courbe par rapport à 
une conique quelconque 

ax 1 4- by 1 4- icxy + 2 dx 4- ley -{-/== o. 

L'équation de la polaire d'un point (x\ , jr Y ) sera 

axx { -+- byy x 4- c [xy, -h x> y)-+-d(x -±- x t ) -\-e(y ■+- y,) 4-/= o, 

et, en posant 

ax 4- cy -\- d b > -h ex 4- e 

t= ; yt U= -, 

dx 4- ey 4- / dx 4- ey -\-J 

on la mettra sous la forme 

Ar, 4- uy, = i . 



Soient 
il viendra 



x, = peos'f, y { = psincp, 
p (t cosy 4- « sincp) = i 



Si donc le point [x t , y v ) est pris sur la courbe proposée, 
cette équation, jointe à p = tang <p et à leurs dérivées rela- 
tives à p et <p , donnera l'enveloppe des polaires , c'est-à- 
dire la courbe polaire demandée. On trouvera 

dp , .' , , . do 

-f- [tcosy 4- u sin<p) = p(fsin<p — kcos?), -f-^i+p 1 , 

et, par suite, 

(i4-p a )(f4-«p)'=p(fp — u), 



2L><) 



t -+- 2 u p -f- u p 3 = o ; 
d'ailleurs 



+ «p) == = y/i +p"; 



p ' 

' ' COS (j) 

ainsi il s'agira d'éliminer p entre les deux dernières équa- 
tions. On a 

£-f-2«p= — U p\ up(i -t-p 2 ) = — (f+ «p), 
p J (?4-«p)- = H-p% 

et , en multipliant membre à membre, 

(f-+- «p)(* H- 2«p) = i, 
d'où 

2 H J p 1 = I ? 2 — 3 tll p , 

et successivement 

4 «y = «p(7^+ 2 ) — 3t(i — t 7 ) = — 4«'(^ + 2 «p)- 

Résolvant cette équation par rapport à p , on formera les 
valeurs de t -+- **p et £ -+- 2wp, qu'on substituera dans 

(t-h «p) (?-+- 2«p)= I , 

et il viendra 

f 1 (f»4-8)(4» ; + 4f» + 5)=(8»*-h7f , + a)»; 

enfin on remettra dans celle-ci les expressions de t et u, 
ce qui donnera une équation du sixième degré représen- 
tant la courbe cherchée. Or la courbe p = tang<p ne monte 
qu'au quatrième degré 5 on trouve , en effet , 

*\ + ï\ = ^ ou < = ?M l — *î)- 

Voyons si l'équation de la polaire admet un diviseur ra- 
tionnel du quatrième degré. 



( * 51 ) 

On peut représenter les expressions de t et u par 

z, z-, 

t = - i U = -1 

z z 

où z , z x , .z 2 désignent trois fonctions linéaires de x et ^ 
(p. 249). 
En faisant 

T = i 1 {? H- 8) (4 « 2 -f- 4* 2 -+- 5) — (8a 5 -f- 7 < 5 + a)-', 

X = zï (*' + 8z 2 ) (4 z\ +4 z 2 4- 5z 2 ) - [8z\ + 7 zj + 2Z 2 ) 2 Z 2 , 

on aura 

T = z- e X, 

et X = o sera l'équation de la polaire. Si donc X a un di- 
viseur rationnel de X' du quatrième degré , on fera 

X = X'X", 
et l'on aura 

T = z- c X'X". 

Mais il est facile de s'assurer que les expressions de t et u 
donnent 

# = -j jr = — j 

où ^, v v , v t désignent trois fonctions linéaires de t et // , 
et il s'ensuit 

X' = <'- 4 T', X" = e- ; T", 

T" et T" étant deux fonctions entières de t et «, la pre- 
mière du quatrième et la seconde du deuxième degré 5 on 
aura donc 

T = (i'z)- 6 T"r, 
où vz sera égal à 

ac* -f- bd : — - ncde — f (ab — c-), 

comme on peut le vérifier, et T admettra un diviseur ra- 
tionnel T" du deuxième degré. Ce diviseur ne sera pas 
indépendantde / , puisque dans T le coefficient de /' est4j 



( 252 ) 

ni de u puisque le coefficient de 11* est — 64. Soit 

T" = ht 2 -+- Vt+ Q, 
et remarquons que si P n'est pas nul , T admettra aussi 
pour diviseur Â7 2 — P/ + Q , car T ne change pas lors- 
qu'on change le signe de t\ par conséquent, T aura pour 
diviseur le produit 

(^_ H p, + Q) (*|«— >* + <$)=(*<* + <$)»— P»|«, 

puisque ces deux facteurs ne peuvent pas avoir de diviseur 
commun, leur différence étant 2.Vt. qui n'a pas de divi- 
seur commun avec T. Or si la fonction 

(At 2 -h Q) 2 — V 2 t 2 

ne se réduit point d'elle-même au deuxième degré , en di- 
visant T par cette fonction , on trouvera un quotient du 
deuxième degré et de la forme ht* ■+- Q , qui sera aussi 
un diviseur de T. On peut donc supposer 

P = o et T"=Xf 2 + Q, 

et il faudra que l'équation T = o devienne identique en 
faisant 

où g sera une fonction de u ne dépassant pas le 
deuxième degré ; on trouvera, par cette substitution. 

4 (l+4 " ,); = (? + 8)(4^+4 ? +5)-28(i-h4" ; )-49y> 

et, par suite , q étant un diviseur de (1 -f- 4 U ")' ne pourra 
être que de la forme/; (i + 4« 2 ); mais cette valeur ne 
rendra pas l'équation identique (*). Donc l'équation de 

(*) Les théorèmes sur la divisibilité des polynômes sont démontrés, d'a- 
près M. Lefébure de Fourcy, dans Y Algèbre de MM. Choquet et Meyer. 
On peut suivre, pour le même objet, la marche que j'ai indiquée pour 
des théorèmes d'arithmétique (t. XIII, p. ^26), et qui est applicable aussi 
pour démontrer les propositions fondamentales des congruénees irréduc- 
tibles (Algèbre supérieure, p. 'i'|", 2 e édition) 



( 2 53 ) 

]a polaire n'a aucun diviseur rationnel du quatrième degré 
et la courbe proposée n'est jamais égale à sa polaire (*). 
En réduisant la conique directrice au cercle 



x' -f- y' = 7' 
on aura 



y 



et l'on pourra transformer l'équation f=oen 

équation assez simple de la polaire. La discussion de la 
polaire peut être ramenée à cette équation, même dans 
le cas général j d'ailleurs, en faisant 

t 2 = t' , t 2 -+-u 2 = u', 

on rabaisse T au deuxième degré par rapport à ehacune 
des variables t' et u' '. 

On confirme les résultats précédents en cherchant 
combien de tangentes on peut mener d'un point (x,y) a 
la courbe donnée: en effet, pour déterminer l'abscisse x^ 
du point de contact, on trouvera l'équation du sixième 
degré 

x] {xx\ — x { -+- 2.x) 2 — y 2 (i — x]y = o. 

Je remarquerai qu'en général on obtient facilement 
1 équation différentielle de la polaire réciproque dune 
courbe donnée. Soit 

mx- -+- ri) 7 = î 

la conique directrice , on n'aura qu'à remplacer, dans 

l'équation de la courbe donnée, a: par — ; — ; -t—. et 

1 L m[xdy — ydx) 

(*) Nous avons donné cette longue discussion comme exemple très- 
utile, d'un fréquent emploi dans la discussion des courbes, lorsqu'il 
s'agit de reconnaître si une équation représente une courbe ou lesystème 
de plusieurs. Tu 



( *54 ) 

y par ; — : rv En employant les coordonnées de 

J * n(xdy — ydx) L J 

M. Hesse '-•>-■> soit F = o l'équation homogène de la 

z z 

courbe donnée et <p = o celle de la conique directrice; 
soit (F) ce que devient F par les substitutions 

x = sx' -f- tx" , y = sy' -f- ty"\ z = si' + tz" . 

En éliminant s, f entre les dérivées 

d(Y) rf(F) „ 

— o, 



on trouvera une équation de degré n (n — i) (n étant le 

degré de F) entre les binômes alternés \_x' y"~\i \_j' z "~\-> 

[z f x"~], qui deviendra celle de la polaire si Ton remplace 

i ■ * î i , ,, . , d<p dy dy 

ces binômes par les valeurs des dérivées — » -p-j -^ 

1 OZ «X rtj" 

(voyez t. VIII, p. 120). 



SOLUTION DE LA QUESTION 300 

( voir page 137 ) ; 

Par M. PAINVIN, 

Docteur es Sciences mathématiques. 



Trouver une fonction de a, b, c, d, telle, qu'en y 
taisant b = «, elle devienne — -, et en y faisant 

c = d. elle devienne — , ; — 

2 (a -f- b) 

Soit f (a, b, c, d) la fonction cherchée; posons 

a — b c — d 

x = — •> y = , 

i{a + b) J 2(c+rf), 

d'où 

I + 2 .r . I + 2V 

« = /; , r = d , 

i — ix i — ?.y 



( *55 ) 



alors 



\ I IX I IX 

= ¥(x,j, b, d). 

Il s'agit de déterminer F par la condition que pour x = o 
elle devienne^ et pour j' = o elle devienne x. 



dx/ \dy ) , i.2\dx*J, 



-\-xy 



d'Y 



J 3 (d 2 F 



dxdy J i . 2 \ dy 2 J 



+ 



b 2 fd 2 F 



\.i\db 2 
d 2 /d'Y 
ïTâ \~dîF 



bd 



d 2 F 

db dd J „ 



( ) indiquant qu'on a fait, dans la fonction renfermée 
entre parenthèses, 

x= o, y = o , b =z o, d = o , 

Pour y = o , F (x,y, b , d) doit devenir x, introdui- 
sons cette hypothèse dans l'identité ( i ) , on devra avoir 
encore une identité en y, ce qui fournira les conditions : 



(*) (F.)+*( 

(3) 



dF 
db 



,fd¥\ b' fd 2 F\ 



£F\ _ 
dx J o 



d'F 
dx- 



\dx 2 ) 9 °' 
dPF 



dxP I , 



Pour y = o, F (x , y, b . d) doit se réduire à y, ce qui 



( a56 ) 
fournira les nouvelles conditions 

((£).= •• (^).= ' 

Remarquons que l'équation (2.) exprime que 

F(o,o, b , d )= o , 

c'est-à-dire que F (.r, y , b , d) se réduit à zéro lorsqu'on 
y fait à la fois x = o et j" = o, ou Lien que F [a,b,c,d) 
se réduit à zéro lorsqu'on y fait à la fois a = b et c = d. 

En vertu de ces relations F (x, y-, b, d) prendra la 
forme 

( F(.r,j, b,d) = x-\-y 

[ \_\dxdy/ 1.2 \dx i dy/ l) 1 . 2. \dx dy* / „ 

Or, dans tous les termes renfermés dans cette paren- 
thèse , on a 

b = o , c l = o , 
et, par suite, 

a = o, c == o, 

puisque x et y sont quelconques. De plus, les coefficients 
des différentes puissances de x et y ne sont assujettis à 
aucune condition, et sont, par conséquent, entièrement 
arbitraires; donc l'expression entre parenthèses est une 
fonction arbitraire des seules variables x et y qui se ré- 

duit a I ) pour x = o et y = o. 

a> étant une fonction arbitraire de x elj , satisfait donc 
à toutes les conditions de la condition; il est d'ailleurs 
facile de le vérifier. 






( *5 7 ) 
Par conséquent, 

. « — & c — d (a — b)(c — d) 

est la fonction la plus générale qui satisfasse à la question, 
Il est bien évident que nous pouvons prendre pour o une 
fonction arbitraire de a, b, c, d en l'assujettissant à la 
seule condition de ne pas devenir infinie lorsqu'on y fait 
a = b ou c = d\ condition nécessaire pour pouvoir em- 
ployer le développement (i) et qui d'ailleurs était imposée 
par l'énoncé même de la question. 
On a donc définitivement 

ac — bd -+- (a — b) (c — d)U 
f ~ (a + b){c + d) ' 

M étant une fonction quelconque de a, b , c , d. 

Note du Rédacteur. Dans une lettre à Huygkens , 
Leibnitz pose la question et donne pour solution 

ac — bd 
(a+i)(« + rf)' 
cas particulier (*). 



SOLUTION DE LA QUESTION 299 

( voir page 187 ; 

Par M. PAINVIN, 

Bocteur es Sciences mathématiques. 



Pour démontrer la proposition, il suffit de faire voir 
qu'on obtient des restes , tous différents , en divisant 
par p les nombres, soit d'une môme ligne horizontale, 
soit d'une même ligne verticale, soit d'une même diago- 

(*) Prochainement une autre solution très-simple par M. Murent. 
Ann. de Màthémai., i. XIV. (Juillet i855.1 17 



( a58 ) 
nale. En effet, deux termes quelconques d'une même 
ligne sont de la forme 

k-+-qr, Â'-f-r/r, 

OÙ 

/> ou. k' <p, y ou r/</J — i , r < p — 2 , 

et où 

i°. k' est différent de k et q' = q, pour les lignes ho- 
rizontales; 

2°. V = k et q' est différent de q, pour les lignes ver- 
ticales; 

3°. q = k — i etq' = k' — i, pour la diagonale par- 
tant du sommet supérieur à gauche ; 

4°. q =p — k et q' = p — A', pour la diagonale par- 
tant du sommet inférieur à gauche. 

Or, si Q et Q', Ret R' sont les quotients et les restes 

respectifs de la division de k -h qr et k' -f- q' r par p, on 

aura 

*H-ryr=Q/?-t-R, k' -+- q' r — Q> + R' ; 

si Ion supposait R = R', on déduirait de ces égalités 
&' - * -h (q' - q)r={Q' - Q)p. 

Or cette équation est impossible dans les quatre cas 
précités, puisque/?, nombre premier, diviserait le second 
membre sans pouvoir diviser le second. 

Le raisonnement est en défaut pour l'hypothèse par- 
ticulière 

Q = Q' = o; 

mais alors les restes sont respectivement égaux aux nom- 
bres eux-mêmes k -f- qr, k' -+- q' /•, lesquels sont inégaux, 
comme il est facile de s'en assurer dans chacune des hvpo- 
thèses précédemment énoncées. 



2D9 



SIR L'ELIMINATION 

(voir U XIII, p. 357); 

Par M. Angelo GENOCCHI. 



Lorsqu'on dit qu'une équation dont les q premiers 
termes disparaissent a q racines infinies, il me semble 
qu'on ne veut pas dire que l'équation réduite admet ces 
q racines, car une équation n'a pas plus de racines que 
n'en comporte son degré, et autant vaudrait dire qu'une 
équation du premier degré a deux, trois, etc., racines 
parce qu'on peut la faire naître dune équation supérieure 
par l'annulation de ces premiers termes, mais on veut dire 
seulement qu'il y a q racines de Y équation primitive qui 
vont croissant au delà de toute limite, lorsque les q pre- 
miers termes tendent à s'évanouir. Pareillement , si deux 
équations incomplètes, l'une du sixième degré et l'autre 
du treizième, ont une résultante du cinquante-huitième 
degré , ce n'est pas qu'elles admettent vingt solutions in- 
finies en sus de ces cinquante-huit finies , mais ce sont 
les équations générales et complètes des mêmes degrés, 
dont vingt solutions convergent vers des valeurs infinies, 
tandis que ces équations générales convergent vers les 
équations particulières incomplètes [voir ^age 356). Cela 
posé, Y absurde sur lequel serait fondée la démonstration 
de la page 35j s'évanouit. En admettant que l'équation 
finale générale ait q racines de plus que l'équation finalp 
particulière, il ne s'ensuivrait pas qu'il y eût q valeurs 
infinies vérifiant le système particulier formé d'équations 
décomposahles en facteurs linéaires , mais seulement que 
le système général d'équations non décomposables a q ra- 
cines dont les valeurs tendent à devenir infinies, tandis" 

»7- 



( 26o ) 

que ce système converge vers le système particulier. A la 
limite, où les équations générales sont remplacées par 
les équations particulières, ces q racines disparaissent et 
n'appartiennent plus aux équations réduites (comme je 
le répète) des deux racines dune équation du second de- 
gré, l'une disparaît en devenant infinie lorsque , par l'an- 
nulation du premier terme, l'équation est réduite au pre- 
mier degré et n'est susceptible , en conséquence, que d'une 
seule racine. 

Note du Rédacteur. Si l'on trouve de prime abord 
une équation de degré m et qu'on veuille, sans rime ni 
raison, supposer quelle provienne d'une équation de de- 
gré m -+- n , qui a n racines infinies, cela répugne au bon 
sens. Mais il en est autrement si l'on trouve de prime 
abord une équation de degré m -+- n et qu'ensuite , par 
certaines considérations sur les données de la question . 
on parvienne à une équation de degré m -, on est autorisé 
à dire que n racines du cas général sont devenues infinies 
dans ce cas particulier. Donc, à ce qu'il me semble, la 
difficulté subsiste toujours. 



SIR LES OVALES DE DESCARTES 

( voir page 202 ) ; 

Par M. Angelo GENOCCHI . 



On peut mettre r — a 1 au lieu de h ; -h b z ; puis eu po- 
sant 

-r— l ~ J 

X = -, 

r -+- iab = g, r — ia h = h , r — 2a* = k , 
la quantité soumise au radical dans 1 intégrale trans- 



( ^6, ) 

formée sera 

y (* +r) (</ h- Ar) te -+- */ + *r*) ; 

on fera ensuite 

ce qui donnera sous le radical un polynôme de la l'orme 

p 4- 7 z J -f- o 3 4 + 7 z 6 h- p z 8 , 

et, par conséquent, la nouvelle intégrale transformée 
sera réductible aux fonctions elliptiques à l'aide d'une 
substitution connue [voir le Traité de M. Yerhulst, 
page 290). 

M. Bertrand a remarqué (Nouvelles annales, t. XIV, 
p. 3 1 (qu'un théorème démontré dans Y algèbre supérieure 
appartient à M. Gauss-, j'avais déjà fait la même remar- 
que (Nouvelles annales, t. XII, p. 268). Vous avez bien 
voulu me citer, Monsieur, au même endroit (p. 32) à 
propos d'un théorème de la 25 e leçon (Cours ci Algèbre 
supérieure). Cette observation se rapporte à la première 
édition; dans la seconde, la 25 e leçon a été entièrement 
refondue et le théorème dont il s'agit a été supprimé. 



THEOREME DE FERMAT GÉNÉRALISÉ ; 

Par M. SERRET, 

Examinateur d'admission à l'Ecole Polytechnique. 



Le théorème de Fermât d'après lequel la formule x" — x 
est divisible par w, quand n est premier, est susceptible 
d'une généralisation assez remarquable. 

J'ai trouvé effectivement le théorème suivant: 

Si a, b, c,..., k désignent les nombres premiers itié- 



( 262 ) 
gaux qui divisent un entier quelconque n , la formule 

n n n n 

x" — V ■*" + 2, ^'' — 51 ^ + • • — x abc '" k ( * ) 

e5f divisible par n ; <7«e/ <yae 5o/£ x. 

Je vous envoie cet énoncé, pensant qu'il pourra inté- 
resser quelques-uns des lecteurs de votre estimable re- 
cueil 5 la démonstration est aisée à trouver. 

J'ai été conduit au théorème dont il s'agit en cher- 
chant à déterminer le nombre N des congruences ir- 
réductibles de degré rc, suivant un module premier p, 
question qui se rattache à la théorie que j'ai développée 
dans la 25 e leçon de mon Cours a" Algèbre supérieure . 
On trouve 

nu n 

p,l Vy/xV^ . . . ifc p abC - " k 

N — • 

ii 

On a ainsi une démonstration indirecte du théorème 
énoncé plus haut pour le cas particulier où x est égal à un 
nombre premier p; mais ce théorème est vrai , je le ré- 
pète, quel que soit l'entier x. 



QUESTIONS. 

307. Un dé est un cube portant sur chaque face des 
trous nommés points • les faces opposées sont i et 6, 2 et 5, 
3 et 4- Les points sont placés de manière que le centre de 
gravité de chaque face est à son centre de -figure , mais le 
centre de gravité du dé n'est pas à son centre de figure. 
Trouver la distance de ce centre de gravité à chaque face, 



> x" = x~ ■+■ x~ -+-. . .-h x el ainsi des autres 



( 2 63 ) 
prenant pour unité le côtédu cube et supposant que chaque 

trou enlève une portion de volume représentée par - et 

p>31. 

308. Inscrire dans un arc de section conique trois 
cordes consécutives formant trois segments équivalents. 

(Chasles.) 

309. /', p, n étant trois nombres entiers positifs, p et 

, , • ( r _i)( r p»_i) 

n deux nombres premiers entre eux, ; r-r— . 

r ' (r" — i)(rP — i) 

sera un nombre entier. 

340. Quels sont les divers aspects de la lune pour un 

spectateur placé au pôle ? 



SUR LE PROBLEME DE HALLEY 

(voir tome XI, p. 363) ; 
(Extrait d'une Lettre de M. Prociiet). 



Le problème consiste à tracer une conique dont on con- 
naît un foyer et trois points. La Hire résout le problème 
à l'aide delà directrice; mais lorsque l'excentricité est 
très-petite , comme dans les orbites planétaires , la direc- 
trice est infiniment éloignée de la conique et la solution 
devient impraticable. 

Pour remédier à cet inconvénient, Nicollic donne la 
construction suivante [Mémoires de l 'Académie des 
Sciences, 1746, p. 291). 

Soient F le foyer 5 A', A", A.'" trois points de la conique. 
De F comme centre et avec un rayon quelconque, on dé- 
crit une circonférence; désignons par «', a", a"' les in- 
tersections respectives des rayons vecteurs FA', FA", FA W 
avec la circonférence-, sur les trois cordes a' a", a" a 1 ", 
a" a', prenons respectivement des points B w , B', B'tels, 



( *64 ) 

que Ton ai t 

a'B'" __ FA^' a"B' __ FA'" a'"B" _ FA' 
a"B'" ~ FÂ 7 ' a"'B' ~ FÂ 7 ' ' a'B" ~ FÂ 7 '' 

De B'", B', W ainsi déterminés, on abaisse des perpendi- 
culaires respectivement sur A' A", A" A!" , A!" A', elles se 
rencontrent en un même point P; FP est la direction de 
l'axe focal. On voit que les points B divisent les trois cordes 
du cercle en segments inversement proportionnels aux 
rayons vecteurs de la conique, qui aboutissent aux extré- 
mités de ces cordes. FB', FB", FB W divisent respecti- 
vement en parties égales A" A'", A' A"', A! A!' et l'on a 

PF excentricité 

a' F demi-axe focal 

Si l'on joint a et P par une droite et si l'on désigne par a 
la seconde intersection de cette droite avec la circonfé- 
rence de centre F, on aura 

aP AF' 

Aj étant la distance du second foyer à A ; la conique est 
donc complètement déterminée. On demande la démons- 
tration, d'après les méthodes modernes, de ces belles et 
utiles propriétés. JNicollic s'en sert pour calculer les dis- 
tances au périhélie des comètes et des planètes dont on 
connaît trois observations. Membre correspondant de 
l'Académie , nommé astronome-adjoint le 3 septembre 
i 746 , il est mort le 4 mars 1761. 



note 

Sur le genre des noms terminés en oïde et sur le paramètre de la parabole. 



1. La terminaison de certains noms en oïde vient de 
%i$is (apparence), qui est en grec du genre neutre, auquel 



( a65 ) 
correspond en français le genre masculin. Ainsi il faut 
dire un sphéroïde, un paraboloïde, un hyperboloïde ; c'est 
donc à tort que dans le Programme d'admission à l'Ecole 
Polytechnique, inséré au Moniteur (17 avril i855), on 
a mis une paraboloïde, une hyperboloïde. Ce grave 
journal devrait se distinguer par une grande correction 
orthographique et grammaticale. On y trouve pourtant 
fréquemment des expressions telles que : Dans ce but , 
Les contributions foncière et mobilière , Celui nommé 
ci-dessus 5 expressions vicieuses , condamnées par tous les 
grammairiens (*). 

2. Une propriété caractéristique du paramètre propre- 
ment dit dans les coniques est d'être respectivement in- 
férieur, égal, supérieur à quatre fois la distance focale, 
dans l'ellipse, la parabole, l'hyperbole; propriété sur 
laquelle est peut-être fondé le nom de ces lignes. Les 
équations de ces courbes, rapportées au sommet de l'axe 
focal, sont 

b*x 2 b^x 1 

y'' = px — , jr 2 = px , Y 2 — px -+- — — , 

où p est le paramètre. Quelques auteurs écrivent pour 
équation de la parabole 

alors cest ip qui est le paramètre et non p, ainsi qu on le 
dit erronément dans les Leçons de Géométrie analytique 
de MM. Bouquet et Briot, traité si justement estimé. 

(*) Notre titre : aux Ecoles Polytechnique el Normale est incorrect. 

La cycloïde, la conchoïde, sous-en tendez coui he. La cassinoïde, déno- 
mination ridicule; cassinienne est le vrai nom. 11 existe un ouvrage 
Delta curva Casseniana, par le célèbre Malfatti; in-8, 1781 ; belle synthèse 
géométrique. 



x66 



THEOREME 5 

Par M. DE LAFFITTE, 

Officier d'artillerie. 



Si un triangle circonscrit à un autre se meut en res- 
tant semblable à lui-même , tous les points homologues 
dècriventune même circonférence. 

Soit o [fîg'i) un point quelconque intérieur au triangle 
Fie. i. 
v 




pqr donné d'espèce. Je détermine ce point au moyen des 
angles que font op, or, oq avec les côtés du triangle pqr. 
Ces angles sont invariables, ainsi que ceux des lignes op, 
oq, or entre elles. Soit ABC [fig. 2) le triangle inscrit 

FlG. 2. 




( ^7 ) 
fixe; sur les trois côtés je décris des segments capables des 
angles P , Q , R égaux respec li vemen ta p,q, r. Soi t PQR 
une position du triangle, O la position du point o; les 
angles ORP, ORQ étant constants, le point M, inter- 
section de OR avec le cercle décrit sur AC , est invariable^ 
il en est de même des points IN et H. Donc, l'angle NOH 
étant invariable, le point O est sur le segment capable de 
cet angle décrit sur NH. C'est évidemment le cercle qui 
passe par les trois points M , N, H. 

Corollaire I. Si un polygone se meut en restant sem- 
blable à lui-même , et que trois côtés déterminés passent 
chacun par un point fixe, un point quelconque du plan 
du polygone décrit un cercle. 

Corollaire II. Si un quadrilatère est tel , que tous les 
rectangles circonscrits soient semblables entre eux, un 
point quelconque du rectangle circonscrit décrit un cer- 
cle et, partant, son centre. 

Quel est le lieu géométrique des points du plan pour 
lesquels ce cercle a un rayon donné? 

Nous avons décrit sur les côtés du triangle inscrit des 
segments capables des angles du triangle circonscrit; le 
point d'intersection M de deux de ces segments appartient 
évidemment au troisième. C'est là un point fixe pendant 
le mouvement du triangle , parce que les lignes qui le join- 
dront aux trois sommets feront toujours avec les côtés 
les mêmes angles. Ce point est celui duquel les trois côtés 
du triangle inscrit sont vus sous des angles qui sont les 
suppléments de ceux du triangle circonscrit. Le diamètre 
du cercle que décrit un point quelconque sera la différence 
entre sa plus grande et sa plus petite distante au point 
fixe pendant le mouvement du triangle. Mais tous les 
points qui, dans une position particulière, seront à égale 
distance du point fixe, y seront encore dans toute autre 
position du triangle, car tous ces points reliés au triangle 



( '2ÔS ) 

circonscrit donnent des figures semblables, et ce seront 
les seuls. Donc les points qui décrivent des cercles égaux 
sont ceux qui sont également éloignés du point fixe. 

La plus grande distance d'un point au point fixe cor- 
respond au plus grand triangle. Par un principe connu, 
c'est celui dont les côtés sont parallèles aux lignes des 
centres des segments capables. La plus petite distance 
correspond au plus petit triangle qui est nul , se réduisant 
au point fixe M. 

Donc 

i°. Les points également éloignés du point fixe décri- 
vent des circonférences égales; 

2°. Le diamètre de cette circonférence est, pour chaque 
point, la distance au point fixe dans le triangle maxi- 
mum 5 

3°. La circonférence décrite par un point quelconque 
passe au point fixe ; 

4°. L'enveloppe des cercles inscrits ou circonscrits au 
triangle passe au point fixe, car un de ces cercles est le 
point lui-même. 

NOTE 

Snr quelques applications de la théorie des surfaces; 

Par M. Michael ROBERTS. 



Une surface développable circonscrite à l'ellipsoïde 

x 2 y 2 z 2 



(I) 



a pour équations aux différences partielles (en adoptant 
les notations habituelles) 

(II) z — px — qy= \jn 2 p 2 -h l> 7 r/ 2 -+- c 2 , 



( *6 9 ) 
et 1 arête de rebroussement de cette dernière aura pour 
équation aux différences ordinaires 

| a- (ydz — zdy-y- + b 7 (zdx — xdz) 7 -f- c 7 [xdy — ydx) 7 

(III) s 

( = b 7 c 7 dx- -f- a- c 7 dy* -+- a 7 b 7 dz 7 . 

Cette équation peut être mise sous la forme 

/ xdx ydy zdz 
\~a T + 'b 7 "^ ~ 
y 7 z- \ [ dx 7 dy 7 dz 1 

ce qui fait bien voir comment la surface (I) y satisfait; 
elle appartient aussi à une caractéristique quelconque des 
surfaces comprises sous l'équation (II). 

Supposons maintenant que l'arête de rebroussement 
d'une surface développable circonscrite à la surface dont 
voici l'équation 

~2 -,2 _: 

(IV) 



k* b 7 — h 7 c 7 — k' 



se trouve sur la surface (I) , il faut donc combiner avec 
l'équation (III) la suivante 

(a 7 — k*)(ydz — zdyY ■+- {b 7 — k 7 )(zdx — xdz)* 
+ ( c *_ k*){ydy— ydxj 

= {b 7 — k : ){c 7 — Â 7 )dx 7 -h (a 7 —* 7 ) (c 7 — k 7 )dy 7 
+ (a 7 - k 7 ) (b 7 — k 7 ) dz 7 , 
ce qui donne 

[ (xdy — ydx) 7 + [zdx — xdz) 7 -f- (ydz — zdy) 7 
(V) ] = {b- -+- c 7 — k-) dx 7 -h (a 7 -hc 7 — k 7 )dy 7 
( + (« 2 4- b 7 — k 7 )dz 7 . 

Or les surfaces (I) , (IV ) peuvent être regardées comme 
les deux nappes d'une surface, lieu des centres de cour- 
bure d'une autre surface; par conséquent, l'équation (\ ) 
appartient à une ligne géodésique tracée sur la sur- 



( 2 7° ) 
face (I) (*). Cette nouvelle forme de l'équation d'une 
ligne géodésique sur une surface à centre du second de- 
gré diffère de celle qui a été donnée par M. Joachimsthal, 
et présente une analogie remarquable avec l'équation des 
lignes les plus courtes sur une surface conique quelcon- 
que. On peut énoncer ici le théorème suivant : 

Si Von prolonge les droites tangentes à une ligne 
géodésique sur une surface à centre du second degré 
jusqu'à ce qu elles aillent rencontrer les plans tangents 
à la surface perpendiculaires à leur direction, les points 
de rencontre seront situés sur une sphère concentrique 
avec la surface, et cette sphère sera la même pour toutes 
les lignes géodésiques tangentes à une même ligne de 
courbure. 

Considérons maintenant l'hyperboloïde cubique ou 
bien la surface représentée par l'équation 

(VI) xyz= i. 

La surface développable circonscrite à cette surface a 



(*) Cette relation remarquable qui existe entre deux surfaces homofo- 
cales du second degré, montre clairement l'origine de la belle propriété , 
découverte par M. Chasles, que toutes les tangentes à une ligne géodésique 
sur une surface du second degré sont tangentes à une seconde surface ho- 
mofocale à la première. Sous ce point de vue, ce théorème n'est qu'un 
cas particulier d'un théorème général donné par Monge , qui fournit aussi 
une autre interprétation géométrique de notre équation (III). Soit (S) 
une surface, telle que l'ensemble de (S) et de (I) est une surface, lieu des 
centres de courbure d'une autre surface ; l'équation ( IIP appartient aux 
lignes géodésiques tracées sur (S) et quisont tangentesàla courbe d'inter- 
section de (S) et (I). Toutes les surfaces (S Joui pour équation aux diffé- 
rences partielles la suivante : 

a '- [(//• _ c *)q -+- P (r+f)f 4- l>* [(«' — «')/» -+■ PO + /»*)]* 
_t-c s [(a 5 — b*)pq —V{py — qx)Y 
= [(J-_ c") qx— (« 3 — b^pqs— {a' — c*) pjr ]* 

vl II 

P = 2 — pi — </.> . 



( 2 7» ) 
pour équation aux différences partielles la suivante : 

z — px — qy — 3 {/)<])> . 
Posons maintenant 
xdy — ydx = Z , zdx — xdz = Y , ydz — zdy = X , 

et nous trouvons, pour l'arête de rebroussement de cette 
dernière, l'équation suivante 



X 2 YZ 2 -f- 18 



[X 2 dx' (Y dy — Z dz) ~l 
+ Y 2 dy' (Zdz—Xdx) = 243 dx- dy* dz 
-hZ'dz (Xdx-Ydx)J 



dont l'intégrale est le système suivant 

3 — a.r— <p (a) y = 3[a<p(a)] 3 , 

d i 

— * - ?' ( a ) x = 3 j^H ( a )] 3 ' 

Pour évaluer l'aire de la surface (VI) , nous emploie- 
rons les angles qui déterminent la position de la normale. 
L'expression pour la surface (S) devient donc 



S =i/T 



sin 9 d9 r/<p 



cosôsinOsin cpcos-p) 2 



et si les angles 9 et <p sont indépendants , l'intégration se 
ramène aux fonctions elliptiques. 

Je terminerai ces remarques en faisant observer que les 
surfaces (I) et ("\ I) sont comprises sous la môme équation 
aux différences partielles, savoir 

(z — px — qy'/ = /i s [rt — s 1 ) . 

Le théorème énoncé se rattache à celui-ci : Le sommet 
d un angle trirectangle circonscrit à une surface à cen- 
tre du second degré décrit une sphère concentrique. T\i. 



( *7*) 



BIBLIOGRAPHE. 

(voir t. XIII, p. 3S8). 



Algèbre supérieure ; par M. Serret. 

Lemme. F (y) = o étant une équation de degré n et 
<|> ( y) un polynôme quelconque de degré n — i , la somme 

Y (y) 
\ — - — U étendue aux racines^, j' 2 >• • •, JO, de l'équa- 

tiôn 

F(j)=o, 

(sans racines égales) a pour valeur le coefficient de y"~ i 
dans <J»(j). 

Démonstration. (Voir Nouvelles Annales, tome IX. 
p. 82; Abel Transon.) 

Problème. Soient les deux équations 

0) /( y ) = j'" h- p« J'" -2 +P* y m ~" + ■ • - + pm = o, 

(2) F(|jr) = j» +îir"-' + W»- 2 +.. .+ <7« = o, 

(ru r*»- ••>/») 

qui ont une même racine commune , savoir y 1# // s'agit 
de calculer cp (ji) <p étant une fonction rationnelle en- 
tière. 

Représentons par R 4 , R â ,..., R„ les n produits qu'on 
obtient en combinant n — 1 a n — 1 les quantités 

/OO» /(/■--)>• ■•» /0»h 

y (jTi) étant zéro par hypothèse, il s'ensuit que R, 
n'est pas nul , et les autres R sont tous nuls comme ren- 



( ^ ) 

fermant le fadeur f(y t ). Donc on a les identités 
R, = R, -h R, + ■ . . + R„ = ^ R » 

R, T ( j, ) = R, 7 (/, ) 4- R, f (/,) -+- . . . 

et 

s* 

Ces deux sommes, étant des fonctions symétriques des ra- 
cines de l'équation (2), sont des fonctions rationnelles 
connues des coefficients de cette équation ; mais on peut 
abréger considérablement le calcul par cette considéra- 
tion. 

Soit & (y) une fonction rationnelle quelconque, on 
voit qu'on a 



donc 

faisons 
alors 



R,e(r,Mr.)=2ae(.rM.r) f 



?(j.)= 



5> 9 Cr) 



V Rc P^) 



y_J_ 

R u est une fonction symétrique des racines de l'équa- 
Atm. de Maihémal , l. XIV. (Juillet i855. 18 



( *74 ) 
lion 

y —y? 

et , par conséquent, fonction rationnelle connue des coef- 
ficients q x , ^ 2 •>•■-•) Çn et dej^ ; on a donc 

Ru = p u •+■ p, j> + p 2 y J -H . . . H- p„_, 7 JJ-' ; 

les p sont des fonctions connues de ^, , ^r 2 ,..., <7„ et l'on 
peut faire disparaître les puissances de y a supérieures à 
n — i , au moyen de l'équation 

y n lt . = -^y n - l -^y ~'-^ 

et, par le même raisonnement , 

R /* ? tr>) = *• + *• /,« -h /« .ri + : . . + ?„_, / 



n— I 



Donnant à f/ toutes les valeurs i, 2, 3 ,.«. w, les p et les f 
ne changent pas , et, d'après le lemme , 

par conséquent , 

¥U'') = : — 
P»-. 

Si l'on voulait calculer la fonction rationnelle non en - 

»(/') r 

tiere ^ — ( -, on iera 

*( yu) = T + T, ( XfJL ) -h ... H- T„_, (jr£-), 
et l'on aura 

*(r.) t„_,' 

Faisons 
on a 

R„ J-„, = frJTp -t- p, ^ > + . . .4. p„_, y. 

= p» r« +...+ i ' p„ , — 9 p„_, . . . )jrJ-« , 



r> 



( a 7 3 ) 

pn-s ( ]?n-\ 



il suffît donc de calculer les coefficients de y"~ l et y"-* 
dans R a . 

Cinquième Leçon (68-76). Pour démontrer le lemme 
cité, l'auteur a besoin de la décomposition en fractions 
simples d'une fonction rationnelle non entière ; c'est 
l'objet de la présente Leçon. II fait usage de la mé- 
thode des coefficients indéterminés et ensuite de la mé- 
thode de M. Liouville {Nouvelles Annales, tome VI, 
p. 127). 

Sixième Leçon (77-87). Même sujet; théorie géné- 
rale {voir Finck, Nouvelles Annales, t. IV, p. 295). 
L'on démontre qu'une fraction rationnelle n'est décom- 
posable que d'une seule manière en parties entières et en 
fractions simples (p. 80). 

Septième Leçon (88-100). Même sujet; facteurs tri- 
nômes avec ses deux applications; conditions pour que 
l'intégrale d'une différentielle rationnelle soit algébrique; 
détermination d'un terme général d'une série récur- 
rente. 

Les facteurs simples x — a, x — b , etc., peuvent re- 
présenter des distances de points situés sur une même 
droite à un point fixe pris sur cette droite (points-racines 
de Gauss) , de sorte que la décomposition en fractions ra- 
tionnelles donne certaines relations géométriques entre 
ces distances , et vice versa. Ces relations étant établies 
à priori, on en déduit réciproquement les formules de la 
décomposition (Géométrie supérieure, page 235) (*). 

(*) Il est peut-être à regretter qu'on n'ait pas adopté dans cet ouvrage 
\cspoin:sracines qui auraient considérablement abrégé les raisonnements, 
mnémonisé les riches résultats de cette admirable synthèse quasi-algébri- 
que, où l'on fait un emploi continuel si ingénieux des signes -1-, — » =. 
y/— 1, oo . explicitement ou implicitement. 

18. 



■J-() 



Maclaurin en fournil aussi un exemple (Nouvelles A fi- 
nales, t. IX, p. 443)* La théorie de la décomposition en 
fractions rationnelles est le sujet dune belle thèse doc- 
torale de Jacobi ; nous en avons fait la traduction que 
nous donnerons bientôt. C'est un premier pas , mais 
c'est le pas d'un lionceau. 

Huitième Leçon (ioi-i 17). L'auteur revient aux fonc- 
tions symétriques relatives à un système d'équations et 
donne cette ingénieuse méthode de Poisson : 

Soient/:? équations entre p inconnues x 1 ,x 9 ,x 3 ,...,x p , 
supposons que ce système admet n solutions , savoir : 



'2 » •*■ s i • ■ ' 1 p' 



rH .r<" x*-") x^ : 

il s'agit de trouver la valeur de la fonction symétrique qui 
a pour type 

«)'•■ (*',)*'••■ (*.Y-, 

les r sont des nombres entiers positifs donnés sans exclure 
zéro. Joignons au système une équation linéaire 

t = a, x, H~ ct 3 x 2 -f- . . . -+- a„ x„ , 

où t est une nouvelle inconnue et les a sont des constan- 
tes indéterminées. Eli minant les p inconnues entre les 
p -|~ 1 équations, on obtient une équation de la forme 

■ty(t, a,, a ; , . . . , a„) = O, 

équation de degré n, car elle a n racines ayant pour 
type 

a, x\ -+- ccj x\ + . . . -f- y. n x' n . 

Le développement de 

( a, x\ -h a, x' 2 -f- . . . -f- a„ #„ )/* 
-+-{a. l x l -+- a 2 .r 3 +...+ a„x„ J'+ .. 
-4- ( a, .r ," ■+- a, *§»> ■+-...+ a„ .r, 



( Vj ) 
où [x est un nombre entier positif, égal à 

donne les ternies de la forme 



I • '1- '3 



— a',' a'/- . . a'"« > x r . 1 x''* . . . x'',,', 

le signe ^ indique qu'on doit remplacer x t , .r, ,..., x„ 

suecessi vemen t par x', , x\ , . . ., x" , .r" ,x',..., or" . Mais la 
somme des puissances semblables des racines de l'équa- 
tion en t donne 

A a' 1 a' 2 ' . . . a^„ , 

où A désigne une quantité connue , et à cause de l'identité, 
on a donc 

A f* ! 



v 



A.r. 



Connaissant les fonctions géométriques simples, on en dé- 
duit, par voie de multiplication , les fonctions symétriques 
composées. 

Ce procédé donne aussi le moyen d'éliminer p — i in- 
connues entre p équations lorsque l'on sait éliminer 
p — 2 inconnues entre p — i équations et sert aussi à 
démontrer le théorème général de Bezout (p. 107). 

On regrette de ne pas trouver ici ni la méthode d'élimi- 
nation si ingénieuse de M. Sylvester, ni le théorème si 
important d Euler, sur le degré auquel montent les coeffi- 
cients des équations dans l'équation finale et qui est un 
corollaire de l'élimination par fonctions symétriques 
(voir Nouvelles Annales, tome IX , p. 228). Cette Leçon 
est terminée par la belle méthode de Tschirnhaus (pas 
Tsehirnaùs) qui sert à faire disparaître d'une équation au- 
tant de termes que l'on veut et qui démontre que la réso- 



( *7» ) 
lution de l'équation de degré m dépend d'une résolvante 
de degré m — i! , résultat donné aussi par Lagrange. 

Soit 

x m -+■ p, .r m -' -h p 2 .r'"- 2 -f- . . . -+- p m — o , 
posons 

y = a -f- a, x -f- a , x 1 + . . . -f- a n x" ; 

n<^m\ les a sont des constantes indéterminées. Elimi- 
nant x, l'équation en y sera aussi de degré m, car on a , 
en général, 

yP = b -h b t x -+- ha: 7 + . . . + 6 m _, x m -' , 

où p est un nombre entier positif; les b sont des fonctions 
entières homogènes du degré p des indéterminées a t , 
« 2 ,..., a n , et, au moyen de l'équation donnée, on peut 
ramener j'' à ne renfermer que des puissances de .r infé- 
rieures à m. Donnant à p successivement les valeurs i, 
2 , 3 , . . . , m , on a m équations du premier degré entre les 
m — i quantités x, .r 2 ,..., a:" 1-1 . L'élimination, par la 
méthode de Cramer, donne donc l'équation en y de la 
forme 

y m H- q, y m ~ x H- qi y m ~ 2 -+-... Hr q m = o. 

Nommons S p la somme des puissances p des racines de 
cette équation et s p la somme analogue de l'équation don- 
née en x, on a 

S^ = mb a -f- b tl Si -fr b,s, -+- . , . + £ m _, s m _, ; 

donc S p est une fonction entière homogène des a de de- 
gré p. On a 

S, + ? = o, S 2 -H y, S, -f- 2<7 2 = o, . . . ; 

donc q n est une fonction entière homogène des a et de de- 
gré n\ donc, pour faire disparaître n termes consécutifs, 
il faut poser 

<7i — o, q 7 =z O,. . . , g„ = o; 



( 2 79 ) 
ce sont ii équations homogènes entre /* -f— i indétermi- 
nées a , a lv .„, a n et, à cause de l'homogénéité, on peut 
poser a = i. On a n équations entre n — i inconnues, 
et son élimination, d'après le théorème de Bezout, a une 
équation de degré n !. Faisant 

n ■= m — i , 
on obtient 

y m H- q m = o. 

Ainsi la résolvante est du degré m — i !. 

On voit facilement que ce procédé donne la solution 
des équations du premier, deuxième, troisième et qua- 
trième degré. 

Pour faire disparaître le deuxième, troisième et qua- 
trième terme de l'équation en. y, on est donc amené à une 
équation du sixième degré; mais un géomètre anglais, 
nommé Jerrard, a réduit cette équation au troisième de- 
gré de la manière suivante. C'est l'objet de la Note V 
(p. 462). 

Lemme. Une fonction homogène et entière du second 
degré de n quantités est la somme des carrés de n fonc- 
tions linéaires. 

Démonstration. Soit 

V = ? («0, «1, «»»•••> «/.-i), 
où <j> désigne une fonction homogène entière du second 
degré 5 on peut écrire 

où P est une constante , Q une fonction linéaire homo- 
gène des n — 1 quantités , a , a x , . . . , a„_ t , et R une fonc 
tion homogène du deuxième degré des mêmes n — 1 quan- 
tités j on a aussi 



a^/p/ 4P 

la première partie est le carré d'une fonction linéaire «le 



( ^8o ) 
// quantités <z , «i,..., «„_i , et la deuxième partie est une 
fonction entière homogène du deuxième degré de n — i 
quantités a , a, , a t ,..., a n _ x . Traitant la seconde partie 
comme on a fait pour la fonction V, on voit qu'on pourra 
décomposer Venre carrés de fonctions linéaires respecti- 
vement de rc, n — i, n — 2, quantités. 

Ceci étant démontré, prenons les équations 

x m -hp t x m -* -+- ... -+- p m ~ o, 
y z=z a -4- «1 x + a^x' 1 -f- a i x i -+■ a^x 11 , 

et l'équation 

ym + 7( ^m-l + g 2 ym-3 _|_ . . . _|_ ?m = o ; 

pour faire disparaître les deuxième , troisième et qua- 
trième termes , il faut poser 

<7, = O, q- 2 = O, q 3 = o, 

<7j est fonction linéaire des cinq quantités a , ai , a z , a 3y 
a,.. Eliminant a des deux dernières équations au moyen 
de la première , on a 

q\ = 0, q\ = O, 

où ^' 2 est une fonction du deuxième degré des quatre 
quantités a x , « 2 , «3 , «4, et, d'après le lemme, l'équation 

q\— O 

peut se mettre sous la forme 

/ 2 + £ 2 4- A 2 -h * 2 = o, 
/", g 1 , A, A étant des fonctions linéaires. Posons 

l'équation sera satisfaite. On a ainsi deux équations bi- 
naires. Au moyen de ces deux équations, éliminant a t , <7. 
de q' — o . on a une équation homogène du troisième de- 
gré entre « 3 et « t . Posant û] = i, ona une équation du 
troisième degré en tf v , et a , étant connue, on trouve immé- 



( *8i ) 
dialement a , a x , a. 2 en raisonnant de la même manière. 
La disparition simultanée du deuxième , troisième et 
cinquième terme amène à une équation du quatrième de- 
gré. On peut aussi faire usage de l'équation aux racines 
inverses. 

La résolution de l'équation du cinquième degré dépend 
donc de la résolution d'équations d'une de ces quatre 
formes 

x* -+- px -f- q = O , 
x> -+- px 2 -{- q = O , 
x* -f- px 1 -f- q — O , 
x h -f- px* -f- q — o. 

Ainsi la question 41 est résolue (Nouvelles Annules, 
tome I , pages 396 et 447» note ) s ^ l' on peut choisir a 3 de 
manière que p =■ 1 . 

La fin prochainement. 



SUR M THÉORÈME DE LEGENDRE 

et son application à la recherche de limites qui comprennent entre elles 
des nombres premiers ; 

Par M. DESBOVES, 

Professeur au Lycée Bonaparte. 



Dans l'un des chapitres de Y Essai sur la Théorie 
des nombres , Legendre s'est proposé de démontrer que 
toute progression arithmétique dont le premier terme et 
la raison sont premiers entre eux, contient une infinité 
de nombres premiers, et, subsidiairement, de trouver 
des limites qui comprennent nécessairement des nombres 
premiers. La solution des deux problèmes serait aussi 
simple qu'on peut le désirer, si malheureusement elle ne 
s'appuyait pas sur une proposition que Legendre croyait 
avoir démontrée, mais à laquelle, à vrai dire, il n'est arri\ é 



( *8a ) 
que par une heureuse induciion , pomme 1 a déjà remar- 
qué dépais longtemps M. Lejeune-Dirichlet. 

Je me propose dans le présent article i° de discuter la 
prétendue démonstration de Legendre, c'est-à-dire de 
faire voir en quoi elle pèche et quelle est, au fond, la 
vraie difficulté; 2° en admettant le théorème de l'illustre 
géomètre comme un postulatum, d'en faire découler im- 
médiatement de beaux théorèmes sur les limites des nom 
bres premiers. Puissé-je , par là, car je n'ai pas d'autre 
but, engager les géomètres à faire de nouveaux efforts 
pour trouver une démonstration qui jusqu'ici a échappé 
aux plus habiles. 

Première Partie. — Discussion. 

Avant d'énoncer le théorème de Legendre , quelques 
explications préliminaires sont indispensables. 

Si, dans la progression arithmétique formée par la suite 
naturelle des nombres impairs, on se propose de trouver- 
plusieurs termes consécutifs qui soient divisibles par 
quelqu'un des nombres premiers depuis 3 jusqu'à un 
nombre premier désigné y, on voit que le nombre de ces 
termes est variable et dépend, en général , de l'ordre dans 
lequel sont placés les multiples des différents nombres 
premiers. Ainsi, par exemple, dans la suite des nombres 
impairs, on pourra obtenir des suites partielles dont les 
termes seront des multiples des nombres premiers 3,5, 
7, il, i3 et seront rangés suivant les différents ordres in- 
diqués ci-dessous (*) : 

3, 7, 5, 3, ii, i3, 3, 5, 7, 3, 

3, 7, 5, 3, i3, 11 , 3, 5, 7, 3, 

5, 3, 11 , 7, 3, 5, i3, 3, 

3, 5, 7, 3, 11, i3, 3,... . 

(*) J'adopte la notation de M. Terquem, m, pour designer un multiple 
•lun nombre m. 



( 283 ) 
Chaque nombre impair est ici considéré comme mul- 
tiple du plus petit nombre premier qui le divise. La seule 
condition à remplir, c'est que les multiples de 3 viennent 
de trois en trois rangs , les multiples de 5 de cinq en cinq 
rangs, etc., et ce sera d'ailleurs un problème d'analyse 
indéterminée de la nature la plus simple que celui de 
trouver, dans la suite indéfinie des nombres impairs, des 
suites analogues aux précédentes. Si, par exemple, on se 
propose de trouver les nombres consécutifs impairs les 
plus pelits possibles qui soient divisibles par quelqu'un 
des nombres 3, 5, 7, 11, i3 et qui , de plus , soient ran- 
gés comme dans la première des suites données plus haut, 
il suffit de remarquer que le nombre pair compris 
entre 11 et i3 est nécessairement de la forme 

2X3x5X7X7, 
et que ce même nombre divisé par n et i3 donne pour 
reste H- 1 et — 1. On trouve ainsi la suite des dix nom- 
bres 

944 1 * 9443. 9445, 9447» 9449» 

g45i, 9453, 9455, 9457, 94%» 
On aura, d'ailleurs, une infinité d'autres suites pareilles, 
en ajoutant aux nombres précédents un multiple quel- 
conque des nombres premiers 3, 5, 7, 11, i3. 

On peut se demander maintenant quel est le nombre 
maximum des termes d'une suite de nombres impairs 
consécutifs qui sont divisibles par quelqu'un des nombres 
premiers 3, 5, 7,..-, oc , |3,y, a,/3,y étant les trois der- 
niers nombres premiers considérés. Or le théorème de 
Legendre sur lequel nous appelons l'attention, a préci- 
sément pour but de répondre à la question. En voici l'é- 
noncé : 

Une suite de nombres impairs consécutifs , qui sont 
divisibles par quelqu'un des nombres premiers 3, 5, 7, 
il,..., ce, (5, y, a pour maximum du nombre de ses 



( *84 ) 
termes Çù — i . Le nombre maximum des termes reste 
d'ailleurs toujours égal à [t) — i, lorsque l'on remplace les 
deux derniers nombres (3 et y de la suite naturelle des 
nombres impairs par deux nombres premiers plus grands. 

D'après le théorème préeédent, il y aura , par exemple, 
au plus dix nombres impairs consécutifs qui seront divisi- 
bles par quelqu'un des nombres premiers 3,5,7, ll t l ^i 
et nous avons vu comment on peut obtenir effectivement 
une telle suite. 

Pour établir son théorème, Legendre écrit la suite 

(0 (P — 2 )»---i 7» 5 > 3 > «i "» 3 > 5, 7,..., (p — 2), 

qui est composée évidemment de (3 — i termes et qu'il 
obtient en écrivant la suite des nombres impairs dans 
l'ordre direct et dans l'ordre inverse depuis i jusqu'au 
nombre impair jS — i qui précède le nombre premier (5. 
Il remplace ensuite les termes i et i par a , (3 et les autres 
nombres premiers par des multiples de ces nombres , ce 
qui donne la suite 

(2) ((3-2),..., 3, 7, 5, 3, p, v, 3, 5, 7 , 3,..., (p-2), 

qu'on peut écrire aussi dans l'ordre inverse et qui con- 
tient, comme la précédente, (|3 — 1) termes. L'illustre 
géomètre prétend ensuite démontrer que la suite (2) a le 
nombre maximum de termes parles raisons suivantes : 

« Le moyen d'obtenir le plus grand nombre de termes 
» consécutifs de la suite des nombres impairs qui soit di- 
» visible par quelqu'un des nombres premiers 3 , 5 , 7 , 11 
» est de considérer la suite des nombres impairs dans 
» ses moindres termes , c'est-à-dire dès l'origine de cette 
» suite, car, à une distance plus grande , on ne manque- 
)> rait pas d'être arrêté par des nombres premiers plus 
» grands que les nombres premiers donnés et qui empc- 
» cheraient la continuité des ternies qu'on veut former. Il 



( 285 ) 

» faut donc tout simplement considérer la suite des nom- 
» bres impairs i, 3, 5, y, 9,..., qu'on peut également 
» prolonger dans l'autre sens, ce qui donnera 

... —9, — 7, —5, —3, — 1, 1, 3,5, 7, 9,..., 

» ou, parce que les signes des nombres sont indifférents 
-» ici , 

9, 7, 5, 3, 1, 1 , 3, 5, 7,9,..., 

» etc . » 

Legendre est ainsi conduit à écrire les suites (1) et (3 ) 
que nous avons données plus baut. 

En admettant, pour un moment, l'exactitude du rai- 
sonnement par lequel notre auteur essaye d'établir que 
l'on doit considérer la suite des nombres premiers à l'o- 
rigine, il semble que la conclusion devrait être que la 
suite maximum dérive de la suite naturelle des nombres 

3, 5, 7, 9,..., «»..., p,---, y»..-i [S — 2) 

(0 est le nombre premier qui suit immédiatement y), 
comme la suite (2) dérive de la suite (1). En un mot, 
malgré un babile artifice de langage, il est certain que 
Legendre ne donne aucune raison pour préférer la suite ( 2 ) 
à la suite 

(3) 3, 5, 7, 3,..., a,..., p,..., ■/,..., (S— 2). 

S'il la préfère cependant, c'est qu'il admet tacitement 
que la dernière suite contient moins de termes que la 
suite (2) ou bien que l'on a 

rî— 3 

< p — 1 ou S < 2 p -f- 1 , 

c'est-à-dire qu'entre (S et 2 (3 il y a au moins deux nom- 
bres premiers. Lorsque les nombres premiers considérés 
sont 3, 5 et 7, les suites (2) et (3) sont identiques, de 



( a 86 ) 
sorte qu'en fait Legendre n'admet le théorème que pour 
les valeurs de j3 plus grandes que 5. On peut d'ailleurs 
évidemment écarter ici l'hypothèse de £ nombre premier; 
le théorème supposé vrai peut donc s'énoncer ainsi : 
Entre un nombre plus grand que 6 et son double il y 
a toujours au moins deux nombres premiers. 

Le théorème connu de M. Bertrand est un corollaire 
évident du précédent. Il est curieux de retrouver ici le 
premier théorème relatif aux limites des nombres pre- 
miers que Ion a rencontré dans les recherches mathéma- 
tiques et le premier aussi dont on a pu trouver la démons- 
tration*^ goureuse. Je ferai observer du reste que M. Tche- 
bichef , qui a donné la démonstration du théorème de 
M.Bertrand, aurait pu, sans plus de difficulté, démon- 
trer par sa méthode le théorème plus général précédem- 
ment cité. 

Si maintenant nous considérons en elle-même celte 
raison donnée par Legendre : qu'on doit considérer la 
suite des nombres impairs dans ses moindres termes, nous 
voyons bien qu'il est vrai qu'à mesure que Ton prend 
dans la suite des nombres impairs des nombres plus éle- 
vés, on a la chance de rencontrer des nombres premiers 
plus grands que y ; mais ces nombres premiers peuvent 
entrer dans la suite non pas par eux-mêmes , mais comme 
facteurs de certains termes simultanément avec quelqu'un 
des nombres premiers 3 , 5, 7,..., a , /3, y, et peut-être, 
en faisant un choix convenable, aura-t-on une suite dont 
le nombre de termes surpassera |3 — 1 . Rien dans le rai- 
sonnement de Legendre n'établit le contraire. 

Essayons maintenant de ramener le théorème de Le- 
gendre à quelque autre proposition plus simple, ou, si 
Ton aime mieux, de voir où git principalement la diffi- 
culté. 

On peut voir qu'un des caractères distinetifs des deux 



( >87) 
suites 

3, 5, 7,..., «,..-, (3,..., y,.-» (tf — 2 )> 

(p — 2),..., a,.. , 5, 3, I, I, 3, 5,..., «,..., (p — a), 

c'est que la première ne contient qu'un seul multiple de 
l'antépénultième nombre premier a (supposé plus grand 
que 3), tandis que la seconde en contient deux $ car ô— i 
est plus petit que 3a, ou, en d'autres termes, il y a 
toujours trois nombres premiers |3, y, à entre a et 3 a. On 
démontre effectivement, par la méthode de M. Tchebi- 
chef, qu'entre un nombre supposé plus grand que 3 et 
son triple il y a toujours trois nombres premiers. 

Eii rapprochant ce qui préeède des remarques faites 
plus haut , on peut admettre maintenant comme démon- 
tré qu'à l'origine des nombres, pour parler le langage de 
Legendre, la suite des nombres impairs qui ne contient 
qu'un seul multiple de a, a moins de termes que la suite 
des nombres impairs qui en renferme deux. Je dis main- 
tenant , et c'est par là que je terminerai la présente dis- 
cussion , que si l'on admettait que le même théorème a 
lieu quelque part que ce soit dans la suite naturelle des 
nombres impairs, le théorème de Legendre serait démon- 
tré. 

En effet, admettons que le théorème de Legendre soit 
vrai lorsque Ton considère tous les nombres premiers 
3, 5,..., a, |3, y, les deux derniers ,3 et y pouvant être 
remplacés par des nombres premiers plus grands, c'est- 
à-dire admettons qu'alors la suite du nombre maximum 
de termes soit nécessairement la suite (2) qui contient 
jS — 1 termes ; je dis que lorsqu'on prendra un nombre 
premier de plus â, le nombre maximum deviendra y — 1. 

On peut remarquer d'abord que la nouvelle suite ne 
pourra contenir ni deux multiples de y ni deux multiples 
de â. Car si la nouvelle suite contenait deux multiples 
dey, entre ces deux multiples il v aurait y — 1 termes 



( 2 8S ) 
intermédiaires divisibles par quelqu un des nombres 3, 
5 ,7,..., à , (3, â , ce qui est impossible, puisque le nom- 
bre des termes divisibles par quelqu'un des nombres 3 , 
5,7,...,a,(3,J est , par bypotlièse, au plus égal à (3 — i. 
Par la même raison, on n'aura pas deux multiples de J, 
mais on pourra former une suite contenant deux mul- 
tiples de (3; il suffira, pour cela , de remplacer au milieu 
de la suite (2) |3 par t?, de mettre |3 au commencement et 
à la fin de la même suite et de continuer d'écrire des 
termes autant que faire se pourra vers la droite et vers la 
gauche : on aura ainsi une suite contenant y — 1 ternies. 
Comme d'ailleurs cette suite est la seule qui , d'après l'hy- 
pothèse faite, puisse contenir deux multiples de |3, elle 
sera, d'après le principe que nous avons admis, la suite 
du nombre de termes maximum. Le théorème deLegen- 
dre, se vérifiant directement pour les nombres premiers 
3, 5, 7, 11, peut être considéré maintenant comme vrai 
en général. 

Quand les nombres premiers sont 3, 5 et 7, les suites 
(2) et (3) sont identiques et contiennent chacune deux 
multiples de a , mais le théorème de Legendre n'en sub- 
siste pas moins, puisque le nombre des termes de la suite 
est égal à \. 

En résumé, on voit qu'il résulte de la discussion pré- 
cédente que les travaux de M. Tchebichef ont , en quel- 
que sorte avancé la démonstration du théorème de Le- 
gendre, mais qu'il reste toujours à démontrer la propo- 
sition suivante : 

Une suite de nombres impairs consécutifs divisibles 
par quelqu'un des îiombres premiers 3, 5,..., a, (3, y 
étant prolongée autant que possible, aura plus de ter- 
mes lorsqu'elle contiendra deux multiples de V antépé- 
nultième nombre premier a que lorsqu'elle n en contien- 
dra qu'un seul. 



i 289 ) 

Seconde Partie. 

Nous allons maintenant déduire, comme conséquences 
du théorème de Legendre, divers théorèmes relatifs aux 
limites qui comprennent entre elles des nombres pre- 
miers. 

Théorème I. Si Von désigne par n un nombre entier 
])lus grand que i\ , par a sa racine par défaut à moins 
d'une unité près, par a et j3 les nombres premiers qui 
précèdent immédiatement a (j3 peut être égal à a), toutes 
les fois que a -4- 1 ne sera pas un nombre premier, on 
pourra assurer qu entre n et n 4- 2 a. 4- 1 il y a au moins 
un nombre premier, et qu entre n et n 4- 2)3 -+- 1 il y en 
a au moins deux. Si a 4- 1 est premier, on sera seule - 
ment certain qu'il existe un nombre premier entre n et 
n -+- 2 (3 4- 1 . 

Nous remarquons d'abord que n 4- 2a, qui peut être 
plus grand que (a 4- 1) 2 , est nécessairement plus petit que 
(a 4- a) 2 . Car n étant compris entre a 2 et (a -f- i) 2 , est 
au plus égal à a 2 -h 2 a, et /i 4- 2 a est inférieur à « 2 4- 4 « 
et, à plus forte raison, à [a 4- 2) 2 . Il en résulte que cha- 
cun des 2 nombres impairs consécutifs qui suivent n et 
sont compris dans tous les cas entre n et n 4- 2 a 4- 1 , 
devra, s'il n'est pas premier, être divisible par quelqu'un 
des nombres premiers 3 , 5 , 7,... , a,(3. Le terme (a + 1) 2 , 
le seul des termes de la suite qui pourrait n'admettre au- 
cun facteur premier égal à j3 ou plus petit , n'échappera 
pas lui-même à cette loi, puisque «4-1 est d'abord sup- 
posé non premier. Mais , d'après le théorème de Legendre, 
il y a au plus a. — 1 nombres impairs consécutifs, divi- 
sibles par quelqu'un des nombres premiers précédemment 
cités; donc, entre n et n 4- 2a 4- 1, il y a au moins un 
nombre premier lorsque a 4- 1 n'est pas lui-même pre- 
mier. 

km de Malhémal., 1. \I\ . Aoftl i855. i[) 



( *9° ) 

Los limites n et /i-f-2|3-f-i comprendront aussi, à 
plus forte raison, un nombre premier; mais je dis de 
plus maintenant qu'elles en contiendront au moins 
deux. En effet, s'il n'y avait qu'un nombre premier &> 
entre les limites indiquées, on aurait au moins /3 nom- 
bres impairs consécutifs, divisibles par 3, 5,...,or,/3,w, 
tandis qu'il y a au plus /3 — i . 

Si a -+- 1 était un nombre premier, il devrait être joint 
à la suite 3 , 5 ,..., a, (3, et dès lors on voit, en recommen- 
çant les raisonnements précédents , qu'on pourra seu- 
lement affirmer qu'il existe un nombre premier entre les 
limites n et n -+- 2j3 -+- i . 

Corollaire /. Il y a toujours un nombre premier entre 
n et n -+- i \Jn -\- i. La démonstration suppose n plus 
grand que 8, mais , pour les valeurs de n plus petites (pie 
9, le corollaire se vérifie directement. 

Corollaire 11. Les carrés de deux nombres entiers con- 
sécutifs, comprennent toujours entre eux au moins un 
nombre premier. 

Remarque. Le seul théorème relatif aux limites des 
nombres premiers que Legendre a déduit de son principe 
a de l'analogie avec le théorème I. Legendre donne aussi 
le premier corollaire. 

Théorème II. Les carrés de deux nombres entiers con- 
sccutifs comprennent toujours entre eux au moins deux 
nombres premiers. 

Nous venons de voir que les carrés de deux nombres 
entiers consécutifs comprennent toujours entre eux au 
moins un nombre premier. Désignons ce nombreprem ici- 
par w. Si , parmi les a nombres impairs compris entre 
a z et [a -+- i) 2 , il n'y avait qu'un seul nombre premier o). 
on aurait a nombres impairs consécutifs divisibles par 
quelqu'un des nombres premiers 3, 5, 7,..., a, (3, », 
tandis que, d'auprès le théorème de Legendre, ni peut y 



( *9 l ) 
eu avoir au plus (3 — i . Il y a doue au moi us deux nom- 
bres premiers entre les limites indiquées. 

La démonstration précédente suppose a au moins égal 
à 5, mais, pour les valeurs de a plus petites que 5, le 
théorème se vérifie directement. 

Ici se présente naturellement la question de savoir si , 
à partir d'une valeur suffisamment grande, les carrés de 
deux nombres entiers consécutifs comprennent toujours 
un nombre déterminé de nombres premiers aussi grand 
que l'on veut, mais le théorème de Legendre ne parait 
pas pouvoir fournir une réponse à la question. Nous al- 
lons, du reste , donner maintenant un théorème qui fera 
connaître des limites entre lesquelles on pourra com- 
prendre autant de nombres premiers qu'on voudra. 

Théorème III. Si l'on désigne par n une variable qui 
peut prendre toutes les valeurs entières possibles, par p 
et\. deux nombres entiers donnés, entre in. et i\\ — k 
il y aura toujours au moins p nombres premiers à partir 
d'une valeur de n suffisamment grande qii on pourra 
déterminer en fonction de p et k. 

Soient a z et {a -f- i) 2 les carrés de deux nombres en- 
tiers consécutifs qui comprennent //, et supposons qu'à 
partir d'une valeur de n suffisamment grande on puisse 
toujours satisfaire à l'inégalité 

in — /, ]> ( n + / ) ; , 

1 étant un nombre donné quelconque. Les nombres 

[a +i)% (« + 2) ,. . . , («-+-/)'-• 

seront supérieurs à // et inférieurs à in — À ; d'après le 
théorème précédent , il y aura entre n et in — k au moins 

2 (/ — i) nombres premiers. Si donc on pose 

2 (/ — i) = p ou 2 ( / — i) = p -f- i , 



( 2 9 2 ) 
suivant que p est pair ou impair, on sera assuré qu'entre 
n et in — k il y a au moins p nombres premiers. On 
peut d'ailleurs, dans tous les cas, remplacer dans l'iné- 
galité précédente / par sa valeur i -\ tirée de l'é- 
quation 

l(l — i) = p -+- I, 

puisque, dans le cas de p nombre pair, on ne ferait que 
remplacer, dans l'inégalité , /par une valeur trop grande : 
nous aurons ainsi 

p -\-i* 



in — k ^> I a -+- 1 ■+■' 

Cette inégalité sera évidemment satisfaite si nous pouvons 
déterminer" n par la condition 

or cette dernière égalité ayant lieu pour toute valeur de n 
plus grande que 

3( P 4- 3) 2 -t-4X- + 2 (p -f- 3) y/a {p + 3)-' + 4* , 
4 

le théorème est démontré. 

En faisant 

A = 2, /? = i 

dans la formule, nous trouvons que pour n plus grand 
que 27 il existe toujours un nombre premier compris 
entre n et in — 2. La même propriété se vérifiant direc- 
tement pour tous les nombres plus grands que 3, on voit 
que l'on retombe sur le théorème de M. Bertrand, comme 
on devait d'ailleurs s'y attendre. 

Corollaire. Entre n et pn, il y a toujours p nombres 
premiers à partir d'une valeur de n suffisamment grande. 
Je n'aurais pas donné ce corollaire si dans la discussion 



( * 9 3 ) 
du théorème de Legendre , on n'avait pas rencontré les ap- 
plications particulières p = i, p = 2. 

Le théorème de M. Bertrand a été seul démontré par 
M. Tchebichef; mais je me suis assuré que, par la dis- 
cussion d'une équation transcendante, fournie par la 
méthode de l'habile géomètre , on pouvait démontrer le 
théorème III sans difficulté. C'est là , je crois, un utile 
exercice à recommander aux jeunes lecteurs des Nouvelles 
annales. 

Théorème IV. Entre un nombre et son carré il y aura 
toujours un nombre donné p de nombres premiers à par- 
tir d'une valeur suffisamment grande. 

Ce théorème est une conséquence évidente du théo- 
rème III. Comme cas particulier, on retrouve le théorème 
de M. de Polignac : Entre un nombre et son carré il y a 
toujours un nombre premier. 

En terminant, je crois devoir faire observer que si la 
démonstration du théorème de Legendre ou du postulatum 
auquel je l'ai ramené doit encore résister aux investiga- 
tions des géomètres, le théorème II, par son énoncé si 
simple, mérite d'appeler leurs efforts. MM. Tchebichef 
et de Polignac, par exemple, pourraient peut-être par- 
venir à le démontrer par leurs savantes méthodes. 

Note sur le théorème de Goldbach. 

Tout nombre pair, excepté 2, est la somme de deux 
nombres premiers au moins de deux jnanières, et lors- 
que le nombre pair est double d'un nombre impair, il 
est toujours simultanément la somme de deux nombres 
premiers de lajorme 4n -+- 1 et la somme de deux nom- 
bres premiers de la forme (4n — 1) [vérifié jusqu'à 
10 000). 

L'énoncé ainsi complété permet d'établir un certain 



( *94 ) 
lieu entre le théorème de Goldbach et d'autres proposi- 
tions connues. 

Remarquons d'abord que la première partie de la pro- 
position exige nécessairement la vérité du théorème que 
nous avons déjà trouvé au début de la discussion d'un 
théorème de Legendre, à savoir : qu" entre un nombre plus 
grand que 6 et son double il y ci toujours au moins deux 
nombres premiers. En effet, la première partie du théo- 
rème, à partir de i4, est vraie, même en ne comptant 
pas la décomposition en deux nombres premiers égaux. 

En second lieu, si l'on admettait la deuxième partie du 
théorème , en se rappelant que tout nombre premier de 
la forme 4 n ~+~ l est ^ a somme de deux carrés, on en con- 
clurait qu'un nombre quelconque est la somme de quatre 
carrés ou d'un nombre moindre de carrés. On peut même 
ajouter que si l'on voulait obtenir une décomposition 
d'un nombre en quatre carrés, par exemple, pour con- 
struire géométriquement la racine carrée de ce nombre , 
on aurait peut-être de cette manière le procédé le plus 
régulier et le plus simple. Je suppose , bien entendu, que 
Ton ait à sa disposition deux Tables, l'une de nombres 
premiers , l'autre de carrés. 

Soit proposé , par exemple , de décomposer le nombre 
327 en quatre carrés; en désignant par x% ^% .z 2 , u~ les 
quatre carrés inconnus , on écrira 

2 (a? a + j 5 + z 3 -f- m 2 ) = 654 , 

et, en décomposant 654 en deux nombres premiers de la 
forme 4 n -+~ * 5 

2 (x 2 +/ ! + î 1 + h 2 )= 397 -f- 257. 

Maintenant si l'on décompose chacun des nombres 397 
et 257 en deux carrés , on a 

2(#M i ! il 



( 2 <p ) 

• »u encore 

{x-\- y)- + (x — fY + (z + «)• + (s — tt) s 

= i9 2 + i' ■+- i6' J + 6-. 

Or on peut satisfaire à cette équation en égalant chaque 
terme du premier membre au terme correspondant du se- 
cond, ce qui détermine x, y, z et u. 
On a ainsi finalement 

327 = io° -h g 2 -f- 1 1 5 + 5 2 . 



SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQIATIONS TRANSCENDANTES. 



1 . Dans tout ce que nous allons dire, nous supposerons 
que l'équation ne renferme qu'une inconnue à coeffi- 
cients réels, et qu'un des deux membres est nul , de sorte 
que l'autre membre est une fonction de l'inconnue. 

2. Premier principe général. Lorsque deux nombres 
réels substitués dans une fonction à une variable, à la 
place de la variable, donnent deux résultats de signes con- 
traires et si, en outre, la fonction ni aucune de ses déri- 
ac-cs ne deviennent ni infinies ni imaginaires, par la sub- 
stitution de nombres compris entre les deux nombres 
réels , alors il existe entre ces mêmes nombres au moins 
un nombre qui , substitué à la place de la variable, annule 
la fonction. 

3. Second principe général. Lorsque les substitutions 
de deux nombres réels ont donné des résultats de signes 
contraires , on peut , en prenant indéfiniment des moyen- 
nes entre ces nombres, parvenir à des limites dont la dif- 
férence 1 soit moindre qu'une quantité donnée-, ces limites 



( ^ ) 

comprennent un nombre qui, substitué dans la fonction, 
l'annule. 

4. La longueur et la complication des calculs rend le 
plus souvent ce second principe impraticable , et 1 on doit 
recourir à d'autres moyens d'approximation. 

Méthode des séries . 

Soit l'équation 

y = jc* ■ — io =' o. 



Suhstitutioi 


1. 


Résultats. 


X 




y 


l 




— 9 


2 




— 6 


3 




+ l l 


il y a au moins une racine entre 2 et 3. 


X = 2,5, 


y 


= — o,i i8 5 


X = 2,6, 


y 


= + o, 99 3. 



On a x à — près : faisons 
io r 



x x est plus petit que — 

(x t -h 2,5) Il ' + - 2 ' 5 — IO = O, 

(2,5-f-^,)log(j7, -f- 2,5) = logio (log. hyp.), 
développant 

> . I = loiï I o 



2,0 -+- X t 






( 2 97 ) 
On ne veut conserver que la sixième décimale et il faut se 
rappeler que Xi est plus petit que 0,1. 

(2,51og 25 5-lo gI o)+.,(i+log 2 ,5) + ^^-^^ 

I x i 

2,5 log 2,5 — log 10 = — 0,01 18584, 
i -f- log 2,5= i ,916291 , 
i 



2.2,5 



= o , 20000 , 



= — o ,0267 , 



6.(2,5)' 

1 

= o,oo5. 



12. (2, 5) 3 

o ,Oo5.rî — 0,0267.2:' -+- o, 20OOO #' 

H- 1,91 62g I.T, — o,on8584 = o; 

équation algébrique. En la traitant par les procédés ordi- 
naires, on trouve 

x x = 0,006184, 
et 

x = 2 , 5o6 1 84 • 

Si l'on veut continuer, on fera 

x = x, -+- 2 , 5o6 1 84 , 

et ainsi de suite. 
Soit 

/(*)/(*> = a, 

f(x) est une fonction donnée de x, et a une quantité réelle 
donnée ; on pose 

f{x) = z, z' = a, 

on déduit la valeur]de Z, et la question se réduit à résoudre 



( * 9 8 ; 

1 équation 

f(x) =3 a. 

i er Exemple ,• 

iQg^iogx __ IOj 

on a 

logx = 2,5o6i84 

ci 

07 = 320,76, tangx tangx = 10 , x = 17° 47' '« 

2 e Exemple ■ 

y =z e z — 2x — 5 = o; 
e est la base du système népérien. 



X 


r 


I 


— 4,282 


2 


— 1 ,61 1 


3 


+ 9 , o85 


2,4 


H- 1,223 


2,3 


+ 0,374 


2,2 


— 0,375 



OC — — «* j p* J, . 2 . 

/ = e 2 ' 2 - 1 "- 11 — 2 (2, 2 + 0?i) — 5 = o, 
j = 9,o25o54<? x ' — 2-r, — 9,4 = o, 

j=r 9,025054(1 + *, +-^-+-^ + ..^-2^-9,4 = 0; 

négligeant les x\, on obtient 

0,8*1 + o,o38*J + 1 ,5o4*J + 4>5i25*J 
+ 7,o25o5x, — 0,374946 = o, 

d'où l'on tire la valeur de #, . 



( 2 99 ) 
Pour trouver les racines imaginaires, posons 

x = u + iv ; 
u et v sont des quantités réelles et 



r = v-i. 
On a 

y = c**" — 2 (« -f- «) — 5 = e" ( cosi; H- f'sin(>) 

— 2 (?< + <>/) — 5 = o. 
Cette équation se décompose en deux autres 
(i) jr = e u cosp — 2« — 5 = o , 

2P 

c" = - 

smp 

, , sine . . - 

u étant réel, est positii; ainsi u est compris entre 

o et 77, 
27r et 3tt, 
4tt et 5tt. 

Désignons une très-petite quantité par e, on a 

p = e, K = loghyp. 2, y=— . 

V = 77 £, K = CO , J = CO . 

L'équation (i) n'a donc pas de racines entre o et 7r. 
Faisons 

e=27r-f-e, u = <x>, 3=4-, cos ( 2 77 + e) positif, 
v = 3ir — e, « =r co , 3 = — , cos(377 — e) négatif; 

il y a donc une valeur de u entre 2 7: et 37t ou entre 6, 

et 9. 

"=7i «=3,o5g, 3=+ 4,947, 

p = 8, « = 2,788, 3 = — 12,91g, 

c=7,5, « = 2,772, z=— 5,5oo, 

p=7,2, «=2,898, 3 =+ 0,241, 

t . = 7,3, « = 2,843, z=— i,654; 



( 3oo ) 
doncl on a 

.£ = 2,84-7,2*' environ. 

Représentons cette valeur par a , posons 
x = a -+- x, ; 
on a l'équation 

e a+ ll — 2 [a r{- x,) — 5 = o t 
ou 
e 2 ' 8 (cos 7 ,2 -1- /sin7 ,2) c* 1 — 10,6 — i4>4 ' — 2x ^ — °- 

Dans un cercle de rayon 1 , un arc de longueur 7,2 
contient 4 12 3i' 46 " ffi" \ le logarithme du cosinus de 
cet arc est 

9,7841561 — 10, loge 2 ' 8 = 1 ,2160246, 

d'où l'on tire 

e 1 '* cos 7, 2 = 10,0042 (*), 

logsin 7,2 = 9,8996378, 
d'où 

e- ,s sin 7 , 2 = 1 3 , o5 1 ( ** ) ; 

/ x * r ' \ 

(10,0042 +1. i3,o5i) I i + .r, + — ' -h- hj+- • • ) 

— 10,6 — 1 4 > 4 ' — 2x, = 0, 

d'où 

jr, = o , 092 -+- 0,010/, 
ar = 2 , 892 H- 7,210/. 

5. Cette méthode consiste donc à trouver d'abord une 
valeur de la transcendante à un dixième près. Soit m 
cette valeur de la variable x, on fait 

x = m -h x t , 



(*) M. Spitzer trouve io,oo/|i3. 
(**) M. Spitzer trouve i3,o5j iig 



( Soi ) 
X t sera au-dessous d'un dixième. Ou développe la trans- 
cendante en série convergente ; on néglige les termes de 
la série dont les valeurs sont au-dessous de la décimale à 
laquelle on veut s'arrêter , on obtient une seconde approxi- 
mation m x ; on fait derechef 

x ■= m 1 + x-j , 
et Ion continue de même. 

Equations à deux inconnues. 

6. Le premier principe général (n°2) est encore ap- 
plicable. Soient 

/(■*> r)= o» F(x, y) = o 

les deux équations données. F ety'sont des fonctions en- 
tières $ posons 

= =/(*,/)> F(.r,j)=o; 

en donnant à x une suite de valeurs, on obtient une 
suite correspondante de valeurs pourjv- et z. Si ces suites 
sont continues et que échange de signe , il existe au moins 
un intervalle où les valeurs de x et de y auront annulé z 
et ces valeurs satisfont aux deux équations. On pourra en 
continuant trouver des valeurs de x et de y à moins d'un 
dixième près et ensuite procéder comme ci-dessus. 
Soient les deux équations 



r/ = 5, r* = 4» 



on aura les suites 



x r 


z 


• 4 


-4 


2 2 


— 1 


3 1,587 


+ 0,719 


2,5 1,741 


— 0,0699 


2,6 1,704 


-+- ,096? 



( 3o 2 ) 
Ainsi , à moins d'un dixième près, 

y — i»7î 

(2,5+.*., )w = 5, (i ,7 + j,) 2 ' 5+I ' = 4 ; 

Prenant les logarithmes hyperboliques , développant et 
mettant à la place de log 2,5 , log 1,7 leurs valeurs respec- 
tives , on obtient 



( I >7+/<' ) 



(2,5 



0,9162907 

1 



,5 
0,5306282 

]_ ( y 



+ 



2^ 



2 >7 



= 1 ,6094379, 



= I , 3862944 i 



ne conservant que les premières puissances, on obtient 

0,68.2", -t- 0,91629077, = 0,0517437, 
0,530628^,-1- i,47o588j, =0,0597239; 
#, = 0,0416, j, = o,o253,- 
x = 2,54i6, y = 1 ,7253. 

Observation. Nous avons copié ces exemples dans 
l'ouvrage de M. Spitzer (voir Nouvelles Annales, t. X, 
p. 366), 

Méthode des Tables. 

7. La méthode des séries peut être employée pour tou- 
tes les transcendantes susceptibles de se développer en mu- 
série convergente \ mais lorsque la transcendante est pé- 
riodique, telles sont les lignes irigonométriques , il es! 
souvent plus commode d'en dresser les Tables. 



( 3o3 ) 
Prenons pour exemple le problème de Kepler. 
Soit l'équation 

z = x -\- c sin.r, 

z est l'anomalie moyenne, x l'anomalie excentrique et e 
l'excentricité exprimée en parties circulaires de rayon i: 
étant donné £, il s'agit de trouver x. 
Soit 

e = o,25 (*) 

exprimée en parties circulaires 

e= i4°ro/i3". 

^ oici le commencement de la Table : 



i2.3o,ooo 

12.29,998 
12.29,996 
13.29,992 
12.29,987 

12.29,981 

On continue la Table jusqu'à 90 degrés 5 ensuite les va- 
leurs de e s'mx reviennent. Etant donnée la valeur de z, 
on trouve celle de x soit dans la Table, soit par les par- 
lies proportionnelles ou par interpolation. On calcule 
ainsi une Table pour chaque planète. 

Dans tous les Traités d'astronomie , on donne pour ce 
problème la mélliode par séries [Mécanique céleste, 
V e partie, livre II). 



(*) La plus grande excentricité connue est celle de Junon, o,j5G ; la 
moindre est celle de Vénus, 0,0682; et après vient celle de Neptune, 
0,00872:1a plus grande, parmi les anciennes planètes, e-t celle de 
Mercure, o. 2o56 ! 



0. 00 


0.00.00 ,000 


0. 10 


0.12. 3o,ooo 


0. 20 


0.24 59.998 


0. 3o 


0.37.29,994 


0.40 


0.49-59,986 


5o 


1. 2.29,973 


1 .00 


1 . 14-59,954 



( 3o4 ) 

Consultez pour l'origine du problème X Histoire de 
l'Astronomie moderne, de Delambre, t. 1 er , p. 466 . 
1821. On y lit le développement complet des idées con- 
signées dans la lettre de Kepler à Ursus [Bulletin , p. 63), 
idées qui ont absorbé toute la vie de Kepler. 

On trouve une solution du problème de Kepler, par 
M. Hansen, dans les Comptes rendus , t. XXXY, n° ai, 
22 novembre i852,et Astronomisclie Nachrichten, tome 
XXXV, page 317, i853. 

Cette solution donnée parles séries est d'une simplicité 
et d'une élégance remarquables ; il me semble qu'on peut la 
déduire de certains théorèmes de notre illustre géomètre , 
maintenant le plus grand analyste du siècle, théorèmes 
que je ne puis retrouver pour le moment. 

Le nombre de ces théorèmes est si considérable, leur 
dispersion si grande, qu'il faudrait une boussole spéciale 
pour se diriger dans ces sporades analytiques. A un grand 
architecte , on est en droit de demander un édifice. En ac- 
cumulant sans cesse matériaux sur matériaux, on ren- 
contre l'inconvénient si piltoresquement exprimé dans ce 
dicton allemand : Les arbres empêchent de voir la foret. 
Quand aurons-nous la mécanique moléculaire si souvent . 
si solennellement promise! Toutefois, demain n'appar- 
tient à personne. 

La suite prochainement. 



QUESTIONS. 

311. Trouver Taire d'une portion d'hvperboloïde de 
révolution à une nappe renfermée entre deux sections cir- 
culaires parallèles. On donne les rayons des cercles, la 
longueur delà partie de Taxe, la longueur de l'élément 
rectiligne que ces sections interceptent. 



( 3o5 ) 

312. Mener parmi point donné dans un angle sphé- 
rique un arc de grand cercle tel , que le rapport des sinus 
des deux segments soit égal à une quantité donnée. 

313. Construire la surface 

COS X 

e* = (e = base népérienne.) 

cos > 

(E. Catalan. ) 



MODES DE GENERATION' 
DES CASSINOIDES ET DES LEMNISCATES 

Par M. GARLLN", 

Docteur es Sciences. 



La définition géométrique de la cassinoïde ou ellipse 
de Cassini est que le produit des distances d'un point quel- 
conque de cette courbe à deux points fixes (qu'où nomme 
foyers ou pôles) est constant. On sait qu'on a comme cas 
particulier la lemniscate de Bernoulli ou lemniscate hy- 
perbolique. Je vais indiquer ici quelques moyens nou- 
veaux d'obtenir ces courbes remarquables , dont la dis- 
cussion complète se trouve dans les Traités de géométrie 
analytique. 

Problème I. Le lieu géométrique des foyers des co- 
niques concentriques ayant un diamètre déterminé de 
grandeur et de position, le diamètre conjugué étant seu- 
lement déterminé de grandeur, estime cassinoïde. 

On peut résoudre cette question en se servant de l'équa- 
tion aux foyers ; mais nous nous contenterons de donner 
la démonstration géométrique suivante : 

Prenons le diamètre fixe OA pour axe des abscisses et 
la perpendiculaire OY pour axe des ordonnées. Soit OB 

\n>>. de Mathémat., t. XIV ( Aoûl i8 r ô. ir> 



( 3od ) 
la position de l'autre diamètre correspondant à une va- 
leur particulière de l'inclinaison variable 9. Si F est un 




point du lieu, le point F', symétrique par rapport à l'o- 
rigine, en est aussi un; donc les coordonnées des points 
F et F' sont égales et de signe contraire , et l'origine des 
coordonnées est un centre du lieu cherché. Représentons 
comme à l'ordinaire par a' et b' les deux demi-diamètres 
conjugués, par a et b les demi-axes de la conique dont F 
et F' sont les foyers 5 x et y étant les coordonnées con- 
stantes , on a , pour le carré de la demi-excentricité , 

(1) x 3 -4- y 2 = a 2 — b\ 

Mais , d'après un des théorèmes d'Apollonius sur les 
diamètres conjugués , on a 

(2) a 7 -h b 2 =a' 2 -\- b' 2 . 

Enfin , le point A appartenant à la conique que nous 
supposerons être une ellipse , on a la relation 

AF-f- AF'= 2«. 

Je dis maintenant que le produit FA. FA' ou FA . F' A 

(puisque FA' = F'A) est constant. En effet, élevant la 
dernière relation au carré, il vient 



(-3) AF+AF'H 

Or la ligure donne 

ÂF = (a' — x) 2 -\- y 



2AF.AF' = 4« 2 . 



AF' =[a'-{-xy+y\ 



( 3o 7 ) 
d'ailleurs, d'après les équations (i) et (2), 

1a 2 =z a" -f- 6" 4- x 2 4-j 2 ; 

par suite, l'équation (3) se réduit à 
AF.AF' = £' : . 

Ainsi on a bien une cassinoïde dont les pôles sont les ex- 
trémités du diamètre fixe , et dont le produit constant cor- 
respondant est le carré du demi-diamètre conjugué. 

En écrivant la dernière équation en coordonnées rec- 
tangles , on voit immédiatement que quand les deux dia- 
mètres conjugués sont égaux , la cassinoïde se transforme 
dans la lemniscate de Bernoulli. 

Remarque. Les triangles tels que AFF' ont la médiane 
AO constante de grandeur et de position , et le produit 
des deux côtés adjacents AF. AF' est constant. Il résulte 
de là la génération suivante des cassinoïdes : 

Théorème. Les sommets des angles à la base des 
triangles dont la médiane correspondante est constante 
de grandeur et de position, et dont le produit des deux 
autres côtés est invariable, décrivent des ellipses de Cas- 
sini. 

Si la médiane est moyenne proportionnelle entre les 
côtés adjacents, les courbes décrites sont des lemnis- 
cates. 

Problème II. Trouver le lieu géométrique des foyers 
et des sommets des cassinoïdes concentriques de module 
donné et assujetties à passer par un même point. 

L'équation de la cassinoïde, dans les deux systèmes de 
coordonnées le plus fréquemment employés , aiïecte les 
deux formes 

{1) {.z- -4- j 2 )- — 2fl 2 (x 2 — ,r)-H a* = b\ 

r ' — 2 a 2 ros 2 9 . r 2 -f- a* =r b* ; 

20. 



( 3o8 ) 
■xa est la distance des deux points fixes et b* est le produit 
constant des distances d'un point quelconque de la courbe 
à ces deux points. 

On appelle module le rapport - = À ; on le suppose ici 

donné. Remplaçant b par sa valeur ah , l'équation (i) 
s'écrit 

(3) (j;»-+-jr«)»— 2a 7 (x 2 — j') + a 4 (i— /■«) = o. 

On prend pour OX la ligne joignant le centre commun 
au point donné , lequel est à une distance d de ce centre , 
et pour OY la perpendiculaire menée par ce centre. En 
faisant varier le paramètre a, dans (3), on obtient une 
infinité de courbes. Soit maintenant OX' faisant avec OX 
l'angle a, le grand axe d'une courbe quelconque du sys- 
tème. On a l'équation (3 ) pour l'équation de cette courbe 
rapportée à OX' et OY', le paramètre a ayant une valeur 
déterminée. Si l'on voulait dans cette équation remplacer 
a par a, il suffirait d'exprimer qu'elle est satisfaite p ai- 
les valeurs 

x =z d cos a , y = — d sin a , 
ce qui donne 

(4) d' — 2aV ! cos2a -+- a' (i — k*) = o. 

Si l'on éliminait a entre (3) et (4), on aurait l'équation 
générale des courbes du système par rapport aux axes mo- 
biles OX' et OY'. 

Pour avoir l'équation du lieu des foyers, il suffit 
dans (4) de remplacer a par /', ce qui donne pour l'équa- 
tion polaire du lieu 

2fP rf> 



i — k* i — k* 

Cette équation a la même forme que l'équation (2). Cher- 
chons dans quels cas on peut identifier ces équations; on 
doit avoir 



d' , d'A 1 

1 — X- ' 1 — /' 



( 3o 9 ) 
Ces deux conditions déterminent les deux éléments a et 
b ; pour qu'ils soient réels , il faut qu'on ait k <^ i . 

Il est à remarquer que le module du lieu des foyers est 
le même que pour les courbes du système, car 



=zty 



Dans l'hypothèse particulière k= i, auquel cas les cour- 
bes du système sont des lemniscates , l'équation du lieu 
des foyers devient 

d 2 

r 2 = 

2 COS 2 OS 

ou 

d> 

r-*> = --• 

Elle représente des hyperboles équilatères dont les asymp- 
totes sont les bissectrices des angles des axes et dont le 

demi-axe transverse est -=• 

L'équation du lieu des sommets se déduit sans peine de 
celle que nous avons trouvée pour les foyers. En effet, si 
a désigne le rayon vecteur d'un sommet, on a, comme il 
est aisé de le voir, 

p-=a*-+- b 7 . 

Or, a désigne le rayon vecteur ;• du foyer correspondant, 
et comme d'ailleurs b = k, la relation précédente donne 

i+ k 7 

Substituant cette valeur dans l'équation des foyers, il 
vient 



->-/- d % (i 4- A- 2 ) 



p 4 — C0S2a.p ; + 

i — te i — 



k 1 



=. o . 



( 3io ) 
En raisonnant comme précédemment , on voit que cette 
équation représente des cassinoïdes, pourvu qne le mo- 
dule A" soit moindre que l'unité. 



PROBLÈME 

Sur un faisceau homographique dans les coniques -, 

Par M. POUDRA, 

Chef d'escadron d'état-major en retraite. 



Soient donnés dans un même plan les cinq points a, 
&, c, d, e, trouver un point m tel, que les cinq droites 
ma, mb , me , md, me forment un faisceau homographi- 
que avec un autre faisceau Ma t , MA,, Mcj , Md t , Me t 
de cinq droites données. 

Par vin des points b donné , on trace les droites ba, bc, 
bd, be. On détermine ensuite la droite bf qui est telle, 
que les quatre droites bc , bd, ba, bf forment un fais- 
ceau homographique avec celui qui est déterminé par les 
quatre droites Mc l5 Md x , Ma t , M& t . On construit de 
même la droite &g telle, que le faisceau formé par les quatre 
droites bc, bd, be, bg soit homographique avec celui des 
quatre droites Mcj , Md, , Me t , M.b t . 

On détermine ensuite la section conique qui passe par 
les quatre points a , b , c , d et qui soit tangente à la droite 
bf-, de même, la section conique passant par les quatre 
points b , c , d, e et qui soit tangente à bg. Ces deux sec- 
tions coniques se coupent en un quatrième point m qui 
est le point cherché. 



( 3n ) 



SOLUTION DE LA QUESTION 304 

( voir page 211 ) ; 

Par M. POUDRA, 

Chef d'escadron d'état-major en retraite. 



Soient donnés dans un même plan : i° cinq points 
i,2,3,4>5 sur une droite A ; 2° cinq droites a, b, c, d, e. 
Mener une transversale nui qui coupe les cinq droites en 
cinq points ij , 2 i} 3 t , 4i » 5 t qui soient honiographiques 
aux cinq points de la droite A. 

Considérons d'abord les quatre droites a,b, c, e. La 
droite a coupe les droites è,c,een trois points. On dé- 
termine sur cette droite un quatrième point oc tel, que le 
rapport anharnionique de ces quatre points soit égal à 
celui des quatre points donnés i , 4-> 2 i 5. De même la 
droite b coupe a,c, e en trois points, et soit /S le quatrième 
point tel , que le rapport anharnionique de ces quatre 
points soit aussi égal à celui des points i, 4 5 2,5. On 
joint les points a et /3, et alors on détermine la section co- 
nique tangente aux cinq droites a, b,c,e, (aj3). Elle 
sera telle, que toute tangente à cette courbe sera coupée 
par les droites a , b , c , e en quatre points dont le rapport 
anharnionique sera toujours égal à celui des quatre points 
1,4, 2, 5. 

Considérons ensuite les quatre droites a, b, d, e, et dé- 
terminons de même une conique tangente à ces quatre 
droites et telle, qu'une tangente quelconque coupe ces 
quatre droites a , b , */, e en quatre points dont le rapport 
anharmonique soit égal à celui des quatre points donnés 
1,2, 3,5. 

La tangente mn commune à ces deux coniques sera la 



( 3i3 ) 
transversale cherchée. Les deux coniques ayant déjà par 
construction trois tangentes communes, il n'y a qu'une 
solution au problème . 



NOTE SIR LE PRINCIPE DE L'HOMOGÉNÉITÉ, 

Par M. Paul SERRET, 

Professeur. 



1. Théorème. Si, laissant indéterminée l'unité de lon- 
gueur, on représente par les nombres a, b, c, etc., les 
longueurs des différentes lignes A, B, C, etc., d'une fi- 
gure et que Von trouve entre ces nombres la relation 

/(a, b, c,. . .) = o, 

le polynôme f ( a , b , c,...) qui forme le premier membre 
de cette équation sera homogène. 

Dans la démonstration que Ton donne ordinairement 
de cette importante proposition, on établit , pour le cas où 
la relation entre les grandeurs considérées peut s'expri- 
mer algébriquement, que si le polynôme f(a,b,c,...) 
n'est pas homogène , l'équation 

/(a, b, c,...) = o 

doit du moins se décomposer en une série d'équations 
homogènes 

f,(a, b, c,. . .) = o, f 2 (a, b, c, . . .) = o, ... , 

ayant lieu séparément, et dont chacune exprimerait par 
conséquent une propriété particulière de la figure consi- 
dérée. 

Il me parait fâcheux , toutefois, que l'on ne donne ja- 
mais à l'appui de celle singulière démonstration un seul 



( 3i3 ) 
exemple présentant aux élèves cette agréable surprise 
dune équation recelant dans son apparente unité, non- 
seul enient la relation déterminée que l'on cherchait à 
mettre en évidence entre les éléments considérés de la fi- 
gure, mais encore plusieurs autres relations distinctes de 
la première , auxquelles le calculateur ne songeait nulle- 
ment , mais que le calcul, beaucoup plus intelligent , ne 
pouvait omettre. 

Malheureusement pour le calcul, l'exemple que Ion 
néglige de donner est encore à trouver, et le principe de 
l'homogénéité peut sans inconvénient se passer de son 
concours. 

2. Supposons, en effet, qu'ayant pour objet de trouver 
une certaine relation déterminée existant entre les lon- 
gueurs des lignes A, B, C, etc., d'une figure, nous pre- 
nions d'abord l'une de ces lignes , A par exemple, pour 
unité de longueur. 

Soient i, b',c', etc., les nombres qui expriment les 
longueurs des lignes A , B, C , etc., et soit 

(i) f(i,b',c',...) = o 

la relation trouvée entre ces nombres. 

Laissons en second lieu l'unité de longueur indétermi- 
née, et soient alors a, b , c , etc. , les nombres , indétermi- 
nés aussi, qui mesurent les lignes A , B , C , etc. 

Le rapport de deux grandeurs étant indépendant de 
l'unité particulière adoptée pour les mesurer, on aura les 
relations suivantes : 

V__b c' _ c_ 
i a i a 
ou 

h' — b ,' — c 

= — j C = — i • • • • 

a a 

Donc, en remplaçant dans Téqua-tion (i) les nombres 



( 3i4 ) 
b f , c', etc., par leurs valeurs, nous aurons la relation gé- 
nérale cherchée 



(2) 



/ (i, -,-,..•)= o; 
\ a a j 



équation homogène de degré zéro , et qui demeurera en- 
core homogène en prenant le degré m si , pour faire dispa- 
raître les dénominateurs , on multiplie tous les termes par 
la plus haute puissance de a , a" 1 qui entre algébrique- 
ment en dénominateur. 

Remarque . Cette démonstration contient en même 
temps l'indication de la marche à suivre pour rétablir 
l'indétermination de l'unité dans une équation quand on 
a pris d'abord l'une des lignes de la figure pour unité de 
longeur. Elle s'applique d'ailleurs à toutes les relations 
possibles entre les éléments de la figure , soit que ces re- 
lations puissent s'exprimer algébriquement, soit qu'elles 
se traduisent par des équations transcendantes, tandis 
que la démonstration ordinaire, outre les inconvénients 
signalés plus haut, s'applique seulement au premier cas. 



DEUX THEOREMES 
RELATIFS A LA PARTITION DES NOMBRES; 

Par M. Paul VOLPICELLI. 



Lemme. Soit 

où p, a, (3,..., r représentent des entiers, et h t , h. 2 , 
7i 3 , h k expriment des nombres premiers. En posant 

H = (a + i)(p-f. t) ... (tH-i), 



• (3i5) 
les nombres Wj , w 2 des solutions entières de l'équation 

x- — y" 1 = c 

sont représentés par les équations 

Wl = _ , 

(0 

(-i/(f,-i)H-i 



La première de ces formules se rapporte au cas dans 
lequel au moins un des exposants p., a , (3 ,..., t est im- 
pair, et la seconde n'est applicable que quand les mêmes 
exposants sont tous pairs. Dans le cas de 

u devra être impair dans la première et pair ^> i dans la 
seconde. En faisant 



on aura de la première, par corollaire, 

«3=2*-», 

formule déjà donnée par Legendre (*) et par Poinsot (**). 
En outre, en supposant que h x , /*,,..., h k soient tous 
nombres premiers de la forme l\m -\- i, le nombre des 
solutions entières de l'équation 

*\ + r\ = c 

est exprimé par les équations 

(2) 7=^h, y '=L(n+i), V "=i(H-.). 



(*) Théorie des nombres , t. I, p. X; Pari->. i83o. 
''amples rendus . t XX.Y1II , p. :>8j ; mai l8/f9 



( 3i6 ) 
La première de ces formules est applicable quand, quel 
que soitf., un au moins des exposants a, [3,..., r, est im- 
pair -, la deuxième quand, [j. étant impair, les mêmes expo- 
sants sont tous pairs 5 la troisième quand , f/. étant pair ou 
zéro, tous les autres exposants sont pairs (*). 

Théorème I. Tout nombre c, excepté le double d'un 
impair, est autant de fois représenté par la somme de 
x — y nombres impairs consécutifs, en commençant 
par 2 y -h i et en terminant par 2x — i, qu'il y a de 
solutions entières pour r équation 

x 1 —y 2 = c, 

le nombre desquelles est donné par les équations (i). 
Si c est carré, il y aura de plus la décomposition 

suivante : 

c = i + 3+5+...+ 2\/(;-i. 

Exemple : Qu'on ait 

x- — y 2 = 72= 2 3 .3 2 , 
on a 

jz = 3 , a = 2, 
et pour eela 

w, = 3; 
donc 

* = >9> JI > 9 '■> y— l i> 7. 3 ; 

d'où 

x — y = 2 , 4 » 6 , 
2j-f-i = 35, i5, 7, 

IX — 1 = 37, 21, 17; 

et enfin 

l 35 H- 37 , 
72 = j 15 + 17-1-19 + 21, 

( 7 + 9+ 11 -h i3 4- i5 + 17. 

(*) Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. A.-L. Crclle ; 
tome XL1X. 



(3i 7 ) 
Théorème IL Tout nombre c qui se décompose en 
deux carrés x' 5 y] est la somme de deux progressions 
arithmétiques dont la première se forme de y t termes, 
en commençant par 2 et en terminant par 4yi — 2, et la 
seconde de x t — y t termes, en commençant par 2 y t + 1 
et en terminant par 2Xj — 1. Il y aura pour c autant 
de ces décompositions qu'il y a des solutions entières 
pour l'équation 

dont le nombre est donné par les équations (2). Si c est 
carré, il y aura de plus la décomposition 

c=i+3 + 5+... + 2y'c-i. 

Exemple : Qu'on ait 

cz= no5= 17.13. 5, 
les solutions entières de l'équation 

x \ + y\ — IIQ 5 

seront 

x, = 32, 3i , 24, 33; 7i = 9, 12, 23, 4? 
d'où 

4/i — 2 = 34, 46, 90, 4; 2j,4- 1 = 19, 25, 47, 9; 
ix\ — 1=63, 61, 47>^5; x K —y x = iZ, 19, 1, ?g; 

et enfin 



1 io5 = 



2 + 6+10 ...-h 34 + >9 + 2i +...+ 61 +63, 
2 + 6 + . ..+ 46 + 25 +27+... + 5g + 61, 
2 + 6 +. . .+ 90 + 47, 
2 + 6 + ,..+ i4+ 9+11+.. . + 63 + 65. 



3i8 ) 



SOLUTION DE LA QIÎESTIO* 306 

(voir page 211 j; 

Par M. Ernest DE JONQUIÈRES, 

Lieutenant de vaisseau . 



Appelons, pour abréger, rayons pivotants les rayons 
tels que Sa p et rayons tangentiels les tangentes issues 
des points b p . Soient E le point de concours des côtés AC, 
BD 5 i le point où AB rencontre la transversale L ; A, /, m 
les points où L est coupée par les autres côtés AC, Ï)B, 
CD du quadrilatère ABDC; enfin , soient e,yies points 
doubles des deux divisions homograpbiques a p , etc., 
à p , etc. 

La courbe passe par le point S; car si l'on regarde le 
côté SBi comme étant un rayon tangentiel, le rayon 
pivotant Si' qui lui correspond, quel qu'il soit , le coupe 
au point S. 

Pour tout autre rayon pivotant Sa p , on a une origine b p 
différente de i, et cette origine donne lieu à deux tan- 
gentes ( réelles ou imaginaires) qui déterminent toujours 
deux points de la courbe sur le rayon $a p , sans compter 
le point S qui s'y trouve déjà. La courbe est donc du troi- 
sième degré , puisque toute transversale issue du point S 
la coupe en trois points (*). 

Prenons la droite SC pour rayon pivotant. La conique 
à décrire est assujettie à toucher à la fois les trois droites 
CA, CS, CD qui concourent au même point C et les 
deux droites BA, BD. Or, il n'y a que la droite CD, el- 
lipse infiniment aplatie, qui satisfasse à la question. Les 
rayons tangentiels passent dans ce cas par les extrémités 
C et D de cette droite. Donc le point C appartient à la 
rourbe. 

I) reste à démontrer que le points n'est pas un point multiple. Tm. 



(3*9 ) 

Mêmes raisonnements pour les points E et D. 

Il est évident que la courbe passe aussi une seule fois 
par chacun des points doubles e , f. Cherchons le troi- 
sième point d'intersection de la courbe et de la transver- 
sale L; ce point est unique. Pour le déterminer, inscri- 
vons une conique dans le pentagone formé par le quadri- 
latère donné et par la transversale 5 puis menons par le 
pointS (au moyen du théorème de M. Brianchon ) la 
tangente $a p à cette conique. Si Ton regarde cette tan- 
gente comme étant le rayon pivotant actuel , L sera l'un 
des rayons tangentiels conjugués. Donc le point a p où la 
tangente Sa p coupe L, est le troisième point cherché. 

Mous avons déjà deux points de la courbe sur chacun 
des côtés AC&, CD m, DB/, savoir : C et E sur AC, 
C et D sur CD, D et E sur DB. Pour obtenir les troi- 
sièmes points d'intersection respectifs , traçons les rayons 
pivotants conjugués respectivement Sk', S m', S/'. Les 
rayons couperont les côtés correspondants en des points 
qui sont les points cherchés. 

Voilà donc neuf points de la courbe déterminés sans 
tracer aucune conique. On peut ensuite achever la con- 
struction en employant le procédé indiqué par M. Chasles 
dans les Comptes rendus du 3o mai i853, mais rien 
n'empêche d'effectuer la construction même de l'énoncé 
qui n'exige pas davantage le tracé des coniques. En effet, 
pour chacune d'elles , le problème à résoudre se réduit à 
mener par un point deux tangentes à une conique déter- 
minée par cinq tangentes données. Prenons quatre de 
celles-ci 5 elles forment un quadrilatère et les tangentes 
cherchées forment un faisceau en involution avec les 
quatre rayons qui joignent le point donné aux quatre 
sommets de ce quadrilatère [Géométrie super., p. 667). 

Formons un autre quadrilatère avec quatre autres tan- 
gentes prises dans les cinq qui sont données, les tangentes 



(3,0 ) 
cherchées sont aussi en involulion avec les rayons qui 
aboutissent aux sommets de ce second quadrilatère. Cou- 
pant toutes les lignes de la figure par une transversale ar- 
bitraire, le problème est ramené à celui du n° 271 de la 
Géométrie supérieure. 

Ainsi la question est complètement résolue. Remar- 
quons, chemin faisant, que le faisceau des coniques est 
homographique avec la division de points que leurs cen- 
tres déterminent sur la droite qui les contient tous, et, 
plus généralement, avec la division de points formée par 
les pôles d'une droite quelconque du plan de la figure pris 
relativement à ces coniques. 

Le théorème 306 donne lieu au suivant : 

Théorème. On donne dans un plan: i° quatre points 
i , 2, 3,4 ; 2° une droite ^.passant par l'un de ces points, 
i par exemple, et deux divisions homo graphiques m. 
n,etc, m',n', etc., sur cette droite ,-3° 'un point quelconque 
O hoi's de la droite. Par un point variable m de la pre- 
mière division et les quatre points i , 2 , 3 , 4 ■> on fait 
passer une conique et Von joint le point O au point m', 
conjugué de m, par un rayon Om' qui coupe la conique 
en deux points <z,$\ enfin on joint le point va. à ces 
deux points. Toutes les droites telles que ma, m[3 en- 
veloppent une courbe de troisième classe qui touche la 
droite L, les côtés 2-3 , 3-4 du quadrilatère i , 2 , 3,4? 
sa diagonale 2-4 ainsi que les deux rayons Oe , Of qui 
joignent le point O aux points doubles des deux divi- 
sions homo graphique s tracées sur L. 

La loi de dualité dispense de prouver ce second théo- 
rème. La démonstration est corrélative de la précédente 
et donne lieu aux mêmes considérations. 



( 32i ) 



NOTE 

Sur la forme préférable des triangles géodésiques; 

Par M. E. GAUCHEREL , 

Capitaine sous-directeur des études à l'École impériale spéciale Militaire. 



La forme préférable des triangles géodésiques est la 
forme équilatérale, parce que le triangle équilatéral pré- 
sente l'avantage de conserver les mêmes longueurs aux 
côtés et d'embrasser la plus grande surface avec le moin- 
dre nombre de triangles. 

On a voulu prouver que l'analyse confirmait ce 
principe , et , dans le Traité de Géodésie de Puissant , on 
trouve une démonstration qui a été jusqu'à présent ad- 
mise dans l'enseignement. 

La question est ainsi posée : une base b d'un triangle 
ABC est mesurée exactement', les deux angles A et B 
comportent une même erreur dh. Pour quelle forme de 
triangle l'erreur qui en résulte sur les côtés sera-t-elleun 
minimum? 

On suppose que Terreur se produit d'abord dans le 
même sens sur les deux angles, et on est conduit à l'ex- 
pression 

da =adA( cot A — cot B). 

On en déduit que da est un minimum pour A = B, et 
que le mémo calcul appliqué au côté c donne le minimum 
de de pour C = B. 

Ces deux conclusions ne sont pas exactes. En effet : 
i° ce n'est pas le minimum de Terreur absolue da qui a 
lieu pour A = B , c'est le minimum de Terreur relative 

Ann. de Malliémal., t. XIV Septembre i85â 2 ' 



(3*2 ) 
— -, 2 en conservant les mêmes hypothèses sur les varia- 
tions de A et de B , on n'arrive pas à l'expression 
de = c . d A ( cot C — cot B ) , 

puisqu'on ne peut pas supposer que la variation des trois 
angles est de même signe , les trois erreurs angulaires 
étant assujetties à la relation 

dk + r/B + r/C = o. 

Après avoir supposé que Terreur dK est de même signe 
sur les deux angles A etB, on suppose qu'elle est de 
signes contraires. On est conduit alors à l'expression 

2sinC 
da =±a.dA 



cos(A — B) 4- cosC 



d'où l'on conclut que l'erreur da est la plus petite pos- 
sible pour A = B. Comme précédemment, cette conclu- 
sion ne peut pas s'appliquer à l'erreur absolue da. De 
plus, elle n'est vraie que pour une valeur constante de Cj 
elle établit donc seulement une comparaison entre les 
différents triangles ayant même base b et même angle C. 
J'ai émis la même opinion dans un Mémoire présenté à 
l'Académie des Sciences , dans sa séance du 25 février 
i85o. 

En résumé, cette démonstration ne prouve pas que le 
triangle équilatéral soit celui de tous les triangles con- 
struits sur une même base pour lequel l'erreur absolue 
ou l'erreur relative sur les côtés est la plus petite possible. 
Il faut donc regretter qu'une pareille démonstration se 
soit glissée dans le bel ouvrage de Puissant, et s'étonner 
qu'elle se soit maintenue aussi longtemps dans l'ensei- 
gnement. 



{ 3a3 ) 

M. le commandant Salneuve, dont l'ouvrage est adopté 
pour l'enseignement de la topographie et de la géodésie à 
l'Ecole impériale d'Etat-major, se contentait, dans sa pre- 
mière édition, de reproduire à peu de choses près la pre- 
mière partie de la démonstration précédente. 

Dans la seconde édition, l'auteur traite la question 
d'une manière plus complète, mais Terreur déjà signalée 
et relative aux signes des variations angulaires se re- 
produit également dans cette nouvelle démonstration. 

La conclusion de l'auteur est celle-ci : Au point de 
vue théorique , c'est le triangle équilatéral qui est le 
meilleur, lorsque les erreurs angulaires sont de même 
signe ; c'est le triangle isocèle rectangle, quand ces er- 
reurs sont de signes contraires. Mais il est impossible, 
dans la pratique, de se soumettre à ces prescriptions ... . 

^ oici donc un professeur distingué conduit à recon- 
naître que le triangle équilatéral est le meilleur, non pas 
parce qu'il est toujours le plus exactement déterminé, 
mais quoiqu'il ne jouisse pas de cette propriété. C'est 
ainsi que j'avais formulé une des conséquences du Mé- 
moire cité ci -dessus. 

M. le commandant Testu, dans son Traité de Topo- 
graphie et de Géodésie, et M. le commandant Livet , 
dans le cours de géodésie qu'il faisait à l'Ecole d Appli- 
cation de Metz, donnent la démonstation telle qu'elle se 
trouve dans l'ouvrage de Puissant. 

A l'Ecole impériale spéciale Militaire, la même pro- 
position est démontrée sans le secours de l'analyse et par 
cette seule considération , que chacun des angles doit se 
rapprocher autant que possible de l'angle droit. Or il 
n'est pas exact d'appliquer aux angles à la base ce qui ne 
peut se démontrer que pour l'angle au sommet. 

Dans son ouvrage sur les approximations numériques, 
M. A ieille cherche l'erreur relativesur un côté; il arrive 

a i . 



( 3*4 ) 
à l'expression 

— = d A ( cot A — cot B ) . 
a 

Il peut donc dire que le minimum de cette expression a 
lieu pour A == B \ mais son raisonnement n'est plus exact 
quand il ajoute qu'on trouverait de même 

de 

— = </C(cotC — cotB). 

c 

Le 25 février i85o, j'eus 1 honneur de remettre à 
M. Arago un Mémoire dans la première partie duquel 
j'établissais que la démonstration donnée dans l'ouvrage 
de Puissant n'était pas exacte; je proposais, dans la se- 
conde, d'envisager la question sous un autre point de vue. 
Le Mémoire fut présenté le môme jour. 

Dans la séance du i5 avril suivant, M. le colonel 
Hossard présentait un Mémoire dans lequel il se proposait 
de démontrer que le triangle équilatéral donne les meil- 
leures conditions d'exactitude. Dans les séances des 27 mai 
et 3 juin, M. Hossard adressait une modification et un 
supplément à son premier travail, et publiait à la même 
époque deux petites brochures extraites des Mémoires 
soumis à l'Académie. 

La même année, dans les numéros de mai et de juin 
des Nouvelles Annales de Mathématiques, M. le géné- 
ral Piobert publiait un travail sur la forme préférable 
des triangles géodésiques. Enfin, dans la séance du 
5 août, le savant général lisait sur le même sujet une 
Note que l'on trouve en entier dans le Compte renduàe la 
séance. 

Je me propose de donner en quelques mots les conclu- 
sions des travaux de MM. Hossard et Piobert, sans entrer 
dans le détail des ealculs . sans suivre même la marche 
des raisonnements. 



( 3s5 ) 

M. Hossard dit en débutant : L'erreur sur un côté pro- 
venant des erreurs angulaires sera exprimée par le rap- 
port de la variation absolue de ce côté à sa longueur. 

De même , l'erreur sur la position d'un point déter- 
miné aura pour expression le quotient du déplacement 
absolu de ce point par la distance au point de départ. 

C'est ce quotient ou déplacement relatif qu'il importe 
de rendre le moindre possible. 

Je ne comprends pas pourquoi le déplacement du som- 
met est rapporté au point de départ , ni pourquoi 1 au- 
teur dit plus tard que ce point de départ est l'extrémité la 
plus rapprochée de la base. 

Dans la détermination d'un point géodésique, ce sera 
le déplacement absolu de ce point que je m'attacherai à 
rendre le moindre possible , et je crois être dans le vrai. 

En effet , un canevas géodésique se résume dans les 
coordonnées des différents sommets des triangles , et les 
coordonnées les plus exactes correspondront évidemment 
aux points dont les déplacements absolus seront les moin- 
dres. Tout ce qu'on peut dire en dehors de ce principe 
peut faire l'objet de Mémoires fort intéressants , mais ne 
doit pas trouver place dans l'enseignement. Quoi qu'il en 
soit , en suivant le raisonnement de l'auteur on arrive à 
cette conclusion : Lorsque les observations portent sur 
les trois angles, le triangle équilatèral est celui pour le- 
quel la plus grande erreur à craindre sur la position du 
sommet est la moindre possible. 

J'ajoute qu'il est question ici de l'erreur relative, c'est- 
à-dire du rapport du déplacement absolu du sommet à la 
longueur du plus petit des deux côtés adjacents à ce 
sommet. 

M. le colonel Hossard examine ensuite le cas où les 
deux angles à la base sont seuls observés , et arrive à cette 
conclusion, que le triangle rectangle isocèle est celui pour 



( 3a6 ) 
lequel Terreur relative sur la position du point est la 
moindre possible. 

Puis vient la recherche du déplacement absolu dans le 
cas du triangle isocèle; la conclusion est que le triangle 
à préférer serait le triangle isocèle rectangle au sommet. 

M. le colonel Hossard fait enfin remarquer que si , 
au lieu de chercher le déplacement relatif par rapport à 
l'un des côtés, on eût cherché le déplacement relatif par 
rapport à la hauteur, on serait encore arrivé au même 
résultat que précédemment, à savoir, que lorsque les 
trois angles sont observés, la forme èquilatèrale est celle 
qui donne lieu au minimum des plus grandes erreurs. 

Toutefois, il semble, ajoute l'auteur, que V erreur doit 
être exprimée en fonction de la distance du sommet du 
triangle au point le plus voisin de la base pris comme 
point de départ, plutôt qu'en fonction de la hauteur du 
triangle. 

Je ne trouve pas cette opinion assez motivée, et le dé- 
placement relatif à la hauteur du triangle aurait pour 
moi plus de signification que celui qui a été plus particu- 
lièrement étudié par M. Hossard. 

Dans la seconde brochure, M. Hossard cherche le 
triangle pour lequel l'erreur moyenne est un minimum ; 
mais ici la discussion me paraît devenir plus spéculative 
qu'utile, et je ne suivrai pas l'auteur sur ce terrain. Je 
constate seulement que cette nouvelle considération con- 
duit à conclure que le triangle préférable est compris 
entre le triangle rectangle et le triangle équilatéral. 

Je termine ce résumé succinct en témoignant la vive 
impatience que j'éprouve de savoir comment M. le colo- 
nel Hossard, nommé récemment professeur de géodésie 
à l'Ecole Polytechnique, fera la leçon sur cette matière. 

Si je veux maintenant examiner le travail de M. le gé- 
néral Piobcrt sur le même sujet, je ne considérerai que 



( 3* 7 ) 
la Note contenue dans le Compte rendu de la séance du 
5 août i85o. Cette jNote, qui résume les précédentes, est 
une discussion extrêmement remarquable de la question. 

Le savant général insiste sur l'avantage de rapporter la 
déformation des triangles soit à la hauteur, soit à la 
longueur des côtés , et cherche le minimum de cette défor- 
mation-, soit pour la moyenne des plus grandes déforma- 
tions dans les deux sens, soit pour la plus grande défor- 
mation dans les deux sens, soit pour le produit des plus 
grandes déformations dans les deux sens, soit pour l'aire 
de l'espace dans lequel le sommet du triangle peut errer, 
soit pour le rapport de cette aire à celle du triangle , soit 
pour la déformation en hauteur, soit enfin pour la défor- 
mation latérale. L'auteur détermine la valeur des angles 
des triangles préférables, suivant que l'on pose l'une ou 
l'autre des conditions énumérées ci- dessus. 

Je répéterai, à cet égard, ce que j'ai dit précédemment : 
qu'il me semble beaucoup plus rationnel , beaucoup plus 
simple et beaucoup plus utile d'établir la discussion sur 
le déplacement absolu du sommet. 

Je me propose maintenant d'étudier la même question 
en me plaçant à un point de vue différent de celui des au- 
teurs qui l'ont précédemment traitée. 

Je pars de ce principe , que la forme préférable des tri- 
angles géodésiques est la forme équilatérale , parce que 
le triangle équilatéral présente l'avantage de conserver 
les mêmes longueurs aux côtés et d'embrasser la plus 
grande surface avec le moindre nombre de triangles ; mais 
je ne chercherai pas à démontrer par l'analyse que le 
triangle équilatéral est celui qui, pris isolément, déter- 
mine le plus exactement son sommet, car je serais con- 
duit à un tout autre résultat. 

Ce que je demanderai à l'analyse ce sera : 

i" De donner la limite de l'erreur possible sur la 



( 328 ) 
position du sommet d'un triangle lorsque 1 on connaît la 
base , les angles et l'erreur angulaire que comportent ces 
angles 5 

2 . D'indiquer de combien on peut s'écarter du trian- 
gle équilatéral sans encourir sur la position du sommet 
une erreur plus grande que la limite assignée; 

3°. De donner la plus grande dimension de la base à 
laquelle on pourra rattacher un sommet avec une ap- 
proximation donnée 5 

4°. De donner l'approximation qu'on doit obtenir dans 
les mesures d'angles pour que le sommet du triangle s'ap- 
puyant sur une base donnée, soit déterminé avec une 
approximation donnée. 

Comme il n'est pas possible de suivre l'enchaînement 
des erreurs que comportent les opérations successives d'un 
canevas , on aura satisfait aux conditions d'un bon travail 
en imposant une limite d'erreurs très-étroite aux diffé- 
rentes parties de ce travail. Je n'aurai donc à m'occuper 
que des conditions d'exactitude dans la détermination 
d'un point qu'on veut rattacher à une base. 

Je dois commencer par chercher la relation qui existe 
entre les différents éléments que je veux combiner. 

Soit AC une base exactement mesurée } on veut ratta- 

B" 



v/\i)p 




(32 9 ) 
cher le point B à cette base. Les deux angles A et C ont 
été mesurés et comportent une même erreur oc , quelle est 
la relation qui existe entre la base b , l'angle au sommet B, 
les angles à la base A et C , l'erreur angulaire oc et D le 
plus grand déplacement possible du sommet? 

L'erreur angulaire a sera toujours supposée assez pe- 
tite pour pouvoir être négligée devant les plus petits an- 
gles qui peuvent entrer dans un triangle géodésique. 

Si l'erreur a se produit en sens inverse sur les deux 
angles A et C , le sommet viendra en B' sur la circonfé- 
rence CBA , et l'on aura 

c sin y. b sin a 

BB' = — = . „ • 

sinC sinB 

Le sommet viendra en B'', si l'erreur se produit en 
augmentation sur les deux angles; en B w , si elle se produit 
en diminution. 

Dans le triaugle différentiel ABD, on a 

c sin a c sin a 

ED = — 



sin (B — a) sinB 

de même 

_, a sin a 
BD'=-— -: 

sin B 

B"D ne diffère de BD' que d'une quantité liès-pelite du 
second ordre, et l'on peut poser 

a sin v 
B'D 



sinB 



Mais 



BB" = V BD -+- B" D- -+- 2BD . BD" cos ( B — a ) ; 
doue 



BB = - — - \'c- + a 7 -f- lac cosB 
sinB 



On a 



33o 



&sinC èsinA 

a 



sinB sinB 



donc 



~_« b sin a i— : : : — 

BB" = — — — Vsin 2 C + sin 2 A + 2 sin A.sinC cosB 
sin 2 B ' 

expression qui peut se mettre sous la forme 

„ > ^„ b sin a 1—. — ~ 1 — : — : — : — t. ;» 

BB' = — J sin 2 B + 4 sin A sin C cos B , 

sin 2 B T 

ou sous la forme 



u , b sin a / . 

* = • ^ 1 / su 
sinB y 



2 sin A cos B\ 7 
BB" = . , 1 / sin 2 A + cos A -+ 



sin B 



BB'" est sensiblement égale à BB". La valeur trouvée 
pour BB" est d'ailleurs l'expression rigoureusement 
exacte du déplacement BB'". On trouverait, pour l'ex- 
pression exacte de BB", 



_„ b sinon. / . 2 sin ( A -+- a) eos (B — a) - ! 1 

BB"= . „ 1/ sin 2 A H- cosA H v . ,J i-, '- • 

sinB y L sm(B — 2a) J 

Pour avoir le plus grand déplacement possible , il faut 
donc chercher quelle est, suivant la forme du triangle, 
la plus grande des deux valeurs de ce déplacement : 

BB' = **£, 

sinB 



sin a / . 

-r-zr \/ sl 
5inB y 



__.. 6 sin a /. / 2sinAcosB\ 2 

BB" = . „ 1 / sin 2 A + eus A 



sinB V V sinB 



Or, pour B <^ 100 grades, on a 
BB" > BB' , 



(33i ) 
pour B = ioo grades, 

BB" = BB' , 

et pour B ^> 100 grades, 

BB"<BB'. 

Donc, lorsque nous voudrons imposer une limite à Ter- 
reur possible sur la position du sommet, il faudra consi- 
dérer BB" si l'angle au sommet est aigu, et BB' s'il est 
obtus. 

Supposons maintenant B <C ioo grades et discutons la 
valeur de BB": 



__„ b sina / . " / 
BB "= -— - - i / sin 2 A + cos A 
sin B y \ 



2 sin A cosB N 
sinB , 



On voit que pour une même valeur de A, BB" aug- 
mente indéfiniment lorsque B diminue depuis ioo grades 
jusqu'à zéro. La plus petite valeur de BB" que nous de- 
vons considérer est donc celle qui correspond à 

B= 100% 
d'où 

BB" = b sin a . 

Au delà , c'est-à-dire pour B > ioo grades, il faut pren- 
dre la valeur de BB'. 
L'expression 

BB" = — i/sin- B H- i sin A sin C cos B 

sin'B v ^ 

montre que , pour une même valeur de B <^ ioo grades, le 
maximum du déplacement a lieu pour le maximum du 
produit sinAsinC, c'est-à-dire pour A = C. Donc, de 
tous les triangles qui ont même base et même angle aigu 
au sommet, celui qui donne le plus grand déplacement 
absolu du sommet est le triangle isocèle. 



( 332 ) 
Pour A = C , on a 

b sina 



BB" = - — — i/sm 2 B -f- 4 sin 2 A cosB 
sin 2 B v 4 

qui se met sous la forme 

b sina 



BB" = 



2 sin 2 - B 

2 

expression qui donne le plus grand déplacement corres- 
pondant à une valeur de Bplus petite que l'angle droit ; 
elle prouve en outre que , de tous les triangles isocèles 
qui s'appuient sur une même base, le triangle rectangle 
est celui dont le sommet est le moins déplacé par les er- 
reurs commises dans la mesure des angles à la base. 
Pour A = B = C , l'expression BB" devient 

BB" = 2 b sin a. 

Donc le déplacement absolu du sommet d'un triangle 
équilatéral est double de celui du sommet d'un triangle 
rectangle isocèle s' appuyant sur la même base. 

Pour des valeurs de B plus grandes que ioo grades, 
il faut discuter l'expression 

„ , b sin a 
BB'= -^— — 
sin B 

Cette expression , indépendante des angles à la base , 
montre que le plus grand déplacement possible est le 
même pour tous les triangles qui ont même angle au som- 
met 5 elle montre également que le déplacement augmente 
lorsque l'angle B augmente depuis ioo grades jusqu'à 
200 grades. 

Nous pouvons maintenant résoudre les quatre questions 
que nous nous sommes posées dès le principe.. 



( 333 ) 
i°. La limite de l'erreur possible sur la position du 
sommet d'un triangle est donnée par l'expression 

_ b sin a 



2 sin 3 - B 
2 



si l'angle B est aigu, et par 

_ b sin 



sinB 



si l'angle B est obtus. Nous remarquerons que ces valeurs 
de E sont proportionnelles à b et à a. 

2°. Si la limite E du déplacement est donnée ainsi que 
B et a , ou trouve deux limites pour l'angle B : 



. i „ lb si 

sin-B= 1/ — : 

2 y 2] 



sin a 



donne la limite des angles aigus, et 

b sin a 
sl aB = nr - 

la limite des angles obtus. 

3°. On connaît a etE, on demande la plus grande 
base à laquelle on puisse rattacher un sommet. Cette base 
correspondra à un triangle rectangle au sommet \ nous 
prendrons donc 

E= b sin a, 
d'où 

sin a 

expression de la limite dès bases. 

4°. Si E . b et B sont donnés , on trouve , pour les li- 



( 334 



mites de a , 



si B est aigu , et 



2Esin 2 - B 

2 

sin a = ; 



EsinB 

sma = ; — 



si B est obtus. 

Nous avons supposé que les deux angles à la base 
étaient seuls mesurés , mais il n'en est pas toujours ainsi. 
Dans les réseaux géodésiques du premier ordre, on me- 
sure les trois angles à i ou 2 secondes près; dans la géo- 
désie du second ordre, on mesure également les trois an- 
gles , mais on se contente d'une approximation de 10 à 20 
secondes. Enfin, dans la géodésie du troisième ordre, 
on ne mesure que les deux angles à la base avec la même 
approximation de 10 à 20 secondes. En topographie, on 
ne mesure que deux angles qui sont le plus souvent les 
deux angles à la base 5 si l'on fait un canevas trigonomé- 
trique , le grapliomètre donne les angles avec une approxi- 
mation égale à 1 ou 2 minutes ; avec la planchette, on 
peut admettre une approximation de 5 minutes-, avec la 
boussole et le déclinatoire , une approximation de 23 mi- 
nutes. 

Revenons à la géodésie du premier et du second ordre, 
et voyons en quoi la mesure des trois angles peut nous 
obliger à modifier ce que nous avons dit dans le cas de la 
mesure des angles à la base. 

Soit 

a = 3 m ; 
les plus grands déplacements sont donnés par les combi- 



( 335 ) 
naisonâ suivantes sur les angles observés : 

Ad=3w, A±3m, A±3m 

B±3w, Bq;3m, Bzp3/«, 
Czp3w, C±3/w, C + 3m, 

auxquels cas les angles réduits sont : 

A ±2/», A±2m, A±4 W > 

B±2m, Bqp4^, B qz 2 m , 
CZP4 7 "» Cdi2/?7, C zp 2 /« . 

Si nous voulons discuter la valeur du déplacement 
dans le cas de ces suppositions sur les erreurs angulaires, 
nous dirons : 

Soit da l'erreur produite sur le coté a par l'erreur an- 
gulaire m, on a 

c sin m 



on a de même 



da r= 

sinB ' 



a sm m 

de = 



sinB 



La combinaison 

A •+■ im, C — /\.m 

donne un déplacement D qui est le troisième côté d'un 
triangle dont les deux autres, 2 Je et ^da, comprennent 
l'angle B. La combinaison 

A — 2.m, C -h 4^ 

donne un déplacement qui ne diffère pas sensiblement du 
précédent. 

De même le déplacement D' donné par les deux com- 
binaisons 

À rt 2 m , C db 2 m 



( 336 ) 
est le troisième côté d'un triangle dont les deux autres , 
o.dc et zda, comprennent l'angle supplémentaire de 
l 'angle B. 

De même encore, le déplacement D", donné par les 
deux combinaisons 

A dt. 4 m ? C^2m, 

est le troisième côté d'un triangle dont les deux autres , 
ida et 4^c, comprennent l'angle B. 
Nous tirons de là 

D 2 =4<^ 2 + i6rfa 2 — i6da de cosB, 
D' 2 = 4 d? H- 4 fla ~ + ^ (la (lc cos B » 
D" 2 = 4r/rt 2 4- i6r/c ? — i6^flrfccosB. 

Enfin, le plus grand déplacement qui serait donné dans 
le cas de la mesure des angles à la base par les combinai- 
sons 

A zh 3 m , C±3w, 

peut être exprimé par 

D" /J = 9 da 2 + 9 de- + 1 8 da de cos B . 

Cherchant la plus grande de ces quatre expressions 
dans le cas de l'angle B aigu, nous voyons que D'" est 
toujours plus grand que D', et que si a = c, on a 

D = D"; 

si a <^ c, on a 

da > de et D > D" ; 

si a ^> c , on a 

D<D". 



( 33 7 ) 
Donc, si nous supposons a <^ c, il faudra, pour trouver 
le plus grand déplacement, comparer D w à D. 
^ous avons 

D'"- 1 — D J — 5 de 2 — rda- + l^da de cosB. 

Donc , tant qu'on aura 

; da* < 5 r/r : -f- 34 f/« de COS B , 

on aura 

D" > D. 

De celte inégalité, on tire 

~j der — 5 de 7 



cos B > 



cosB > 



34 do de 

7 c 2 — 5fl 2 
34 «.c 



ou enfin 



cosB ^> 



' c- 



La plus grande valeur de cette expression correspond à 
la plus petite valeur de -• Or, si nous supposons que les 
réseaux géodésiques ne comportent pas de triangles dans 
lesquels on ait a<^--> nous pourrons prendre- pour 

la plus petite valeur de -•> auquel cas l'inégalité devient 

23 

cos B > -5^ , d'où B < 8q s . 

1 3b u 

Ann. de Malhéntai., t. XIV. ^Septembre i855.) 22 



( 338 ) 
Dans le cas do A = C, on aurait 

cosB "> — i d'où Iï <C o6*. 
17 

Ces limites se rapprochent assez de l'angle droit pour 
qu'on puisse dire que lorsque l'angle au sommet est aigu, 
onaD'">D. Donc les limites trouvées précédemment 
dans le cas de la mesure des angles à la base conviennent 
a fortiori au cas de la mesure des trois angles , lorsque 
l'angle au sommet est aigu. 

Si l'angle B est obtus et si Ton suppose toujours a <^ c, 
la plus grande valeur du déplacement est encore D ; mais 
on a 

D'" 2 — D 2 = 5 de" — 7 da- -f- 34 da de cos B , 

expression toujours négative pour da^> de et cosB<^o; 
par conséquent, D ^>D W . Les limites trouvées pour les 
angles obtus dans le cas de la mesure des angles à la base 
ne conviennent donc plus au cas de la mesure des trois 
angles 5 il est alors nécessaire de les modifier, et on est 
conduit à le faire de la manière la plus simple en remar- 
quant que les déplacements donnés par les combinaisons 

A dt 2 m , C zifZ 4 nt 

et 

A rt 4 /» , C qz 2 ni 

sont toujours plus petits que ceux donnés par 

Alfc4 /W > Czç. /\m. 
Or ces derniers sont représentés par l'expression 

b sin ~ y. 
sinB 



(339) 

donc les limites . dans le eas de la mesure des trois angles 
et de l'angle au sommet obtus, se déduisent de l'équation 



bs\n~ 

smi; 



Applications numériques. 

i°. Quelle est la limite du déplacement du somme» 
d'un triangle équilatéral dont le côté est de 3oooo mètres, 
l'erreur que comporte la mesure des angles étant de i se- 
conde? 

On a 

E = 2 b sin x , sin i " = o ,ooooo 1 5^ , 
d'où 

E = o ,n ,94 2 - 

2°. La base est de ioooo mètres, l'approximation an- 
gulaire est de i seconde, les sommets des triangles doi- 
vent être déterminés à o m , i près. Quelles sont les limi- 
tes des angles au sommet? 

Pour la limite des angles aigus , nous avons 



d'où 



i _ lb sin a . 

i,n ; B== V"^Ë _:=v ' 79, 



-B = 17», B = 34 6 



Pour la limite des angles obtus, nous avons 



6 sin i", 33 
si n B = = o , 2 i 



( 34o ) 
d'où 

B= i86',5o. 

Le même problème, sur une base de 3oooo mètres, 
donne pour la limite des angles obtus 

sinB = o,63, B=i56 6 ,5o. 

3°. E et a ayant les mêmes valeurs que précédemment, 
quelle est la plus grande base à laquelle on puisse ratta- 
cher un sommet? 

On a 

E 

b = - — = 63700" 1 ; 
sina ' 

dimension que n'atteignent pas les côtés des triangles 
géodésiques. 

La limite des côtés des triangles équilatéraux est don- 
née par l'expression 

b = — : — = 3i8oo ,n . 
2 sina 

4°. On a 

£ = 20ooo m , B = 5o g , E = o m ,i. 

Quelle est la limite de l'approximation que l'on doit ob- 
tenir dans la mesure des angles ? 
On a 

2Esin J -B 
2 

sin a = 1 •> 

b 

d'où 

log.sina = 4> 16668, sina = 0,00000147, a =r c/,94. 



(34i ) 

Le tableau ci -joint résume les 
conditions d'exactitude relatives à la 
géodésie du premier ordre. 

Le même tableau peut servir à la 
géodésie du second ordre en supposant 

E= i m , u= 10". 

Supposons que l'on commence un 
canevas sur une base de ioooo mè- 
tres 5 le premier triangle qui s'ap- 
puiera sur cette base pourra avoir un 
angle au sommet de 36 grades et 
être isocèle. Il donnera de nouvelles 
bases de 1800 mètres environ, sur 
lesquelles on pourra appuyer des 
triangles isocèles ayant un angle au 
sommet de 5o grades et des côtés de 

a4 kilomètres On arrivera ainsi 

aux côtés de 3o kilomètres qui con- 
vienne]! taux triangles équilatéraux. 
On conservera cette longueur de cô- 
tés jusqu'à ce qu'on veuille revenir 
à une base de 10 kilomètres qui servira de vérification. 
Le tableau montre alors combien il est plus facile de di- 
minuer les côtés que de les augmenter. En effet, sur une 
base de 3o kilomètres, on peut appuyer un triangle iso- 
cèle dans lequel l'angle au sommet est de i5y grades ; il 
en résulte des nouvelles bases de 16 kilomètres, des- 
quelles on passe immédiatement à un côté de 10 kilo- 
mètres. 

Rien ne serait plus facile que d'établir de pareils ta- 
bleaux pour la géodésie du troisième ordre et pour la to- 
pograpbie. 

Pour la géodésie du troisième ordre, on supposerait 



E = o m , i 


a 


= 1" 


b = 4o k 


B 




b = 35 k 


B 


67g 
147g 


b = 3o k 


B 


64f_ 

1578 


b = 2 5 k 


B 


58s 

ïëifc 


b — 20 k 


B 


52g 

172g 


b = i5 k 


B 


J5s 
180g 


b = io k 


B 


36s 
187g 


E = i m 


a = 


= 10" 



( 34^ ) 
a = 20", E = 2 mètres. Les limites des valeurs de B plus 
grandes que 100 grades seraient données par l'expression 

. b sin y 

sinB = 

E 

Dans les canevas topographiques exécutés au grapho- 
mètre , on ne considérerait plus la grandeur naturelle E 
du déplacement du sommet, mais le déplacement graphi- 
que e. On supposerait a. = 2', e = o m ,ooo2. 

Dans les canevas à la planchette , on supposerait a = 5', 
e = o m ,ooo5. 

Dans les opérations de détail avec la boussole ou le 
déclinatoire, on supposerait a = 25', e = o m ,ooi. 

Revenant à l'ouvrage de M. Vieille sur les approxima- 
tions numériques, ouvrage que j'ai cité plus haut, je di- 
rai que Fauteur émet une opinion qui n'est pas fondée en 
disant que ce qu'il importe de considérer dans tout cal- 
cul approximatif, c'est moins l'erreur absolue commise 
que le rapport de celte erreur au résultat cherché. . . C'est 
ce l'apport seul, et non l'erreur absolue, qui caractérise 
nettement le degré d approximation obtenu. 

Si l'on peut, dans certains cas, se proposer de calculer 
des longueurs, des surfaces, des volumes, etc., en se 
donnant la limite des erreurs relatives, il arrive aussi 
souvent qu'on voudra obtenir les mêmes mesures en se 
donnant la limite des erreurs absolues. Dans ce dernier 
cas, l'erreur relative calculée après coup caractérisera, 
il est vrai , le degré d'approximation obtenu. 

J'ajouterai qu'il est certains cas où Terreur relative 
n'aurait aucun sens; je citerai, par exemple, les calculs 
d'angles, de coordonnées, de cotes de hauteur (ce sont 
des coordonnées verticales) et les calculs des triangles 
géodésiques; les côtés et les azimuts auxquels conduisent 
ces derniers calculs sont de véritables coordonnées po- 



( 343 ) 
laires, qu'on transforme ensuite en coordonnées rectan- 
gulaires. 

Il n'est pas hors de propos de signaler ici qu'il est 
inexact de dire, comme le fait l'auteur, p. 3, qu'une 
erreur, même très-petite, commise sur la mesure d'une 
base géodésique , irait en grandissant da?is le calcul des 
triangles du réseau dont cette base est un côté et pourrait 
conduire à des résultats très-fautifs. Il est très-facile de 
se rendre compte que cette erreur se propage, au contraire, 
sans augmentation. 



THÉORIE ANALYTIQUE DU GYROSCOPE DE M. L. FOUCAULT; 

pat\ m. y von villarceau (*j. 



1 . Lorsque ce Mémoire a été écrit, la théorie du gyroscope 
avait déjàététraitéepariM.Quet, et les résultats des recher- 
ches de ce physicien avaient été publiés dans les Comptes 
rendus des séances de V Académie des Sciences (t. XXXV, 
pages 686 et suivantes). Cette publication avait échappé 
à M. Y von Villarceau, dont l'attention avait été détour- 
née par d'autres préoccupations. Il hésita d'abord à li- 
vrer son manuscrit au rédacteur des Nouvelles Annales; 
mais ayant obtenu les intégrales rigoureuses des équations 
principales du problème, alors que M. Quet n'avait pré- 
senté que des solutions suffisamment approchées, et pré- 
sumant, d'ailleurs, que le travail de ce savant pourrait 

(*) Ce Mémoire m'a été remis par M.Yvon Villarceau le i* r février i853 
La publication de son ouvrage sur 1 Etablissement des Arches de pont et 
les changements survenus dans ses fonctions a l'Observatoire de Paris ont 
empêché jusqu'ici M Vvon Villarceau de surveillei l'impression du Mé 
moire actuel. l u 



( 344 ) 
différer du sien par la mise en équation (*) , M. Yvon \ il - 
larceau s'est décidé à publier un travail qu'il considère 
comme offrant plutôt d'intéressants exercices de mécani- 
que, que des moyens sérieux de remplacer les détermina- 
tions astronomiques par des expériences faites à l'aide 
du gyroscope. 

La solution du problème des latitudes et des azimuts 
à l'aide de l'instrument de M. L. Foucault est étudiée 
dans ce Mémoire; mais l'auteur insiste pour que Ion 
n'envisage ses recherches que comme de purs exercices 
de mécanique. 

La théorie du gyroscope a pu être fondée sur les théo- 
rèmes qui concernent les forces apparentes dans les mou- 
vements relatifs*, mais ces théorèmes n'étant pas encore 
très-généralement répandus, malgré les travaux des géo- 
mètres et des mécaniciens, l'auteur a préféré baser ses 
recherches sur la considération des mouvements absolus. 



2. Le gyroscope consiste principalement en un anneau 
A' (fig. i) mobile autour d'un axe fixe Oz\ (**) et dans 
l'intérieur duquel un solide de révolution A tourne autour 
de son axe de figure Oz iy lequel est entraîné dans le 
mouvement de l'anneau. Le solide de révolution est un 
tore dans l'appareil de M. Foucault, et l'axe de figure y 
est perpendiculaire à l'axe de l'anneau. Nous regarderons 
le solide de révolution comme ayant une figure quelcon- 
que et étant incliné sur l'axe de l'anneau d'un angle qnel- 



(*) La publication faite depuis par M. Quel dans le Journal de M. Liou- 
■ville a pleinement confirmé cette prévision. 

(**) La disposition physique de l'axe de rotation Os', , dans l'appareil de 
M. L. Foucault, n'est pas celle que nous donnons dans la fifjure. Nous 
supposons ici que l'anneau tourne autour de deux tourillons cylindriques, 
attendu que cette forme de tourillons est la seule qui se prête aisément 
au calcul des frottements. 



( 345 ) 
conque/;. Seulement, pour abréger, nous lui conserve- 
rons la dénomination de tore. 



FlG I. 




y\ 



Nous admettrons que les centres de gravité du tore et 
de T anneau coïncident en un point O, et que l'axe de figure 
du tore et l'axe de rotation de l'anneau se coupent en ce 
même point. Nous admettrons encore que ce dernier axe 
soit un axe principal de l'anneau. Quant à l'axe de figure 
du tore , nous établirons une pareille condition , qui sera 
nécessairement remplie si la densité du tore est uni- 
forme. 

Rappelons enfin une convention relative au sens posi- 
tif des vitesses de rotation et des moments. D'après la 
théorie des projections, la droite autour de laquelle s'ef- 
fectue un mouvement de rotation réel ou virtuel d'un 
corps solide, et la droite à laquelle se rapportent les mo- 
ments des forces, présentent chacune deux sens ou côtés 



( 346 ) 
distincts. L'un des côtés en particulier est pris pour le 
sens positif de l'axe de rotation ou des moments , on l'ap- 
pelle alors axe de rotation ou axe des moments: ce 
côté reste arbitraire tant que le sens positif des rota- 
tions ou des moments n'est pas défini 5 il est déterminé 
dans le cas contraire. Faisons coïncider l'un des trois axes 
rectangulaires x ,y, z avec un axe de rotation ; la rota- 
tion réelle ou virtuelle autour de cet axe sera positive, 
lorsque le mouvement projeté sur le plan des deux autres 
axes sera celui dej^ vers z, de z vers x ou de x vers y. 
c'est-à-dire aura lieu dans l'ordre alphabétique des trois 
lettres x, y et z, supposées rangées circulairement. Réci- 
proquement , l'axe d'une rotation ou d'un moment étant 
supposé connu, pour trouver le sens positif de la rota- 
tion ou du moment autour de cet axe , il faudra amener 
l'un des trois axes x, j", z à coïncider avec l'axe donné, en 
ayant le soin de ne pas permuter les deux autres, et recon- 
naître l'ordre alphabétique de ces derniers. Le sens posi- 
tif de la rotation ou du moment sera celui que détermine 
l'ordre alphabétique ainsi reconnu. 

3. Ceci posé, du point O comme centre, décrivons une 
sphère, et menons par ce point un plan de direction fixe qui 
coupe la sphère suivant le grand cercle NN'.ry [Jig 2). Me- 
nons dans ce plan deux axes rectangulaires x et y, et per- 
pendiculairement un axe z. Pour fixer les idées, notre plan 
lixesera parallèle au plan de l'équateur terrestre, que nous 
supposerons immobile pendant toute la durée des expé- 
riences. Les points a:,y, z, où ces axes percent la sphère, 
seront: l'un le point vernal, le second plus avancé de 
90 degrés dans le sens de la rotation de la Terre; le troi- 
sième sera le pôle boréal. Supposons maintenant que Ton 
ait fait choix de ceux des côtés des axes de rotation de 
1 anneau et du tore que l'on regardera comme positifs, < i 
qu'on les prenne pour axes mobiles c, et z , ; nous mène- 



( 34 7 ) 
ions dans les plans de leurséquateurs deux autres axes rec- 

FlG 3. 








tangulaires mobiles que nous désignerons para* , ,y t et x\ , 
y - ', . Seulement, nous insisterons sur ce que l'ordre alphabé- 
tique soit celui des axes fixes .r, y 9 z. En d'autres termes . 
ces trois systèmes d'axes, étant superposés convenable- 
ment, doivent permettre la coïncidence des côtés de 
même dénomination: on pourra vérifier dans un instant 
que celte condition est remplie. 

Le plan de l'équateurdu tore coupe le plan de l'équa- 
teur terrestre en un point N distant de l'axe des x d'un 
angle ]Nx = if compté de x en sens contraire du mouve- 
ment de la Terre, et fait avec le plan des xy un angle 
au-dessous de ce plan; nous désignons par 4> la distance 
de l'axe x t au point N, angle qui se trouve compté de N . 
dans le sens de x à y, lorsque est aigu: l'angle Nj , esl 
h ( P. Il s'ensuit qn<- le point N correspond au nœud 



1 348 ) 
descendant de l'équateur du tore sur l'équateur terrestre. 
Le pôle de l'équateur du tore est en z v et fait avec l'axe 
des z un angle qui est précisément l'angle 0. Cet angle est 
compris entre zéro et deux droits, tandis que les angles '^ 
et <P n'ont pas de limites. 

Les mêmes lettres accompagnées d'un accent désignent 
les mêmes choses relativement à l'anneau. De la fixité re- 
lative de l'axe de l'anneau, il résulte que la distance po- 
laire zz\ = 0' est constante. Le plan qui joint les pôles z 
et z\ est entraîné dans le mouvement diurne 5 l'angle 

dièdre xzz\ est l'ascension droite yR de l'axe z\ de l'an- 
neau. En désignant par w la vitesse angulaire de la Terre 
et dt l'élément du temps , on a 

dm 

(0 *=•■ 

Les pôles z x et z\, dont la distance constante est rj, 
déterminent un plan que nous nommerons, pour abréger, 
plan de l'anneau. Par analogie, nous appellerons plan 
horaire, le plan qui passe par l'axe de l'anneau et l'axe 
terrestre. Le plan de l'anneau fait avec le plan horaire un 
angle y qui est compté, à partir du dernier, dans le sens 
du mouvement de la Terre. Cet angle y suffit évidem- 
ment pour déterminer la position de l'anneau. Nous fixe- 
rons l'axe y\ dans le plan de l'anneau et du côté opposé à 
l'angle r> à partir de z\-, l'axe x\ sera perpendiculaire à 
ce dernier plan, et en arrière dey\ (fig 2) d'un angle 
droit, dans le plan de l'équateur de l'anneau. 

Il reste à fixer la position du tore relativement à l'an- 
neau. A cet effet, prolongeons le plan de l'anneau jus- 
qu'à sa rencontre en M avec l'équateur du tore : nous dé- 
signerons par « l'angle Mz^, que fait le méridien du 
tore qui contient l'axe x t avec le prolongement c,ÎM du 



( 349) 
plan de Tanneau, compté à partir de celui-ci dans le 
sens du mouvement terrestre. 

L'angle y qui détermine la situation de l'anneau et l'an- 
gle a qui fixe celle du tore relativement à l'anneau sont 
les quantités qu'il s'agit d'exprimer en fonction du 
temps. 

4. Etablissons -maintenant les relations de position des 
axes mobiles entre eux. 

x\ étant le pôle de M ^s',, l'arc qui joindrait z t et x\ 

lui est perpendiculaire -, il vient donc x i z 1 y\ = go° — oc } 

d'où 

(2) cos(.T| , x\) = sina. 

Joignons x t et y J l ( ¥ )', le triangle x i z i y' t , où l'angle en z t 

est 180 — ce , donnera , à cause de z i j\ = 90 ■+- y? , 

( 3 ) cos ( #1 , y, ) = — cos >j COS a ; 

le triangle #, z t z\ donnera de même 

(4) cos(.r, ,z\) = — sin^cosa. 

Formons le triangle x\ z t y t 5 l'angle en z t sera a, et iî 
viendra 

(5) cos(/,, x\) = cosa: 

on aura, par le triangle y\Z x y\, où l'angle en z, est 
90 — œ, 

(6) cos {y { , y,) = cos» sina, 

puis, dans le triangle ^,2^',, où l'angle en z t est en- 
core 90 — ce , 

(7) cos [y, , z\ )=. sin>jsina. 



(*) Pour ne pas trop compliquer la ligure, on n'y a pas opéré cette 
jonction, ni d'autres qui sont indiquées plus loin ; mais le lecteur \ 
suppléera aisément par la pensée. 



( 35o ) 
On a d'ailleurs directement 

( cos (z, , x\) = o, 
(8) \ cos(z,,/,) = — sin>j, 



COS (z, , z',) = -+- COS/; . 

Considérons le triangle Nzz^ les arcs Nz, Nz, étant 
de 90 degrés, les angles en z et z\ sont pareillement 

droits; il en résulte Nzx -h .rzz, = 90°, ou bien, en 

désignant par (3 l'angle z^zz, , 

(8 bis) ù -+- a — p = 9o°. 

A cause que l'angle en z t dans le même triangle est droit , 

il vient, en désignant pare l'anglezz, z', ,e-f-Nz,M = 90 . 
ou 

(9) «I. — a=90° — a. 

Le triangle IV zz',, pareillement biiectangle, donne d'a- 
bord 

(10) -y = 90 — m , 

puis ensuite 7-+- Mz',]V = 9o ; mais M z',]V =90° — <£', 
il en résulte 

(il) 7 = <!>'. 

La valeur de ip tirée de l'équation (8 bis) 

(12) ■} = 90 — M -h (3, 

comparée à celle de t|/, donne d'ailleurs 

(i3) 4 — *'= p. 

A ces relations nous joindrons immédiatement quel* 
ques-unes de celles que fournit le triangle zzj z',. Par 
la proportionnalité des sinus, on a d'abord 

sin S sin = sin /, si 11 j 



(,4; 

soi sin 7 = sin si 11 î. 



(35i ) 
Les équations qui donnent le cosinus de l'un des angles eii 
fonction des sinus et cosinus des côtés peuvent s'écrire 

[ cos/î cosô' -f- sinv; sinô' cos 7 = cosô , 

(i5) 1 oosrj cos 5 -(- sinrj sinô cose = cosô', 

F cosô' cosô + sin 9' sinô cosp=cos/j. 

Deux des formules inverses sont 

— COS7 cos s -+- sin 7 sin s cos y = cos p , 



( — cos p cos 7 -h sin (3 sin 7 cosô' = cos e. 

Enfin il existe une relation peu en usage et qui sert à 
démontrer la formule désignée quelquefois par formule 
des cotangentes . Voici les relations qu'elle fournit : 

!sinô' cosp -f- sin/; cosô cos s — cos a sin ô, 
sin 6' cos 7 -+- sin ô cos ri cos s — cos 6 sin n , 
sinô cosô + sinô'cosr, COS7 = cosô'sin>j. 

5. Dans les conditions du problème actuel, les équa- 
tions différentielles du mouvement d'un corps solide au- 
tour de son centre de gravité, quel que soit d'ailleurs Le 
mouvement de translation de celui-ci , sont 



(18) 



Ia±_(b- 

I dt 


-C)?r=P, 


|b$-(c- 

dt v 


-A) V = Q, 


f dr 

C (A- 

\ dt 


-B)y*7 = R; 


1 p == sin * sin 


ô — - — cos * — 



, . ) d-b . dB 

iiq) ( 7 = cos* sinô h sin* — 

1 de de 

r = — cos ô — - : 

\ dt d( 



( 35 2 ) 
A, B, C désignant les moments d'inertie autour des 
axes principaux des x, , j x , z t qui se coupent au centre 
de gravité 5/^,7, ''les composantes de la vitesse angulaire 
de rotation par rapport aux mêmes axes ; et P, Q , R les 
moments des forces extérieures par rapport à ces mêmes 
axes. 

Mouvement du tore. Le tore étant de révolution au- 
tour de l'axe des z^ , les moments d'inertie autour des 
deux autres axes sont égaux 5 on a ainsi 

(20) B = A. 

Quant aux moments des forces qui le sollicitent, on 
observera d'abord que la pesanteur doit être éliminée, 
puisque la force qui en résulte passe par le centre des 
moments. Le tore reçoit de l'anneau des actions dont 
nous désignerons par fx le moment résultant. Si nous né- 
gligeons le frottement et que nous admettions une par- 
faite symétrie autour de l'axe du tore , il s'ensuivra que 
les actions exercées parallèlement à Taxe sur les pivots 
se réduiront à une force dont la direction passe par l'axe 
de ligure et ne donne lieu à aucun moment. En négligeant 
aussi la résistance de l'air, il restera des actions normales 
aux surfaces des tourillons; et la direction de ces forces 
passera par l'axe de figure. L'axe du moment résultant 
p. est donc situé dans le plan del'équateur du tore. Soit À 
l'angle de cet axe avec l'axe des x t , compté dans le sens 
de Xi à jv"j , il viendra 

iP = p cos>, 
Q = p. sin>, 
R = p. cos (p., z, ) = o. 

Cette dernière valeur jointe à la relation (20) réduit la 
troisième équation (18) à 

dr 

^ = ° ; 



( 353 ) 
d où , en désignant par n une constante , 
(22 ) r ~ n. 

En vertu de ce qui vient d'être établi , les deux premiè- 
res équations (t8) deviennent 

dp 

l A - — h (C — A) nq = [t cos À , 

{23) d\ 

[ A — ( C — A ) np = p. sini. 

Mouvement de l anneau. Les équations de ce mouve- 
ment s'écriront en ajoutant un accent à toutes les quan- 
tités qui entrent dans les équations (18) et (19), à l'excep- 
tion du temps t. On pourrait établir la condition d'égalité 
des moments d'inertie B' et C [fig. ij; mais il n'en 
résulterait pas de réduction sensible dans l'équation fi- 
nale. D'ailleurs il pourra arriver que la nécessité d'an- 
nexer quelques masses lorsqu'il s'agira de réaliser l'appa- 
reil, conduise à des moments B ' et C inégaux. Nous au- 
rons d'abord 

A'^-(B'-C') 7 V = P', 



(*4) 


\ B 


dq' 

dt 


-(C- 


-A') 


r'p' = 


Q', 








! c 


dt' 

777 " 


-(A'- 


-B') 


pV = 


R'; 






puis, à 


cause de 6' = 


constante, 


les équations 


M 


don- 


lieront 




p' - 
y' = 

r' - 


= sin <t>' 

= cos*' 
d<b' 

z ~dT~ 


sin 9' 

sinO' 

— c>s 


(h 
dty 

dt 








in n di 


> Malhémal., 


t.XV 


f. (Septembre 


i8f>5.) 




2 3 





( 35/, ) 
Mais , en vertu de (10) et (i), il vit ni 
dû' 

et nous avons d'ailleurs, équation (n) 
? = *', 



il s'ensuit 



(26) 



on en tire 



p — — w sin G sin y , 

<?' = — w sin ô' cosy t 

dy 
r' =— '- + wcosO ; 
dt 



d P ■ ,, d 'l 

-V = — u sin 9 'cos •i—r'i 
dt dt 



, àq' . „. . dy 

i rfT = + w ? IB sul7 rfT' 

</r' _rf'y 

rfr" ~~dF' 

Enfin , les moments des forces que reçoit l'anneau sont : 
i° ceux des forces égales et opposées à celles qu'il exerce 
sur le tore-, 2 les moments des forces que les supports 
exercent sur l'axe de l'anneau lui-même. Nous trouve- 
rons, en raisonnant comme tout à l'heure, que ces der- 
niers se réduisent à un moment u', dont l'axe est situé 
dans le plan de l'équateur de l'anneau et fait un angle W 
avec l'axe des x\ compté de celui-ei vers j\. Il vient 
donc 

P' = — P cos (x l , x\ ) — Q cos (y, ,*',) + f*' cos V , 
Q'= — Pcos (*,,/,) — Qcos (/,,/,) 4- p'sinY, 
R' = — Pcos(^,, z\) — Qcos (7, , .s',), 

ou, en vertu des relations (2) à (8) et ayant égard aux 



( 355 ) 
valeurs de P et de Q, 

P' = — pcosXsina — psinXcosa -f-p'cosV, 
Q' = + p cosX cosa cos»] — psin) sina cosri -f- p' sin V, 
R'= + pcosX cosa sinn — p sin). sina sinyj. 

Substituant ces valeurs et les précédentes ( 26) et (27) 
dans les équations (24), il vient 

— A'wsinQ'coSY -^+(B'— C')wsin9'cos7 ( — - -+- wcos9' ) =— psin(a-+>)+p'cosr , 

H-B'wsinS'siny— - + (C— A')wsinô'sin7 1 ~-i-wcosB' j =pcos»cos(a-t-)i)+p'siny , 

(28) + C -77 — (A.' — B') w 2 sin 2 ô'sin7 cosy = p sinn cos(a ■+- 1). 

Les deux premières de ces équations peuvent s'écrire 

il /g/ , p/ i /\ ^7 j 
p'sinV = wsinô' sin7 J ' dt \ — pcos»cos(a 4- >), 

-h(C — A'WosÔ'J 

I i (B' — C— A')— ) 

I p' cosV = wsin0'cos7 < ' dt > -h p sin (a -f- >). 

( -h (B' — C) mcosô') 

Elles serviront à déterminer f/ et X' lorsque tout ce qui 
se rapporte au mouvement du tore sera connu. 

6. Mouvement du système des deux corps. Multiplions 
la première équation (23) par cosa, la deuxième par 
sina et retranchons , il viendra 

(3o) A (cosa sina— ) H- (C — A) n{q cosa -f- p sina) = p cos(a-f- X); 

on aurait semblablement 
(3i) AI sina -j--\- cosa— M H- (C — A) n [q sina — /;cosa)r= p sin (a-f-X). 

Ces équations seraient propres à donner p. et a -f- À 
rn fonction des autres quantités supposées connues. La 

23. 



( 35(5 ) 
première pourrait aussi nous servir à former l'équation 
principale du problème. En effet, l'équation (3o) étant 
multipliée par sinrç et retranch.ee de l'équation (28), il 
vient 

C -—{- — (A' — B') w^sin' 0' siny cosy 

(32) < . / . dq dp\ 

~f- A sin» sin a — - — cosa — - 
\ dt dt ) 

— (C — A) sin» n («ycosa -\- p sin a) = o. 

Telle est l'équation qu'il s'agirait de traiter à l'effet d'en éli- 
miner toutes les variables et dérivées de variables autres 
que y, mais, pour plus de symétrie, nous procéderons un 
peu différemment . 

A l'aide des valeurs (19) nous formerons d'abord les 
combinaisons suivantes que contiennent les équations 
(3o) (3i)et(3a) : 

, . dû . . x dQ 

q cosa 4- p sin a =: + cos (<î> — a) sm -— ■+■ sin ($ — a) — -» 

dt (<t 

v - dû , , rfO 

7 sin a — p cos a = — sin ( <î> — a ) sin 9 -~ -+- cos ( * — a ) — — 



dt dt 



Or nous avons trouvé (9) 

<ï> — a = 90 

il s'ensuit 



(33) 



dû de 

-y- + COS S — : 
dt dt 

. dû . dO 

a sin a — p cos a = — cos e sin — — f- sin t — -• 
1 r dt dt 



En vertu de (12) et (1), la valeur de ~ est 



(34) 



d^_dfi 
~dt~~~dt 



(3§7) 

pour obtenir celle de —•, nous aurons recours à la pre- 
mière équation (i4) et à la troisième équation (i5) , que 
nous écrirons comme il suit : 

sin 9 sin 3 = sin^siny, 

• . r, cos»i ,, 

sinQcos S = - — , — cotGr cos9. 
r sin 9' 

En les différentiant, il vient 

„ . dfi . .„ dQ . (h 

-+- cosS sin 9 — - -+- sin S cos9 — = sin» COS7 — » 
r dt dt dt 

dQ dQ , . dQ 

— sin 3 s.in 9 — - ■+- cos S cos 9 — = cot 9' sin 9 •-- ; 
de de dt ' 

multipliant la première par cos (3 , la seconde par 
— sin/3, et ajoutant, on trouve 

. d$ . „ dy , . _ . n dQ 

sinô-r- = sinrj cos 3 cos 7 — - — cot9 sin 3sm9— — 
de r ' de de 

On obtiendrait semblablement une relation entre dQ 
et dy , mais il sera plus simple d'employer la première 
équation (i5) 

cos 9 = cosn cos 9' -+- sin*} sin 9' C0S7 ; 

elle donne directement 

„„, . dQ . . , . dy 

1 35 ) sin 9 — - = sin ■» sin 9 sin 7 — - > 

v ' de ' de 

etil vient, en substituant cette valeur dans celle de sinû -£-» 

dt 

d fi . (l'i 

sin9 ■— = sin /if cos 3 COS7 — sin S sinv cos 9' \.-r-i 
dt \ ■ r * vi 1 (lt 

ou, en vertu de la deuxième équation (16) , 



. r/3 . a-, 

in 9 — - = — sin n cos e — • 
dt dt 

Portant les valeurs (34), (35) et (36) dans les équa- 



36) sin9-^- = — silicose— - 

dt dt 



( 358 ) 
lions (33) , il vient 

• . • si"" C0S£ / • -a • */ • xd-i 

a cosa -+- psina = — w sin 9 sine : — - — (sine sin 9 — sin 9 sinv )— -, 

' ' sin 9 dt 

(sin 9' «in y\ dy 
cos'e 4- sin e : — ; — —-■> 
sin 9 / dt 

valeuis qui , en vertu de la deuxième équation (14)5 se 
réduisent à 

Iq cos «+/; sin a = — w sin 9 sin e 
■ . d 'l 

(7sma — p cosa = -f- w sin9 cos e -+- sin»—- • 
1 r dt 

Diflerentions maintenant -ces deux équations , nous 
aurons 

dq .du dz d. sin 9 sin e 

cosa -— 4-sina — u/sina — wcosa) — - = — o> ; , 

1 dt dt w dt dt 

3S ) < 

) . dq dp . . ,<7a rf.sin9coS£ . d" y 

Sina— - — cosa 4- -f- <7COSa -f-psinaj— - = 4- w : l-SinT) — — • 

dt dt w ' ' dt dt dt' 

Les deuxièmes équations (14) et (i5) donnent d'ailleurs 

sin 9 sin e = sin 9' sin y , 



d'où 



(39) 



cos 0' 

sin 9 cos £ =: — ; COlr, cos 9, 

sin» 



d. sin 9 sine . dt . rfô 

=-f- cos e sin 6 — — (- sin c cos 9 — 

dt dt dt 

• „, f h 

= sin 9 cos 7 — -» 
dt 

d. sin 9 cos e . . r/e d9 

; = — sine sin 9— 4- cos e cos 9 — 

dt dt dt 

= cotn sin9— • 



( 35 9 ) 
Ces mêmes équations vont nous fournir la valeur de — 

dont nous aurons besoin dans un instant. A cet efVet, 
multiplions la première par cose et la deuxième par 
— sine, puis ajoutons, il viendra 

di . , dy . . <79 

sin 9 — = sin 9 COS7 cose-- 1 — cot*] stn t sin9— -> 
dt dl dt 

et, en substituant la valeur (35), 

„dz . . . . . . dy 

sinô — = sin 9 (cosveoss — sinv sine cos«j— ^ • 
dt v ' dt 



En ayant égard à la première équation (16) , cette expres- 
sion se réduit à 

(4o) sin9— • = — sin 9' cosS-^. 

v ^ ' dt r dt 

Les expressions (38) contiennent encore la dérivée 



d 

di 

donne 



- dont il faut calculer l'expression. L'équation (9) 



<{<t> — dy. = — di , 

doù 

dot. d<ï> dî 
dt dt dt ' 

et, eu vertu de la troisième équation (19) et de l'équa- 
tion (22) , 

dot. „ dli dé 

-—==/i -Jr cos — ï -f- — • 
dt dt dt 

Substituant les valeurs précédemment obtenues, il vi< ni 

dot ï ... , -r.tr, ( h 

— = n — w COS 6 r— r (Sinvi COS 9 COSc -\- sinO cosji) — . 



( 36o ) 
ou, à cause des premières équations (i5)et (17), 

/ da. , dy 

1 — = n — w cos 6 — COSr; — 
I dt dt 

(40 j d 

F = n — w ( cos n cos 0' -h sin n sin Ô' cos 7 ) — cos » — • 

Présentons immédiatement une remarque relative à la 
constante n. Cette quantité n'est pas donnée directement 
par l'observation , mais l'équation précédente va nous 
donner le moyen de l'obtenir. Supposons que l'anneau 
étant en repos relativement à la surface de la Terre et 
son plan formant avec le plan horaire l'angle y , on com- 
munique au tore une vitesse angulaire relative au plan 
de l'anneau qui soit w, et qu'on l'abandonne à lui-même 

en cet état 5 w sera la valeur initiale de — j et l'équa- 
tion (4i) fournira l'expression suivante de n en fonction 
de w et y : 

(42) n — w-f- w (cos»cos(/ + sin/i sin ô'cos'/,,) = tv-f- wcosO„. 

Cette relation montre que la vitesse de rotation au- 
tour de l'axe du tore est égale à la vitesse relative du tore, 
l'anneau étant au repos, augmentée delacomposante de la 
vitesse de la Terre autour de l'axe du tore dans le même 
état de repos de l'anneau. 

Revenons aux équations (38 ). En y substituant les va- 
leurs (39), (35) et(4i), on aura 

d(j . dp , d-/\ 

cos a— - + sin a— =+l »— w cos 6 — cos» ~ 1(7 sin a — pcosa) 

— w sm0 cos 7 — - , 
dt 



sin y. — — cos y. 
dt 



(l P ( , <h\, 

— =— l « — ucosô — cosvj-jî Uqcos<x-\-psma) 

-f- w sus 9 cos 15 >in 7 ~ -h sin <- — - 

di t!i- 



( 36i ) 
Au moyen de ces valeurs les équations (3o) et (3i) 
donneront 

H sin (a -f- X) = I Cn — Al wcos9 + cos ri -7-/(7 s i na — pcosa) 

dy 

— A w sin 9 cos y — - 1 

' dt 

fxcos(a + ),) = \ Cn — A I wcos9-f- cosr) -J- \ \(q cos a -\- p sin a) 

dy . r/^v 

— A w sin 9 cos n sin 7 — - — A sin rj — - — : 

' dt dt- 

substituant les valeurs (37) , il viendra 

a sin ( a -f- > ) = -f- C ri — A ( w cosO H- cosrj — ) ( w sin 9 cos s. -f- sin ri —- ) 

• «/ <^7 

— Aw sin 6 cosv — -1 
dt 

p. cos (a -+->) = — C « — A ( w cos 9 -f- cos ri — - ) w sin 9 sin 1 

d-i . d tm » 

■ — Aw sin 9 cos n sin 7 — A sin ri — -• 

' dt dt* 

Développant et ordonnant, on aura d'abord 

u sin ( x H- ).) = -+- ( C n — A w cos 9 ) w sin cos e 

d 7 
-t- [Osinr; — Awfsinr;cos0 4-sin9 C0S7 -hcos/isinôcoss)]— ■ - 

dy> 

— Asinn cosrj — — > 
df 

p. cos ( a -t- À ) = — ( C /i — Aw cos 9 ) w sin 9 sin -- 

. . . .d-, rf* 7 

-f- A '•> cos/ sinO sin ï — sinO mu 7 ) A sin»; — — -• 



( 362 ) 
En ayant égard aux relations du n" 4, ces équations se 
réduisent à 

psin (a + X) = H- (C/i — Awcosô) w sin 9 cose 

'h d*f 

-+- (Cn — 2A«co.s9) sinrj — A sinr, costî -j-r 

(43) { v de dP 

, . , . . d'y 

p.cos (a + X) = — (C« — Aw cos9) w sin9 sin-/ — A sin n -— • 

Si l'on remplace ici cosô par sa valeur (i5) et sin0cose 
par sa valeur 

(44) s i n ^ cos e = cos ®' smr - — sin 9' cosyj COS7 

tirée de la troisième équation (17), les formules (43) 
donneront p. et a. ■+- X en fonction de y et de ses deux pre- 
mières dérivées. 

7. formation de F équation finale. Eliminons la quan- 
tité [jicos (a -+- X) entre la deuxième équation (43) et 
l'équation (28) , il viendra 

d-y 

(Asin'n ■+- C) -r-t- H- (Cn — Aw cosô) « sin 9' sm>j sinv 

— (A' — B' ) w 2 sin 2 9' sin 7 cosy = o, 



puis, en mettant pour cos 1 sa valeur (i5) et transposant, 

C « — A cos r> w cos 9' ) w sin 0' sin ; 
A sin 2 n 4- A' — B' ) w 2 sin 3 0' sin 7 cos 7 



L cl 7 y 

. . , . . . \ (A sin 2 »? H- C) — — = — (Cn — Acos*i w cos 9' ) w sinO' sin /) sin 7 
^44 bis) l dt 2 ' 



Soient, pour abréger, 

g C« — A COSrj w COS 9' 

a A sin 2 73 + C 

. g A sin 2 /] -f- A' — B 



w sin 9' sin 17 5 



» 2 siir 9', 
Asm n -f- C 



( 363 ) 
g désignant l'intensité de la pesanteur et d un nombre 
abstrait qui sera toujours extrêmement petit, tant que, 
A' et B' étant supposés inégaux, smn ne sera pas lui- 
même très-petit; l'équation précédente deviendra 

d 2 *y £" 
(45) — -j-=-( — siny -h 2<îsiii7 cosy), 

et l'on aura en même temps 

S A sin J *i + C 



wsinô'sinn C« — Acos>j«cos9' 

(46) 

1 iwsin9' Asin 2 r) 4- A' — B' 

2 sinrj C« — AcOS>3WCOS0' 

L'équation (45) étant multipliée par idy s'intègre 
immédiatement. Soit donc ± y la valeur réelle ou ima- 
ginaire de y pour laquelle — - est nul , il vient 

d-y 2 ig 

— —— [cosv — cosyo — o (cos 2 7 — cos 2 7„)], 

d'où 

^ dt =±: \/^( cos Y — cos 7o)[i — <J(cos7-f-cos7„)]. 

Le cas où la valeur de y serait imaginaire pour une va- 
leur nulle de -r > est celui où l'anneau, au lieu d'être aban- 
dt 

donné à lui-même à partir du repos, serait animé d'une vi- 
tesse capable de lui faire décrire un arc plus grand qu'une 
circonférence. Dans ce cas, que nous n'examinerons pas, 
cosy pourrait encore être une quantité réelle , mais elle 
sortirait des limites db i entre lesquelles sont compris les 
cosinus. Au reste, on obtiendrait la valeur de cette quan- 
tité en mettant dans l'équation précédente un système de 

valeurs simultanées de y et de ^« 

' dl 



( 364 ) 
Ce cas étant exclu, y sera un angle réel, et à cause 
que ô est très-petit, le facteur i — â (cosy -f- cosy ) 
sera constamment positif. Ceci posé, on voit que la seule 

condition pour que ~ soit une quantité réelle est que le 

facteur cosy — - cosy et l a constante a soient de même 
signe. Or les angles Q' et m étant supposés compris entre 
o et 180 degrés, et le terme Acosyi wcosô' très-petit par 
rapport à Cn, le signe de a sera celui de n. Lors donc 
que la composante n du mouvement de rotation autour 
de l'axe de figure du tore sera positive , on devra avoir 

COS7 ^> cosy ; 

les valeurs de y se succéderont dans l'ordre 

'/<>•> o , — -/ , o , -+-?„, o ,.... 

Si le mouvement de rotation a lieu dans le sens con- 
traire, ou bien si la constante n est négative, on aura 
nécessairement 

cosy <i cosy,,; 

et les valeurs de y se succéderont comme il suit : 

y , rr, Tr + y , n-, y , 7r, TF-t-y,,.... 

La valeur absolue de -~ est la même pour deux va- 
leurs égales et de signes contraires de y \ il suit de là , et 
de ce qui vient d'être dit, que le mouvement du plan de 
l'anneau est un mouvement oscillatoire autour du plan 
horaire, et que les vitesses angulaires sont égales dans les 
positions symétriques par rapport à ce plan. Il en résulte 
égalementque si un arc d'une amplitude donnée est décrit 
par le gyroscope dans le cas de n positif, 1 arc qui sera dc- 
crit lorsqu'on changera le sens delà vitesse de rotation en 



( 365 ) 
conservant le même point de départ, sera la portion 
restante de la circonférence. Enfin, si l'on néglige 
le terme en â dans l'équation (4j), on voit que cette 
expression coïncide avec l'équation différentielle du 
mouvement du pendule plan de longueur a. Le mouve- 
ment du plan de l'anneau autour du plan horaire sui- 
vra , dans ce cas , les mêmes lois que le mouvement du 
pendule autour delà verticale. (Ce résultat a été indiqué 
par plusieurs auteurs. ) La première équation (46) donne 
d'ailleurs la longueur du pendule simple qui accomplirait 
des oscillations de même amplitude dans le même temps. 
On pourrait éviter de considérer le double cas relatif 
à n en regardant n comme une quantité toujours positive \ 
mais alors, il faudrait , dans le cas du changement de sens 
delà rotation du tore, substituer au pôle z, son opposé, 
et changer aussi le sens de l'un des axes mobiles x x ou y x , 
afin que les axes mobiles restassent superposables, comme 
il a été dit au n° 2. Il nous paraît préférable, quoique 
ce soit un peu plus long , de considérer séparément ces 

deux cas. 

La suite prochainement. 



SOLUTION DE LA QUESTION 303 

(voir page 211) ; 

Par M. J. MURENT, 

Licencié es Sciences ( Clermont-Ferrand ). 



Problème. Quelles conditions doit remplir un qua- 
drilatère pour que tous les rectangles circonscrits soient 
semblables à un rectangle donné. Quel est le lieu géo- 
métrique des centres de ces rectangles? 

Solution. i°. Soit ABCD un quadrilatère dont les 



( 366 ) 
diagonales se coupent en un point O. Ce qnadrilatère 
sera déterminé si l'on suppose donnés l'angle 8 des 
diagonales et les grandeurs a, &, c, d des segments 
OA, OB, OC, OD de ces diagonales. Menons par le 
point A une droite MQ faisant avec la diagonale CA 
un angle quelconque <p, et construisons le rectangle 
circonscrit MNPQ dont un côté est dirigé suivant la li- 
gne MQ. En traçant, par le point O, des parallèles aux 
côtés du rectangle , on trouve facilement que les lon- 
gueurs de ces côtés sont(a + c) sin<p et (b -\- d)cos[ô — o), 
ou plus simplement D sincp et D' cos (0 — <p), en dési- 
gnant par D et D' les diagonales entières AC, BD. 

Pour que le rectangle MNPQ soit semblable au rec- 
tangle donné dont nous représenterons les deux dimen- 
sions par C et C, il faut que l'on ait la proportion 

D sin <p _ C 

D'cos(6 — ? ) ~~ C'' 

et pour que la similitude existe pour tous les rectangles 
circonscrits, il faut que cette relation ait lieu pour toute 
valeur donnée à <p. Or, cette même relation développée, 
pouvant s'écrire sous la forme 

(CD' sin 9 — DC/ ) tang ? + CD' cos 6 = o , 

ne sera satisfaite, quel que soit g, que si l'on a simulta- 
nément 

CD' cos 9 = o et CD' sin fi-DC' = o, 

d'où l'on déduit 

D C 
9 = 9 o» et _ = -. 

Ainsi, pour qu'un quadrilatère satisfasse aux conditions 
de l'énoncé, il faut et il suffit que ses diagonales fassent 
entre elles un angle droit et soient proportionnelles aux 
deux dimensions du rectangle donné. 



( 36 7 ) 

On voit qu'il existe une infinité de quadrilatères possé- 
dant la propriété énoncée. 

2°. Lieudes centres. Considérons un quadrilatère ABCD 
construit suivant les conditions que l'on vient de trouver : 
ses diagonales seront perpendiculaires entre elles et nous 
les prendrons pour axes coordonnés , les x et les y posi- 
tives étant dirigées suivant OA et OB. Construisons le 
rectangle circonscrit MNPQ , dont le côté MAQ fait avec 
Taxe des x un angle quelconque <p, le point M étant si- 
tué dans l'angle des coordonnées positives. 

Cela posé , il est facile de reconnaître que le centre du 
rectangle doit se trouver au point d'intersection des deux 
droites menées respectivement parles milieux des diago- 
nales AC et BD du quadrilatère, parallèlement aux côtés 
MQ et MN du rectangle. Or le milieu de AC ayant pour 

abscisse et le milieu de BD ayant pour ordonnée 

? les équations des deux droites sont 



y = tang<p 

et 

b —d 



(-^) 



2 tan g (j. 

Ces deux équations étant satisfaites parles coordonnées 
du centre du rectangle MNPQ, si l'on élimine entre elles 
l'angle <p, Féquation finale aura lieu entre les coordon- 
nées du centre d'un rectangle circonscrit quelconque , et 
représentera , par conséquent , le lieu des centres de tou% 
les rectangles circonscrits. 

Pour éliminer <p , il suffit de multiplier membre à mem- 
bre les deux équations, et l'on aura, en transposant . 



(-•-'V-V^-VO 



( 368 ) 
C'est l'équation d'un cercle qui passe par l'origine et |>;u 
les points 



a — c 

• ■> y = o 



et 

b —d 

x = o , r = » 

2 

c'est-à-dire par les points milieux des diagonales AC , BD. 

Ainsi le lieu cherché est le cercle décrit en prenant 
pour diamètre la ligne qui joint les milieux des diagona- 
les du quadrilatère. 

Remarque. On peut prendre pour quadrilatère un lo- 
sange -, on a alors 

a = c et b = d; 

l'équation du lieu devient 

J 2 + x- = o , 

et le lieu se réduit à un point, centre du losange. 



SECONDE SOLUTION DE LA QUESTION 300 

( voir page 254 ) ; 

Par M. J. MURENT, 

Licencié es Sciences. 



Problème. Trouve?' une fonction de a, b, c, d telle, 

'au en y faisant b = a elle devienne —. -» et en y 

' J J 2 ( c -f- d ) ^ 

faisant d = c elle devienne — j-- Leibnitz. 

Solution. Désignons par F(rz,Z>,c, d) la fonction 

c ,i 

demandée. Cette fonction devant se réduire à — 

2(c+rf) 



( 36 9 ) 
lorsqu'on y fait b = a , sera de la forme 

C .'/ 

(i) F («,*>«, d) = a ^ + (« — &)/(«, *, c, rf), 

pétant une fonction inconnue qui ne devient pas infinie 
lorsque h = a. Afin de déterminer cette fonction y", fai- 
sons d = c dans légalité (i). Le premier membre devra, 

u après I énonce, se réduire a — — r-> et nous aurons 

r i(a -\- b) 

~i T-T\~( a — *■)/(*« 6 ' c > c )' 



et , par suite 



f(a 7 b, c,c) = 



2 (a -f- b] 
Cette relation montre que la fonction _/'(«, b , c , d) doit 

être telle, quelle devienne —7 tt-> lorsqu'on y fait 

' l i(a -+- b) l J 

d=z c : donc cette fonction est de la forme 

/(a, b, c, d) =___— + {c— rf)<p(«, 6, c, rf); 

Q) étant une nouvelle fonction qui ne devient pas infinie 

pour r/= c. On voit de plus, par cette dernière égalité, 

que y doit aussi rester finie pour b = a puisqu'il en est 

ainsi de la fonction y. 

Substituant la dernière valeur de f dans l'égalité (1), 

il vient 

c— d 

¥(a, b, c, d) = — — — 

2 { c -f- ci) 

H ° ~ ' , ■ ■+-(« — b)(c — il) o(rt, A, r, rf), 

2 (« + /;) 

A/ci de Uaikêmat., t. XIV. Octobre 1 855. 24 



( -70 
ou , en réduisant , 



, ac — bd 

F [a, b, c, d) = 



[a + b) (c + d) 
-f- ( a — b ) { c — d ) <f (a, b, c , d). 

Cette formule donnera une infinité de fonctions satis- 
faisant aux conditions de l'énoncé ; il suffira de prendre 
pour <p une fonction quelconque de a, b* c, d, qui ne 
devienne infinie ni pour b = a, ni pour d = c. 

L'expression 7— — rv^ r; sera la plus simple des 

^ (a + i)(c + rf) r 

fonctions qui répondent à la question. 



COMPARAISON DE QUELQUES MÉTHODES DE QUADRATURE 
ET FORMULE NOUVELLE; 

Par M. Théodore PARMENTIER, 

Ancien élève de l'École Polytechnique, Capitaine du Génie (*). 



De tout temps les géomètres se sont préoccupés de la 
recherche de formules d'approximation pour calculer 
l'aire des courbes planes. Ces formules sont de la plus 
grande utilité pratique ; car, dans l'état actuel de nos con- 
naissances, le nombre des fonctions intégrables est fort 
limité, et d'ailleurs on a bien souvent à considérer des 
courbes irrégulières qui ne peuvent être représentées 
par une fonction algébrique, telle par exemple que le 
périmètre de la section d'un cours d'eau ou une courbe 
dynamométrique dont l'aire représente le travail d'une 
machine ou d'un moteur. 

On sait que l'aire comprise entre l'axe des abscisses de 

(*) Aidedecamp du général Niet, en Crimée. Th. 



( 37» ) 
la courbe > = f { r) et les deux ordonnées 

est représentée pari intégrale définie 
S = / 

Les méthodes de quadrature ont pour but de déterminer 
une valeur plus ou moins approchée de Faire S dans le 
cas où la différentielle f (x ) dx n'est pas intégrable, ou 
lorsque la forme de la fonction f(x) n'est pas connue et 
que l'on peut seulement se procurer la connaissance d'un 
certain nombre de valeurs particulières de cette fonction 
correspondant à des valeurs de x , généralement équidif- 
férentes , comprises entre x el x m . En d'autres termes, 
on divise l'aire S en un certain nombre de trapèzes cur- 
vilignes déterminés par des ordonnées équidistantes, et 
il s'agit de trouver une valeur approchée de la surface de 
plusieurs de ces trapèzes consécutifs , exprimée à l'aide 
des différentes ordonnées formant les bases des trapèzes 
et de leur hauteur commune. 

La première idée qui se présente , c'est de remplacer 
les trapèzes curvilignes par des trapèzes recti lignes en 
joignant deux à deux par des cordes les extrémités des 
différentes ordonnées. L'aire du polygone inscrit sera 
représentée par la formule 

? y — - 

dans laquelle h représente la commune hauteur des dif- 
férents trapèzes, r„ et y m les ordonnées extrêmes, et 

^ y la somme de toutes les ordonnées. Cette formule 

24. 



( '^ ) 

est simple, niais ne donne qffune approximation assez 
grossière. 

En remplaçant l'aire de la courbe par celle d'un poly- 
gone circonscrit formé au moyen de tangentes menées à 
l'extrémité des ordonnées élevées au milieu de la base de 
chaque trapèze, on obtient la formule très-simple 

(2) A = /,-2>. 

Il est facile de déduire de simples considérations géomé- 
triques que cette dernière formule conduit toujours à un 
résultat plus approché de la valeur exacte de l'aire S 
que la formule (i), et comme elle a en outre l'avantage 
dune plus grande simplicité , elle doit toujours être pré- 
férée. 

Le géomètre anglais Thomas Simpson a cherché à 
obtenir une plus grande approximation en substituant à 
la courbe dont on cherche l'aire une suite d'arcs de para- 
boles du second degré à axes parallèles aux ordonnées : ce 
qui l'a conduit à la formule suivante , à laquelle il a at- 
taché son nom et qui constitue encore aujourd'hui l'une 
des méthodes de quadrature les plus usitées, 

(3) A^p"'-^'"-*-* ^+r 1 4-...+r Jn -0 ï 

Joî/ 1 '/ 2 ''"'/ 8 » représentant les valeurs numériques 
des in -f- 1 ordonnées distantes lune de l'autre de la lon- 
gueur constante h. Cette formule donne , en général, des 
résultats plus approchés que la méthode des tangentes ; 
mais on ne peut pas affirmer à priori qu'il en est ainsi. 
Si l'on cherche, par exemple , l'aire du quart de eerçle 
d'un rayon égal à 10, en partageant le rayon-en dix par- 
ties égales, la formule (2) donne 

A = ^SjSjc), 



(3 7 3) 
et la formule (3) 

A = 38,173. 

Or la vraie valeur de l'aire est 

s = 78,540. 

L'erreur en plus a laquelle conduit la méthode des tan- 
gentes est donc moindre que l'erreur en moins que 
donne la formule de Simpson. L'aire de la parabole 

X 2 =9- x 

entre l'axe des abscisses , la courbe et les ordonnées cor- 
respondant à x = o et x = 10, a pour valeur exacte 

2 — 

- 10 X S 90 =63,246. 

Eu partageant la base en dix parties égales, la formule ( 2} 
conduit à 

A = 63, 408, 
et la formule (3) à 

A = 63, 001 . 

L'avantage est donc encore à la méthode des tangentes 
Il en serait de même en calculant , au moyen de dix or- 
données , l'aire du quart de l'ellipse , ou celle de l'arc de 
l'hyperbole y = V 20.x -+- x~ entre le sommet et l'or- 
donnée correspondant à x= 10. Mais si l'on cherche 
l'aire comprise entre l'axe des abscisses, l'hyperbole 
/rv = 1 et les ordonnées correspondant h x=i et .r = 2, 
aire dont la vraie valeur esi 

S = log nép. 2 = o,6V)3 147 , 

on trouve que la formule (2) conduit, au moyen de dix 
ordonnées, à la valeur 

A = 0,692835 r 



( 3 7 4 ) 
et la formule (3) à la valeur beaucoup plus approchée 

A = o , ticj3 1 5o . 

Je pense que la formule de Simpson doit , en général , 
être préférée à la méthode des tangentes , mais il me pa- 
rait difficile de les comparer entre elles et de décider, 
à priori, dans quel cas lune doit l'emporter sur l'autre. 

M. Catalan, remarquant que les différents axes de pa- 
rabole de la méthode de Simpson ne se touchent qu'en un 
point et forment ainsi des jarrets, a pensé que Ion ob- 
tiendrait une formule plus exacte en faisant recroiser 
deux arcs consécutifs de manière à leur donner deux 
points communs. Après avoir mené un premier arc de 
parabole à axe parallèle aux ordonnées , par les extrémi- 
tés des trois premières ordonnées , on ne conserve de cette 
ligne que la partie comprise entre les deux premières or- 
données 5 puis on fait passer un second arc de parabole 
par les extrémités des deuxième , troisième et quatrième 
ordonnées, et ainsi de suite , en conservant l'arc entier 
pour les trois dernières ordonnées. Pour donner de la sy- 
métrie à l'expression de l'aire de la courbe ainsi formée, 
M. Catalan refait la même construction dans Tordre in- 
verse, puis il prend la moyenne des deux aires. Il arrive 
ainsi à la formule 



;4) a=a 






] 



h représentant l'équidis tance des ordonnées et \^ v la 
somme des u ordonnées y , j: t . ) >•> — y„ (*)• 

M Voyez les Nouvelles Annales de Mathématiques, t. \ p ji 



( 3 7 5 ) 

AI. Catalan pense que cette formule pourra presque 
toujours être préférée à celle de Simpson. La plus grande 
continuité donnée à la suite des arcs paraboliques semble, 
en effet, favorable à la formule (4). Pourtant on ne peut 
rien affirmer à cet égard. En comparant les deux formules 
dans le cas des cinq aires dont il a été question ci-dessus, 
on trouvera que l'avantage est toujours à la formule de 
Simpson. Cette dernière étant d'ailleurs plus simple, je 
pense qu'il n'y a pas avantage à lui substituer la for- 
mule (4)- 

Passons à la formule de M. le général Poncelet. L'aire 
d'une courbe étant comprise entre celle du polygone in- 
scrit formé par une suite de cordes , et celle du polygone 
circonscrit formé par une suite de tangentes , il était na- 
turel de penser qu'en général la moyenne arithmétique 
entre ces deux aires s'approcherait plus que chacune 
d'elles de l'aire delà courbe. C'est sur cette considération 
qu'est fondée la méthode mixte entre celle des tangentes 
et des cordes , exposée par M. Poncelet dans ses Leçons à 
la Faculté des Sciences de Paris. 

SoitaAGg - l'aire à calculer. 




On forme un polygone circonscrit à la courbe en me- 
nant des tangentes aux extrémités de toutes les ordonnées 
y, . v îv .., > o„_i de rang pair , et un polygone inscrit, en 
joignant d'abord les extrémités A etBdes deux premières 
ordonnées, et les extrémités F et G des deux dernières, 



(3 7 6) 
puis menant les cordes de contact BD , DF , etc., du poly- 
gone circonscrit. Il est facile de voir maintenant que 
Faire du polygone inscrit est exprimée par 



+ ih 



2 2 



*(»2* 



jo + y m y t 4- jjn-. 



et que l'aire du polygone circonscrit a pour expression 

2 h [y, 4- jr t -f- . . . -H J Jn -, ) = 2/*2 T. » 

/i représentant toujours l'équidistance des ordonnées et 

51 r«- l a somme des ordonnées de rang pair (ou d'indice 

impair). La moyenne arithmétique entre ces deux aires 
donne pour l'aire approchée de la courbe 

(5) s = h ^2, r< h ^ ^ — J ( )• 

Cette formule conduit fort souvent à une très-grande 
approximation si on l'applique, par exemple, à la déter- 
mination de l'aire du quart de cercle de rayon 105 011 
trouve, en divisant le rayon en dix parties égales , 

s= 78,403 „ 

valeur plus approchée que celles que donnent les for- 
mules (2) , (3) et (4)- H est à observer, en outre, qu'au 

(*) Voyez, pour plus de développements, les Eléments de Mécanique de 
H. Rcsal, pages 28-3 1 , 



( 3 7 7 ) ? 
lieu de dix ou onze ordonnées qu'ont exigées ces derniè- 
res, on n'en a eu que sept à calculer pour appliquer la 
formule de M. Poncelet à ce cas particulier. LT approxi- 
mation eût donc été plus grande encore, si l'on avait, 
comme l'eût exigé la comparaison équitable des diverses 
méthodes , partagé le rayon du quart de cercle en seize 
parties égales , afin d'avoir aussi dix ordonnées à calculer. 



On peut se rendre compte , par l'analyse , de la valeur 
comparative de la méthode des cordes , de celle des tan- 
gentes et de celle de M. Poncelet. 

Considérons , en effet, un élément MM' de la courbe 




Soient 



OP = 



PP' = 7.&X, 



et menons la corde MM', ainsi que la tangente au point m 
correspondant au milieu de PP'. L'aire PMM'P'dela 
courbe aura pour expression 



=1 



x ■+■ 2 A x 



ou , en posant x = x -+■ x , 

x' — ï \ 



t/.r = O 



ydx, 



dxj ( .r„ + x' ) ; 



(3 7 8 
mais on a 

x' 



a /*W + J3/" (*•)+•••. 



et , par suite , 



/ 



rf*/(* 4- x') = x'f [x.) -h —/' (x„) + — /" (*,) -h . 



et 

2 Ar 

tfx/(x 3 + x') = 2 A.r/:.r ) 



«/x' 



X' = () 



4i|fV(^ + 8 ^>M + 



ou enfin 



S=2A*/(ar.)+ 2(A.r)V v (*. j + | ( A*) 3 /" (*,) + ..., 

et l'on sait que ces séries sont toujours convergentes, si 
2Ax est suffisamment petit et si /'(x^) ,f" (x ) , etc., 
sont limités. Il est facile de voir, d'un autre côté , que 
Faire du trapèze inscrit a pour expression 

A = A X [/( X -h 2ij: ) -+-/(*, )] , 

ou, en développant^;*?,, 4- i Ax) en série, 

A = 2 àx/(xt) -+- 2 ( Ax)' f ( v a ) -f- 2 ( A x ff" (*,)-+-.... 

Pareillement, l'aire du trapèze circonscrit, qui est 
égale à 

_>. A. ?■_/'(. r„ -|- A.r), 

peut être mise sous la forme 



(3 7 9 
On a donc 



et 



S — À= — -(**)»/"(*.) + 



S-À'=A(A.r)V"(To) 



On voit par là que si les éléments dans lesquels on a 
partagé la courbe sont assez petits pour que les ternies qui 
renferment Axà une puissance supérieure à la troisième 
puissent être négligés devant ( Ax) 3 , la méthode des tan- 
gentes conduit à une erreur qui est juste moitié moindre 
que celle à laquelle on arrive par la méthode des cor- 
des (*). 

La moyenne arithmétique entre le trapèze inscrit et 
le trapèze circonscrit a pour expression 

M = ^±±' = 2 Axf(x„) + 2 (A*)'/' (*.) -h ? (**)»/>,)+ . . . ; 

on a donc 

S — M = — g (A*)»/* (*,)+..., 

ce qui montre que, lorsque Ax est assez petit, cette 
moyenne donne la valeur approchée de S avec une erreur 
moitié moindre que celle résultant de Taire circonscrite, 
et quatre fois plus faible que celle à laquelle conduit 
Taire inscrite. Mais, pour obtenir cette moyenne, ou 
serait obligé de calculer un nombre double d'ordonnées 
puisque les ordonnées du polygone inscrit ne correspon- 

(') Cette conclusion semble supposer que f(x ) n'est pas nulle; 
mais il est facile devoir, en calculant les termes suivants du développe- 
ment de S — A et de S — A', qu'elle subsisterait encore dans le cas par- 
ticulier de f" (x ) = o. Si,/"' ( x ) était aussi nulle on si plusieurs des 
dérivées./'" (x ),/' v (x ), etc., étaient nulles à la t'ois, l'avantage de la 
méthode des tangentes sur celle des cordes n'en sciait que plus grand 



( 38o ) 
dent pas à celles du polygone circonscrit. On a vu de 
quelle manière ingénieuse M. Poncelet a évité cet incon- 
vénient, et quoiqu'on ne puisse pas appliquer à sa for- 
mule le résultat comparatif que nous venons d'obtenir, 
puisque les cordes et les tangentes ne sont pas disposées 
de la même manière sur les deux figures ci-dessus, on 
conçoit néanmoins qu'elle doit conduire à une approxi- 
mation supérieure à celle que donnent les deux autres 
méthodes, On vient de voir que la différence entre l'aire 
de la courbe et celle du polygone inscrit tend à devenir 
double de la différence qu'il y a entre l'aire de la courbe 
et celle du polygone circonscrit. On arriverait donc à 
une plus grande approximation si , au lieu de prendre 

A -f- A' 
pour l'aire approchée de la courbe -, on prenait 

-, car ce serait la véritable expression de Taire de 



3 

la courbe, si les termes renfermant Ax à une puissance 
supérieure à la troisième étaient réellement négligeables. 
On a , en effet , 

A+2V A. 

— 3 = 2±xf(Xo) -h 2{^xy/' (*,) -f- ï (Au.', 3 /" {x c ) -+- . . . , 

expression qui ne diffère de la valeur de S que par des 
termes renfermant Ax à des puissances supérieures à la 
troisième (et même à la quatrième, comme on le verrait 
en calculant un plus grand nombre de termes). Celte 
considération m'a permis de modifier avantageusement 
la formule de M. Poncelet. Reprenons, à cet effet, les 
valeurs des aires inscrites et circonscrites de la première 
des deux figures ci-dessus, 



( 38i ) 
et 

a'= a/*2].r«. 

Mais, au lieu de prendre, comme M. Poncelet, la 
moyenne arithmétique entre ces valeurs , prenons pour 

l'aire S de la courbe l'expression r— — 5 on aura 



ou 



6) 8 = *^ + ^- 



Cette nouvelle formule, qui n'est pas plus compliquée 
que celle de M. Poncelet et qui est beaucoup plus appro- 
chée, doit donc lui être toujours préférée (*). 

Appliquons les considérations analytiques qui précè- 
dent à un exemple numérique, celui de l'aire comprise 
entre l'arc de l'hyperbole équilatère xy = i et l'axe des 
abscisses, entre les limites x = i et x = i , aire dont 
la valeur exacte est le logarithme népérien de i ou 

S = o,6g3i47 i8. 



(*) M. le général Poncelet, auquel j'ai soumis ce petit travail qu'il a 
bien voulu approuver sans restriction, m'a fait observer que l'on peut 
justifier cette nouvelle méthode de quadrature par cette considération 
purement géométrique, qu'à mesure que l'élément d'arc considéré dimi- 
nue, la corde MM' (de la deuxième figure ) tend à devenir parallèle à la 
tangente TT', en même temps que l'arc se rapproche indéfiniment de celui 
d'une parabole de second degré, de sorte que le segment intérieur Mm M' 

converge vers les ^ du trapèze MIT' M', considéré à la limite comme un 

véritable parallélogramme ; ce qui s'accorde entièrement avec les conside- 
rations analytiques sur lesquelles repose la formule 



( 38 2 ) 
En supposant la base partagée en dix parties égales, la 
méthode des cordes conduit à la valeur 

A — o,6g3()7 i 
et celle des tangentes à 

V' = o ,692835. 



On a donc 



et 



S — A = — ,00062 [ . . . 



S — A' .— o,ooo3i2 . . . , 

ce qui fait voir qu'en s'arrêtant à la sixième décimale , 
Ax = 0,1 est assez petit pour que les termes du dévelop- 
pement en série qui renferment Axà une puissance su- 
périeure à la troisième puissent être négligés. 

Eu prenant la moyenne arithmétique entre A et A', 
on trouve 

M = — — - = o .(xpo33 
2 u 

et 

S — M = — o , 000 1.56 , 

ce qui est (en valeur absolue) la moitié de S — A', ainsi 
qu'on devait s'y attendre. 
Enfin , 

M = - = o ,693 1 47 , 

ce qui ne diffère de la valeur de S qu'au delà de la sixiè- 
me décimale et présente, par conséquent, une approxi- 
mation bien supérieure à toutes colles qui précèdent. 
Mais, comme je l'ai déjà dit, il est à remarquer que le 
calcul de M et de M' serait deux fois plus long que celui 
de A ou de A', et que l'on pourrait, par conséquent . dans 



( 383 ) 
le même temps calculer A' en prenant Ax deux fois plus 
petit, ce qui donnerait peut-être l'avantage à cette der- 
nière expression. Appliquons donc notre exemple à ]a 
formule de M. Poncelet -, la valeur de Taire sera 

S' = 0,693523, 

et, par suite, 

S;— S' =— 0,000376. 

On voit que l'erreur est un peu plus grande que S — \ 
et qu'elle est plus du double de S — M: mais cela tient 
à ce qu'en conservant la division de la base en dix parties 
égales, on a réellement pris Ax deux fois plus grand, 
comme il est facile de le voir sur la première figure, et 
que, sans avoir plus d'ordonnées à calculer, on aurait 
pu diviser la base en seize parties égales, auquel cas la 
formule du général Poncelet aurait sans doute eu l'avan- 
tage sur la méthode des tangentes. 

La nouvelle formule (6) conduit à la valeur 

S" = o , 692984 , 

et l'on a , par suite , 

S — S" = — o, oooi63, 

erreur notablement plus faible que S — S'. 

Quant à la comparaison analytique entre la formule 
de M. Poncelet ou la formule (6) d'une part, et entre 
celle de Simpson ou la formule (4) d'autre part, elle me 
paraît fort difficile à faire, et je ne puis me prononcer 
sur leur mérite relatif. Je pense néanmoins qu'en géné- 
ral la nouvelle formule que je propose ne le cède pas 
en exactitude à celle de Thomas Simpson. Cette dernière, 
qui donne l'aire exacte dans le cas particulier d'une pa- 
rabole du second degré à axe parallèle aux ordonnée 
peut conduire . connue nous lavons vu, à des résultat! 



(384) 
moins satisfaisants que la méthode des tangentes, tandis 
que la formule de M. Poncelet et à fortiori la formule (6) 
sont évidemment préférables à la méthode des tangentes. 



SIR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS TRANSCENDANTES 

( voir page 30» ). 



Méthode de M. Stern. 

La méthode des séries , employée par Euler, Lagrange 
et M. Cauchy, est sujette à de graves inconvénients. Il 
y a d'abord la difficulté de reconnaître la continuité et la 
convergence , de reconnaître si l'on s'approche par excès 
ou par défaut, et, lorsqu'il existe plusieurs racines réelles , 
il est difficile de distinguer les séries correspondantes aux 
diverses racines , les équations peuvent avoir une infi- 
nité de racines, et, pour les racines imaginaires, une 
première approximation est déjà pénible à obtenir. C'est 
ce qui a engagé l'Académie des Sciences de Copenhague 
à proposer en 1837 la question : De œquationum traits- 
cendentium radicibus indagandis. M. le D r Stern, cé- 
lèbre analyste qui habite Gôttingue et qui y cultive la 
science pour elle-même , a remporté le prix ( * ) . Nous 
allons essayer de donner une idée de l'ouvrage couronné. 

La racine d'une équation, soit algébrique, soit trans- 
cendante, est une quantité qui , substituée à la place de 
l'inconnue x, la réduit à zéro ; dans une équation algé- 
brique qui a pour facteur x — a , on est autorisé à en 
conclure que a est une racine; il n'en est pas ainsi dans 
une équation transcendante. Si Ion a 

/(*) = (* — a)F(*)=o, 



\ <'iin à l';n is pour voir l'Exposition. 



( 385 ) 
posant 

X—c:, 

F (x) peut devenir infini. Par exemple, soit 
tang x = sin x st-vx = o , 

on peut poser 

si ii x = o 
et ensuite 

séc x = o ; 

les racines de l'équation 

sin x = o 

annulent aussi tango: = o. En effet on a 

/ .r 2 \ / x 7 \ I x- 

(voir les Tables de Callet). 
Ainsi 

et ces racines donnent 

sera- = o ; 
donc , dans ce cas, 

tango: = o ; 

mais les racines de séc X = o sont évidemment imaginai- 
res. Posons donc 

x — y -+- zi , 
alors 

Cos.* ==- \i- -f- e - i ros i- f (c* — <~- j sinj, 

1 • ' / V 

sm.r = c z -+- e~" ) sin y H — r{c* — e~* cos 
4n»i de MathémaU, i \H Uclobn 2J 



( 386 ) 
On doit avoir , séc x étant nul , 

cos x = co ; 
donc 

z = co , 
et, par conséquent , 

sin x = co • 

Ainsi, en posant 

séc x = o , 

sinx devient infini et tanga: n'est pas nul ; en effet , on 
trouve alors 

tango; = i. 

Par conséquent, l'annulation d'un des facteurs n'annule 
pas le produit. 

L'auteur fonde sa méthode sur ces trois théorèmes : 

I. Théorème. L'équation 

étant donnée, substituant successiveme?it x t , x 2 à la place 
de x, si les valeurs de f (xj), f (x 2 ) sont de signes op- 
posés, il existe une ou plusieurs racines de l'équation 
entre Xj et x 2 ; s" 1 il n'existe aucune racine entre x t et x 2 , 
les valeurs de f (x t ) , f (x 2 ) sont de même signe. 

Observation. Bien entendu que f{x) est continue 
entre Xi et x* . 

II. Théorème. Si la Jonction £ [x) et toutes ses dérivées 
restent continues entre xefx+a, on aura 

f[x -+- a) —fx -f- nf [x, x -f- a), 

/(x -f- a) =fx H- af'x ■+■ - a 1 /" (x, x + a), 

f{x+ a) =/(*) + af (x) -+- I«*/"( j: ) + _i-/'"( J : r r+«) f 

où (x,x— ha) représentent des quantités renfermées 



.;8~ 



entre x et x -h a, qui ne sont pas les mêmes dans chaque 
équation (Moigjvo, Calcul différentiel, p. 34)- 

III. Théorème de Fourier. M. Ossian Bonnet en a 
donné une démonstration très-simple [Nouvelles Anna- 
les, tome III , page 119); rappelons seulement l'énoncé 
du théorème. 

Soient f (x) une jonction algébrique quelconque, de de- 
gré m, etoL,Çù deux nond>res et (3 ^> a 5 écrivons les deux 
suites 

H /<" *), /"-«(«), /"' (« -••., /(«), 
, /(-)(p), /»-' (p), /<"<-^(Sj,..., /(p). 

Les exposants indiquent des dérivations-, les deux sui- 
tes peuvent présenter le même nombre de variations, 
mais dans aucun cas la suite (jS) n'a plus de variations que 
la suite (a). Lorsque la suite ((3) a moins de variations, 
le nombre de racines réelles de l'équation comprises 
entre ce et (3 ne peut jamais dépasser le nombre de varia- 
tions perdues. Les pertes de variations proviennent : 
i°de ce que des valeurs intermédiaires entre a et (3 an- 
nulent/"^) ; 2 ou bien de ce que ces valeurs intermé- 
diaires annulent une ou plusieurs des fonctions dérivées , 
et, dans ce cas, les variations disparaissent par couples 
et indiquent l'existence de racines imaginaires dans l'é- 
quation 

/» = 0. 

Le nombre de variations perdues pouvant tenir à l'une 
ou à l'autre de ces deux circonstances , on ne peut savoir, 
comme parle tliéorème de M. Sturm, le nombre juste 
des racines comprises, on a seulement une limite: mais, 
lorsque par la nature des fonctions dérivées on sait 
qu'une d elles s'annule, alors le nombre de variations per- 
dues indique le nombre de racines réelles renfermées 

:>5 . 



enlr< 9 el 3, et, en général, lorsque le nombre des varia- 
tions perdues est impair, il existe au moins une racine 
réelle entre a. et j3. 

Dans les fonctions algébriques, f (, " } est toujours une 
constante et c'est à cette particularité qu'on doit de pou- 
voir compter le nombre de variations dans chaque suite 
(<z) et (fi) qui ne contiennent au plus chacune que m ter- 
mes*, mais dans les fonctions transcendantes on peut 
continuer les différentiations indéfiniment et il n'y a 
plus lieu au théorème de Fourier. Pour remédier à cet 
inconvénient, et c'est là le point fondamental de la mé- 
thode, M. Stern adopte poury (m) une dérivée qui jouisse 
de la propriété qu'entre a et (3 elle ne change jamais de 
signe; c'est-à-dire que dans cet intervalle l'équation 

x = o 

n'a aucune racine, et il démontre qu'alors les suites (a | 
et ((3) jouissent des mêmes propriétés que pour les équa- 
tions algébriques , par des raisonnements analogues à 
ceux que l'on fait pour ce genre d'équations. 11 nomme 
dérivée déterminante celle qui remplit cette condition, et 
nombres déterminants les nombres a et /S , et, pour évi- 
ter la longueur des calculs, il choisit a. et/3 de telle sorte, 
que m ne dépasse pas deux et qu'il n'y ait qu'une seule 
racine comprise, et qu'aucune racine des équations 

f'{x) = o, J"(x)=o 

ne soit comprise entre ces nombres. Il est toujours pos- 
sible d'avoir des limites si resserrées tant <\\\ej' (x) et 
f"(x) n'ont pas de facteurs communs; dans ce dernier 
cas, il faut chercher ce facteur et le mettre de côté. Ces 
limites étant trouvées , on cherche laquelle de ces limites 
substituée à la place des x dmisf(x) clj"(x) donne 



( 38 9 ) 

même signe. C e.^t ce que l'auteur nomine la limite 

extrême. Si c'est a, alors on aura pour nouvelle limite 

/a) 
une autre plus rapprochée a H- * \-, si S est la limite 

/ ' (ai ' 

a /"< n i- • 

extrême, p — sera une nouvelle limite; et on con- 

•^ l P i 
tinue de même avec ces nouvelles limites. Lorsque les 

deux limites ne diffèrent plus que d'une unité décimale, 

on peut aller plus vite. Soit 






— 



on divise la plus grande des deux valeurs / y. et/" j3 par la 

plus petite des deux valeurs if (y.), ij' ((3) et soit I - — J 

l'unité décimale immédiatement plus grande que ce quo- 
tient; si n est plus petit que i — A, on resserre les li- 
mites jusqu'à ce qu'on ait 

n = i — /> ou « ^> i — / ; 

alors, si (3 est la limite extrême, on développe le quo- 

/ V 
tient ',, ' jusqu'à la décimale d'ordre in-\- Â: on aug- 

J {>) 
mente le dernier chiffre du quotient d'une unité et on 

l'ajoute, ainsi augmenté, à (3, siy(£) et/ 7 (p) sont de si- 
gnes différents, ou bien on retranche de (3,sîy((3) et 
ont même signe. La nouvelle valeur approchée (3' 
peut être au-dessus ou au-dessous de la valeur de la ra- 
cine; de quoi l'on peut s'assurer en substituant (3' à la 
place de x dans/(.r) : en tout cas, (3' diffère de X d une 

quantité moindre que ( — j • Augmentant ou dimi- 
nuant la dernière figure décimale de (5' d'une unité, selon 
que (3' est plus grand ou moindre que la racine, on aura 



( 3 9 o ) 
de nouvelles limites -, et procédant avec celles-ci commi 
avec les précédentes, on parvient à des résultais exacts 
jusqu'à la 2 n -\- A , 4» H- 3Â, 8« H- 7 A figure décimale. 

Les applications suivantes éclairciront ce que l'exposé 
peut présenter d'obscur (* ). 

Il y a donc trois points essentiels qu'il faut avoir tou- 
jours présents dans l'application de cette méthode : i° la 
recherche de la fonction déterminante ; 2 la recherche 
des nombres h et n ; 3° resserrer les limites jusqu'à ce 
que l'on ait 

n Z~ 1 — k • 

I er Exemple : 

x logx — 100 = o 

(Euler, Institut, t. II, § 243)5 il s'agit de logarithmes 
hyperboliques. 

f"{x)=-, f'{x)=i-h\ogx, /(x =.rlog.r— 100; 

% et 4 sont des nombres déterminants; car /" (x) ne 
change pas de signe dans cet intervalle. 

/"(*),/'(*), A, 

+- -+■ — 

(3) y 2,098, n,3o 9 3 ; 

(4) \. 2,386, 0,940 

l 

Ainsi la racine est entre 3 et 4. 

4_3=(-i- 

^ \ 10 



(*) On en donnera plus lard la démonstration plutôt longue que ditl'- 
cile et qui aurait trop allongé cet article 



Î9 l ) 
donc 

n = o. 

■= est la plus grande des valeurs dey" (x), 3,196 est la 

plus petite des valeurs de if (x) 5 donc 



5,i 9 6 



= 0,07.. . 



donc 



To") 



/- = 1 et n = 1 — k. 



Ainsi la condition est remplie. La limite extrême est 4? 
car cette limite donne même signe hf" (x) etf(x) 

/(P)_ °>9fo 
/'(P)- 2 ,386' 

et comme 1 n -+- k = 1 , il suffit de pousser la division 
jusqu'à la première décimale [voir p. 389). 
Ainsi 

Ziil-o3- 

sm 9 ' 

augmentant cette décimale d'une unité, on a, pour pre- 
mière valeur approchée , 

4— 0,4= 3,6; 

on retranche parce que y ( ,5) ety'(/3) ont même signe 
(p. 38g). 

y (3,6) est positif, donc 3,6 est trop grand et la racine 
est comprise entre 3,5 et 3,6 5 or 

\C, — 3,5 = — , 
;o 



( 3 9 s ) 
don< 

n = i ; 

ou a encore k = i et 

n ^> i — Â , 2 « -+- /• = 3 . 

Il faut donc pousser le quotient f ,,« r \ jusqu'à la tioi- 

J (3>t>, 

sième décimale et Ton obtient 

7(3,6) 

/wr°'° 02; 

ainsi la seconde limite est 

3,6 — o , oo3 = 3 j 5t)7 , 

approchée à un millième près, y ( 3 , 5 9 j ) est négatif, la 
racine est donc comprise entre 3,597 et 3.698; or 3,598 
est la limite extrême : 

7(3,598) o,ooi63o32 
/' (3,5g8; "" 2, 280378 [3 ' 
or 

4 n -+■ 3 A = 7 ; 

il faut pousser jusqu'à la septième décimale , donc 

7(3, 5 9 8) 
/^5c^ = ' 00 °^ 9; 

ainsi la troisième valeur approchée est 

3,598 — 0,0007 1 5 = 3,597286 , 

exacte à (— ) près 5 de sorte que la racine est entre 
3,5972850 et 3.5972851. Euler trouve 3.0972852. 



( 3 9 3 
2' Exemple : 



coso,- = o 



(Euler, Introduction, livre II , § 53 1) ; il est évident que 
cette équation n'a qu'une seule racine réelle. 

f" [x) = cosx, f'[x)— i -j-sin,z, f[x) = x — cos.r, 

depuis x = o jusqu'à x = go degrés , cosa: conserve le 
même signe; donc f (x) peut être prise pour fonction 
déterminante ; 

o — coso = — i , go° — COS90 = -f- 90 

donc il y a une racine entre o et 90 degrés; des limites 
plus resserrées donnent 

/"(■*), /'(>•, fx, 

4- -f- — 

(0,7), 0,764, i,644, 0,o64, 

-f- H- ■+■ 

(0,8 , 0,696, '-y'"- 0,103, 



donc 

1 \" 



2. 1,644 

k = o, 



7=0,3; 



/; = 1 , // ■— 1 — £ . 

/(o,8) o, io3 

/'(o,8) — 1,717 

(0,8 est la limite extrême). Il faut pousser jusqu'à la 
seconde décimale , car 

donc 

o, io3 

= o , 00 ; 



( 3 9 4 ) 
première valeur approchée 

0,8 — o ,07 = o, ^3. 

f(o,-jZ ) est négatif ; ainsi la racine est comprise entre 

o,-3 et 0.-4. 

/(7,4) o,ooi53i / . / r\ 

7 7 T74) = "T^tT = °' 00 ° 9 (car 4 * ^ 4j; . 

seconde valeur approchée 

0,74 — ,001 = 0,739. 

J "(0,739) est négatif; la racine est entre 0,739 et 
0,7391. 

/7o,73gi) 0,000024887 /0 

„\ ' / ; = g J — ^- = 0,00001487 
/' (0,7391) 1,67362 

(car 8«+ A- = 8); 

troisième approximation 

0,7391 — 0,00001488 = o ,73908512, 

exacte jusqu'à la huitième décimale. Euler trouve 
0,7390847. 

La suite prochainement. 



SUR IN SYSTÈME DE TROIS COURBES PLANES; 





Par 


un ABONNE 
(Montpellier). 


Soient 






(') 




A = 0, 


(2) 




R = o, 


(3) 




C = o, 



(3 9 5 ) 
les équations de trois courbes ; 

(4) A-f-/E = o 

sera l'équation d'une courbe passant par les poiuts d'in- 
tersection des équations (i) et (2) , et nous pourrons dé- 
terminer ). par la condition que (4) coupe (3) orthogo- 
nalement. 

(5) A-HftC=o 

pourra aussi représenter une courbe passant par les 
points d'intersection des équations (1) et (3) en coupant 
(2) orthogonalcment. 

(6) b+;c = o 

passera de même par les points d'intersection des équa- 
tions (2) et (3) et coupera (1) orthogonalement. 

Les valeurs de X, y. , v sont 





r/A r/C r/A r/C 




dx dx dy ch 




r/B r/C r/B r/C 




r/x dx ' dy dy 




dk r/B dk r/B 

dx dx dy dy 


p — ■■ 


r/B r/C r/B r/C 




dr dx dy py 




dA r/B r/A r/B 
dx dx dy dy 


v ^^ — 


dk r/C r/A r/C 
dx dx dy dy 


et l'on a toujours l'ide 


ntité 


v ) -+- y. 


Z= , ou V = — 



( W) 

est l'équation d'une courbe passant par les points d'inter- 
section des courbes (4) et (5). D'après l'identité trouvée, 
l'équation (6) peut s'écrire sous la forme 

}.B — fxC = o. 

Donc les courbes (4) , (5) et (6) ont toutes leurs cordes 
communes. 

Ce théorème est la généralisation d'un théorème de 
Plùcker énoncé dans un des volumes des Nouvelles An- 
nales. 



NOUVELLES PROPRIETES DE LA LOXODROMIE; 

D'après M. H. D'ARREST. 



(Aslron. Nachr. i853, t. XXXVI. p. 35i.) 



1 . Notations. 

a, à coordonnées astronomiques d'un point d'une loxo- 
dromie passant par Y origine. 

A = angle constant de la loxodromie avec le méri- 
dien. 

r= rayon de courbure sphériquede la loxodromie au 
point (a, d). 

a\ à' = coordonnées du centre du cercle oscillateur de 
la loxodromie au point (a, à). 

n = portion de la normale comprise entre la courbe 
et l'équateur. 

r' = rayon de courbure «le la développée au point 



( 3 9 7 ) 

n' = portion de la normale au point [y.\6' ) comprise 
entre la développée et l'équateur. 

A' = augle que fait la développée au point la', â') 
avec le méridien passant par ce point. 

s' = longueur d'un arc de la développée. 

2. Formules. 
Equation de la loxodromie passant par l'origine : 

(i) log tang ( 45° ) = a cot A. 

(2) rot /• = — sin A tango. 

3 »'=«±-. 

2. 

tang S' = ± tang A sec S. 

(5) tang/- tang « = — coséc 2 A. 

.... , sin A tant; 5' 
( b ) cot r — • — kt — 

v ; su 

(7) tang/-' tan^/7' = — coséc* A sin 4 S'. 

(8) sin A' sin-î' =± sin A. 



q) tang S' = riz- tang A 



f (- ,± ï) coiA + r("' ± *) e0lA } 



équation de la développée. 

(10) coss' cosA = losS'. 

3. On conclut de l'équation (9) que la développée de 
la loxodromie n'est pas une loxodromie ; elle diffère en 
rela de la spirale logarithmique. 

Si l'on mène les deux cercles parallèles de latitude -f- A 
et — A formant deux segments sphériques, l'équation (9) 
montre que la développée est formée de deux spirales sépa- 
rées, renfermées chacune dans un des segments et ayant le 



I 3y8 ) 
pôle correspondant pour point asymplolique. Chacune 
de ces spirales s'étend aussi dans la zone comprise entre 
les parallèles. 

4. Le cône qui a pour centre celui de la sphère et pour 
base la développée de la loxodromie coupe le cylindre 
qui touche la sphère suivant l'équateur en une certaine 
ligne courbe; développant le cylindre, la ligne courbe 
devient plane et a pour équation 



équation de la caténaire. 

5. A étant toujours l'angle constant, supposons qu'un 
point décrive sur la sphère une courbe qui coupe chaque 
méridien suivant un angle A' tel, que l'on ait la relation 

tang A' = tang A sin 5 ; 

1 équation de cette courbe sera 

(a) log cos£ = a cotA: 

la projection orthogonale de cette courbe sur l'équateur 
a pour équation polaire 

„ '/. col \ 

p =r e > 

c'est une spirale logarithmique. 

L'équation de la normale sphérique à la courbe (<7| 
est 

tango' = tango* [cos (a — a') — tang A sin (a — a')], 

où a', à' représentent les coordonnées courantes. 
Faisant 

S' =z o, 
on obtient 

tang sons normale — col \ 



(3 9 9) 
Ainsi la sous-normale est constante, ce qui n'a pas lieu 
pour la parabole sphérique. 

6. Rappelons ces formules générales données par Gu- 
dermann. 
Soient 

/(«,*) = <, 

l'équation dune courbe tracée sur la sphère ; /le rayon de 
courbure; a', â' les coordonnées du centre de courbure 
correspondant au point oc , à. 
Posons 

(loi . . 

- = x , 1 4- y? cos 2 = \ , x 2 cos d — x sin a — ,,. , 



dS 



x) sin<î = v , 



on a 



/ M '• • ,, U.SH10 — X A 

tant; (a — a ) = -, sin := *- 

f*cos<î ., ,-1 



tang r = 



On trouve ces formules dans la Sphérique analytique 
de Gudermann; Cologne , i83o. 



GÉOMÉTRIE SPHÉRIQUE ET TOPOGRAMME, 

Théorèmes à démontrer. 



1 . ABC est un triangle sphérique. 

m est le centre du cercle inscrit; rie rayon sphérique 
de ce cercle. 



( 4oo ) 

a est le centre du cercle circonscrit ;p le rayon sphérique 
de ce cercle. 

p', p", p w les rayons sphériques des trois cercles ex- 
inscrits. 

s l'aire du triangle, p le périmètre. 

On a 



.ARC cosmp. 
s i n \ -f- sin B + sin C = 4 cos - cos ~ cos ~ 



2 sin>- sinp 



. . a . b . c cos »i u 

s j n a _i_ sin 6 -f- sin c = 4 sin - sin - sin - ; — 



2 sin a- sin p 



sin - s 
2 



sin -/>> tango 
1 _ ( tang p . tang p . tang p -tangp j __ 2 

abc abc 

2 cos - cos - ros - 2COS— COS-COJ 

022 ii- 



(H. d'Arrest (*)). 

2. Pour un lieu terrestre donné et une déclinaison 
d'une étoile donnée , le minimum de l'accroissement de 
l'azimut a lieu lorsque le sinus de la hauteur de l'étoile 
est égal à la tangente de la moitié de la hauteur dans le 
premier vertical. (Môbius.) 

3. Mêmes données; le minimum de l'accroissement 
de l'angle parallactique a lieu lorsque le sinus de la hau- 
teur de l'étoile est égal à la tangente de la moitié de la 
plus grande digression. (H. d'Arrest.) 

4. Soit y la hauteur dû pôle pour un lieu donné ; â la 
déclinaison d'une étoile S5 O et O' deux points de l'ho- 



(*) Directeur de l'observatoire de Pleissenberjj, près Leipzig, élève du 
célèbre Encke ; il est de la colonie de Berlin; provenant de Français exilés 
par la révocation de redit de Nantes : mesure funeste qu'on pourrait 
caractériser plus sévèrement el qui entache la fin du siècle de Bossuet 1 I 
de Fénélon. 



( 4oi ) 

rizon diamétralement opposes au point ortif et au point 
occase de l'étoile, s étant l'aire du triangle SOCy. Cette 
aire est constante (Lexell) et l'on a 




tang45°— ~^— 
tang45°-f-^ 



(H. d'Arrest.) 

5. Sur le diamètre d'un grand cercle d'une sphère 
comme axe on décrit une lemniscate, on fait une projec- 
tion stéréographique de cette lemniscate sur la sphère; 
cette projection renferme une partie de l'hémisphère ; 
l'aire de la partie restante de l'hémisphère est égale au 
carré du diamètre de la sphère. (H. d'Arrest.) 

6. A, B,C,D, E sont cinq points dans un plan; A, B, 
C, trois points consécutifs en ligne droite. Données lon- 
gueurs AB, 13C,DE; angles DAE, DBE, DCE. Construire 
le quadrilatère ACDE : i° par un moyen mécanique, 
2° par le calcul. [Problème de topographie.) 

Théorème combinatoire à démontrer. 

Soit i, 2, 3,4r-*î n — l une su i te de nombres na- 
turels; représentons par F r (n — i) l'expression algé- 
brique de la somme de ces nombres combinés rà r et sans 
répétition. 

Soit 1,2, 3, 4v-5 n une seconde suite de nombres na- 
turels ; représentons par F/ (ri) l'expression algébrique de 
la somme de ces nombres combinés /• à r avec répétition. 
En changeant dans F r (n — i) , -f- ;z dans — n, on 
retrouve la fonction F,.' (//) et, réciproquement, en chan- 
geant dans F' r (n), -f- n dans — n, on obtient F r [n — i) 
Ann. de Matht'mat., t XIV (Novembre 18? 26 



( 4oa ) 
Exemples : 











; 


" — 


1 , 






F 


.(« 


— i 


) = 


2 





• ™=^ 


1) 








M 


-«-l) 




• ( -, + ,, -r,.(-) 1 












F' 


(- «) = 


n ( n — 

= = f, ! /î 

2 


0; 














/• = 


= 2 , 








5' 


« — 





n n 


— 


1 . n — 2 . 3 « — I 












1.2 3-4 








f; 


[n) 


n .n 


+ 


I « -f- 2.3/2 -f- I 












î .2. 3.4 




F, 


(- 


« — 


•0 


n (n 


-+- 


i)(« -+- 2)(3« H- 1) 


=f; 


■M, 






1.2.3 4 




K [- 


:«) 


n {/( 


! — 


l)(ll — 2){3«— 1) 


= F 2 


/? 1 








1.2.3.4 


« 1 . 














(OEtti: 


NGEï 


>•) 



BIBLIOGRAPHIE 

(voir p. 272 ). 



Algèbre supérieure 5 par M Serret. (Fin. i 

9 e Leçon (118-132). On fait voir comment M. Min- 
ding s'est servi du parallélogramme de Newton pour dé- 
terminer le degré de l'équation finale dans l'élimination, 
parallélogramme qui sert, comme on sait, dans la re- 
cherche des asymptotes hyperboliques de divers ordres 



( 4o3 i 

d'une courbe dont l'équation est donnée. M. Liouvillea 

fait emploi de ces asymptotes pour calculée d une ma- 
nière élégante les divers termes de l'équation finale. C'est 
ce que donne aussi la méthode de Bezout. « M. Li ou ville 
a déduit, des résultats qui précèdent, la démonstration 
d'un théorème curieux de géométrie (p. 128). » Il s'agit 
d'un magnifique théorème sur les tangentes parallèles dans 
les .courbes et sur les plans parallèles dans les surfaces. 
11 me semble qu'il aurait été convenable de dire qu'on 
doit cette curiosité à M. Chasles (*) (voir Nouvelles an- 
nales, tome IV, p. i53 et 178). 

10 e Leçon (1 33-i 43). Extension des résultats de la 
leçon précédente aux surfaces. 

11 e Leçon (144-162). Théorie des fonctions semblables 
des racines d'une équation. 

Dans cette théorie créée par Lagrange on a besoin de 
la proposition suivante : 

Le nombre des valeurs distinctes que peut prendre 
une jonction de m lettres quand on y permute les lettres 
quelle renferme, est toujours un diviseur du produit ml 

Démonstration. Si toutes les permutations sont diffé- 
rentes les unes des autres, le nombre de ces valeurs est 
évidemment m!. Formons ces permutations normale- 
ment, comme nous l'avons indiqué (Nouvelles annales, 
t. I , p. 127) (**) , et écrivons-les les unes au-dessous des 
autres; le même mode qui sert à dériver la deuxième de 
la première fait dériver la quatrième de la troisième, la 
sixième de la cinquième , etc ; donc , si la première per- 
mutation devient égale à la deuxième, la quatrième de- 



(*) Le théorème sur les plans appartient aussi à M. Chasles. 

(**) On persiste à no pas parler de cette formation normale (Hinden- 
bourf;) dans les Traités élémentaires, el je 1 ersisle à la recommander 
parce qu'elle est essentielle. 



2 



( 4o.» ) 

viendra égale à la troisième, la sixième à la cinquième, 
de } le nombre de permutations distinctes sera donc 

La troisième permutation dérive de la première, 

comme la sixième de la quatrième , la neuvième de la sep- 
tième, etc. Donc, si les trois premières permutations 
deviennent égales , les quatrième, cinquième et sixième 
permutations seront aussi égales, et ainsi donc le nom- 
bre des permutations distinctes se réduit à — etc. 

c. Q. f. n. 
Soit l'équation 

(1) x m -h p, x m -' ^-p i x m - 3 + . . .-f- p m z= o, 

deux fonctions des racines sont semblables lorsqu'une 
permutation quelconque dans l'une amène une permuta- 
tion semblable dans l'autre. 

Exemples : Xi •+- x % et x x x z sont des fonctions sem- 
blables ; à x x -+- x z correspond x t x 3 , etc., mais x t — x 2 
et x x Xi ne sont pas semblables, car à r 2 — ^corres- 
pond Xt Xi 5 Xx — X* et Xi — x» sont de signes opposés , 
tandis que x t x t et x»_ x x sont égaux, mais .r, — a? s et 
et x\ — x\ sont semblables. Cette définition admise, 
lorsque l'on connaît la valeur numéri que d'une de ces fonc- 
tions, on peut en déduire la valeur numérique des fonc- 
tions semblables. M. Hermiteen a donné une démonstra- 
tion plus simple que celle qu'on lit ici {Nouvelles 
Annales, t. I, p. 329)5 mais il n'a pas discuté les cas 
exceptionnels, d'ailleurs très-faciles, où certaine équation 
a des racines égales. 

Le théorème subsiste encore lorsque les fonctions ne 
sont pas semblables; on le ramène facilement au cas où 
les fonctions sont semblables ( p. 161) \ ainsi . étant don- 



( 4o5 ) 
née la valeur d'une fonction des racines, <>n peut trou- 
ver une racine. 

12 e Leçon (i63-i^o). Applications numériques qui 
facilitent l'intelligence de la leçon précédente et une nou- 
velle démonstration du théorème de Lagrauge , par Gal- 
lois. 

i3 e Leçon (i 71-189). Equations binômes : théorie des 
racines primitives, créée par Euler; manière de les trou- 
ver et leur nombre, application du principe de M. Sturm 
à l'équation 

V„ -+- V„_, 4- . . . + V 2 + V, -+- 1 — o 
ou 

I 



faisant 



V„ = x n -f- 

x" 



1 

- = z. 



(1) v„ = z v„_, — V, 

\ „ est une fonction de z. 

A l'inspection de celle relation , on voit : k° que les \ 
forment une série récurrente, dont l'échelle de relation 
est z l5 — 1 *, 2 (|u'on peut appliquer à ces fonctions V 
les mêmes raisonnements qui servent à opérer la sépara- 
lion des racines dans le théorème de M. Sturm. Faisant 
successivement 

d'où 

z = — 2 ; x =r -f- 1 , d'où 3=2, 

nn trouve que l'équation V,, = o a u racines réelles 1 
prises entre -f- 2 et — 2. 



( 4o6 ) 
Posons 

u« = v„ + v„_, + . . . -f- v, -+- v, ■+■ i . 

U„ est une fonction du degré n en z\ on a la relation 

U, != r Z U n _, -U n _,, 

et l'on conclut que l'équation U^ = i a }x racines réelles 
comprises entre — 2 et 2. 

Toutes les fois que la relation (1) existe, le principe de 
M. Sturm est applicable. 

i4 e Leçon (190-200). Roule encore sur les fonctions 
V„ etU„ de la leçon précédente-, donne les équations dif- 
férentielles linéaires du deuxième ordre auxquelles ces 
fonctions satisfont. On déduit de ces équations les expres- 
sions développées de ces fonctions , et aussi les dévelop - 

, , sinna r . , „ 

pements de cosna et de — : en ionction de cosa. Un 

1 sin<7 

ne mentionne pas les relations de ces fonctions avec les 

séries récurrentes. 

i 5 e Leçon ( 201-21 7). Résolution de 1 équation géné- 
rale du troisième degré. Hudde, Lagrange, Tschirnhaus, 
Euler. 

16 e Leçon (218-232). C'est une suite. Equations du 
troisième degré dont deux racines peuvent s'exprimer 
rationnellement en fonction de la troisième. On regrette 
que l'auteur, au lieu de s'attacher à un cas particulier, 
n'ait pas donné la théorie de M. Hill , généralisée par 
M. Minding, et où l'on démontre que les racines d'une 
équation algébrique quelconque sont liées cyclique- 
ment les unes aux autres [Nouvelles Annales, t. MI, 
p. 443K et l'on parvient facilement el dune manière di- 
recte aux équations (7) , (8), (9) , (10) qu'on obtient ici 
assez péniblement (voir Nouvelles Annales, tome VII, 
p. 446). 



(4o 7 ) 

\J. Vincent a démontré que la méthode de Lagrange 
(fractions continues) pour la résolution numérique des 
équations amène nécessairement à la séparation des ra- 
cines; ohservation très-importante et qui aurait fait une 
grande sensation, si le théorème de M. Sturm n'avait pas 
déjà subsisté ( 1 83 a ) (Journal de M. Liouvdle, tome I , 
page 34i, i836). Faisant l'application à l'équation 



le perspicace auteur remarque que les trois fractions con- 
tinues sont terminéespar les mêmes quotients, et il ajoute: 
« Cette propriété mériterait peut-être un examen spécial.» 
M. Lobbato , géomètre hollandais, a fait cet examen [Jour- 
nal de M. Liouville, t. IX, p. 177 , 1 844) et démontre 
que toutes les équations du troisième degré qui ont cette 
forme 

_ A- -+- A -+- 1 2 A 3 -h 3 A* + 3 A -4- 1 

JC 1 5 ; X -+- ; = O 

A' 2 A' 3 

jouissent de cette propriété. A est un nombre entier quel- 
conque et A' un diviseur quelconque de A 2 -h A -+- 1; 
faisant 

A = 4 , A' = 3 , 

on trouve 1 équation particulière 

x 3 — •; „r -(- 7 ~ o . 

Ce beau résultat, corrige en quelques points . lei mine 
la leçon, et dans la ^Nole MI (p. 47°"), M. Serret établit 
•■\rr une extrême sagacité qu'on rencontre cegenre d'équa- 
tions parmi celles dont le quantième du degré est divisible 
par a ou par 3 et qui sont irréductibles ; indique le moyen 
de former ces équations. La division du cercle en sept ou 
neuf parties égales conduil à une telle équation du iroi 



( 4o8) 
sièmc degré, et la division du cercle en quinze parties 
égales, à une équation analogue du quatrième degré. 
C'est un des plus beaux produits analytiques que l'auteur 
a consigné dans le Journal de M. Liouville. tome XV. 

17 e Leçon (233-243)- Résolution générale de l'équa- 
tion générale du quatrième degré. Ferrari , Lagrange , 
Descartes, Tschirnhaus et Euler. 

18 e Leçon ( 244-262 ). Traitée d'api es Lagrange. De la 
résolution des équations dont le degré est un nombre pre- 
mier ou dont le degré est un nombre composé, d'après la 
Note XIII du Traité de la résolution des équations nu- 
mériques , exposée avec une grande clarté. 

19 e et 20 e Leçons (263-276 , 277-288). En permutant 
les deux lettres a et b dans [a — Z>) 2 , on obtient deux 
formes et une seule valeur; en permutant les trois lettres 
a , b , c dans l'expression [a -+■ ab -f- a 2 c) 3 où a est ra- 
cine de l'équation 

a? -+- a -+- 1 =0, 

on obtient six formes et deux valeurs ; en permutant les 
quatre lettres a,b,c , d dans l'expression (a-\-b — c — r/) 2 , 
on obtient six formes et trois valeurs. Nous avons vu ci- 
dessus que la question est de savoir comment on peut 
former des fonctions qui aient un nombre donné de va- 
leurs. Deux leçons roulent sur cette question qu'on est 
bien loin de savoir résoudre généralement. Nous devons 
nous contenter de transcrire les théorèmes qu'on est par- 
venu à établir, sauf à en donner ailleurs les démonstra- 
tions. 

1. Le nombre des valeurs d'une fonction de n lettres 
est toujours un diviseur de n !. (Lagrange. ) 

2. Une fonction de cinq lettres ne peut jamais avoir 
ui trois valeurs, ni quatre valeurs. (Huffiki.) 

3. /> étant le plus grand nombre premier divtsanl // . 



( 4o 9 ) 

si une fonction de n lettres a moins de p valeurs, elle 
ne peut en avoir plus de deux. ( Cauchy. ) 

4. Si une fonction de six lettres a moins de six valeurs, 
elle ne peut en avoir plus de deux. (Caxjchy. ) 

5. Si une fonction de n lettres a n valeurs, elle est sy- 
métrique par rapport à il — i lettres. (Abel.) 

6. Si n ^> y et s'il y a au moins un nombre premier p 

compris entre n — 2 et -? alors si une fonction de n 

lettres a moins de n valeurs , elle ne peut en avoir plus 
de deux . ( Bertrand . ) 

7. Si n ^> 7 et s'il n'y a aucun nombre premier entre 

n — 2 et-, alors si une fonction de n lettres a moins de 

2 ' 

n valeurs, elle ne peut en avoir plus de deux. 

8. Si une fonction de n lettres a plus de n valeurs, n 
étant plus grand que 9, elle en a au moins 111. 

(Bertrand.) 

9. Lorsque n ^> 7, il y a au moin? un nombre pre- 
mier entre n — 2 et -• (Tchebichef.) 

Ce théorème est l'objet de la .Note XV (p. 5 8 2). 

La démonstration est fondée sur la relation suivante : 
Soit T (z) la somme des logarithmes népériens de tous 
les nombres entiers qui ne surpassent pas z, et6 (z) la 
somme de tous les nombres premiers qui ne surpassent 
pas z. Faisons 

tp(z) = 6(z) H- ô(z*) +e(z^) + 9 {z*) -h. . .; 

la série se prolonge jusqu'au ternie qui devient zéro, alors 
on a 

t (,) = 4 (.) ++ (i) + + (!)+♦ (jY+.. .. . 

Cette relation importante a été publiée en France par 



( 4io ) 

M. de Polignac, avant que le travail de M. de Tchebichel 

y fût connu (*). 

21 e Leçon (289-298). Classification des fonctions 5 dé- 
monstration de l'impossibilité de résoudre les équations 
supérieures au quatrième degré. 

22 e Leçon (290-809). Quatre opérations : i° addition 
et soustraction; 2 multiplication. 

Cette leçon et la suivante sont tirées des articles de 
Wantzel, insérés dans les Nouvelles Annules, t. II, 
p. t 17, t. III, p. 325, t. IV, p. 57. A partir de la page 35 
on copie même textuellement ce journal sans le nommer. 
La dichotomie abélienne des fonctions est clairement ex- 
posée; nous y reviendrons. 

23 e et 24 e Leçons |(3 10-324 , 325-342). Théorie des 
congruences et des racines primitives et des nombres 
complexes (imaginaires de Gallois). 

25 e Leçon (343-37o). Les commencements de la 
2 5 e leçon se trouvent aussi dans les Nouvelles Annales 
(t. III, p. 204, 214, 337) et plus simplement, parce 
qu'on y fait usage de la notation leibnitzienne. Nous 
nous proposons de donner, à l'aide de la même notation, 
les résultats importants renfermés dans ces trois leçons 
et nous croyons avec avantage. 

26 e et 27 e Leçons (371-383, 384-4°o). Les sections 4 e , 
5 e et 6 e des Disquisitiones contiennent le germe et le point 
de départ de tous les travaux arithmologiques du 
xix c siècle; de même, la 7 e section de cette immortelle 
production contient le germe et le point de départ de tous 
les travaux sur la théorie des équations et principalement 
ceux de Gallois et d'Abel qui foi ment la matière de ces 
deux leçons. L'illustre géomètre de Gottingue a montré 

(*) M. de Polignac. officie» d'artillerie devant Sébastopol , a rencontré 
dans une entrevue parlementaire le frère de M de Tchebichef, officier de 
la même arme dans Sébastopol, 



« 4» ) 
que l'équation irréductible =o [p nombre pre- 
mier) jouit de la propriété que chaque racine est une 
fonction rationnelle de l'une quelconque des autres; et 
que les radicaux qui entrent dans l'expression des racines 
ont pour indices un des facteurs premiers de p — i - Abel 
a généralisé cette expression et l'a étendue à des équations 
irréductibles de degré quelconque. Maintenant ces tra- 
vaux sonl arriérés, étant tous compris et rectifiés dans le 
superbe Mémoire de M. Léopold Rronecker. La traduc- 
tion du résumé de ces recherches fait par le profond ana- 
lyste lui-même est contenue dans la Note XIII (p. 56o ). 

M. Serret a aussi enrichi son ouvrage de la traduction 
d'un Mémoire géométrico-algébrique de M. Otto Hesse , 
le célèbre disciple de Jacobi. Les courbes du troisième 
degré ont neuf points d'inflexion, dont trois réels et tou- 
jours en ligne droite (Maclaurin). Ces points dépendent 
d'une équation du neuvième degré que M. Otto Hesse dé- 
montre être toujours résoluble algébriquement. 

28 e Leçon (4oo-4i4)« C'est la 7 e section des Disquisi- 
tiones sur \a. division de la circonférence. On donne une 
construction géométrique du polygone de dix-sept côtés. 
Dans le Journal de Crelle (t. XXIV, p. »5.i), M. Slaudt 
indique une construction qui serait la plus simple de 
toutes , étant analogue à celle du pentagone, si des fautes 
typographiques ne la rendaient inintelligible \ il estextrè- 
mement à désirer que le savant géomètre veuille indiquer 
les corrections qui sont urgentes, vu l'absence défigures 
[Nouvelles Annales, t. XI, p. 390). 

29* Leçon (4» 5-423). Traite de la formule de La- 
grange pour développer z en série ordonnée suivant la 
puissance de t au moyen de l'équation 

z se réduisant à x lorsque / = <>, et l'on en donne I ap- 



( 412 ) 

plication à l'équation 

z = x + tz'" . 

M. Serret adopte la démonstration de M. Duhamel [Cours 
de Mécanique). On nous a communiqué uue au ire dé- 
monstration encore plus simple et qui montre en même 
temps que la série ne s'applique qu'à la plus petite ra- 
cine. 

3o e et dernière Leçon (424 _ 43o). Solution d'une ques- 
tion de calcul aux différences partielles indéterminées qui 
se rattache à la représentation géométrique des fonctions 
elliptiques et abéliennes. On a l'équation 

dx 1 -h dy 2 = 



(z J — a 2 ){z 2 — a}) 



il faut trouver pour x et^j" des fonctions réelles et ration- 
nelles de z qui ne deviennent pas infinies pour 



c est une constante réelle et a et a sont deux constantes 
imaginaires conjuguées. Cette belle solution, qu'on doit 
à M. J. Serret, a obtenu les honneurs de 1 impression 
dans le tome XI des Savants étrangers. 

La longue analyse que nous venons de faire de cet ou- 
vrage ne donne pourtant qu'une idée incomplète de sou 
mérite, des qualités qui y brillent, des richesses qui y 
sont étalées. Lorsque des hommes puissants dans le 
monde, ennemis de tout idéal, veulent faire reléguer 
dans la région d'inutiles chimères les travaux des La 
grange, Laplace, Legcndrc , etc., de tous nos illustres 
analystes ; lorsque, dans une autre sphère, des écrivains 
diversement passionnés s'efforcent de démolir Corneille . 
Raciue, Voltaire, nos plus illustres génies [littéraires: 
quoique de tels efforts ne puissent inspirer de craintes 



( 4i3 ) 
plus sérieusesqu'onn'eu aurait pour la statuedejNapoléon 
si un essaim de fourmis s'avisaient de creuser sous la co- 
lonne de la place Vendôme, néanmoins , il est agréable, 
il est consolant de rencontrer des hommes de talent qui 
consolident , illustrent les productions des grands maîtres 
et marchent sur leurs traces. Puisse M. J. Serret nous 
gratifier de nouvelles leçons; il rencontrera toujours dans 
le public géomètre un auditoire attentif et reconnaissant. 



SOLUTION DE LA QUESTION 297 

»oir t. XIV, p. 117); 

Par M. POUDRA, 

Chef d'escadron d'état-major en retraite. 



On demande de déterminer un triangle ABC, connais- 
sant une hauteur B£, une bissectrice Ce et une médiane 
Aa : chacune de ces droites partant d'un sommet diffé- 
rent. 

i°. Prenons arbitrairement un des sommets A sur la 
droite MN, direction de AC. Le sommet B se trouvera sur 
une parallèle PQ à TU]\ à distance Bb. 

2°. Le point a étant le milieu du côté BC , il est aussi 
le milieu de A d , ci étant le point de rencontre de An et 
dePQ, et comme A a est donné, il s'ensuit qu'on con- 
naît d et , par suite , le point a. 

3°. Si par a milieu de BC on mène une parallèle à la 
bissectrice Ce, la longueur de cette droite comprise en- 
Ce 
tre n et la droite B A égale — : donc, le point m de la 

droite BA est sur une circonférence décrite de a comme 

centre vec un rayon am = - Ce. 

2 



4i4 ) 

4°. Si l'on prolonge rt7/ijns(|ii r\ij à sa rencontre avec 
PQ , on aura nécessairement 

/B = Ba. 

Si donc , sur PQ, on prend une suite infinie de points 
tels que B et qu'on les joigne à A -, puis . que de tous ces 
points on porte sur PQ , à gauche et à droite de chacun 
d'eux, leur distance respective au point a et qu'on joigne 
ces points, tels que f, ainsi obtenus avec «, on aura par 
cette construction les points O d'intersections des droites 
respectives des deux faisceaux dont les sommets sont A 
et a. Le lieu de ces points O est une courbe du troisième- 
ordre ayant plusieurs branches , un point double en a et 
passant par A. Cette courbe coupera la circonférence en 
des points m, m', alors le triangle ABC est déterminé. 

Une courbe du troisième ordre peut être rencontrée par 
une circonférence en six points. Comme le centre du 
cercle est un point de la courbe , il y aura nécessairement 
au moins deux solutions réelles. 



GRAND C0M01RS DE 1855 

foirt. XIII. p. 896,( I 



classe de mathématiques spéciai es 
(prix d'honheue) . 

Des formules (V interpolation et de loirs applications. 
Résoudre V équation 

i ,3 tang.r — cot ( 45° -+--)= o,3i4i6. 

Observation. Si le grand concours a pour but de dé- 
couvrir quels sont, parmi les élèves. 1< s meilleurs calcu- 



( 4i5 ) 
laieurs, la question est bien choisie; il n'en est plus de 
même si le but est de découvrir les meilleures intelligen- 
ces. C'est un fait d'expérience que l'aptitude pour les 
méditations mathématiques et l'aptitude pour les calculs 
numériques sont rarement réunies. D'ailleurs le mérite 
d'un calcul, c'est l'exactitude. Les dispositions fiévreuses 
d'un grand concours laissent-elles subsister le calme, le 
sang-froid nécessaires pour obtenir cette exactitude? La 
transposition d'un seul chiffre peut faire passer du pre- 
mier au dernier rang. 

Physique et Chimie. 

i°. Proportions chimiques. Données sur lesquelles 
cette théorie repose. Construction et emploi de la Table 
des proportions chimiques. 

2°. Un morceau d'or pèse 3 kilogrammes dans le vide. 
On demande la valeur des poids apparents qu'on lui 
trouve en le pesant d'abord dans 1 air, puis dans l'eau, 
comme si l'on voulait en déterminer le poids spécifique. 
On admettra que, dans les conditions de l'expérience , le 
poids d'un litre d'air est i gr ,293, celui d'un litre d'eau 
i kilogramme , enfin celui d'un litre d'or ic/,5. Enfin, 
on supposera que les poids employés sont en laiton de 
pesanteur spécifique 8,4- 



CLASSE DE LOGIQUE ( SECTION DES SCIENCES ). 

Mathématiques . 

Exposer la théorie de la racine carrée en prenant pour 
exemple le nombre y55 16 1 . — Comment obtiendrait-on à 
o,ooi près celle du nombre décimal o, 78614? 

On connaît l'angle du sommet d'un triangle, la hau- 



( 4x6 ) 
leur du triangle et la longueur de la ligne qui joint le 
sommet au milieu du côté opposé. On propose de con- 
struire le triangle. 

Dans un quadrilatère dont deux angles opposés sont 
droits , on donne les deux côtés qui comprennent l'un des 
deux autres angles. Avec cet angle , trouver les deux au- 
tres côtés et les deux diagonales. 

Observation. Bonnes questions. 

Sciences physiques. 

Densités des solides, des liquides et des gaz. Moyens 
employés pour les déterminer. 

On veut construire un aérostat capable d'enlever 
i25o kilogrammes avec une force ascensionnelle de 10 ki- 
logrammes. On demande quel devra èlre son volume : 
i° pour le cas où Ton se servirait d'hydrogène pour le 
remplir ; i° pour le cas où l'on emploierait du gaz de l'é- 
clairage d'une densité de o,4o8. On négligera dans le cal- 
cul le volume de l'enveloppe et celui de la nacelle. On 
cherchera de plus, dans l'hypothèse où l'on se servirait 
d'hydrogène, combien il faut employer de fer ou de zinc 
et d'acide sulfurique pour produire ce gaz, et combien il 
en résultera de sulfate de fer ou de zinc. 

Histoire naturelle. 

De la division du règne animal en quatre embranche- 
ments. 

De la fleur. 

Observation. De omnibus aliquid, de loto nihil : ré- 
sultat certain de tout enseignement encyclopédique. 



( 4«7 ) 

CLASSE DE LOGIQUE ( SECTION DES LETTRES ). 

Mathématiques. 

i°. Exposer les diverses propositions au moyen des- 
quelles on démontre quelle est la mesure d'un parallélo- 
gramme quelconque. 

2°. Démontrer que si sur trois côtés d'un triangle, con- 
sidérés comme diamètre, on décrit trois circonférences, 
celles-ci se coupent deux à deux sur les côtés même du 
triangle, prolongés s'il le faut. Discussion. 

3°. On a deux payements à effectuer: l'un de ioooo fr. 
au bout de quatre ans six mois, l'autre de 3oooo francs 
au bout de cinq ans huit mois. On voudrait s acquitter en 
une fois au moyen d'un payementde 4oooo francs. On de- 
mande à quelle époque il devra s'effectuer, l'intérêt est 
simple et le taux 4>5o pour 100. 

Physique. 

Exposer les diverses expériences au moyen desquelles 
on démontre que la lumière blanche est composée de 
rayons distincts les uns des autres par leur couleur et leur 
réfrangibilité. 

On donne un récipient de 3 litres de capacité $ on y in- 
troduit 2 litres d'hydrogène à la pression de i m ,3o, 1 litre 
d'acide carbonique à la pression de o m ,25, 3 litres d'a- 
zote à la pression de o m ,a5. On demande quelle sera la 
pression finale du mélange. 

Dissertât io 11 la tin e . 
Justitiam sine caritate perfectam esse non posse. 

CLASSE DE RHÉTORIQUE (SECTION DES SCIENCES). 

Mathématiques . 

Etant donnée une parabole, démontrer que si l'on joint 
deux points M et M' de la courbe , et qu'on prolonge jus- 

Ann. de Mathémat., t. XIV. ( Novembre l855.) 2 7 



( 4i8 ) 
qu'à ld rencontre de la directrice , la ligne qui joint ce 
point de rencontre au foyer divise en deux parties égales 
l'angle formé par l'un des rayons vecteurs, et par le pro- 
longement de l'autre. 

Décrire le mouvement apparent du Soleil dans le cours 
d'une année, et examiner les phénomènes relatifs à ce 
mouvement. 

Observation. La propriété géométrique énoncée appar- 
tient à une conique quelconque. 

Mécanique. 

1°. De l'eau considérée comme moteur. 

Déterminer la quantité de travail moteur fourni par 
une chute d'eau, après avoir exposé les principes sur les- 
quels repose cette détermination. Evaluer la force trouvée 
en chevaux-vapeur. 

2°. Parmi les récepteurs hydrauliques, examiner en 
particulier la roue en dessous à aubes planes, la roue en 
dessous à aubes courbes et la 1011e à angles. Les comparer 
les unes avec les autres. 

Histoire naturelle. 

De la digestion. Des organes qui servent à cette fonc- 
tion et de leurs principales modifications chez les mam- 
mifères. 

Du fruit et de ses principales modifications. 

Des terrains tertiaires et des corps organisés, animaux 
et végétaux, qui les caractérisent. 

Observation. C'est à des rhélorieiens, à des jeunes 
gens de seize à dix-huit ans qu'on adresse ce tohu-bohu 
de questions scientiflques! Bisuni tenratis . amici? 



( 4»9 ) 

CLASSE DE SECONDE ( SECTION DES SCIENCES ) . 

Math èmatiques . 

Mesurer le volume engendré par un triangle tournant 
autour d'un axe mené dans son plan par un de ses som- 
mets. Déduire de là le volume du secteur spliérique, et, 
par suite, de la sphère. 

Par l'une des arêtes d'un tétraèdre donné, mener un 
plan qui divise l'arête opposée en deux parties propor- 
tionnelles aux aires des faces dont l'arête commune est 
celle par laquelle on doit mener le plan. 

Quelle est la droite qui partant d'un sommet d'un té- 
traèdre rencontre la base en un point tel, qu'en le consi- 
dérant comme le sommet commun de trois triangles 
ayant pour bases les trois côtés de cette base, les aires 
de ces triangles soient proportionnels aux aires des 
faces. 



ÉCOLE POIATECIINIQIE. 
CONCOURS D'ADMISSION EN 1855 (Paris). 



COMPOSITIONS ÉCRITES. 

Mathématiques . 
i re série. On donne l'équation 

x * ■+• y 3 -+- 2 3 = « 3 , 

trouver les droites situées sur cette surface, l'intersec- 
tion des plans passant par ces droites avec la surface. 

2 7- 



( 4*o ) 

I e série. 

x =z tangj". 

Démontrer que cette équation a une infinité de racines. 
Calculer la plus petite racine positive à un dix-millième 
près. 

3 e série. Trouver les quatre points d'intersection d'une 
ellipse et dune hyperbole qui ont un foyer commun F et 
dont les centres sont respectivement O et O'. On donne 
l'angle OFO' = d\ les deux demi-axes a et b de l'ellipse; 
a' et b 1 de l'hyperbole. Faire le calcul dans le cas où 
d= 22 3o', a = 10, b = 7, a' = i , b' = i. 

Physique et Chimie. 

i re série. Loi de Mariotte; dans quelle limite elle doit 
être acceptée. 

2 e série. De l'azote. Ses propriétés; ses combinaisons 
avec l'oxygène; gaz qui en résultent; analyse de ces gaz; 
rapports entre les poids et les volumes. Déterminer l'é- 
quivalent de l'azote. 

3 e série. Démontrer expérimentalement les lois d'at- 
traction ou de répulsion des fluides électriques et des flui- 
des magnétiques. Comparer les méthodes employées daus 
les deux cas. Faire ressortir les analogies et les différen- 
ces des deux problèmes. Indiquer les degrés de précision 
des expériences à ce sujet. 

Epures. 

i rc série. Intersection d'un cylindre et d'un tétraèdre. 

2 e série. Données : Un tétraèdre régulier de o m ,n de 
côté reposant sur une de ses faces sur le plan horizontal 
de projection. Aucun des côtés de la base n'est parallèle 
ni perpendiculaire à la ligne déterre; le tétraèdre est 



( 4" ) 

placé de manière que les projections de ses trois arêtes 
soient visibles sur le plan vertical de projection. 

2°. Une (sic) ellipsoïde de révolution : L'axe de révo- 
lution est vertical et porté à une distance de o m ,02D du 
sommet du tétraèdre dans un plan faisant un angle de 
45 degrés avec celui de projection. Le centre de l'ellip- 
soïde est à o m ,6 au-dessus du plan horizontal. Les deux 
demi-axes de la méridienne ont respectivement o m ,o5 et 
o ni ,o3 de longueur-, le grand axe est vertical. 

Il faut : i° construire la projection du corps formé par 
l'ensemble de ces deux solides sur chacun des plans de 
projection horizontale et verticale placé comme il est in- 
diqué ci-dessus-, 2 construire la tangente au point où se 
rencontrent deux des coupes d'intersection déterminées 
dans l'ellipsoïde par les faces du tétraèdre, puis les tan- 
gentes horizontales de ces mêmes courbes. 

3 e série. Données : 

i°. Même tétraèdre que dans la 2 e série. 

2°. Un (sic) ellipsoïde dont les trois demi-axes sont 
respectivement o ,n ,o3, o m ,o4, o m ,o5 de longueur : celui 
de o m ,o3 est vertical, celui de o m ,o4 est perpendiculaire 
au plan vertical de projection. Le centre de l'ellipsoïde 
est placé sur la verticale abaissée du sommet du tétraèdre 
à o ra ,4 du plan horizontal. 

Il s'agit de faire les mêmes constructions que pour la 
deuxième série. 

Nota. On fera bien de faire emploi des sections circu- 
laires. 

Mécanique. 

1" série. Etant donnés un cercle et une droite BfV tan- 
gente, on fait mouvoir la droite de telle manière que le 
point de contact A parcoure le cercle d'un mouvement 
uniforme en 8 secondes, en même temps que la droite 



( 4« ) 

tourne autour du point A d'un mouvement uniforme en 
4 secondes. Le point B' est à une distance de i mètre du 
point A. On demande quelle sera la vitesse du point B' 
au bout de 3 secondes. 

a e série. Démontrer les lois du mouvement par les 
expériences. Etant donnée une droite homogène d'une 
dimension transversale très-petite; étant donnés deux 
plans , l'un vertical, l'autre horizontal, dont l'intersec- 
tion est perpendiculaire au plan vertical, on demande 
quelle est la position maximum que prendra la droite 
appuyée sur les deux plans pour ne pas glisser. Les plans 
sont homogènes et de même matière - , le coefficient de 
frottement de la droite avec les plans est égal a io de- 
gré s. 

3 e série. On demande l'équilibre d'un corps pesant sur 
un plan incliné, dans le cas où ce corps est simplement 
soumis à la pesanteur et au frottement du plan. 

Calcul d'un triangle. 
i re série. 

A= 120°2'6",8, 

B= 89.8. 38,7, 
G = 90 . 1 6 . 7 , 2 , 
R = 27i5 u \28. 

Calculer en mètres les côtés de ce triangle sphérique. 

a c série. 

A = 60° , 
B = I 20° , 
C= 90°3o', 
R = 295™, 214 

Trouver la surface. 

3 e série. On donne les côtés a, b, r «l'un triangle sphe- 



( 4^3 ). 

rique et le rayon R de la sphère, savoir : 

a = 7i m ,284, 

b = 94 m ,99 8 > 
c = i io m ,749> 

R = 442 m ,488. 

On demande de résoudre le triangle et de calculer sa sur- 
face en mètres carrés. 

Dessin. 

Les trois séries. Une académie. 

Lavis à l'encre de Chine. 
Les irois séries. Un chapiteau. 

Composition française. 

i re série. Apprécier Bossuet et ses oraisons funèbres. 

2 e série. Corneille. Appréciation de ses tragédies au 
point de vue de la moralité. 

3 e série. Donner une idée de la première représenta- 
tion des Perses d'Eschyle, à Athènes, huit ans après la 
deuxième guerre médique. 

Thème allemand. 

Les (rois séries. Treize lignes pour chaque série. 

Observations. Les questions devraient présenter à peu 
près même degré de difficulté pour les trois séries; il s'en 
faut de beaucoup qu'il en soit ainsi. La première série a 
généralement les questions les plus faciles. Cela n'est pas 
juste. 

On a reproché aux anciens examens de présenter trop 
de difficultés mathématiques. On y a remédié en triplant 
les difficultés, mais les transportant sur la physique , sur 
la chimie, l'art graphique et les langues. Où est l'allége- 
ment? Les candidats entrant à l'Ecole devant £ re des 
Pic de la Mirandole, que seront-ils en sortant? 



( M ) 

Vers la fin du livre V* des Géorgiques, Virgile peint 
un laboureur stupéfait d'admiration en découvrant des 
ossemenl $ques dans un ancien champ de bataille 

des Romains: 

Grandiaque effosii mirabitur ossa $epulcris. 

De même, sœculis volventibus , la postérité lisant un 
jour nos Programmes, exclamera : Quels torrents de 
science coulaient chi z ce peuple phénix où, rien que pour 
se préparer à certaines études, les jeunes gens devaient 
être munis de tant d instruction sur- toutes les parties des 
connaissances humaines, dissertaient de omni re scibûi! 
Lisant ensuite que ce même peuple ajoutait foi aux ba- 
guettes, aux tables, aux somnambules divinatoires, etc., 
les érudits, jamais embarrassés, ne manqueront pas de 
découvrir que deux peuples différents , l'un très-savant, 
l'autre très-ignorant, portaient le même nom, et au be- 
soin donneront les raisons de cette homonymie. 



ÉCOLE IMPÉRIALE SPÉCIALE MILITAIRE DE SAINT-CVR. 
CONCOIRS D ADMISSION EN 1855. 

COMPOSITIONS ÉCRITES. 

Mathématiques . 

i re série. Dans un quadrilatère plan ABCD, on donne 

AB=428 m ,7Î, 
DAB =io2° 5i'43",8, 
CAB= 48.42.38,6, 
CBA = 80. 12. io,4, 
DBA= 42- 16. i4/>- 

Calculer la distance des deux points inaccessibles C et D. 



( 425 ) 
-2 e série. Même question. 

AB =6io,"\84, 
DAB = io4°28' 56",4, 
CAB = 4 ï • 3o . 24 , 7 , 
CBA = 87.41.17,6, 
DBA= 43.11.19,6, 

Épures. 

Les deux séries . A = tronc de prisme quadrangulaire 
reposant sur le plan horizontal de projection ; 

B = tronc de prisme quadrangulaire posé sur A 5 

C = parallélipipède rectangle posé sur B. 

On donne les dimensions en mètres des trois corps et 
leurs positions; il faut construire le plan, l'élévation et 
la coupe du système des trois corps. 



SUR LE PROBLÈME DE HALLEY 

(voir p. 268) ; 

Par M. HOUSEL, 

Professeur. 



Le théorème de Nicollic peut s'énoncer de la manière 
suivante : 

Etant donnés trois points d'une conique et l'un de ses 
foyers , de ce foyer comme centre et d'un rayon quelcon- 
que décrivez une circonférence sur laquelle les rayons 
vecteurs détermineront trois cordes correspondant aux 
côtés du triangle formés par les points donnés. 

Joignez le foyer au milieu d'une des cordes de la co- 
nique; cette médiane coupera la corde correspondante 



( 4*6 ) 
du cercle en un certain point , duquel vous abaisserez une 
perpendiculaire sur la corde de la conique-, faites la 
même construction pour les deux autres cordes, les irois 
perpendiculaires concourront en un même point qui sera 
sur l'axe focal. 

La distance de ce point au foyer sera égale au rayon 
du cercle multiplié par le rapport d'excentricité de la 
conique. 

Nous allons démontrer ce théorème en renversant l'é- 
noncé et chercher le point où la perpendiculaire , menée 
comme on vient de l'indiquer sur une corde de la coni- 
que, rencontre l'axe focal. 

Soient F le foyer et M , M' deux points de la conique -, 




du centre F et du rayon r décrivons un cercle qui ren- 
contre FM en m et FM' en m' ; joignons F au milieu N 
de MM': cette droite FN coupe mm' en n ; enfin du point 
n abaissons sur MM' la perpendiculaire rcP qui coupe 
en E l'axe focal: il s'agit de calculer FE. 
Le triangle FrcE donne 

sinFwE 



FE = F« 



sin/iEF 



mais soit N l'angle aigu PNF , on a 
sinFflE = cosN. 



( 4^7 ) 
et soit I le point où MM' coupe l'axe focal, 

sin«EF = cosl. 
Ainsi 

F«.cosN 

FE = r 

cosl 

La courbe étant rapportée à ses coordonnées polaires , 
on pose 

FM = p, FM' = p', MFE = w, M'FE = w', 

et, par conséquent, 

MFM' = w' — w ; 
on a d'ailleurs les relations 

„ P ,/_ P 

P — i 9 = -, • 

î — e cosw i — e cosw 

Si l'on cherche à déterminer en général l'angle que 
font la base et la médiane d'un triangle , on aura 

p 2 — P' 2 
cosN — 



y/p 2 + p' 2 -H 2pp'cos(w' — «).y/p 2 -f- p' 2 — 2pp'cos(w' — w) 

Ensuite, pour calculer Fn, nous observerons que si, 
dans un triangle isocèle , on joint le sommet n à un point 
quelconque de la base , on a la relation 

F n = r 2 — mn.m'n. 

Un autre théorème de géométrie fait voir que la base 
MM' étant divisée en deux parties égales au point N , la 
corde mm' est divisée en raison inverse des côtés FM et 
FM', de sorte que 

■mn p' 
m' n p 



( 4^8 
d'où l'on conclut 



mm .0 ni m .0 

m n = 7 ? mn = — •> 

p + p p -h p 



et enfin 



mn . m n 



mm' pp' 
(P + P'i'" 



Mais , dans le cercle de rayon /', la corde 

mm' = 2 r sin — ( w' — w ) , 
2 

ce qui donne 



F 

ou bien 



[4pp'sin 2 ^(w' — w) 



r\jp' -4- p' 2 + 2pp'cos(w' — 

Frt = : 

P "+" i° 

et l'on a pour première simplification 



FE = 



COSl \/p 2 -+- p' 2 — 2pp' COs(w' — w) 



Il faut actuellement calculer cos I. Le triangle FIM 
nous donne 

FI sin FMI sin(I-t-w) 

— = ■ = '— = cos w -f- sin w cot I . 

p sinl sinl 

De même 

FI , • , T 

— - = cos« H- sin&> cotl, 

P 
d'où l'on tire 

p' cos w H- sin w cotl 1 — r cos w 
p cosw' -h sinw' cotl 1 — c cosw' 



( 4*9 ) 
On en déduit 

sin w' — sin w — e sin ( w' — w ) 

tangl = ; ■ 

cosw — cosw 



cos 
2 



- ( w' + w ) — e cos - ( w' — w ) 



sin - ( w' — w ) 

2 



et 



l / i — 2<?cos-(w' + w)cos-(w' — w) + e*cos'-(w'— w) 
i y 2 V ; 2 V ' 2 



cosl . I . , . 

sin- (w 4- w) 

2 



Cherchons à comparer cette valeur avec l'expression 



i /pH-p' 2 — 2pp' cos-(w'— w) = 4 /(p— p') 2 H-4?p'sin 2 -(w'— w). 

Remplaçant p etp' par leurs valeurs et réduisant, cette 
expression devient 



ip sin - (w' — w) 



„ 1/ i — 2ecos-(w'+wïcos-(w'— w ) 4-e 2 cos 5 -(w'— w)» 

) y 2 2 2 



(i — ecosw)(i— ecosw' 

ce qui donne 

r (p — p')(i — e cosw) (i — e cosw') 
FE = • 

o.p sin - («' — w) sin — (w' — w) 

Remplaçant encore p et p' par leurs valeurs , on a enfin 
FE = re . c . q . F . d . 

Il reste encore à faire voir que , si l'on prolonge m E 
jusqu'à une seconde rencontre du cercle en H , on aura la 



( 43o ) 
relation 

œE_MF' 
HE ~MF~' 

F' étant le second foyer. 

D'abord nous connaissons dans le triangle raEF, 

aiE = r 7 ( i H- e 1 — 2.e cos w ) . 

Nous connaissons aussi le produit raE.HE qui est égal au 
produit des parties du diamètre dirigé suivant EF; ces 
deux parties sont r — re et r -b re , donc on a 

me.HE= r 7 (i — e 2 ) 
et 

mE mE 1 4- é' — 2ecosw 



HE r 2 (i — e 2 ) i — e- 

II faut donc prouver que 

, i -h e- — le eosw 

MF' = p. — 

est effectivement égal a ia — p, c est- à -dire au rayon 
vecteur correspondant. On peut mettre le numérateur 
sous la forme 



d'où 



Oi 



d'où 



ip . , 

2 — 2CCOSW -h C 7 — l = — ( I — e 3 J, 

P 



MF' = -^ — p. 



b 2 C 

p z=. — = a = a — ar' 1 , 

a a 



i — e 1 ' 



( 43i ) 
et l'on trouve en effet 

MF' — ia — p. 

La démonstration est faite pour F ellipse, mais elle se- 
rait aussi facile pour l'hyperbole. 

Quant à la parabole, le point E est sur la circonfé- 
rence puisque e = i . 

La courbe est maintenant parfaitement définie-, en ef- 
fet la somme MF'-f- MF donne la quantité 2 a, et le rap- 
port connu 

FE = ,. C - 
a 

achève de tout déterminer. On voit donc que, si du cen- 
tre M et du rayon MF' que Ion vient de trouver, on dé- 
crivait une circonférence coupant l'axe focal en deux 
points, l'une des solutions serait fausse. 

Cependant , on sait que le problème a quatre solutions ; 
l'une peut être, suivant les circonstances, une ellipse, ou 
une parabole, ou bien une hyperbole dans laquelle les 
trois points, donnés sont sur une même branche. Les trois 
autres sont trois hyperboles dans lesquelles deux des 
points donnés sont sur une branche e! le troisième sur 
l'autre. \ oiei comment ces solutions peuvent se déduire 
de la construction précédente. 

Nous avons supposé jusqu'à présent que les points M 
et m étaient du même côté des points F; mais nous au- 
rions pu prendre, au lieu de m, l'autre extrémité du dia- 
mèire. En < onsidérant de même les autres points M' et 
M" de la conique, nous aurons enfin les trois autres 
points m h m\ et m" t que l'on peut combiner entre eux 
ou avec les extrémités opposées m, m' et m". 

Si l'on cherche à combiner ensemble /// t , m\ et m", 



( 43a ) 

on trouve un point Ej placé sur le même axe FE à une 
distance FE t =FE; il est alors facile de voir que l'on 
retombe sur la courbe qu'on a déjà obtenue. 
Mais les trois combinaisons suivantes : 

(/w,, /w', m"), (#*',, m, m"), (m'\ , m , m') 

donnent les trois hyperboles indiquées. 
Quant aux trois autres combinaisons : 

(m, »',, /«"), (m', m tJ ;«"), (m", m, m\), 
elles donneraient encore ces trois mêmes hyperboles. 



Le théorème de Nicollic présente plusieurs conséquen- 
ces. D'abord, on en conclut, indépendamment de toutes 
considérations de coniques, que si, sur trois points M, 
M', M", on fait, avec un quatrième point F et un cercle 
de rayon quelconque, la construction indiquée , les trois 
perpendiculaires qu'elle donne se réuniront en un même 
point. 

De plus, si deux des trois points pris sur la conique se 
réunissent en un seul, la sécante deviendra tangente, 
mais le point E ne changera pas et l'on aura toujours 

YE= re. 

On pourra donc réciproquement, en supposant la conique 
donnée, profiter de cette propriété pour mener une tan- 
gente par un point donné sur la courbe. 

Considérons d'abord l'ellipse, et comme le rayon du 
cercle est arbitraire, nous prendrons pour rayon 

O étant le centre et B l'extrémité du petit axe : alors 

FE = r- = c, 

a 



( 433 ) 
d'où résulte la construction suivante: 

Pour mener une tangente à V ellipse par un point M 
pris sur cette courbe, joignez M au foyer ; de ce foyer 
comme centre, et avec FB = O A comme rayon, décrivez 
une circonférence qui rencontre FM en m 5 joignez O m 
et sur Om abaissez du point M une perpendiculaire qui 
sera la tangente demandée. 

Les points M et m sont du même côté du foyer. Pour 
1 hyperbole, la construction est la même, seulement les 
points M et /// sont des côtés opposés du foyer. 

Quant à la parabole , du foyer F comme centre, et d'un 
rayon quelconque , décrivez un cercle qui coupe l'axe 
en E du côté opposé à la directrice et le rayon vecteur 
FM en m -, joignez E m, et sur Em abaissez du poiîit M 
une perpendiculaire qui sera tangente. 

Ici, comme pour l'ellipse, M et m sont du même côté 
de F. 



SUR UN THÉORÈME ARITHMOLOGIQIE D'EULER, 

Par M. Is. CHEVILLIER, 

Professeur an lvcée de Reims. 



Euler, dans le n° 35 de la seconde partie de ses Élé- 
ments d^ Algèbre, attire l'attention du lecteur sur une 
propriété de la plus grande importance relativement à 
la nature des nombres. Si j'ai bien compris ce passage, 
la proposition dont il s'agit est la suivante : 

Si l'on peut trouver un nombre entier x tel, que 
mx — b divise me -f- ab, la valeur correspondante de y 
Ann. de Mathémat.. t. XIV. Novembre i8*>f>.) 28 



( 434 ) 

donnée par V équation 

inc -+- a h 
my — a— 

mx — b 

sera pareillement entière. 

En cherchant à démontrer celte proposition, j'ai trouvé 
qu'on ne peut l'affirmer que si m esl premier avec le di- 
viseur mx — b = f. 

En effet, l'équation ci-dessus donne en y remplaçant 
tnx — b par/, 

me -f- ab 
my ~ a + 

Le second membre est entier par hvpothèse, c'esl-à-dire 
que l'expression qf-\- me -f- ab est divisible par/. Elle 
est aussi divisible par m , car elle peut s'écrire 

me + a (/+ b), 
et 

/+* 

= x 

m 

est supposé entier. Si donc m et /sont premiers entre 
eux, on peut affirmer que 

me -+- a (f -+- b ) 

■*• = ^ 

est entier \ sinon cette valeur de^ peut bien être fraction- 
naire. 

Pour décider si ce défaut de généralité doit être im- 
puté à la proposition elle-même ou à ma démonstration, 
j'ai eu recours à des exemples numériques. 

Tout facteur premier commun à m et ^devant diviser 
mc-k-ab, divisera nécessairement a ou b. Soient donc, par 
exemple 

m = 6 , a = 2, b = 3 , c = g , 



[35 ) 

on aura 

r 60 

br — 9. = - -■ 

ox — 5 

J'omets à dessein les simplifications. Les seuls diviseurs 

de 60 compris dans la formule 6x — 3 sont 3 et i5, et 
aucun d'eux n'est premier avec 6. En donnant à x les 

2 
valeurs correspondantes 1 et 3 , on trouve pour y, 3 ~ 

et 1. On voit donc que m et {peuvent n'être pas premiers 
entre eux et que, si cette circonstance se présente, y 
pourra être entier ou fractionnaire. 



SOLUTION DE LA QUESTION 303 

(voir page 111 , 

Par M. Ernest DE JONQUIÈRES, 

Lieutenant de vaisseau (*). 



Question. Etant donnés clans le même plan, de 
grandeur et de position, cinq segments ab , cd, gh , ik, 
lin , construire une conique qui coupe chaque segment 
harmoniquement en a', b'; e', d'$ etc. 

Avant de résoudre cette question, proposons-nous la 
suivante qui sera un acheminement naturel vers celle 
dont il s'agit. 

1 er Problème auxiliaire. Etant donnés dans le même 
plan quatre points a, (3, y, <?, et un segment fixe gh, 
décrire une conique qui passe par les quatre points et 
qui coupe gh harmoniquement . 

Supposons qu'on ait décrit le faisceau de coniques qui 
passent par les quatre points a , (3 , y , d ; chacune d'elles 

(*) Commandant la Lance. 

■28. 



( 436 ) 
coupera la droilc indéfinie Lghh' en deux points », n! 
qui formeront invoîution avec les quatre points de ren- 
contre des côtés du quadrilatère afayà par la transversale 
[Géométrie supérieure, n° 656). Donc les points varia- 
bles n , n' marqueront sur LL' deux divisions homogra- 
pliiques en invoîution (n° 236). Les points doubles e,/'de 
ces deux divisions, lesquels sont déterminés au moyen du 
quadrilatère xflyd , coupent harmoniquement tous les seg- 
ments nu', et par conséquent aussi le segment inconnu 
g 'h' intercepté par la conique cherchée sur la transver- 
sale. Réciproquement, ce segment g' h' divise harmoni- 
quement ej'; d' ailleurs, il faut qu'il divise harmonique- 
ment le segment donné gh. Donc g' et h' sont les points 
doubles de l'involution déterminée parles deux segments 
t / , gh [Géométrie supérieure, n° 193). Il sera facile de 
les construire sans tracer aucune conique. Le problème 
est donc résolu, et l'on voit, de plus, qu'il n'admet 
qu'une seule solution. 

Actuellement, supposons que les points y , â , au lieu 
d'être fixes sur la droite indéfinie qui les joint , s'y meu- 
vent en divisant toujours harmoniquement le segmenter/ 
donné sur cette droite. Ils y marqueront deux divisions 
en invoîution. Si l'on fait passer par ces points, conju- 
gués deux à deux dans chacune de leurs positions succes- 
sives, et par les deux autres points fixes a, (3, la conique 
unique qui divise harmoniquement le segment gh, on 
formera un faisceau de coniques qui couperont la droite 
LL' en des points g'..., //'... formant deux divisions en 
invoîution dont les points doubles sont g et h. Or je 
démontrerai (ci-après, afin de ne pas rompre le fil des 
idées) que des coniques qui ont deux points communs, 
et qui , en outre, divisent en invoîution deux droites 
fixes, ont deux antres points communs (réels ou imagi- 
naires), et, par conséquent [Géométrie supérieure 



( 43 7 ) 
n° 7i3) , divisent en involution une troisième moite quel- 
conque. Prenons ik pour cette troisième droite, et soiwnt 
enfles points doubles des divisions en involution que 
les coniques y déterminent (il suffira de deux coniques 
d'essai ou de fausse position pour trouver ces points, et 
encore ne sera-t-il pas nécessaire de les tracer). Soient /', 
k' les deux points qui divisent harmoniquement à la fois 
les deux segments ik et e' /'. Celle des coniques du fais- 
ceau qui nous occupe, qui passe par les points ï et Â\ 
jouit de la propriété de passer par les deux points donnés 
a , |3 et de diviser liarmoniquement les trois segments 
donnés cd, gfi , ik. Ceci est une conséquence évidente de 
ce qui précède. Cette conique est unique ; comme dans le 
premier problème , elle est complètement déterminée et 
facile «à construire. On a donc une solution de ce nouveau 
problème auxiliaire. 

i c Problème auxiliaire. Par deux points donnés, 
faire passer une conique qui coupe harmoniquement 
trois segments donnés. 

Nous avons fait un nouveau pas vers la solution de la 
question proposée en éliminant deux points fixes et in- 
troduisant deux segments de plus. Nous allons éliminer 
les deux autres points et les remplacer par les deux der- 
niers segments en suivant la même marche. 

Supposons donc que les points y. , |3 se meuvent sur la 
droite ab eu ne cessant pas de diviser liarmoniquement 
le segment ah, et, pour iliaque position de ces deux 
points, supposons qu'on ait décrit la conique qui , pas- 
sant par eux, coupe harmoniquement les trois autres seg- 
ments cri r , gh , ik (2 e problème ci-dessus). On aura formé 
ainsi un faisceau de coniques qui marquent, sur chacune 
des quatre droites, deux divisions en involution, dont 
les points doubles sont respectivement a , b ; c , d ; g , // : 
/, A. Or je démontierai plus loin que des coniques qui 



( 438 ) 
satisfont à une telle condition sont circonscrites au même 
quadrilatère (réel ou imaginaire). Donc [Géométrie su- 
périeure, n° 743) une cinquième droite quelconque, Im par 
exemple, est divisée par ces courbes en involution. 
Soient e",f" les points doubles de ces divisions et soient 
/', m' les deux points qui divisent harmoniquement à la 
fois les deux segments e"f" et Im. Celle des coniques du 
faisceau en question qui passe par les points /' et m' , 
et il n'y en a encore qu'une , coupera aussi harmonique- 
ment les quatre autres segments donnés. Cette conique , 
facile à construire, est donc la conique demandée, et la 
question 298 est résolue. 

Il reste maintenant à donner la démonstration des deux 
théorèmes sur lesquels je me suis appuyé dans le courant 
du discours. 

Démonstration du I er théorème auxiliaire. Plu- 
sieurs coniques passent par deux points fixes «, b et di- 
visent harmoniquement deux droites données CD, GH; 
il faut prouver qu'elles sont toutes circonscrites à un 
même quadrilatère abzy. Soient 2, 2' deux de ces coni- 
ques , a , b , s , © leurs points communs , et supposons , 
s'il est possible, qu'une troisième conique S" ne passe 
pas par les deux points (réels ou imaginaires) e , cp. Soient 
y, â, les points où S" coupe la droite CD. Parmi 
toutes les coniques du faisceau circonscrit au qua- 
drilatère abey, il en est une, 2 W , qui passe par y et d , 
puisque la droite CD coupe les coniques S, S', 2 W en six 
points en involution [Géom. sup. n° 743), et que, par hy- 
pothèse, les points y et <î, intersection de "L" , sont en in- 
volution avec les quatre autres. Ainsi les deux coni- 
ques S", Z w ont déjà en commun les quatre points a, 
b, y, 0. Or le premier problème auxiliaire (voir sa 
conclusion) prouve que par quatre points donnes on 
ne peut inener qu'une seule conique qui coupe harmoni- 



( 43 9 ) 

quement un segment gh situé sur une autre droite GH , 
c'est-à-dire qui coupe cette droite en deux points faisant 
partie de 1 involution dont g et h sont les points doubles ; 
d'ailleurs la conique Y!" remplit cette condition de fait, 
et la conique 2 " la remplit par hypothèse ,• donc 2" et S'" 
se confondent et 2 // est circonscrite au quadrilatère ah sç>. 

c. Q. F. D. 

Démonstration du 2 e théorème. Plusieurs coniques 
2 , 2', 2", etc., divisent harmoniquement quatre droites 
données AB, CD, GH , IK; il s'agit de prouver qu'elles 
sont circonscrites au même quadrilatère. Soient e,Q>, 
e', <j>' les points d'intersection des deux premières. Par 
ces points et par les deux points a , j3 , où 2" rencontre 
AB, décrivons une conique 2 ;// ; elle coupe les trois autres 
droites en des points qui sont en involution avec ceux 
où les coupent 2 et 2\ Prouvons que2 /; se confond avec 
2 W . Pour cela, soient y et â les points où 2 W coupe la 
droite CD; si l'on prouvait que 2'' passe par ces deux 
points, tout serait démontré, à cause du théorème pré- 
cédent. 

Supposons donc, s'il est possible, que 2" coupe CD 
en deux points y', â' autres que y et d. Parmi l'infinité 
de coniques qui passent par les quatre points a , |S , y 7 , 3' 
il n'y en a qu'une ( i er Problème) qui coupe la droite GH 
en deux points qui forment involution avec les quatre 
qui s'y trouvent marqués par les coniques 2 , 2' 5 cette 
conique doit donc être 2",- mais comme il ne reste plus 
rien d'arbitraire dans sa détermination, on n'est plus 
libre de la faire varier de manière à ce que , tout en rem- 
plissant les trois conditions déjà énoncées , elle puisse 
encore satisfaire à celle qu'impose la quatrième droiteIK. 
Cette dernière condition ne pourra donc pas, en général, 
être remplie par 2", tant que les points y', â' différe- 
ront de y et â. Or 2" y satisfait par hypothèse; donc 



( 44o ) 

les points y',ô' coïncident avec y et <?, et S" se confond avec 
2 W qui remplit, défait, toutes les conditions. Donc le 
théorème est démontré. 



La question 298 donne lieu corrélativement à la sui- 
vante : 

Question. Étant donnés dans le même plan de gran- 
deur et de position, cinq angles, construire une coni- 
que dont les tangentes divisent chaque angle harmoni- 
quement. 

La solution serait évidemment corrélative de la précé- 
dente. 



DÉMONSTRATION DES THÉORÈMES DE N1C0LLIC 

( voir pages 263 el 425 ) ; 

Par M. Ernest DE JONQUIÈRES, 

Lieutenant de vaisseau. 



(Je conserve les notations des Nouvelles Annales.) La 
conique et le cercle F, décrit du foyer donné comme 
centre, sont deux figures homologiques (Poncelet, Pro- 
priétés projectives, n° 453, p. 260 et 261, et Géométrie 
supérieure, n° 529). Le centre d'homologie est le point 
F lui-même, et Y axe d'homologie est la sécante com- 
mune (réelle ou idéale) des deux courbes. Celte sécante , 
ou axe de symptose, est évidemment perpendiculaire à 
l'axe focal. 

D'après cela, soient ,r, .r', x" les points de rencontre 
des cordes données A'" A', A' A", A" A'" avee leurs homo- 
logues a'" a\ a'a", a" , a'" respectivement. Ces trois 



( 44i ) 

points sont sur Taxe d homologie (Géométrie supérieure, 
n° 518) et le déterminent. Pour obtenir l'axe focal, il 
suffit donc d'abaisser sur xx" la perpendiculaire FP. 

Cette construction fort simple n'est pas celle qu'em- 
ploie Nicollic. Il divise les trois cordes du cercle, aux 
points B", B w , B', en segments inversement proportion- 
nels aux rayons vecteurs de la conique qui aboutissent 
aux extrémités de ces cordes. On voit d'abord aisément 
que ces points sont , respectivement , les homologues des 
points milieux des cordes de la conique; ainsi, le rayon 
FB", par exemple, coupe la corde A W A' en son mi- 
lieu [3 ". En effet , soit x le point de concours des cordes 
homologues A W A', a"' a'. Les triangles xA'a', x kl" a'" , 
coupés par la transversale FB" (3 ff , donnent les deux 
relations 

FA' B'V p'x _ 
Fa''B" x'fX : ~ i 
et 

FA'" B"a' r fx _ 

Fa'"' B'x 'jFT*~~ 1 ' 

(Géométrie supérieure, n° 352. ) 
Egalant les premiers membres et remarquant qu'on a, 
par construction, 

Fa' = Fa'" 
et 

FA' B" a 
FÂ 7 " ' B" a"' ~ ' ' 
il reste 

P"A'= (3" A"', 

ce qui démontre la proposition énoncée. 

Actuellement, supposons qu'on mène une série de 
cordes parallèles à A'A W . Le lieu de leurs points milieux 



( 442 ) 

|3" sera le diamètre de la conique conjugué à leur direc- 
tion. Donc le lieu des points homologues B" sera aussi 
une ligne droite , passant par le point P, qui est, dans 
le cercle, le point homologue du centre O de la conique. 
Or je dis que cette droite B"P est, de plus, perpendicu- 
laire sur A' A w . En effet, soient T, T' les extrémités du 
diamètre conjugué à A' A"' ; t et t' les points homologues 
sur le cercle, et soit enfin Ft une parallèle à A'A W me- 
née par le foyer F. Ft divise l'angle TFT' en deux par- 
ties égales, en vertu d'une propriété bien connue des 
coniques (Poncelet, Propriétés projectiles j n° 461 ou 
469); donc Ft est perpendiculaire sur la corde tt' du 
cercle. Mais cette corde n'est autre chose que la droite 
B"P, puisque les points t , t' sont deux portions particu- 
lières du point W. Donc enfin B"P est perpendiculaire 
sur A'A //r . c. q. f. n. 

Le point P, homologue du centre O de la conique, est 
un point fixe, indépendant de la corde A' A w . Les droi- 
tes, lieux géométriques des points B w et B', passent aussi 
par ce point, et sont respectivement perpendiculaires sur 
les cordes A'A' ; , A"A W ; tout cela d'après les raisonnements 
identiques ta ceux qui précèdent. 

Donc les trois perpendiculaires abaissées des points 
B", B', B w sur les cordes respectives de la conique se 
coupent en un même point de l'axe focal, ainsi que l'au- 
teur l'a avancé. 

Le point P étant connu, menons Va' jusqu'à la ren- 
contre de l'axe d'homologie en 7T$ la droite homologue 
•rc A' déterminera le point O sur l'axe focal ; et si cet axe 
coupe le cercle aux points <7, d',\\ sera bien aisé de trouver 
leurs homologues D, D' qui sont les extrémités de l'axe 
focal. La conique est donc de la sorte complètement 
déterminée. Mais il faut arriver aux proportions données 
par Nicollic. 



( 443 ) 

SoitOE Taxe transverse de la conique ; il est parallèle 
à Taxe d'hornologie xx'x", son homologue Pelui est 
donc aussi parallèle; les triangles rectangles FOE , FPe 
sont semblables et l'on a 







PF OF 






7f~ ëf' 


ou 








PF 


excentricité 




Zf 


demi-axe focal 


à cause de 







e?F = «'F. 

Les lignes A'O et a'V sont deux droites homologues ; 
donc les points C et a, où elles coupent la conique et le 
cercle, sont en ligne droite avec le centre d'homologie F. 
De plus, O est le milieu de A'C etFâ / = Fa; donc, 
en vertu de notre premier théorème, FP divise a' a. en 
deux segments inversement proportionnels aux rayons 
vecteurs FA', F c' et Ton a 



à cause de 



fl'P _ c'F _ A'/ „ 
aP ~X r F~ À^F v 

c F = A'/, 



y étant le second foyer. 

Toutes les propositions de l'auteur sont donc démon- 
trées. 



(*) Plusieurs fautes d'impression se sont glissées à cet endroit dans le 
texte des Nouvelles Annales. 



( 444 ) 



SOLUTION DE LA QUESTION 310 

( voir page 263 ) ; 

Par M. Ernest DE JONQUIÈRES, 

Lieutenant de vaisseau. 



Un observateur placé au pôle ne voit, dans chaque 
lunaison, que la moitié des phases de la l.une, parce que 
cet astre, dont l'orbite est inclinée à l'équateur, ne 
demeure sur l'horizon du lieu que pendant la moitié de 
sa révolution autour de la Terre. L'espèce des phases 
observées dépend de la différence des longitudes du So- 
leil et de la Lune, au moment où celle-ci traverse l'é- 
quateur pour entrer dans l'hémisphère au pôle duquel se 
trouve l'observateur. D'après cela, il est facile de véri- 
fier que les phases observées au pôle nord pendant 1 an- 
née 1 855 seraient les suivantes : 



Du i er janvier au g janvier. 
Du 23 janvier au 6 février . 
Du 19 février au 5 mars. . . . 

Du 1 8 mars au 2 avril 

Du 1 5 avril au 29 avril 

Du 1 2 mai au 26 mai 

Du 8 juin au 23 juin 

Du 6 juillet au 20 juillet. .. . 
Du 2 août au 16 août. . . . . 
Dn 29 août au 12 septembre. 
Du 26 sept, au 10 octobre. . 
Du 23octobreau6novemb. . 
Du ignovemb. au3décemb. 
Du 17 deecmb.au 3i décem . 



P.L. etD.Q. 

3, O, O- 
3, D, O, O- 
<D, £), O- 
<C» ®> S3>, 

€> m, d- 

@, #> D- 

Mêmes pli. c. 

<e> ®> 3- 
o, <s, ®, : 
o, <e, ®. 
o, o» c- 

O, O, £• 

£), O, @-c-à-<l.PQ,PL, DQ. 



O- 



.-à-d. DQ.,NL., l J Q. 



.15 ) 

Le bord éclairé est le plus rapproché de 1 horizon , tant 
<[ue la distance polaire boréale de la Lune est pins petite 
que celle du Soleil ; c'est le contraire quand elle est plus 
grande, ce qui ne peut avoir lieu que pendant une par- 
tic de l'été. 

Pendant la durée de chacune de ces périodes, la Lune 
reste constamment sur l'horizon. Le spectateur voit donc 
la succession continue des phases visibles, et l'hélice ap- 
parente que l'astre décrit sur la voûte du ciel est sinis- 
trorsum pendant les sept premiers jours, et dextrorsum 
pendant les sept autres. 



SIR LES DIVERS NOMS DE L'ALGEBRE ; 

D'après ÏNESSELMANN. 



Ce qui semble prouver que cette branche de la 
science a pris naissance chez les Indiens , c'est qu'eux 
seuls donnent à cette branche de la science un nom spé- 
cial , un nom caractéristique. Ce nom est vija-ganita (*) 
origine-calcul. Cela veut dire que c'est un genre de cal- 
cul tel, que les résultats indiquent la source d'où ces ré- 
sultats proviennent, c J qui n'existe pas pour les résultats 
numériques. C'est encore que les Indiens ont des signes 
pour représenter les opérations, pour distinguer les incon- 
nues 5 les Arabes , au contraire, n'ont aucune espèce de si- 
gnes , raisonnent et discourent sur les équations, mais ne 
savent pas les peindre. Aussi cette science ne porte pas 
• liez eux de nom caractéristique. Ils la désignent par la 
réunion de deux termes relatifs à deux opérations fonda- 

(*) Prononcez vidscha. 



( 446 ) 
mentales. La première opération consiste à transporte] 
les quantités soustractives d un membre dans un autre 
pour les rendre additives. Selon les Arabes, on opère là 
une restitution, un rétablissement: aljabar, du verbe jâ- 
ber{ ¥ ) : il relia, il établit. La seconde opération consiste à 
comparer les termes sous le rapport de l'homogénéité: les 
carrés avec les carrés, les cubes avec les cubes, etc., afin 
de faire les réductions; c'est ce que les Arabes nomment 
la comparaison , almukâbalali, du verbe hdbal, opposer, 
comparer (**)• C'est avec cette double dénomination que 
l'algèbre a fait son entrée en Europe au xin e siècle. Le 
chapitre XV du Liber abaci de Léonard Bonaeci (1202) 
a pour titre : Terlia pars erit super modum algebrœ et 
almucabalœ et débute ainsi : Incipit pars tertia de solu- 
tione quarundam quœstionum secundum modum alge~ 
brœ almucabalœ, sedicet oppositionis et restaurationes . 
Cannaci (xiv e siècle) ne se sert que du premier nom: Ragio- 
namente di algebra. De même Regiomontanus au xv e siè- 
cle. Luca Pacioli (i4°4) emploie le plus souvent les deux 
noms, arte di algebra ed almucabala, mais forme déjà 
l'adjectif algebratico. A partir de là, le second nom al- 
mucabala devient plus rare. Christophe Rudolf, Stifel , 
Cardan , Gemma Frisius (i54o) n'emploient que le nom 
algèbre. Cependant X Algèbre de Gosselin (1 5 77) porte le 
titre : De arte magna seu de occulta parle numerorum 
quœ et algebra et almucabala vulgo dicitur. On ne sache 
pas qu'il y ait un ouvrage plus récent où l'on rencontre le 
second nom almucabala. 

D'autres noms furent aussi en vogue. Ainsi Bonaeci , 
Pacioli, Stifel, Cardan, considérant l'algèbre comme la 



(*) Prononcez dschaber. Ce mot signifie aussi rétablir les membres dis- 
loqués. De là en espagnol algehrista chirurgien et en français renouent-. 

(**) La préposition luibal en ehaldéen signifie aussi contre, àTopposé, 
et d'où aussi la kiblah de la liturgie musulmane. 



( 44; ) 

partie élevée de l'arithmétique , l'appelèrent ars magna 
(artemaggiore), par opposition à l'arithmétique ordi- 
naire, ars minoT. Cette dénomination ne parait pas avoir 
franchi les Alpes et disparaît après le Ars magna de 
Cardan (i 545) (*). 

Une autre dénomination s'étendit davantage et eut 
plus de durée et a une origine arabe. La quantité 
inconnue porte chez les Arabes le nom de schai (res, 
aliçuid), et le carré celui, de mal [Nouvelles Annales, 
t. V, p. 297) possessio, opes. De là , Bonacci introduisit 
les noms res et census, et l'algèbre reçut le nom de 
ars rei et census ou simplement ars rei. Cette déno- 
mination s'est maintenue longtemps hors de l'Italie, 
et lorsqu'au xiv e sièelc , depuis Guillaume de Lunis, 
les mathématiciens italiens commencèrent «à écrire dans 
leur langue nationale, ces dénominations reçurent des 
formes italiennes. L'inconnue prit le nom de cosa ou 
cossa et le carré celui de censo, et , le plus souvent, hors 
de l'Italie, celui de zenso. 11 paraît que vers la fin du 
XV e siècle c'était le nom le plus répandu en Italie. Ainsi 
Paeioli, dans sa Summa de arilhmetica (1494)7 parlant 
des divers noms de l'algèbre, dit qu'elle porte chez le 
vulgaire le nom de la regola o Farte délia cosa. On a 
ensuite latinisé ce mot italien, ars cossica, ars cosœ. 
Gemma Frisius, dans son ouvrage Arith. practica (i5yi), 
dit : Ver régulant cosœ sive algebrœ (pages 81, io5 , 110 
et 112). 

La coss paraît en Allemagne depuis Christophe Ru- 
dolf (i524) et Stifel (i553). L'inconuue reçut même le 
nom barbare numerus cossicus. Le nom de coss parait 
s'être maintenu avec les autres dans le xvn e et jusqu'au 



(*) Cette dénomination a presque reparu de nos jours : Algèbre supé- 
rieure, Géométrie supérieure. 



( 448 ) 
commencement du xvui e siècle. Nie. Reimari Ursi Dith- 
marsi arithmetica analytica vulgo coss oder algebra. 
Fran. a. O. 1601, ih-4* 

Arithmetica philosophica oder Schone neue und 
Vohlgegrundete Kunstliche rechnung der Coss und 
Algebra. Nurnberg , 1607, in-folio. 

Ce nom a disparu des ouvrages classiques vers la fin 
du xvn e siècle. Nous exceptons l'ouvrage suivant : 

Christman : Ars cosœ promota; Francfort, 18 13 5 et 
du même : Cardanus suevus sive de functionibus cosœ 
resolventibus tractation Stuttgard, 181 5. Assez fade ori- 
ginalité. 

Viète fit le pas immense de remplacer les coefficients 
numériques par des lettres et il donne à ces coefficients 
littéraux le nom de species ; de là la division qui a 
existé pendant quelque temps entre Algebra numerosa 
et Algebra speciosa. 

L'algèbre doit à Viète encore un autre nom qui sub- 
siste encore et a été généralement adopté, c'est analyse. 
L'ouvrage de \'iète porte pour titre : In artein anal) ti- 
cam isagoge (i5...). Dès iôoi paraît : Reimari Ursi 
Dithmarsi arithmetica analytica; ensuite Harrioti artis 
analytica? praxis $ London , i63i; De La Hire: La con- 
struction des équations analytiques ,• Paris, 1679; et 
beaucoup d'autres. 

La dénomination qui caractérise le mieux l'essence de 
l'algèbre c'est celle que propose Newton, Arithmétique 
universelle. Car, d'après Descartes, l'espace étant devenu 
nombre, la force étant devenue nombre, il n'existe plus 
qu'une science , c'est Y arithmétique considérée dans son 
universalité. 



( 449) 



TIIE8RIE ANALYTIQIE DU GYROSCOPE DE M. L. FOUCAULT; 

Par M. YVON VILL ARCEAU 

( voir page 3*3 ). 



Intégration de l'équation (47) par les fonctions 
elliptiques. 

8. Cas de n positif. Soient 
(48) Ç = cos7, Ç = cos7 , 

d'où 

sin*y dy = — d\ , 

et, par suite , 

,/ 7= ± _! dl; 



l'équation (47) donnera 
4 9 ) J^.dt = ± — 

V « 1/(1 



d\ 



^(i-P)(Ç-Ç,)[i-*(Ç + ^ 

Désignonspar R la valeur du radical du deuxième membre 
en y comprenant le double signe , et posons 

(5o) (Ç - Ç.) [1 _ S (g H- &,)] = (1 - Ç')z% 

nous aurons 

(50 R = (i-^)z. 

iinn. de Mathémat., t. XIV. (Décembre |855 2p, 



( 45o ) 
et l'équation à intégrer deviendra 



(5,) 



V a R 



Tirons de l'équation (5o) la valeur de £ en z* , il vien- 
dra 



(53) ^-a^-i + z, 

en posant 

Z 5 = ^[i-4^H v) (i-(ÎH () )]-f- S '[H (i-«ÎH ) — S] 



ou 



Z»=j(l _ 2 rît,,)' + [£„_,?(, + ÇJ)]^-f.««. 

Différentiant actuellement l'équation (5o) , on a 

[i + 2£(z 2 — tf)]rfÇ = 2(1 — £ a )zrfa, 
d'où, en ayant égard aux équations (5i) et (53) , 

R\~" Z' 

il s'ensuit 



(54, y/S^f. 



Nous remarquerons que si l'on néglige les termes en J, la 
valeurdeZ 2 estplusgrandequeTr^ 4- H z' -+- z> = (-£„+ z J ) 
quantité essentiellement positive; nous pouvons donc 



( 45i ) 
écrire 

(5$ bis) Z- = o 1 -f- 2v cos2x.z' -h -'. 

Pour identifier cette valeur avec la précédente , il suf- 
fit de poser 

■y-= 7 (i — iS^ y, 
4 

2 v cos 2 y. = t — 3 ( I -4- \ l ) , 

d'où 

(55) 2u = i — 2<î£,, 

cos 2 y. = V- — — - : 

I — 2 O t 

on en tire 

. , __ I— g B -4-^(1 — 2g B + g;') _ I— g, !+(?(! —g.) 
2(1—2*4,) 2 I — 2*g flj 

ou bien , à cause de £„ = cosy , 

„ . i 
i -+- 2* sin'-vo 

1 2 

sin J x = sin' — y, =- 

2 I — 2<? COS 7, 

et 



sm x — ± sin - v,i V — 
2 Y I 



-+- 2(îsin'-7„ 
56) 



— 2 a ros 7 

Soit actuellement 

r i 

(57) z = \'u tang- ? , 

d'où 



(58) dz — lyj~M 



,1 



2 1 

ros'- <p 



>,,. 



( 452 ) 
la valeur de Z* (54 bis) deviendra 



i i 

7J = j 2 ( i-+-2cos2 xtang 2 -<p -+- tang'-< 



eos' - o 



Icos'-ç + 2(1 — 2sio'x) sin , -(pcos 2 -<p-i-sin 4 -a> 
2 v 2 T 2 2 T J 



— I cos 7 - y 4- sin 5 - cp 1 — 4 sin'x sin'- ep cos-— <p j: 



1 IV 2 

COS* - q> 
2 



et, si l'on pose 

c 5 = sin' x, 
on aura simplement 

(59) Z = ± — — \/i — r" sin 2 tp; 

OOS ! — q> 
2 

il en résultera 



(60; 



Z 2 y/y y' 1 — c 1 



A l'aide de cette valeur et de celle de 2V, l'équation ( 54 
devient 



(61 



) dl = l - A rf ? 

2 y 1 — 2(îcos7o y gv 1 — c 2 sin- © 



Nous avons supprimé ici le double signe, attendu que 
l'élément du temps dt est essentiellement positif et que 
nous allons disposer de l'angle <j> pour (pie dy le soit pa- 
reillement. A cet effet, les équations (5o), (55) et (57) 
donnent 

, » _4_ 4 / (5 — ç.)[i — *(ç+ç.<] 

tarie - a. = ~r- 1 / ? — 5 , 

fe 2 * —y (i-ê')(.-2^c u ) 



( 453 ) 
ou, en vertu des équations (48) , 



,_ , 1 1 /2(cos7— cos7,)[i — tf(cos7+cos7«)] 

v ' C 2 T sur/ y 1 — 2dcosv„ 

Cette valeur peut encore s'écrire : 

WÇ-f =dZ--r— V ~, ^T^I I— 2*C0S-(7,+7)C0S-( 7a -7) . 

°2 Siny Y I — 2àC0S7„ | 2 2 J 

Nous avons vu que les valeurs de y se succèdent dans 
l'ordre 

+ ï«, o , — 7m o , -f- 7o , o , -r- 7„ 

Pour fixer les idées, supposons siny positif et écrivons 
les valeurs correspondantes de tang-<p, en prenant les si- 
gnes inférieur ou supérieur suivant que dy est positif 
ou négatif-, inscrivons aussi les signes que prennent ces 
tangentes dans l'intervalle de deux valeurs consécutives 
de y, et nous aurons la suite 

o -ho© — o -j-co — o -H ce — o,...; 

les valeurs correspondantes de - <p seront 

7r n K k _ 

O, — 7 Tf , J — , 2 ~ , '3 — , Û7T , . . . , 

2 2 2 

et celles de <p 

O, 7T , 2 7T , 3 7T , 4 ^ > 5 7T , 6 7r , ... 

Le passage de la valeur y à — y et inversement répond 
à une variation de <jp égale à 2 7r. Si siny est néga- 
tif, on prendra encore dans tang - <p les signes inférieur 
mi supérieur suivanl que dy est positif ou uégatif, et 



( 454 ) 
l'on aura de même une suite ascendante et continue de 
valeurs de <p. 

Intégrons l'équation (61)5 il viendra, en comptant le 
temps à partir de l'instant où y est égal à y et prenant 
(j) nul à cette époque, 

(63) i= \ - lAr( C ,,). 

2 y 1 — 2<îcos7o V S " 

Pour avoir la durée de l'oscillation simple, ou entre les 
limites -+- y et — y , il faudra faire <jp = 2 7r, d'après ce 
qui vient d'être dit. Mais on a 

désignant par T la durée de l'oscillation, on aura 

(64) t= 2 JlvU'-' 

y 1 — 2dcos7 V g 
équation dans laquelle 



(65 



/ 1 -\- 2 3 sin ' - -/„ 
in - 70 V 5 — • 

2 T l — 2ÔCOS y,, 



Quand on néglige $ , l'angle du module se réduit a ± - y , 
et si l'on suppose d'ailleursy inlînimentpetit, il vient 
F(c,«p) = 7 , d'où f(^)=^ 

on retombe alors sur la formule ordinaire du pendule 

9. Cas de n négatif. Nous avons dit que nous suppo- 
serions sinvj positif j sin Q' étant d'ailleurs essentiellement 

positif et (0 très-petit par rapport à n , la valeur de </ , 



( 455 ) 
première équation (46) , devient négative. Dans ce cas, 
il faut, ainsi que nous l'avons fait voir, que cosy — cosy 
soit négatif. De cette manière, l'équation (49) doit être 
changée en 






d\ 



V / (i-Ç 2 }(ç,-^[i-o\ç 4-H)j 

En comparant le deuxième membre de cette équation 
à celui de l'équation (49) > on reconnaît que l'on passe de 
celui-ci à l'autre au moyen d'un changement de signes 
des quantités £ , £ et à\ d'où résulte la nécessité de chan- 
ger y en 180 — y et y en 180 — y . De cette manière, 
les relations (56) et (62) se transforment en 



1 c = sin x = z±: cos - 70 1/ - 
< 2 V I 



— 2<?C0S- - 7, 
2 



(67,)^ 2 V 1 — 2<Jco5y u 

fteng-»=±:— —a / 2 ( cos 7o— CQS 7)[ ' — ^(cos7,h- cosy)] 
\ °2 sin 7 y ' i _2^cos7„ 

Dans le cas actuel, les valeurs dey, en supposant, par 
exemple, y positif, se succèdent dans l'ordre 

7„, 7T, 27T — 7o, W', 7o, *J 27T — y , TV , f oy .... 

Prenant ici le signe supérieur ou inférieur , -suivant que 
(7 o est positif ou négatif , on aura encore la suite corres- 
pondante des valeurs de tang- <p 

o + co — o -+- 00 — + 00 — O -f- 00 — o. ., 

puis la série suivante des valeurs de - <p 

O, — j 77, a-) 2ir. D-i on n - ■> Iltï , . . , 

2 2 2 2 

et celles de y 

o, 7T, 2tt. 3 7t , 4^» 5 r , 677, 7 rr , 8 rr , . . . ; 



( 456 ) 
en sorte que la valeur générale de t (63), se transforme 
en 

(68) t= ' .J^Y(c^). 

2 V l — 2 COS7 V 8 

La durée d'une oscillation répondant aux limites y et 
27: — y de y, ou bien aux limites o et 27T de <p comme 
ci-dessus, il vient, pour la durée T de l'oscillation , 

(69) T= 2 JzliL 

VI — 2OCOS7 V ê \ 2 > 

En négligeant <?, on voit que l'angle du module c est 

go° y 0) il est complémentaire de celui qui répond au 

cas de n positif. Si l'on suppose y infiniment petit, le 

module c devient égal à l'unité, et la fonction Fli,-I 

infinie; il en résulte que le plan de l'anneau étant mis 
sans vitesse en coïncidence avec le plan horaire reste dans 
cette position sans osciller, lorsque n est négatif; mais 
alors il est en équilibre instable, car pour peu qu'on 
l'éloigné de cette position, ou, en d'autres termes, 
quelque petite valeur de y que Ton détermine, la va- 
leur de T cesse de devenir infinie , elle devient seulement 
très-grande. 

Calcul de. a. 

10. En ajoutant membre à membre les équations (4i) 
et (42) on trouve 

de/. . , . . . dy 

— - = w — w sm sirir; ( cosv — ('OS'/o 1 — cos» ~— ■> 
de de 

d'où l'on tire 

(70) a = we — 7 cos r t — u sin Q' sin n i (cos 7 — 0057, ) de. 



(4§7) 
Il s'agit d'effectuer L'intégration indiquée au dernier 
terme. 

Considérons le cas où n et a sont positifs. 

On tire de l'équation (62), en ayant égard à la rela- 
tion (55) , 

(71) COS7 — cosyo = u sin 5 7 tang' - <p 4- <î ( cos 2 7 — cos 2 7») . 

A cause de | = cosy, les équations (53 ) , (57) et (59) 
donnent 



1 1.1 



h Z cos 2 -û)±u\'i — c 1 sin'? 

2 22 

COS7 = — 



tani: •— » — o sin- — s — à cos' - » 

t> 2 T 2 T 2 



Pour distinguer quel signe il convient de donner au ra- 
dical, observons que nous devons avoir cosy = cosy 
pour <p = o, d'après ce qui a été convenu dans les numé- 
ros précédents. Or le signe -+- produit seul ce résultat, 
car l'équation précédente , en y mettant la valeur de u, 
donne alors 

H- (1 — 20COS7J 

22 

cos 7 = 5 = coS7„; 

— o 

on a donc généralement 

I ; I 1 

u V i — c~ sin' q> cos 2 — cp 

T 2 2 ' 

cos 7 = 

I ] 

•j sin 2 — Œ <î cos 2 - m 

1 T 2 

Le terme qu'il s'agit d'intégrer étant déjà affecté du fac- 
teur w qui est extrêmement petit relativement à iv, nous 
pouvons négliger à dans l'expression différentielle, ce 

qui réduira la valeur de u à -; et l'équation (71) don- 



( 458 



nera 



I ( COS y — cosy ) dt = - I sin 2 y tang 2 - y cit. 
La valeur de cos y devient elle-même 



\/ 1 — c 2 sin 2 cp — cos 2 - <p 



cos y = 



sin - <p 

2 



expression dont l'indétermination, . dans le cas de 
© = 2-ztt, est facile à lever 5 on en tire 



I I . . , ,1 / ; 

sin 1 — <p — cos 1 -cp — (t — c 2 sin 2 <p) -+- 2cos-- <p y 1 — c 2 sm 2 :p 



sin 2 y = 



sur - rp 
2 

t l \ , . I 1 I 1 ; 

?os 2 -cp — sin 2 -<p — 1 t- Lic' i sm 7 ->pcos' ! -w-h 2cos 2 v v/i — c 2 sin 2 
2 2 / 2 T 2 ' 2 



1 

sin 1 - 



ou 



COS- - 'ù 
2 



sin y 



- — ( 2 c 2 sin 2 - a> — 1 -f- y ' — <•"' si:i'' 
1 \ 2 






et l'intégrale proposée devient 
I (cos 7 — cosy )r// = / I ?.<■'- 

J L 



sin'- tp 



\ 1 — c-sin -o 
1 



,//. 



L'intégrale du premier terme est 2C 2 ^. Quant aux autres 
termes, nous mettrons à la place de (h sa valeur (61) en 
y négligeant le terme en d. Soit, pour abréger. 

A = V 1 — c 1 sin'ep, 



( 45 9 ) 
il viendra 

La première de ces deux intégrales peut s'écrire 

1 A / 1 — COSœ A J I — COS 2 <p A / SÏn'œ A 

2 sin 2 -© " " 

il vient donc 

/i <7<j. /^cos <p </<p 
sin 3 <p A J sin-<p A 



/ 



1 f/ 



'V __ 



I A 

2S1I1 2 - O 



Pour effectuer la première des intégrations indiquées au 
second membre, différentions l'expression 

y 1 — c 2 sin 2 <p cot<p, 
il viendra 



t/'j c- cos' 



; ; , ; Il '-J l IU3 V 

<Y.yi — c 1 sin 2 ^ cot y — — yi — c 2 sin*ai -— — — d ■ 

' sin2< ? \J\ — c'sin'f 



' — r- sin- tp + c J sin 2 <p cos ! <p 

1 d v 

sin 2 ? \/ I — c'sin'v 
1 — c 1 sin' » 



sin'œ y' 1 — c' 1 sin' 

d'où 



rf<p, 



, 1 a a sur y 
/■/. A COt* = : -h C : = do 

sin'tp A A 



un eu lire 



f 1 dm fsiiro 

1 -r— = c I dv — A COtq>. 

J sin» T A J A r 



( 46o ) 
L'intégrale au second membre est la fonction elliptique 
que les géomètres allemands substituent à la fonction de 

deuxième espèce / A dy de Legendre. 

Posons maintenant 

x = c siny, 

d'où 

dr 
cosydtp = — t 
c 

il viendra, en faisant abstraction de la constante, 

/ cas y d y C c dx c , • A 

siii 2 ? A ~J x 1 s J l ZT^i~ x si"? 

On a donc 



/ 



da C sin'o» A , 



/sin 5 <p 



, 1 A /A sincp 

asin'-cp ^ T 

2 ' 



on a d'ailleurs directement 



/ 



1 1 

cas - tp 2 cos' - cp 
«<p 2 21 + COSçp 



1 . 1 sni<p suiw 
2Sin 5 -œ sm -tp 

2 T 2 . 



Réunissant ces deux intégrales, il vient 

/__]__ (lj _ ^ à vf t Ç sin ? cp 
?.sin'-'f *" F 2sin 2 -? 



1 -H L'OSoi 

'? + - ." - f ,<-A). 

Mil ., V I 



Pour éviter l'indétermination qui se présenterait dans le 
cas de sin<p = o, nous multiplierons haut et bas le der- 
nier terme par (1 -4- A) -, il viendra 

1 
, . sinœcos -• 

I-f-COS'i) . 1 4- cos» c 5 sur a 2 

s 1 I l — A ) = : 1 ; _- 2 t w _ 

sin (p sm? 1 + A i-f- A 



( 46i 
De cette manière , on aura 



„ i- n . , 2sin<pcos 2 -œ I 
C< k j. A / sin> , r ?. Y I 
! (cosv — coS7o) dt = 2c 7 t — ci/ - | </<p H 

Substituant enfin cette valeur dans l'équation (70) et 
supposant que, pour t = o , on ait a = o, y = y , <p = o, 
l'expression de a deviendra finalement 



a = (w — 2wsin0'sin>î c : ) f — (7 — y e ) cosr, 



1 / j \ 

(ni) < ,-( „„ . 2sina>cos , -<? \« 

1 • „ • /« r?sin J ? , f 2 Y ) 

J -t-wsinô'sinr]^! / - \ j -d<p-\ / 

' v S \ x * ' »-*-*/ 

On pourra s'assurer aisément que si la quantité a ou n 
est négative , il suffira de changer ici les signes de a et 
des termes en w, en calculant d'ailleurs le module c et 
l'amplitude cp au moyen des formules qui conviennent 
au cas de n négatif. 

La formule ( 72) fait voir que l'angle a , indépendam- 
ment de variations périodiques provenant de (y — y ), du 

terme en sin <p cos 2 - <p et de la fonction elliptique, subit 

des variations proportionnelles au temps introduites par 
cette même fonction elliptique et le terme en c 2 £, qui se 
confondent avec le terme principal wt. 

Leur grandeur et leur signe dépendent de la demi- 
amplitude des oscillations et du sens du mouvement. 

La suite prochainement. 



46 a 



NOTE SIR LA QUADRATURE ÉLÉMENTAIRE DU CERCLE; 

Par M. SCHLOMILCH, 

Professeur à l'université de Dresde. 



En désignant par S„ l'aire d'un polygone régulier de 
n côtés inscrit an cercle et par T„ l'aire du polygone cir- 
conscrit correspondant, on a, comme on sait, les deux 
relations 

(i) s 3n =v/s7T„, T Jn =-^^. 

On se sert de ces formules pour le calcul numérique du 
rapport entre le rayon et l'aire du cercle, mais ce calcul 
est peu commode parce qu'il faut aller jusqu'au nombre 
n = 32768 pour trouver sept décimales de tt. C'est pour- 
quoi nous allons développer une formule approximative 
qui jouit d'une grande précision et qui donne déjà pour 
n = 256 le même résultat que les formules ci-dessus pour 
n = 32768. 

Pour rendre plus traitables les relations (1), nous pre- 
nons 



ce qui donne 



--S --T 
S„ "' T B "' 



2) S 3n =VS„T n , T 2n = - (S JB -+■ T„ 



D'autre part, il est connu que l'on peut remplacer la 
moyenne géométrique entre deux nombres y. et a -f- cîpar 
la moyenne arithmétique, pourvu que l'erreur commise 

qui ne surpasse jamais la quantité 3- n'altère pas le de- 



( 463 ) 
gré de précision que Ton désire (*). En faisant usage de 
ce principe, nous posons un ternie quelconque 

T* = a et Sk — a. -+- S , 
et nous aurons 

S 2/ î = u.-\ — 3, 

2 

T 2 * =«+70, 

4 

i i ^ 

4 ib 

S»* = a H- 7 <? + — ;£-+-— o, 
4 ib 32 



(*) L équation identique 



v/* (5+7) = y (* -+- ^* V- 7 *' 

Tait voir que l'on a toujours 

V v. (« + J)<a+- S. 

Soit de plus £ l'erreur que l'on commet en remplaçant y/a (v. -t- S } par 

i 
a H o , on a 

v« ( « -t- «y ) = « h — c? — £ 



y/« ( a -f- J ) -+- £ = y. H c ; 

le carré de cetta équation est 

a v/^K-f-d") -*-■*■=- -; : . 

ce qui donne 



j/«(« + Jj+ ■: 



( 464 ) 
La limite vers laquelle convergent ces expressions est 
évidemment 

-= a ■+■ -§-h -ij S -h ^ 3 4- -^-.S -+- . . . 
n 4 ID °4 20 " 

= a -4- U= f* + i (S*- T») == ~ (S* -H 2T*). 



En substituant les valeurs de S* etdeT*, on parvient à 
la formule très-simple 

, ,v 3 S* T* 



v 2S*H-T* 

L'erreur commise est moindre que la quantité 

(§»— A)» (T^— Si)» 

Pour rendre plus commode cette expression, nous re- 
marquons que l'on a toujours Sx > S 3 , pourvu que A^> 3; 
il suit de là 

S*>|vtë et S',>^; 

d'autre part, il est clair que T k surpasse toujours le nom- 
bre 3 , on a donc 

8SYT*>8.^.3>4o; 
l'erreur commise est donc moindre que la quantité 

Ce petit développement n'enrichit point la science , 
mais nous croyons qu'il peut être utile pour l'enseigne- 
ment de la géométrie. 



( 465 ) 
TABLE DES MATIÈRES PAU ORDRE MÉTHODIQUE. 

(TOME XIV.) 

Analyse algébrique. 

Pages. 
Sur les fonctions symétriques des racines d'une équation ; par 

M. Borchardt 26 

Sur la fraction continue 



par Amoretti 4° 

Méthode pour déterminer les racines communes à deux équations; 

par M . Brioschi 81 

Théorème sur la somme des puissances semblables des racines ; par 

M. Faure 94 

Théorèmes sur certaines équations algébriques; par M. V olpicelli . . . 120 

Théorèmes d'Eisenstein (métamorphoses fonctionnelles) 1 33 

Disparition des rectangles dans les fonctions homogènes entières 

quadratiques du second degré à n variables; d'après M. Octo Hesse. 178 
Note sur les valeurs que prennent les racines des équations du troi- 
sième et quatrième degré lorsque le coefficient du premier terme 

devient nul ; par M. Faure 1 g4 

Sur les racines imaginaires ; par M. Prouhet 199 

Note sur la base des logarithmes népériens ; par M. Leclerc 226 

Sur le théorème de M. Wheatstone ; par M. Cantor -229 

Théorème de M. Brioschi sur la somme des puissances des racines 

d'une équation; démontré par M. A. Genocchl 246 

Question fonctionnelle ; par M. Paiiifin 254 

Sur l'élimination ; par M. A. Gcnocchi 259 

Note du Rédacteur 260 

Sur Y Algèbre supérieure de M. Serrel 272 

Ann. de Mathèmat., t. XIV. (Décembre 1815/ 3o 



( 466 ) 

Pages. 
Sur la résolution des équations transcendantes ; par le Rédac- 
teur 2g5 et 384 

Sur le principe de l'homogénéité; par M. P. Serret 322 

Problème de la recherche d'une certaine fonction; par M. Murent. . 368 

Algèbre supérieure de M. Serret 402 

Sur les divers noms de l'Algèbre ; d'après Nesselmann \lfi 

Analyse indéterminée; Arithmologie \ Arithmétique. 

Sur les fractions décimales périodiques ; d'après M. IV. Loof. 1 1 5 

Théorèmes empiriques 117 

Note sur la divisibilité des nombres; par le Rédacteur 118 

Théorème sur une progression arithmétique ; par M. Volpicelli. 120 et 229 

Note sur les fractions décimales périodiques ; par M. Coupy 233 

Théorème arithmologique; par M. A. Genocchi 241 

Théorème de Fermât généralisé ; par M. Serret 261 

Sur un théorème de Legendre et son application à la recherche des 
limites qui comprennent entre elles des nombres premiers; par 

M. Dssboves 281 

Deux théorèmes relatifs à la partition des nombres; par M. Volpi- 
celli ' 3i4 

Théorème combinatoire d'OErsted 4 01 

Théorème arithmologique d'Euler; par M. Chevillier /|33 

Déterminants. 

Sur les déterminants cramériens ; par M. Cantor 1 1 3 

Applications 1 70 et 17a 

Géométrie élémentaire. 

Contact des cercles sur la sphère, par la Géométrie; par M. Vannson. 55 
Solution d'un problème sur le triangle rectiligne ; par M. Jules 

Vieille 162 

Table des valeurs relatives au cercle 171 

Note sur le sens des hélices ; par le Rédacteur 175 

Note sur la conformité , l'homogénéité , la ressemblance , la simili- 
tude, la symétrie et l'identité ; par le Rédacteur 207 

Calcul de :r avec 53o décimales 209 

Théorie des parallèles ; par M . Cabot _>3o 

Théorème sur un triangle circonscrit à un cerclese mouvant en res- 
tant semblable à lui-même : par M. de Laffitte 266 

Problème sur le quadrilatère plan ; par M. Murent 365 



( tfl ) 

Pages . 
Problèmesurle triangle : hauteur, médiane, bissectrice; par M. Pou- 
dra 4 1 3 

Quadrature élémentaire du cercle; par M. Schlomilch 4^2 

Géométrie segmenlaire. 

Interprétation géométrique , etc. (voir Lignes et Surfaces) 122 

Note sur les cercles des rapports tangentiels , axes radicaux, etc.; 

par M . Wilkinson 169 

Sur les courbes égales à leurs polaires; par M. A. Genocchi 248 

Solution d'un problème sur un faisceau homographique dans les co- 
niques ; par M. Poudra. 3io 

Solution d'un problème homographique; par M. Poudra 3i 1 

Conique coupant harmoniquement cinq segments ; par M. E. de 

Jonquières 435 

Géométrie descriptive. 

Description d'un appareil de M. Weissandt destiné à l'enseignement 
de la géométrie descriptive ; par M . Alfred Terquem 47 

Trigonométrie plane et sphériqne. 

Théorème de Lexell ; par M. Ltbesgue 24 

Relations entre les lignes trigonométriques circulaires et les lignes 

analogues hyperboliques; par le Rédacteur 1 5 1 

Géométrie sphérique 290 et 3gg 

Géométrie dans l'espace ; Lignes et Surfaces. 

Sur les rayons de courbure principaux des surfaces; par M. Bor- 

chardt 26 

Propriétés générales des surfaces et des lignes; par le Rédacteur. . . 1 1 1 
Interprétation géométrique d'une relation linéaire entre les coeffi- 
cients d'une équation du second degré; d'après M. Otto Hesse. . . 122 

Théorème de M. Minding sur la surface d'aire minima 139 

Surfaces réciproques ; par Mac Cullagh 1 57 

Relations des distances entre des points ; par M. Brioschi 172 

Disparition des rectangles dans les fonctions quadratiques ; appli- 
cations réométriques ; par M. Otto Hesse 178 

Note sur les drot es dans l'espace ; par M . Housel 228 

3o. 



( 468 ) 

Pages. 

Cercle tangent à une courbe ; par M . Fauve o3 1 

Propriétés générales des courbes planes; d'après M. Steiner 232 

Coniques polaires et sections cycliques; d'après M. Rubini 237 

Note sur quelques applications de la théorie des surfaces 268 

Nouvelles propriétés de la loxodromie; par M. D'Arrest 3g6 

Méthodes métamorphiques ( géométrique et fonctionnelle) et symboliques. 

Théorèmes d'Eisenstein 1 33 

Théorèmes de géométrie déduits du calcul des symboles 221 

Géométrie des lignes planes spéciales. 

Diamètres bissecteurs ; par M . P . Breton ( de Champ ) 7 

Lignes du troisième ordre ; par M . P 'adula 80 

Sur les ovales de Descartes; par M. A. Genocchi 202 et 260 

Construction géométrique d'une ligne plane du troisième degré pas- 
sant par neuf points donnés, d'après M. Chasles; par le Rédacteur . 233 
Solution de la question 3oi] (courbes du troisième degré,); par 

M . Woepcke. 235 

Modes de génération des cassinoïdes et des lemniscates; par M. Gar- 

lin 3o5 

Propriété d'une courbe du troisième degré; par M. E. deJonauières. 3i8 

Sur un système de trois courbes planes; par un Abonné 3g4 

Coniques planes. 

Propriétés des foyers ; par M . Faure 97 

Théorèmes de M. Steiner i^i 

Construction nouvelle des sections coniques par la perspective d'un 

cercle ; par M. Poudra 212 

Solution unique et générale des questions fondamentales sur les co- 
niques ; par M. Poudra 217 

Intersection de coniques ; par M. Woepcke 23^ 

Solution de Nicolic du problème de Halley 263 

Sur le paramètre de la parabole 264 

Faisceau homographique dans les coniques 3 10 

Problème de Halley ; par M. Housel l\2b 

Problème de Halley; par M. E . de Jonquières 44° 

Géométrie pratique. 

Note sur les erreurs relatives et absolues ; par M. E. Gaucherel i45 



( 469 ) 

Pages. 

Mute sur la forme préférable des triangles geodesiques; par M. E. 

Gaucherel 3'2 1 

Comparaison de quelques méthodes de quadrature et formule nou- 
velle ; par M. Théodore Parmentier 3^0 

Questions de Topographie 4 01 

Mécanique. 

Sur le principe des forces vives ; par le Rédacteur ioj 

Sur l'équilibre d'un cylindre sur un plan; par M. Dieu 72 

Théorie analytique du gyroscope de M. L. Foucault; par M. Yvon 

Villarceau 343 et \ (g 

Calcul infinitésimal; séries. 

Sur une intégrale définie ; par M. A. Genocchi 3.Î7 

Physique mathématique; Astronomie. 

Note sur les foyers des miroirs sphériques ; par M. Roucher 1 56 

Questions d'Astronomie sphérique ; par M. D'Arrest 4°° 

Sur la lune vue du pôle ; par M. E. de Jonquières \\\ 

Questions proposées. 

Questions 297 et 298 117 

Questions 299 , 3oo , 3o 1 et 3o2 1 3 7 

Concours d'admission à l'Ecole Polytechnique en 1 854 (graphique). 33 

Question sur un jeu de cartes 168 

Questions 3o3 , 3o4 , 3o5 , 3o6 an 

Questions 307 , 3o8, 309 et 3 10 262 et 263 

Questions 3 1 1 , 3i2et3i3 3o4 et 3o5 

Questions astronomiques 291 

Question combinatoire 4 01 

Question du grand concours de 1 855 4 ' 4 

Concours d'admission à l'Ecole Polytechnique en i855 |i8 

Concours d'admission à l'Ecole de Saint-Cyr en i855 !\i\ 

Questions résolues. 

Question ?\\ et 1 \\ et séries récurrentes ; par RI. Brioschi 30 

Question du grand concours de i854; par M. Jules Vieille 28 



47° ) 



Pages. 

Note sur la solution de la question 289; par M. A. Genocchi 3o 

Concours d'agrégation aux Lycées (année 1848): Composition de 

Mécanique (cylindre droit posé sur un plan); par M. Dieu 72 

Autre solution de la question 276 (équilibre); par M. Bellavilis 88 

Question 280 (lignes du troisième ordre); par M. Fortunato Pa- 

dula 1 89 

Question 272 ; par M. Faure , 87 

Question 296; par M. Abadie 142 

Question 278; par M. Drioschi 170 

Question 292; par M. Faure 198 

Question 3oi ; par M. Woepcke 235 

Question 2g3 ; par M. A. Genocchi 241 

Question 23g; par M. A. Genocchi 245 

Question 3oo; par M. Painvin 254 

Question 299 ; par M . Painvin 257 

Question 3o4 ; par M . Poudra 3 1 1 

Question 3o6 ; par M. E . de Jonquières 3i8 

Question 3o3; par M. Murent 365 

Seconde solution de la question 3oo; par M. Murent 368 

Question 297 ; par M. Poudra. . . . , , l\\"i 

Question 3o3 ; par M . E. de Jonquières ■ 4^5 

Question 3 10; par M. E. de Jonquières 444 

Mélanges. 

Avis de l'éditeur 5 

Lettre de M. J. Bertrand, professeur au Lycée Napoléon, relative à 

V Algèbre supérieure de M . Serret 3o 

Notice biographique sur Amoretti ; par M. Herlobig 44 

Note sur le genre des noms terminés en oïde et sur le paramètre de 

la parabole ; par le Rédacteur 264 



( 47* ) 



TABLE DES NOMS PAR ORDRE ALPHABÉTIQUE. 



( Les noms des auteurs d'articles sont précédés d'un astérisque. } 



Pages. 

"ABADIE, capitaine d'artillerie . i.|J 

ABEL 1 45 , 4°9 et 'l ' " 

"AMORETTÏ (E.) 40, 44, 45 et 46 

ARCHIMÈDE j 56 et 210 

ARREST(D') , 396, 400 et .',oi 

'BARDIN, directeur des travaux graphiques à l'Ecole Polytechnique. 4° 

*BELLAV1TIS, professeur a Padoue 88 

BERNOULLI (Jacques.) 22g 

* BERTRAND (J.), professeur au lycée Napoléon 31,287 

293 et 4og 

BEZOUT 277 et 279 

BONACCI (Léonard) 446 et 44 7 

BONNET (O.), professeur i3g et 387 

BORCHARDT, professeur à Berlin 26 et 27 

BOSCOWICH 107 

BOSSUET 4oo et 4a3 

BOUQUET, professeur au lycée Bonaparte 23g 

*BRETON (de Champ), ingénieur des Ponts et Chaussées 7 

BRIANCHON 3ig 

*BR10SCHI, professeur à l'université de Padoue 20, 32, 

81, 83, g4, g6, 170, 172 et 173 

BRIOT, professeur au lycée Saint-Louis 23g 

BURM ANN 97 

BUTEO (Jean ) . 1 , 

BUTTERWERTH 170 

*CABOT, conseiller général 23o et 23 1 

CALLET 385 

CANNACI 446 

*CANTOR, docteur en philosophie à Heidelberg 1 1 3 , 114 et aay 

CARDAN }46 

CARNOT 173 

*CATALAN, professeur ... •'> 3o5, '•: 1 et 37J 

GALLOIS • 4 k. 



( 47* ) 

Pages. 

CAUCHT 3o, 122, i33 ; 2/17 et 409 

CAYLEY 32 et 2ûf> 

CHASLES, Membre de l'Institut 5o, 89, in, 117, 

i38, 169, 186, 206, 211, 233, 263, 270, 319 et ÇoZ 

"CHEVILLIER, professeur à Reims 433 

christm an 448 

CHOQUET, professeur 120 et ?5a 

CLAIRAUT 1 10 

CLAUSBERG 5o 

CLAUSEN 210 

♦COMBESCURE, professeur à Bourges 8.<j et 173 

COMTE (A.) 110 

COPERNIC 177 

CORNEILLE 412 et 423 

*COUPY, professeur au Prytanée Militaire 117, 121 et a33 

COUSIN, Membre de l'Institut 46" 

CRELLE (*) i33, 148, 1G8, 178 et 188 

CUNLIFFE 170 

DAHSE 210 

DAVIES 1 70 

DELAMBRE 3o4 

*DESBOVES , professeur 281 

DESCARTES 108, i56, 206 408 et 448 

*DEVYLDER, professeur à Namur i3a 

*DIEU, agrégé à Grenoble 72 

DUHAMEL, Membre de l'Institut 412 

EISENSTE1N i33 

ENCKE 4oo 

ESCHYLE 423 

EUCLIDES 209 et 2 3i 

EULER 162, 277, 392, 3g4, 406 et 408 

EYRES 170 

♦FAUCHEUX (L.-E.) 5i 

TAURE, capitaine d'artillerie 94, 97, 194? 198 et 23 1 

FAYE, Membre de l'Institut 177 

FÉNELON 4oo 

FERRARI 4o8 

FINCK, professeur à Strasbourg 275 

FOUCAULT (L.), physicien attaché à l'Observatoire 343 et 3)4 

FOURIER 21 , 24, 387 et 388 

FRÉGIER 229 

GALILÉE 108 et >/,o 

(*) Mort en août j 855. Célèbre éditeur du recueil des plus précieux do- 
cuments de l'analyse et de la géométrie contemporaines. 



( 473 ) 

Pages, 

*GARLIN, professeur 3o5 

*GAUCHEREL(E.), capitaine i45 et 3ai 

GAUSS (*) 3i et 247 

GEMMA FRISIUS 446 et 447 

*GENOCCHI (Angelo), à Turin 3a, i33, 202, 241, 245, 

246, 248 et 259 

GERGONNE 229 et a3i 

GOLDBACH H/ et 2g3 

GOSSELIN 446 

GOUGH (John) «69 

GUDERMANN '54 

GUILLAUME DE LUNIS 447 

HALLEY 425 

HAINSEN, astronome directeur 3o4 

HARRIOT 448 

HARVEY i?° 

*HERLOBIG, chef d'institution à Versailles 44 

HERMITE, examinateur 27, 32 et 4o4 

HESSE (Otto), professeur 122, 178, 187 et 41 1 

HILL 4o6 

HIRE(de lx) 448 

HOSSARD, colonel 326 

*HOl SEL, professeur 129, 228 et 425 

HUDDE 4° 6 

HUYGHENS 267 

JACOBI 97 , 276 et 4 1 1 

JERRARD 279 

JOACHIMSTAL 3o, 3i , 32 et 270 

JONQUIÈRES (E. de), lieutenant de vaisseau. 3i8, 435, 44° et 444 

KRO>"ECKER ( L ) 4 1 1 

KEPLER i56 et 3o4 

LACAILLE 177 

LACROIX "o 

*LAFFITTE(DE), officier d'artillerie 2>(> 

LAGRANGE 32, 247, 279, 4o3, 4o5, 406, 408 et 411 

LA HIRE 204 

LAPLACE 107 

LAMBERT 108, i53, 1 54 et i55 

•LEBESGUE, professeur à la Faculté de Bordeaux 24 

*LECLERC , conducteur des Ponts et Chaussées 225 

LECOINTE (l'Abbé) '46 

LEFÉBURE DE FOURCY 25a 

LEGENDRE. :,i , 23i, 241, 281, 282, 287, 28S, 289, 290, 291 et 29', 

(*) Mort en i855. 



( 474 ) 

Pages . 

LEIBNITZ io8, 109, i38 et i5G 

LEJEUNE-DIRICHLET (*) 282 

LESLIE 170 

LEXELL 24, 25 et 4oi 

LIOUVILLE, Membre de l'Institut 206, 275 et 402 

LIVET, commandant 323 

LOOF(W.) n5 

LOXHAY. 20 

LOWRY 170 

LUDOLF VAN CEULEN 210 

MAC CULLACH 1 57 

MACHIN 210 

MALFATTI 265 

MARIOTTE 420 

MAUPERTUIS 109 

MAYER 120 et 252 

MELLONI 120 

MÉTIUS (Pierre) 210 

MINDING i3g et 406 

MOBIUS 85 et 400 

MOIGNO ( l'Abbé) 387 

MONTAIGNE 45 

MONTESQUIEU 45 

MORTON 170 

"MURENT 365 et 368 

NAPOLÉON I er 4 13 

NEPER i55 et i56 

NESSELMANN 445 

NEWTON i5C, 246 et 448 

NICHOLSON (R.) 170 

NICOLLIC 263, 264 et 425 

NIEL (le général) 370 

OETTINGER, professeur à Fribourg |02 

PACIOLI( Lucas) 446 et /j4 7 

*PADULA (Fortunato), professeur à Naples 89 

«PAINVIN, professeur a54 

*PAQUE, professeur à Liège '32 

*PARMENTIER ( Théodore ), capitaine du génie 370 

PASCAL 177, 204, ao5, 206, 209 et 23i 

"PEPIN ( l'Abbé) 85 

PIOBERT, membre de l'Institut 326 

PLUCKER , professeur à Bonn 1 î' 1 

POINSOT, Membre de l'Institut no 

(*) Successeur de Gauss à Gottingue 



(475) 

Pages. 

POISSON 276 

POLIGNAC (DE), capitaine d'artillerie 118, 293 et 4 J o 

PONCELET, Membre de l'Institut 128, 189, 375, 

377, 38o, 38 1, 383 et 38/, 

POTIN, chef d'institution 44 et 45 

"POUDRA, chef d'escadron d'état-major en retraite. . . 211, 217, 

3io, 3n et 4 '3 

*PROUHET (E.), professeur 199 et 2G3 

PTOLÉMÉE 178 

QUET, recteur 343 

QUETELET 114, ao4 et 2o5 

QUIDDE 84 

RACINE 412 

REGIOMONTANUS 446 

RE1SS 114 

RÉSAL (H.) 3 7 6 

RHETICUS 210 

RICHELOT, professeur à Konigsberg 81 et i45 

RICHTER 209 et 210 

•ROBERTS ( Michael) 268 

ROBERTS(W.) 206 et 246 

ROBERVAL 204 

ROMANUS (Adrien) 210 

*ROUCHER (E.), professeur i56 

"RUBINI, professeur à Naples 237 

RUDOLF (Ch.) 446 et 447 

RUFFINI, professeur à Naples 408 

RUTHERFORD 209 et 210 

SALNEUVE, commandant 323 

"SERRET, examinateur 3o, 3i, 32, 241, 243, 261, 272, 

402, 407, 4 11 et 4 ! 2 

*SERRET (P.), professeur 206 et 3i2 

SHANKS(W.) 209 et 210 

SHARP 210 

SIMPSON (TnoM.\s) 372, 374 et 383 

SPITZER 3o6 et 3o2 

STAMMER 140 

STAUDT 4n 

STEINER, professeur à Berlin io3, i4o, 23i et 232 

STERN, professeur à Gottingue 384 et 388 

STIFFEL 446 et 447 

STURM, Membre de l'Institut (*) 387, 4o5, 4o6 et ',07 

(*)Mortle i8décembre i855, âgé de 5i ans. Carrière subitement illustrée 
par un théorème, conception de génie, subitement terminée par une pcr- 



( 476 ) 

Pages . 

SWALE ( J.-H.) , 7 o 

SYLVESTER , avocat à Londres 97, 145 et 277 

TANQUEREL, maître de pension 44 

TARDY 21 

TCHEBITCHEF 1,8, 287, 2 9 3 et 409 

TESTU, commandant 3î3 

TERQUEM (Alfred), professeur de Physique au lycée de Chàteau- 

roux s ; 47 

TERQUEM (O. ), rédacteur 3i, 3g, 94, io3, 145, 253, 

257, 260, 271 et 282 

TORTOLINI (B.), professeur 240 

TRANSON (Abel) g5, 96 et 272 

TSCHIRNHAUS 277, 288, 406 et 408 

URSUS 3o4 et 448 

* VALLES, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées. . 199, 200 et 202 

*VANNSON, professeur à Versailles 46 

VEGA 210 

*VIEILLE (Jules), professeur 29, 145, 146, 162, 323 et 342 

VIETE 210 et 448 

*VILLARCEAU(Yvon), astronome 1 54, 343 et 44g 

^VINCENT, membre de l'Institut 407 

* VOLPICELLI , professeur à Rome 1 20 et 3 1 4 

VOLTAIRE 41 2 

WANTZEL 7, 249 et 409 

WARING 19 et 118 

WEISSAND, professeur de géométrie descriptive 4? et 55 

WHEATSTONE 121 

WILKTNSON(J.) 169 

"WOEPCKE, professeur n3, a33 et 23 

turbation d'esprit. Sturm a assez vécu pour sa gloire, trop peu pour la 
science dans laquelle il a laissé une trace si brillante. Ayant dédaigné 
l'exploitation des fumées lucratives, il transmet à sa famille une trop mo- 
deste condition et un nom populaire, acquis par une voie honnête, nulle- 
ment populaire. Puisse le Gouvernement connaître cette situation 1 elle 
serait améliorée. Nous reviendrons sur la vie de ce professeur remarqua- 
ble, qui laisse un vide dans l'enseignement consciencieux de la mécani- 
que rationnelle. 



( 477 ) 



QUESTIONS NON RÉSOLUES 

Dans les quatorze premiers volumes. 





TOME II. 






TOME XI. 




N° s . 




Pages. 


N os . 




Pages. 


61 




48 


i5i 


(échec ) 


1 1.5 




TOME IV. 




252 


(domino) 


Ibid. 


93 


TOME V. 


25g 


266 




joi 


120 




202 




TOME XII. 






TOME VIT. 




270 




99 


'9° 




240 


280 




327 


192 




368 








193 




Ibid. 




TOME XIII. 






TOME VIII. 




289 




192 


199 


TOME X. 


44 


294 


TOME XIV. 


3i4 


i/|0 




357 


307 




26^ 


q45 




358 


3i3 




3o5 



Observation. Sur 3t3 questions, il en reste 18 à résoudre. Les autres 
sont résolues et imprimées, ou bien en manuscrit, et paraîtront en i856. 



( 4 7 8 



ERRATA. 



Page n3, dernière ligne, au lieude a (a — p ), lisez a (a — p -+- i). 
1 1 4 , dernière ligne , au lieu de — i -+- ■> Usez 

(« — p-h i)(a—p) 
r 2 

174, ligne 5 en rem., au lieude 68677, lisez 68557. 
174 , ligne 6 en rem . , au lieu de 68577, lisez 68557- 
229, ligne 9, au lieu de sont le, lisez sont sur le. 
2ii, dernière ligne, au lieu de CA, DB, lisez AD, BC. 

284, ligne 16, au lieu de a, j3, lisez /3, y. 

284, ligne 19, supprimez ft— 2 au commencement et à la fin de la 

ligne. 
286, ligne 5, et 294, ligne 7, au lieu de 6, lisez 5. 
291, ligne 17, au lieu de 2 n, lisez n. 
294, ligne 9, au lieude 14, Usez 12. 

349, ligne 10, au lieu de x l z l ? , lisez x i z l x . 

362, ligne 6 en rem., au lieu de cosA, lisez cos0. 

364, ligne 10 en rem., au lieude tt -4-y„, lisez 2ît — y , 

374, ligne 7, au lieu de axes, lisez arcs. 

374, ligne 7 en rem . , au lieu de \ (y — y n ), Usez } (y H- .y*). 

378, ligne 8 en rem., au lieu de 4 {dx i ), Usez 4 (^)*. 

379, ligne 6 en rem., au lieu de que f(\x ), lisez qucj~" (■*•„). 
38a, ligne 3, au lieude 0,693971, lisez 0,693771. 



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PROBLÈMES DE MÉCANIQUE RATIONNELLE 

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SECONDE PARTIE, Géométrie dans l'espace. (CLASSE DE SECONDE.) 
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2, Professeur de Mathématiques pures 
, Examinateur suppléant d'admission l 

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Agrégé de l'Université , Professeur de Mathématiques pures et appliquées au Lycée 
Louis-le-Grand, Examinateur suppléant d'admission U l'Ecole Navale. 



ETUDES ET LECTURES SUR LES SCIENCES D'OBSERVATION 

ET LEURS APPLICATIONS PRATIQUES, 

Par M. BARINET, 

Membre de l'Institut (Académie des Sciences). 
Le 1 er volume contient :sur les Mouvements extraordinaires de la mer, — les Comètes 
au xix e siècle, — la Télégraphie électrique, — l'Astronomie en iS5i et i853 , — 
Astronomie descriptive, — la Perspective aérienne, — le Stéréoscope et la vision 
binoculaire, — Voyage dans le Ciel. 
Le 2 e volume contient : les Tables tournantes et les manifestations prétendues surna- 
turelles, — rÉlectricité ouvrière, — la Sibérie et les climats du Nord, — Influence 
des Courants de la mer sur les climats, — sur les Tremblements de terre et sur lu 
constitution intérieure du globe, — Bulletin de l 'Astronomie et des Sciences pour 
l853 et i854, — de l'Arrosement du globe , — des Tables tournantes au point de rue 
de la Mécanique et de la Physiologie, — la Météorologie en i85$ et ses progrès 
futurs. 

Chaque volume se vend séparément a fr. 5o c 



BULLETIN 

DE 

BIBLIOGRAPHIE, D'HISTOIRE 

ET DE 

BIOGRAPHIE MATHÉMATIQUES. 
NOTICE SIR LV DÉCOIYERTE DES LOGARITHMES. 



« Le temps est l'étoffe dontla vie est faite, dit Franklin; 
ménager cette étoffe, c'est prolonger la vie. » L'introduc- 
tion de l'arithmétique chiffrée, de l'algorithme algébrique, 
les inventions des logarithmes et du calcul infinitésimal, 
comme les chemins de fer et les télégraphes électriques , 
font parcourir à la pensée de grands espaces en peu d'in- 
stants. Avant le siècle deNéper, ceux qui faisaient de 
l'arithmétique leur étude favorite trouvaient un passe- 
temps agréable à comparer les progressions géométriques 
et arithmétiques , et fournissaient ainsi l'occasion à ceux 
qui aiment mieux décrier les mathématiques que les étu- 
dier , comme dit Lambert, loccasion de ranger ces com- 
paraisons parmi les oiseuses et inutiles spéculations; et 
c'est pourtant ces oiseuses spéculations qui ont amené une 
de ces inventions qui font époque dans les annales de les- 
prit humain. Cette invention a été proclamée la première 
fois dans l'ouvrage suivant, d'une extrême rareté (*) : 

(•) M. Biot, en écrivant l'article dont nous parlerons plus loin, n'a 
trouvé qu'un exemplaire dans la bibliothèque de feu Waltenaer, membre 
Bulletin mathématique, t. 1 er . (Janvier l855.' I 



( a ) 

Mirifici logarkhniorum Canonis descriptio , ejusque 
jisus, in utraque Trigonometria , ut eti'arn in omni lo- 
gistica mathematica , amplis simi , facillimi et expedi- 
tîssimi explicatio j authore et invcntore Joanne jNepeuo, 
barone Meuchistakii , etc., Scoto. Edduburgi , ex officina 
Andreae Hart, bibliopolœ. CI3 DCXIV; in-4; 19 feuilles 
et demie-, texte, 8 feuilles et 1 page; Tables, 11 feuilles 
et 2 pages; 56 pages de texte et 90 pages de Tables. 

L'ouvrage est dédié à Charles, prince de Galles, fils 
unique de Jacques I er . La dédicace débute ainsi : 

Quurn nullum sit studium, uel doctrinœ genus [illus- 
trissime princeps) quod generosa ac heroica ingénia, ad 
prœclara quœque et sublimia ma gis acuat, con traque 
tarda et impulsa pectora magis obtundat 3 quant mathe- 
sis : non mirandum est eniditos et magnanimos principes 
eam magnopere prœteritis omnibus seculis in deliciis 
habuisse, imperitos vero et ignavos homines eandem 
velut ignorantiœ suce et ignaviœ hostem , semper odio 
acerrimo prosequutos esse. 

Voici le sens : 

« Illustre prince, comme il n'existe aucune étude, 
aucune espèce d'enseignement qui aiguise tout à la fois 
les esprits généreux et élevés , et rebute , par contre , 
les âmes inertes, frivoles, tant (pie les mathématiques, 
ne soyons donc pas surpris si , dans tous les siècles passés , 
des princes instruits , magnanimes , ontpris plaisir à cette 
science, tandis que des hommes apathiques, ignorants, ont 
toujours poursuivi cette science d'une haine violente, la 
traitant comme une ennemie de leur ignorance et de leur 
apathie. » 

de l'Institut; cet exemplaire, que nous avons sous les yeux, fait maintenant 
partie de la précieuse collection mathématique de M. Cbasles. Comme ;i 
l'ordinaire, l'ouvrage, étant rare et de science, ne se trouve plus à la Ri - 
bliotheque impériale, où il est inscrit au catalogue, 4°, V, ioo5. 



( 3 ) 

Il termine par prier le prince d'accepter cet opuscule 
avec bienveillance : Quodsifecisse intellexero , vel hac 
sola ratione animos mïhi jam morbis pêne conjecto 
addideris , ad alia propediem, lus fortasse majora et 
tanto principe magis digna moliendum. 

Ensuite on lit des vœux ardents pour la conservation 
du prince, vœux qui n'ont pas été exaucés : Charles I er a 
péri sur l'écliafaud. 

Dans la préface dune seule page qu'il adresse charissimis 
mathematicœ cultoribus , il dit que rien n'est si fatigant 
dans la pratique que les multiplications , les divisions , les 
extractions de racines carrées et, cubiques : quœ prœter pro- 
lixitatis tœdium , lubricis ctiam erroribus plurimum sunt 
obnoxiœ. Il veut remplacer ces opérations par des addi- 
tions, des soustractions, des bissections et des trisections. 

Selon l'usage d'alors, la préface est suivie de cinq 
éloges en vers. L'un est d'André Junius , professeur de 
philosophie de l'Académie d'Edimbourg. 

L'ouvrage est divisé en deux livres, dont le premier 
contient cinq chapitres. Le chapitre I contient les défini- 
tions, dont voici les trois principales; nous les explique- 
rons plus bas : 

i re Définition. Linea œqualiter dicitur, quuni punc- 
lus cam deserihens œqualibus mome/itis per œqualia in- 
tervalla progreditur. 

2 e Définition. Linea proportionaliter in breviorem 
decrescere dicitur, quum punctum eam transcurrens 
œqualibus momentis , segmenta abscindit ejusdem con- 
tinue) rationis ad lineas a quibus abscinduntur. 

6 e Définition. Logarithmus ergo cujusque sinus est 
numerus quam proxime definiens lineam , quœ œqualiter 
crevit inter eas dum sinus totius linea proportionaliter 
in sinum illum decrevit, existente utroque motu syn- 
chrono atque initio a^quiveloce. 

i . 



(4 ) 

11 déduit comme corollaire que le logarithme du sinus 
total ioooooooestnuî et que les logarit urnes des nombres 
plus grands que le sinus total sont négatifs, nihilo mi- 
nores ; il les nomme logarithmes défectifs et les désigne 
par — , tandis qu'il nomme abondants et désigne par -f- 
les logarithmes des nombres moindres que le sinus total. 

Le chapitre II donne les propriétés des logarithmes : les 
nombres croissant en progression géométrique, les loga- 
rithmes croissent en progression arithmétique, etc. 
Dans un avertisssement final, il dit que ce serait main- 
tenant à expliquer le moyen de calculer les logarithmes , 
mais qu'il réserve cela pour un temps plus opportun. 
Prceslolor enim eruditorum dehis judicium et censurant , 
priusquam cœtera in lucem lemere prolata lividorum 
detrectationi exponantur. 

Le chapitre III comprend la description des Tables ; 
chaque page est divisée en sept colonnes ; la première 
est celle des arcs croissant de minute en minute depuis 
zéro jusqu'à 45 degrés-, la septième colonne est celle des 
arcs décroissant de minute en minute de 89 60' jusqu'à 
45 degrés ; la seconde colonne est celle des sinus des arcs 
de la première colonne; la sixième contient les sinus 
des arcs de la septième; la troisième contient les loga- 
rithmes des sinus des arcs qui sont à gauche , et la cin- 
quième les logarithmes des sinus des arcs qui sont à 
droite: ce sont les logarithmes des cosinus ; mais il ne se 
sert pas de cette dénomination, il les nomme antiloga- 
rithmes étant vis-à-vis des logarithmes des sinus. La qua- 
trième colonne enfin , colonne du milieu , contient les 
différences entre les logarithmes de la troisième colonne 
et de la cinquième colonne; cette colonne quatrième porte 
en tète les deux signes -+- et — ; les différences sont 
abondantes en retranchant les nombres de la cinquième 
colonne de la troisième, et défectives en retranchant les 



(5 ) 

nombres de la troisième colonne de la cinquième : ce sonl 
les logarithmes des tangentes et cotangentes -, il ne fait 
pas usage de ce dernier mot. 

Le chapitre I\ est intitulé : De usu Tabulœ et numé- 
ro rum ejus. Il indique aussi le moyen de trouver les 
logarithmes des nombres qui ne sont pas dans la Table 
et les nombres correspondants aux logarithmes non con- 
signés dans les Tables. Dans l'avertissement final , il 
annonce qu'il donnera plus tard les deux progressions 
pour calculer les logarithmes. Qnnre de his [Deo aspi- 
rante) obi de logarîthmis condendis et creandis agetur, 
amplius aliquando disseremus. 

Cap. V. De amplissimo îogarlthmorum usu et expe- 
dita per eos praxi. Il donne plusieurs exemples; tous 
reviennent à insérer un certain nombre de moyennes pro- 
portionnelles géométriques entre deux nombres donnés. 

Le livre second, divisé en six chapitres, est un Traité 
des deux trigonométries, avec des applications logarith- 
miques-, il est intitulé: De canonis mirifici logarithmo- 
rum prœclaro usu in trigonometria. 

Les deux premiers chapitres contiennent la résolution 
des triangles rectilignes, rectangles et obliquangles , avec 
des applications numériques. 

Lorsque la hauteur du triangle est intérieure, il nomme 
base vraie la somme de deux segments , et base alterne 
leur différence; et lorsque la hauteur est extérieure, la 
base vraie est la différence des segments, et la base alterne 
leur somme. Il conserve aussi en trigonométrie sphérique 
ces dénominations qui abrègent les énoncés de certains 
théorèmes. 

CoKCLrsio. Sequantur jam sphœrica triangula, om- 
nium dijjicillima , ut vulgo ab aliis traduntur. per loga- 
rithmos tamen nostros omnium facillima. 

Le chapitre III, d'une seule page (p. 29) , ne contient 



que des définitions : un triangle quadrantal ( quadrantale) 
est celui où il entre un angle ou un côté de 90 degrés. 

Le chapitre IV est consacré aux triangles quadrantaux-, 
les exemples se rapportent à des questions sur la position 
du Soleil dans l'écliptique , et les énoncés sont toujours 
logarithmiques. On discute les cas douteux. 

Cap. V. De non quadrantalibus mixtis. 

Ce sont des triangles dont aucun côté, aucun angle 
11 est de 90 degrés, et où les données renferment à la fois 
des côtés et des angles ; il divise de tels triangles en tri- 
angles quadrantaux , par des perpendiculaires abaissées 
des sommets sur les côtés opposés. 

Cap. VI. De non quadrantalibus puris. 

C'est lorsqu'il entre dans les données seulement des cô- 
tés ou seulement des angles. Il dit que ce chapitre aurait 
dû précéder le chapitre V5 mais à cause de ses difficultés 
il l'a réservé pour le dernier. On trouve ici ses trois 
analogies énoncées d'une manière assez compliquée et 
une démonstration géométrique de l'analogie des tan- 
gentes. Verum quia hujus analogue tangentium junda- 
mentalis , hactenus ignotœ, demonstrationem a me. 
forte requirent lectores , eam ideo , quantum hujus com- 
pendiihrevitas patitur, hic explicabimus. 

Il indique trois méthodes pour déduire les angles, con- 
naissant les côtés : la première est la formule 

sin' - A sin b sin c = sin {p — b) sin (p — c)- y 

la seconde est la formule 

1 • 1 ■ • • 1 \ 

cos J - A sino sine = sin/j sin [p — a); 

la troisième est la formule 

tang' - A sin j> sin { p — à) = sin (/> — c) sin (p — b) : 



( 7) 
c'est ce qu il nomme l'analogie des tangentes. La démons- 
tration faite sur la sphère repose sur un procédé de per- 
spective (timbrée) . La dernière phrase de l'ouvrage est : 
Intérim hoc breviopusculo fruamini, Deoque opifici sum- 
mo, omniumque bonorum opitulatori laudem summum 
et gloriam Iribuite. 

( La suite prochainement.) 



BIBLIOGRAPHIE. 



Théorie générale des Approximations numériques, 
suivie d'une Application a la résolution des équa- 
tions numériques; par M. J. I wille, agrégé pies la 
Faculté des Sciences de Paris , maitre de conférences à 
l'Ecole Normale, professeur de Mathématiques spéciales 
au Lycée impérial Louis-le-Grand. 2 e édition, corri- 
gée et augmentée. Paris, i854', xii-200 p. ; in-8 (*). 

L'édition de i852 n'a que 100 pages (Nouvelles An- 
nales, t. XI, p. 4^7 ) ? l'augmentation de l'édition ac- 
tuelle ne consiste pas seulement en pages, mais en 
substance , en nouveaux matériaux , en amélioration d'an- 
ciens matériaux. Conservant la bonne opinion que nous 
avons émise sur la première édition, nous allons ajou- 
ter quelques observations, en parcourant cette seconde 
édition. On lit (p. 1 4 ) le calcul du logarithme népérien 
de 2 avec sept décimales exactes. Pourquoi, à cette occa- 
sion, n'avoir pas mentionné la méthode Koralek qui 
permet de calculer de tels logarithmes avec une promp- 
titude inouïe et avec autant de décimales qu'on veut? 
C'est une omission fâcheuse. Le calcul de 7t (p. 22) est 

*) Pris ; 3* 5 •'". chei Mallct-Bachclicr, libraire 



arriéré de beaucoup , depuis le travail si remarquable de 
M. Lehinann [Nouvelles Annales , t. XIII, p. 4ï9)- 

On dit qu'en prenant t: = 3,i4i5g265358 , on ne se 
tromperait pas de deux unités du dernier ordre \ on ne 
se trompe pas d'une demi-unité de cet ordre. Parlant du 
module M, on lit (p. 5i) qu'en faisantM = 0,43429448 191, 
on ne sait si cette valeur est approchée par défaut ou par 
excès; comme les chiffres qui suivent 9 sont o32, il est 
évident que l'approximation est par excès [Nouvelles 
Annales , t. X, p. 368 ). 

Dans les utiles applications que donne l'auteur, on re- 
grette de ne pas trouver celles-ci , d'une haute importance : 
Avec combien de décimales exactes faut-il calculer cosa 
pour que l'on ait avec m décimales exactes les valeurs de 



sin a 



et r questions qui ont ete si bien traitées par 

COS« COSrt * x 

Pronv dans ses Eclaircissements sur un point de V histo- 
rique des Tables trigonomètriques [Mènx. de VInst. , t. Y. 
p. 671 ; an XII). Ce point historique est fort curieux. 

P. Joachim (Georges), surnommé Rheticus, néeni5i4 
àFeldkirch, dans les Grisons (Rhetia), était, en 1 537, pro- 
fesseur de Mathématiques à Wittemberg (Saxe) . Ayant en- 
tendu parler du système de Copernic , il se rendit auprès de 
l'illustre chanoine, en i53p, à Wiarm, resta avec lui, et 
devint son ami et son calculateur. Copernic était décou- 
ragé faute de livres sur la trigonométrie 5 aidé de Rhe- 
ticus , il composa une Trigonométrie que Rheticus publia 
en i542 (*)• Copernic se remit ensuite à son immortel 



(*) De lateribus cl angul. Iriangul . lum planor . rectilincor . lum spkceri- 
cor. libellas eruditissimus et uiiliss. cum ad plerasque Ptolomœi demonstra- 
tiones inlelligendas lum vero ad alia mulia. Scriptus a clariss. etdocliss. 
vîro D. Nicolao Coper.mco Tor.i.NiENsi. Additus est canon semissium sub- 
tensarum rectarum linearum in circule. Vitteb., i54a; in-j 

La partie ajoutée esl probablement de Rheticus. 



I 9 ) 
ouvrage De revolutionibus orbium cœlestium , dont on 
doit aussi la publication à Rheticus, qui revint en id4i 
à Wiltemberg; 

Partisan enthousiaste du système de Copernic , il résolut 
de construire des Tables pour en faciliter l'usage. Il se 
mit au travail en i54o et fit paraître en i55i, à Nurem- 
berg : Georgii Joachimi Rhetici medici et mathematici 
canon doctrina triait gulorum. Une seconde édition pa- 
rut à Bàle en i5So, mais son grand travail ne fut pu- 
blié et achevé qu'après sa mort (i5j6). 

Opus païatinum de triait gulis , a Georgio Joachimo 
Rhetico cœptum; L. Valentinus Olho, principis Pala- 
tint Friederici IV electoris mathematicus 3 consummavit . 
Aun. Sal. Hum. 1396; in-fol; titre, dédicace, préface, 
10 pages ; texte, 34i pages. A la fin on lit : Neostadii in 
Palatinatu excudebat Matthœus H amis eus , anno sala- 
tis 1 5o,6 , Meleoroscopium. . ..21 pages . 

Ce Yalentin Othon , étant à Wittemberg , cultivant l'as- 
tronomie, désira aussi une connaissance approfondie de 
la trigonométrie; a cet effet , il se rendit auprès de Rhe- 
ticus , alors en Hongrie, et en fut très-bien accueilli. Il lui 
dit : « Tu viens auprès de moi au même âge où je suis 
» venu auprès de Copernic. Sans moi son ouvrage n'au- 
» rait pas vu le jour. Nisi ego illum adiissem opus^ ipsius 
» om/iino lurent non vidisset. Moi aussi j'ai interrompu 
n mon travail et n'ai pas encore touché aux triangles obli- 
» quangles, car je n'ai achevé que ma troisième Table 5 
» pour le moment je ne puis in y mettre ; mais, puisque je 
» t'aurai pour compagnon et associé, je le reprendrai 
» plus tard. En attendant, tu suivras mes leçons. » 

Il expliquait alors le XIII e et le XIV e chapitre d'Albate- 
gnius , et, le cours terminé, il envoya Othon à Cracovie 
poury chercher la première et la deuxième série de ses 
Tables . qu'il n\ ait laissées dans celle ville. Dans cet intei- 



( «o.J 
valle, Rheticus invité chez un certain baron, ayant cou- 
ché dans une chambre nouvellement peinte, gagna une 
fluxion de poitrine, dont il souffrit lors du retour d O- 
thon. Ils furent à peine trois jours ensemble, que Rhe- 
ticus reçut une autre invitation auprès du comte Jean 
Ruber, Summce rei prœfecto in Ungaria. La maladie 
s'aggrava à Cassau, et, se préparant à mourir, il fit prier 
le comte, par des amis , de remettre son ouvrage à Olhon. 
Ruber y consentit; quatre jours après, Rheticus expira 
dans les bras d'Othon, à 2 heures du matin, en 1076, 
dans sa 61 e année (*). Ruber manda sa mort à l'empe- 
reur Maximilien II , qui approuva non-seulement la vo- 
lonté de R-heticus , mais fît dire à Olhon qu'il se charge- 
rait des frais de l'impression. Othon se mit tout de suite à 
travailler à la troisième série. L'empereur étant mort, 
l'impression ne put avoir lieu. Après diverses vicissi- 
tudes, Olhon se rendit dans le Palatinat et y trouva 
moyen de subvenir aux frais. Delambre donne une des- 
cription incomplète de l' ouvrage (Astron. moderne) ; c'est 
Ràstner qui en donne une idée complète (Geschichte (1er 
Mathematïk , t. I, p. 590), et aussi J. Bernoulli (Mé- 
moires de V Académie de Berlin, 1786). 

Il suffit de savoir que Rheticus adopte pour rayon l'u- 
nité suivie de quinze zéros, et en calcule les sinus a\ec 
quinze décimales, de 10 secondes en 10 secondes du qua- 
drant, pour être publié avec 10 décimales; de même les 
tangentes et les sécantes avec 10 décimales. Au lieu des dé- 
nominations, sinus, cosinus, sécante, il emploie les dé- 
nominations, perpendicaîe , base, hypoténuse. Les tri- 



(*) La fréquentation des rjrands n'est pas favorahle à la longévité *le~ 
savants. Kepler mourut par suite d'un voyage avec l'empereur Sijismond. 
Le séjour de Stockholm, auprès d'une folle couronnée, abrégea la vie 
tic Descartes. Les petits soupers ruinèrent la santé de d'Alembert el me- 
nèrent de bonne heure Clairaut au tombeau. 



( » ) 

angles sphériques obliquangies sont le travail d'Othon , 
qui était de Naples (Parthenopolitanus) et doit être né 
vers i53o. 

Une partie de l'ouvrage porte pour titre: L. Valen. 
Oth t Parthenopol. Meteoroscopium numerorum primam 
monstrans proportionem singul. parall. ad œquatorem 
vel meridianum. Meteoroscopium signifie ici mesure 
des hauteurs célestes ; c'est une Table pour calculer les 
quantités cosj3sin$, cosjScoscJ. [3 est la distance d'un 
parallèle à l'équateur et 3 un arc quelconque pris sur ce 
parallèle depuis â = i° jusqu'à d = 89 , et (3 aussi de 1 à 
89 degrés. 

L'ouvrage devait porter le titre Opus saxonum; des 
circonstances ultérieures ont fait changer le titre. Une 
seconde édition de ce célèbre ouvrage parut sous un autre 
titre également célèbre : 

Thésaurus mathematicus , sive Canon sinuum ad ra- 
dium 1 00000 00000 00000 et ad dena quœque scrupula 
secunda quadrant is una cum sinubus primi et postremi 
gradus, ad eundem radium. Adjunctis ubique dijferen- 
tiis primis et secundis , atque ubi res tulit eliam tertiis. 
Jam ohm quidem incredibile labori et sumtu a Geor- 
gio Joachiino Rhetico supputants ; at nunc primum in 
luccm editus et cum viris doctis communicatus a Barllio- 
lomœo Pitisco Grunbcrgensi Silesio, cujus ctiam accesse- 
runt : I. Principia sinuum ad radium 

1 00000 00000 00000 00000 00000 

quant accuratissinte supputata; II. Sinus decimorum , 
tridecimorum et quiitquagesimorum quorumque scru- 
pulorum secundorum ver prima et postrema 35 scrupula 
prima ad radium 1 00000 0000000000 00. Francofurli 
excudebat Niçolaus Hofmannus sumtibus Jonœ Rosœ, 
anno CIDI3XIII. 



( ") 

Pitiscus, né à Schlaun , près Grunberg, en i56i, théo- 
logien et géomètre, avait été chargé par l'électeur palatin 
Frédéric IV d'améliorer les Tables de Rheticus , ce qui 
n'était pas possible en prenant pour rayon io 10 , tel qu'il 
est dans YOpus palatinum. Il conjectura que Rheticus de- 
vait avoir calculé avec i5 décimales. S'en étant informé 
auprès d'Othon, ce dernier en convint, mais ne sachant 
plus , par aiïaiblissement'de sa mémoire , ce que les papiers 
étaient devenus, il croyait les avoir laissés à Wittemberg. 
Othon, à sa mort, légua ses papiers à Jacob Christmann (*) 
qui y trouva inopinément les calculs de Rheticus. Lorsque 
Pitiscus apprit cela , il examina ces précieuses reliques, 
ut. r in que situ et squalore obsitas et pcene fœtenles. 11 dit 
que pour les lignes trigonométriques des tangentes et sé- 
cantes des arcs de commencement et de la fin du quadrant, 
Othon avait commis de grandes erreurs, parce qu'il avait 
calculé le sinus avec 10 décimales , tandis qu'il en faut 22 5 
c'est à cet eilet qu'il calcula la Table qui est à la fin du Thé- 
saurus, au moyen de laquelle il recalcula les cotangentes et 
cosécantes des arcs depuis le commencement du quadrant 
jusqu'à la fin du sixième degré, de 10 secondes en 10 se- 
condes; il fit imprimer 86 pages de YOpus palatinum 
pour en faire un carton et remplacer les 86 pages fautives. 
Yoici le titre de cette réimpression: 

Georgii Joachimi Rhetici magnus Canon doctrinœ 
triangulorum ad décades secundorum scrupuloruin et ad 
partes 1 00000 00000 recens emendatus a Bartholomœo 
Pilisco Silesio. Addita est brevis commonefactio de 
fabrica et. usu hujus canonis, ctiam scparatim ab Opère 
palatino venditur in bibliopola Harnischiano . 

Il parait que peu de personnes se sont procuré ce car- 

(*) Savant orientaliste et géomètre, né au Johannisbcrg (Nassau-Bibe- 
rich). N. i55'|. M. i6i3. 



( i3 ) 

ton. C est à Prony qu'où en doit la connaissance; il ne 
parle que de deux exemplaires existants à Paris: le sien 
et celui de la bibliothèque du Conseil d'Etat; je ne sais 
pas ce qu'est devenu l'exemplaire de Prony. L'illustre 
analyste compare les Tables de YOpus palatinum, du 
Thésaurus , avec les grandes Tables du Cadastre, et il fait 
voir que pour avoir les sécantes d'un arc de 89 59' /\ r j" à 
89 59' 56" avec 10 décimales exactes, il faut calculer les 
cosinus avec 20 décimales exactes, et d'autres résultatsana- 
logues qui prenaient naturellement place dans l'ouvrage 
de M. Vieille. Il me semble que faire connaître aux élèves 
les gloires de la France fait partie du professorat: ce n'est 
pas un devoir rigoureux, j'en conviens; toutefois il est 
bon de le remplir. On ne cite pas davantage les travaux de 
MM. Guilmin , Lionnet, etc., sur les approximations de 
diverses espèces et qui ne diffèrent pas essentiellement de 
celles de l'auteur. Il paraît que M. \ ieille n'a pas pris con- 
naissance de ce que dit M. Piobert sur la meilleure forme à 
donner aux triangles dans les levés (Nouvelles Annales* 
t. IX, p. ^34) : il aurait présenté autrement ce qu'il dit à 
ce sujet (p. 123). Le calcul approché des racines des équa- 
tions numériques est traité avec beaucoup de soin: les 
applications aux équations transcendantes sont nom- 
breuses, bien choisies dans Euler; la méthode est la 
même que celle de M. Stern dans son Mémoire couronné. 
On ne dit rien ni des racines imaginaires , ni des équations 
à plusieurs inconnues (Nouvelles Annales, t. X , p. 365). 
L'ouvrage a le mérite de réunir sous un petit volume 
des théories et des pratiques précieuses, exposées avec lu- 
cidité, rigueur et méthode, et ramenées à un petit nombre 
de principes généraux. Mais on dirait que l'auteur , selon 
l'expression de Bacon , a tout tiré , araneœ instar, de lui- 
même : c'est le mal français , comme dit La Fontaine. 
Cette Théorie générale dispense d'une multiplicité de 



( '4 ) 
livres qui entraîne perte de temps et d'argent; écoutons 
le conseil de Sénèque : « Onerat discentem turba, ?wn 
instruit, mid toque satius paucis te auctoribus tradere 
quant errare per multos (/7e tranquillitate animi , §9). 
L'ouvrage suivant, dont je ne connais que le titre, a de 
l'analogie avec celui de M. Vieille : 

Mundt. Cari. /Em. De accuratione, qua possit quan- 
titas per Tabulas determinari et quidem cwn per Tabulas 
universum, tum singulalim per Tabulas logarithmicas et 
trigonometricas. Grand in-4 , Hauniœ, 1842, Leipzig. 



GRANDES TABLES LOGARITHMIQUES DE L'OBSERVATOIRE 



Lors de l'établissement du système métrique français, 
l'idée devait naturellement se présenter de reprendre en 
sous-œuvre le travail de Briggs sur les divisions centési- 
males du quadrant. D'après la tendance de l'époque (an II), 
on résolut de construire des Tables sur une échelle qui dé- 
passât tout ce qui existait. Prony fut chargé de l'entre- 
prise, puissamment protégée par Carnot, Prieur (de la 
Côte-d'Or), Brunet (de Montpellier), membres de la 
Convention. Voulant faire usage du principe de Smith sur 
la division du travail, Prony s'y prit de cette manière. 
Une grande série de nombres quelconques étant donnée, 
en formant successivement les différences premières, se- 
condes, troisièmes, etc., si l'on parvient à des différences 



(*) Voir Notice sur les grandes Tables logarithmiques et trigonomé- 
Iriques calculées au Bureau du Cadastre sous la direction du citoyen Pro- 
ny (Mémoires de l'Institut, l. V, p. 49> an XII). T.a Notice a étélue le 
1 er serroinal an IX . 



constantes, ou à peu près constantes, on peut, au moyen 
de cette différence constante et des premiers termes des 
séries précédentes, trouver tous les termes de la première 
série, rien que par des additions et des soustractions. 
Quand il s'agit des logarithmes des nombres, des lignes 
trigonométriques et de leurs logarithmes , l'analyse donne 
des formules pour calculer les différences constantes et les 
premiers termes des différences. On peut consulter à cet 
effet les Notes de Legendre sur la trigonométrie et les le- 
çons d'analyse de Prony. Les travailleurs furent distri- 
bués en trois sections. 

1. La section des théoriciens, formée de cinq ou six 
mathématiciens éminenls, parmi lesquels figure Le- 
gendre, dirigeait et surveillait toutes les opérations théo- 
riques. 

2. La section des calculateurs , au nombre de sept ou 
huit, composée d'hommes familiarisés avec les calculs 
numériques et analytiques, calculait les termes des sé- 
ries par les différences. Leurs travaux étaient doubles, 
c'est-à-dire, on devait parvenir aux mêmes résultats par 
des formules différentes ,- moyen de contrôle. 

3. Enfin, une troisième section de soixante à quatre- 
vingts personnes qui ne s'occupaient que d'additions et de 
soustractions ; les neuf-dixièmes ne savaient que les quatre 
règles et les travaux étaient aussi doubles, mais les mêmes ; 
les travailleurs ne communiquant pas ensemble devaient 
parvenir aux mêmes résultats (*). On a remarqué que ce 
n'étaient pas les plus instruits d'entre eux qui commet- 
taient le moins d'erreurs. 

Tous ces calculs forment dix-sept volumes in-folio, dé- 
\ jsés et conservés à l'Observatoire impérial. 

(*) Prony a enrôle beaucoup d'anciens coiffeurs que la suppression 
des perruques et des cheveux poudrés avait laissés -vins occupation. 



( 16 ) 

Voici le contenu : 

i°. Introduction; contenant la théorie de toutes les 
opérations et l'usage des Tables. 

2°. Sinus naturels pour chaque seconde décimale, avec 
i5 décimales et sept à huit colonnes de différences, pour 
être publiés avec 22 décimales et cinq colonnes de diffé- 
rences. 

3°. Logarithmes des sinus pour chaque tierce déci- 
male 5 14 décimales, 5 colonnes de différences. 

4°. Logarithmes de pour les cinquante premières 

tierces décimales 5 14 décimales et cinq colonnes de diffé- 
rences. 

5°. Logarithmes des tangentes correspondants aux loga- 
rithmes sinus. 

tair 7 et 
6°. Logarithmes — ~ •> comme au § 4? à être publiés 

avec 12 décimales et trois colonnes de différences. 

7 . Logarithmes des nombres 1 à io 4 avec 19 décimales. 

8°. Logarithmes des nombres io 4 à 2.io s ; i4 déci- 
males et cinq colonnes de différences 5 à être publiés avec 
12 décimales et trois colonnes de différences. 

Un marché était conclu avec Firmin Didot pour la pu- 
blication stéréotype en 1200 pages in-folio, non compris 
l'introduction. Cent planches furent tirées. La chute du 
papier-monnaie et le désordre des finances interrompirent 
l 1 opération, qui ne fut jamais reprise (*). 

Le gouvernement actuel, qui a exécuté avec bonheur 
de si vastes travaux, ajouterait à son illustration en éle- 
vant deux monuments de gloire impérissable. 

i°. L'achèvement de l'œuvre conventionnelle. Lorsque 



(*) Il y a eu des négociations à ce sujet avec le gouvernement anglais 
qui n'aboutirent j>as. 



I 11) 

toutes les observations atteignent une si extrême précision, 
la publication complète des Tables de l'Observatoire serait 
sans conteste désirable en beaucoup d'occasions. D'ail- 
leurs, c'est surtout dans les sciences que se vérifie cet 
apophtegme de Voltaire : Le superflu, chose si nécessaire. 

a°. L'imitation d'une oeuvre de Louis XIV: la con- 
struction aux environs de la capitale d'un observatoire 
digne de la nation , observatoire simultanément astrono- 
mique, météorologique, compris le magnétisme. Sobre 
dans les constructions, n'épargnant rien pour l'établis- 
sement et l'acquisition des instruments, laissant toute 
latitude à l'activité, au zèle intelligent du célèbre direc- 
teur c\\\\ ajouterait ainsi une nouvelle auréole à sa réputa- 
tion (*) : et en outre, bien entendu, un personnel suffisant, 
confortablement logé, honorablement rémunéré , et avec- 
la science de nos astronomes, le talent de nos artistes, le 
bon goût de nos architectes, il est permis d'espérer non- 
seulement d'atteindre le modèle Pulkova, mais de le sur- 
passer. L'édilité parisienne ne refusera pas de contri- 
buer à cette dépense, infiniment moindre que celle qu'en- 
traîne la création dune rivière stagnante au bois de 
Boulogne. 

La démolition d'une macédoine de murailles, épaisses, 
de laide apparence, la vente du terrain, couvriraient une 
partie notable de la dépense et embelliraient une des en- 
trées principales de la capitale. 

A ce propos, nous nous rappelons les réflexions d'un 
auteur anglais, nommé Thomas Smith ; il propose comme 
très-désirable l'édition d'un collection des anciens ma- 
thématiciens, veterum matliematicorum corpus, et il 

( * ) « Quelle limite dois-je mettre dans la dépense ? demanda 1\I. Struve 
a l'empereur Nicolas. — Achetez tout ce qu'il y a de plus parfait en in- 
struments , il n'y a pas d'autre limite. » Réponse digne d'un grand souve- 
rain, digne de l'illustre astronome de Pulkova. 

Bulletin mathématique, t- I er . (Févriei i855 



( «8 ) 
ajoute qu'un tel projet ne peut se réaliser : Al siquando 
auspiçatiora illuxerint tempora, reges principesque , qui 
immenses in œdibus construendis et M arum apparatu 
opes y ne dicam in luxu et voluptalibus parum se dig- 
nes nocivisque , et quœ cito ejjluunt , longe gloriosius , 
et non , nisi pereunle mundo , periturum monumentum, 
inde auspiciis suis et munificentia regali, hominurn doc- 
toraux industria ad id prœslandum allecta et provocata, 
sibi condendum et erigendum curarent. [Admodwn 
reverendo et doctissimo Roberlo Huntington, etc.; 
scriptore Thoma Smith. Londini 5 1704.) 

On publie la collection des médecins grecs; pourquoi 
pas celle des arithméticiens, géomètres, mécaniciens, 
musiciens grecs? 



MMJOGKAPIIIE. 



Application de l'Algèbre a la Géométrie, suivie de 
la Discussion des courbes d'un degré supérieur au 
second 5 par C. Jacob, ancien élève de 1 Ecole Polv- 
technique , capitaine d'artillerie. Deuxième tirage (*). 

Le premier tirage est de i843 ; ce second tirage répan- 
dra un ouvrage dont il a été rendu un compte avantageux 
par M. Gerono, professeur si compétent [Nouvelles An- 
nales, t. II, p. 192 (**)]} publié avant le? nouveaux Pro- 
mues , il y a là une contexture scientifique qui , bien 
le nuire, met les élèves en état de résoudre facile- 
ment les questions des examens actuels. L'auteur est 
le 3o juillet 1848. 



ix : 5 francs, chez Mallet-Bachelicr. 
C'est par erreur qu'on a mis mon nom au bas d'un extrait mis en 
e second tirage. 



ï.9 



Système de notations des diverses unités employées 
dans les sciences appliquées ; par M. Didio n , capi- 
taine d'artillerie (*). Metz , in-8 , j i pages. {Extrait des 
Mémoires de V Académie royale de Metz , 1 836-37-) 

Voici les notations commodes proposées par l'auteur 
et dont plusieurs sont ou méritent d'être adoptées. 

système métrique décimal. 
Un itès simp les . 



Hêtre .... m 
Litre. . . . / 
Gramme, g 

Ktc a 

ïtére. . . . s 
Franc. . .. / 



Unités multiples 

Unités sous-multiples 



Myria Kilo Déca 

M K D 

Déci Centi Milli Décûnilli Centimilli 

d c m dinni ciiim 



L'auteur remarque que cette notation est celle de 
M. Vincent dans sa Géométrie. 
Ainsi 

i5 Mni signifie i5 myriamètres. 

45 ,n,n > 45 millimètres. 

i7 Ha ,i525 » 17 hectares i5 ares 25 centiares. 

Unités composées. 

m- signifie mètre carré. 
m 3 •> mètre cube. 

mm 7 » millimètre carré. 

enr » centimètre carré. 



(*) Aujourd'hui colonel. 



MÉCANIQUE. 



j Ko signifie i kilogramme élevé à i mètre de hauteur. 

> vitesse de i5 mètres par heure. 

> vitesse de 5 { lieues à l'heure. 
5 mètres parcourus en une seconde, 
écoulement de 3 mètres cubes d'eau par se- 
conde. 

> i kilogramme d'eau élevé à la température 
de i degré. 

> calorique nécessaire pour élever 25 k , 4$ d'eau 
à io degrés. 

» 75 kilogrammes élevés a 1 mètre par seconde 
= cheval-vapeur. 



l5 H:h 
5 i.L:h 



254 Ko , 5 
75 Km ' s 



Nous croyons utile de donner ici les rapports entre 
les mesures françaises et les mesures anglaises, plus dé- 
veloppés qu'on ne les trouve dans Y Annuaire du Bureau 



des Longitudes . 



Log. 



Toise en mètres 

Toise en yards 

Toise en pieds anglais . . . 
Pied en pieds anglais. . . . 

Mètre en yards 

Mètre en pieds anglais . . . 
Mètre en pouces anglais.. 



= i-949° 3 65 9 

= 2. i3i53 084 

= 6.39459 252 

:= I .06576 542 

= 1 .09363 3067 

= 3.28089 9167 

= 39.37079 



Myriamètre en milles = 6.2i382 l\"ïl\ 



Hectare en acres 

Gramme en grains anglais 
Gramme en livres troys. . . 



= 2.47114 3 

= i5-44 2 4 2 

= 0.00268 0976 



Gr. en livres avoir-du-poids. = 0.002206060 

Kilogramme en cwt = 0.01969 6964 

Litre en gallons = 0.22009 687 

Litre en ponces cubes anglais. = 61.02705 1 






28981 


999 2 4 





32869 


16209 





8o58i 


28 7 56 





02767 


i6253 





03887 


16284 





5 1599 


2883 1 


I 


59517 


41291 





79335 


8 9 6o5 





39289 


79 


I 


18871 


4926 


7 


42829 


2443 


7 


3436i 


6886 


8 


29439 8864 


9 


34261 


3866 


1 


.78552 


28873 



Colog. 

9.71018 00076 
9.67130 

9.19418 7 1 j 1 4 
9.97232 s:', 7 4 7 
9.961 12 83716 
9.48400 71169 
8.40482 58709 
9.20664 10395 
9.60710 21 
8.81 128 507 i 
2.57170 7557 
2 . 65638 3 1 1 1 
1 .70560 11 36 
0.65738 6i34 
8.21447 7"?7 



( Extrait des Tables de ShorlfrcJc. ) 



( 21 ) 

Nouvelles Tables astronomiques et hydrographiques, 
contenant un Traité abrégé des cercles de la sphère, la 
description des instruments à réflexion, diverses mé- 
thodes pour obtenir les latitudes et les longitudes ter- 
restres , une nouvelle Table des logarithmes, des sinus , 
cosinus, tangentes et cotangentes, de seconde en se- 
conde, pour les quatre-vingt-dix degrés du quart du 
cercle; par V. Bagay, professeur d'hydrographie (*) ; 
édition stéréotypée, gravée, fondue et imprimée par 
MM. Firmin Didot père et fils. Avertissement et ap- 
plication, lxxxiv pages 5 Tables d«s logarithmes, 
6i5 pages; trente-trois Tables diverses de navigation, 
125 pages. Paris, in-4°; 1829 (**). 

Voici un enfant du peuple qui , sans aucun secours , en 
argent, en livres, en hommes, a fait un ouvrage utile, le 
premier de ce genre, a vécu dans la misère, est mort 
aveugle et illuminé. Nouveau document à F appui de cette 
pensée de Juvénal. Probitas laudatur et alget. Honneur 
à sa mémoire 5 c'est bien le moins qu'on puisse lui ac- 
corder. 

Bagay (Valenlin) est né le 9 avril 1772 dans la com- 
mune de Bisses-la-Maconnaise, canton de Lugny (Saône- 
cl-Loire). En 1794 , étant entré dans l'artilleriede la ma- 
rine (4' régiment) , il a traversé quatre fois l'Atlantique, 
et a assisté à plusieurs combats de mer 5 parvenu au grade 
de fourrier, il enseigna pendant six années les mathéma- 
tiques au régiment et prit son congé en 1806, à Lorient, 
où il s'est marié, et donna des leçons aux aspirants de 
marine et aux capitaines de long cours. Ses relations avec 
les officiers de marine lui apprirent qu'on désirait beau- 



Pj ofesseur non officiel. 
' Pris francs, chez Mallct-Bachelicr. 



(22 ) 

coup d'avoir dos Tables trigonométriques calculées de 
seconde en seconde^ le i ei mai 1820 il entreprit ce travail 
qui fut présenté, le 24 mars 1824, à l'Académie sous le 
ministèrede Clermont-Tonnerre. Le Rapport ne futpoint 
très-favorable. On reproebe à l'auteur de n'avoir interpolé 
qu'avec 7 décimales les petites Tables de Callet, ce qui oc- 
casionne des erreurs sur les y ,emes décimales 5 erreurs qu'il 
a corrigées à la lin de son ouvrage; il en reste y 4 qu'il 
annonce devoir publier. Les officiers de la marine royale 
firent des démarebes auprès du gouvernement, et fin de 1 8 2 5 
une souscription fut accordée sous le ministère de Cha- 
brol. Alors, en 1826, Bagay se rendit à Paris, et, porteur 
d'une liste de 240 officiers de marine souscripteurs, il 
traita avec Didot père et fils pour le stéréotypage de son 
ouvrage, avec la clause de ne recevoir aucune rémunéra- 
tion qu'après la rentrée de tous les frais, qui se montè- 
rent à 26000 francs. En i84' 5 il n'y avait encore que 
12000 francs de rentrés , et Bagay atteignait 5a soixante- 
neuvième année sans avoir rien reçu. Le gouvernement 
anglais lui avait accordé 1000 francs pour soixante-dix- 
neuf erreursqu'il avait signalées dansles Tables de Taylor. 
En 1826, le même gouvernement lui avait fait offrir 
3oooo francs pour ses Tables; offre qu'il refusa par motif 
patriotique (*). Ayant une nombreuse famille à faire 
subsister, il fut réduit à établir une espèce de cantine, où 
il vendait des leçons aux aspirants, et des liqueurs et 
comestibles aux matelots. En i832, ayant subi un examen 
pour être professeur d'hydrograpbie, il fut refusé; ce qui 
n'a rien de surprenant, car il n'avait malheureusement 
reçu aucune instruction littéraire. Il n'a jamais voulu 
faire connaître les procédés qu'il employait pour faire ses 



(*) A l'appui de ce généreux dévouement, Bagay cite le témoignage d< 
son concitoyen , M . Mathieu, astronome, membre de l'Institut 



( *3 ) 
calculs , auxquels il faisait travailler toute sa famille. Ac- 
cablé de fatigues, de misère et d'ingratitude, Bagay eut 
des hallucinations, se figurant que Dieu, pour le récom- 
penser de ses travaux mal appréciés sur la terre, lui en- 
voyait la nuit des visions célestes, et madame Bagay écri- 
vait chaque matin sur une Connaissance des Temps les 
visions nocturnes de son infortuné mari, qui fut délivré de 
ses maux et de la vie le i5 février i85i. 

Bagay, dans sa jeunesse, avaitcédéà son frèreainé toute 
sa part d'héritage. Bagay, mieux que savant, était un 
homme de coeur et n'a légué à sa famille qu'un souvenir 
honorable et des bras pour travailler. Septuagénaire, il 
avait offert à la maison de Didot la cession de tous ses 
droits en échange d'une pension viagère de 4°° francs. 
La proposition fut acceptée et non réalisée. Devant le tri- 
bunal de l'équité, il semble que la famille a droit à 
quelque indemnité. 

Bagay est le premier qui ait calculé des lignes trigono- 
métriques de seconde en seconde, car l'ouvrage analogue 
de Shortrède est de i844- C'est encore le seul qui existe 
en France. Il dispense de l'emploi incommode des par- 
lies proportionnelles. 

Dans un écrit daté de Lorient i cr décembre 1821 , signé 
par neuf capitaines de vaisseau, deux capitaines de fré- 
gate, seize lieutenants de vaisseau et sept enseignes, on 
lit : « Comme navigateurs , nous devons applaudir d'a- 
vance au succès que 31. Bagay ne pourra manquer d ob- 
tenir, et nous nous empressons de lui exprimer notre 
gratitude en héritant du fruit de ses 'veilles. 

En Fiance, la gratitude publique est très-souvent un 
arbre qui montre de belles Heurs, mais qui ne si' nouent 
pas en huit. 



24 ) 



DlE GEOMETIUSCHEN KoNSTRUCTIONEJV ACSGEFUHRT MIT- 
TELST UER GEIlADEN LINIE IUD EINES FESTEK KrEISES, ETC. 

Les Constructions géométriques exécutées au moyen 
de la ligne droite et d'un cercle fixe, comme sujet d'é- 
tude , dans les hautes institutions et pour l'utilité pra- 
tique ; par Jacob Steiner, docteur en philosophie, 
professeur royal ordinaire à l'Ecole d'industrie à Ber- 
lin. Berlin , i833 ;in-8, no pages; 2 planches en taille- 
douce (*). 

Introduction {1-6). Mascheroni (N. 1750, M. 1808) 
a montré comment on peut construire les problèmes à 
l'aide du compas seul. Le but du présent ouvrage est de 
construire les problèmes à l'aide de la règle et d'un cercle 
fixe donné de grandeur et de position. Il est divisé en 
quatre chapitres. 

Chapitre I er (6-29). Faisceaux et points harmoniques, 
transversales. A l'aide de ces propriétés, les problèmes 
suivants peuvent se résoudre avec la règle seule. 

i°. Étant donnés trois points sur une droite, trouver 
un quatrième point harmonique sur cette droite. 

2 . Etant donnés les trois rayons d'un faisceau, trou- 
ver le quatrième faisceau harmonique. 

3°. Un angle droit et un angle quelconque ayant 
même sommet et un côté commun, doubler ce dernier 
angle. 

4°. Etant donnés un angle et sa bissectrice , construire 
la bissectrice de l'angle adjacent. 

5°. Par un point donné, mener une droite vers l'inter- 
section inaccessible de deux points. 

6°. G, H, I sont trois points donnés sur une droite 

(*) Traduit en français par Car elle el en iHemand par Grusou 



( *5 ) 
GH = HI , mener par un point quelconque K une paral- 
lèle à la droite GHI. 

7 . Les droites GF , HI sont parallèles , GF est donné 
de grandeur et de position ; trouver le milieu de GF. 

8°. Deux parallèles sont données , mener, par un point 
donné, une troisième parallèle. 

9°. GF, HI sont deux droites parallèles , GF est donnée 
de grandeur et de position : a. prendre sur la même 
droite, à parlir du point donné M, une longueur M}n qui 
soit un multiple donné de GF; b. partager GF en un 
nombre donné de parties égales ou en deux parties qui 
soient en rapport donné •, c. trouver sur la même droite 
une longueur MN qui soit dans un rapport donné avec GF. 

io°. BD, DC sont deux segments adjacents d'une 
droite et dans un rapport rationnel donné; par un point 
donné mener une parallèle à la droite. 

ii°. Un parallélogramme étaut donné et une droite: 

a. mener par un point donné une parallèle a la droite ; 

b. une longueur étant donnée, la multiplier ou la diviser 
un nombre donné de fois. 

1 2°. Dans un plan on donne une de ces quatre données : 

a. Trois parallèles qui coupent une droite en deux seg- 
ments ayant un rapport rationnel donné ; 

|3. Deux parallèles , une longueur sur la première et 
une longueur sur la seconde et qui sont dans un rapport 
rationnel donné; 

y. Deux parallèles et une droite partagée en deux seg- 
ments qui sont dans un rapport donné; 

d. Deux longueurs non parallèles; chacune est divisée 
en deux segments suivant des rapports rationnels donnés. 

Il s'agit : a. de mener une parallèle suivant une direc- 
tion donnée; b. de partager une longueur donnée selon 
un rapport donné. 



( a6J 

i3°. Un carré est donné; il s'agit, dans le plan dncai ré 
a. d'abaisser d'un point donné une perpendiculaire sur- 
une droite donnée ; b. de mener la bissectrice d'un angle 
droit donné ; c. de construire un multiple donné d'un 
angle donné. 

C'est à Lambert qu'on doit toute cette géométrie de la 



règle. 



Chapitre II (29-58). Propriétés harmoniques : pôles 
et polaires (29-37)5 points de similitude (38-58) 5 prin- 
cipaux théorèmes qui s'en déduisent et que l'auteur a 
donnés dans son Développement d\ine série de théo- 
rèmes relatif s aux sections coniques (Gergonne, t. XIX; 
1828) ; puissance d'un point relatif au cercle ; lieu d' égale 
puissance (59-67). Nous ne citons pas ces théorèmes qui 
sont maintenant du domaine public. 

Chapitre III (67-89). Solution de tous les problèmes 
de géométrie avec la règle , lorsqu'un cercle fixe est donné. 
Les deux précédents chapitres donnent les moyens de solu- 
tion des problèmes du chapitre III, but essentiel. Il est 
évident que le cercle fixe fournit : i° un système de droites 
dont on connaît les milieux; 2 un système de couple de 
droites parallèles 5 3° un système d'angles droits 5 4° uu 
système d'angles égaux; 5° un système de droites égales. 

Problème I. Par un point donné, mener une paral- 
lèle à une droite donnée. 

Lorsque la droite donnée est une corde, on construit 
la corde parallèle, et l'on est ramené à l'un des problème^ 
précédents. 

Lorsque la droite ne coupe pas le cercle, par un point 
quelconque « de la droite on mène un diamètre, par un 
autre point quelconque du cercle on mène une corde 
parallèle à ce diamètre, mi construit une seconde corde 
é;;ale ei parallèle à la première; les deux cordes prolon- 



gées coupent ia droite donnée en deux points b el c: 
on a ab = ac, et l'on est encore ramené à l'un des pro- 
blèmes précédents. 

Problème IL Sur une droite une longueur est donnée, 
trouver: i° une autre longueur multiple donnée de la 
première; 2° partager la longueur en un nombre donné 
de parties égales ; 3° une longueur qui ait un rapport 
rationnel donné avec la longueur donnée. 

On mène une parallèle à la droite donnée , et l'on re- 
\ient à un problème déjà résolu. 

Problème III. Par un point donné abaisser une per- 
pendiculaire sur une droite. 

Solution. Par le centre on mène une parallèle à une 
droite et deux cordes cd, c' d' égales et parallèles à ce 
diamètre 5 la corde cd' est perpendiculaire au diamètre. Il 
suffit de mener par le point donné une parallèle à cette 
dernière perpendiculaire. 

L'auteur donne encore cinq autres problèmes qui 
peuvent toujours se ramener à la géométrie de la règle. 
Le dernier problème est celui-ci : Connaissant les centres 
et les rayons de deux cercles , construire les points d'in- 
tersection , bien entendu sans décrire les cercles. En disant 
que toutes les constructions portent l'empreinte d'une 
grande élégance , nous n'apprenons rien de nouveau à nos 
lecteurs , qui connaissent depuis longtemps le célèbre géo- 
mètre de Berlin. 

L'ouvrage est terminé par un appendice qui contient 
vingt problèmes divers sur les coniques. 

En voici quelques énoncés : 

Une conique est donnée par cinq points ou cinq tan- 
gentes : i° trouver l'intersection de cette conique par une 
droite donnée; 2 par un point donné, mener les tan- 
gentes à la conique. — l ne conique est donnée par quatre 
points el une tangente, trouvei !<■ poinl de contact. — 



( *8) 
Une conique est donnée par quatre tangentes et un point, 
mener la tangente en ce point. — Une conique est 
donnée par trois points et deux tangentes, trouver les 
deux points de contact et les tangentes passant par les 
trois points; et autres problèmes du même genre dont 
beaucoup ne sont qu'énoncés. 

Deux coniques sont données par deux points en com- 
mun et chacune encore par trois points , trouver les deux 
autres points communs. — Deux coniques sont données 
par deux tangentes communes et chacune par trois autres 
tangentes, trouver les deux autres tangentes communes. 
Ces problèmes sont résolus. Le problème final est d'une 
utilité pratique : on donne un point d'un cercle dont le 
centre est visible, mais non accessible ; il s'agit de décrire 
le cercle par points. 

Zusatze zu den logaiutmischen ukd trigonometrischei* 
Tabellen zur erleichtrung und abkurzukg der bey an 

WENDCHG DER MATHEMATIK VORFALLENDEN BeRECHNUN- 

gejv ausgefertigt ; von J.-H. Lambert. Berlin, bey 
HaudeundSpenerKonigl.undder Acad. der Wisscnch. 
Buchhandler, 1770; in-8. Titreet préface, 2 p.; intro- 
duction, 98 pages 5 Tables, 2 10 pages. 

Ces Tables, à joindre à celles des logarithmes, sont au 
nombre de quarante-quatre; plusieurs ont été adoptées et 
étendues. Un semblable recueil serait d'une immense 
utilité. 

i°. Les plus petits diviseurs des nombres de 1 à 102000, 
d'après Pell, excepté les diviseurs 2, 3, 5. 

2 . Produits de chacun des nombres de la Table précé- 
dente par les nombres 1, 2,.... 9, aussi d'après Pell. 

3°. Produits des nombres premiers de 7 à 1 73 de 5en 5 

4°- Liste des trois derniers chiffres (à droite) des carrés 
des nombres impairs. 






( *9) 

5°. Formules pour les quatre eas où un nombre non 
divisible ni par 2 ni par 3 est la différence de deux canes. 

6°. Table des nombres premiers de i à 102000. 

y°. Les soixante-dix premières puissances de 2. 

8°. Les cinquante premières puissances de 3. 

9 . Les cinquante premières puissances de 5. 

io°. Formules pour e x . 

ii°. Table pour e~ x , 

1 2 . Formules pour les logarithmes hyperboliques. 

i3°. Logarithmes hyperboliques de 1 à 100, avec 7 dé- 
cimales calculées par Lambert. 

i/\°. Logarithmes hyperboliques des dix premières 
puissances de 10. 

i5°. Logarithmes hyperboliques d'après Simpson, de 
1,01 à 10,00. 

16 . Les dix premiers logarithmes hyperboliques avec 
25 décimales d'après Euler. 

17 . Tables des nombres compris dans la formule 
2 m .3".5P.7'?deià io 4 . 

18 . Formules pour les sinus, cosinus, tangentes hy- 
perboliques. 

19 . Expressions algébriques des sinus de 3 degrés en 
3 degrés. 

20 . Formules trigonométriques. 

2i°. Formules pour la résolution des triangles rectan- 
gles et obliqu angles sphériques. 

22 . 7r en fractions rationnelles. 

23°. Longueurs des arcs de cercle de degré en degré. 

24 . Formules cyclométriques. 

25°. Table de Pythagorepour les sinusdechaquedegré. 

26 . Sinus, tangentes, sécantes et logarithmesdessinus 
et tangentes pour tous les 90 degrés. 

27 . Formules pour la résolution des équations el 
principalement les équations de i v et 5 e degré. 



( 3o ) 

28 . formules pour les équations cubiques dont toute 
les racines seul réelles; exemples. 

29 . Ces racines depuis 0,001 jusqu'à 1,1 55. 

3o°. Formules pour toutes sortes d'équations cubiques . 

3i°. Divers cas d'équations bi-quadratiques. 

32°. Fonctions hyperboliques semblables aux fonc- 
tions circulaires. 

33°. Comparaison de 1 hyperbole équilalère avec le 
cercle. 

34°- Quelques expressions relatives aux racines carrées 
et cubiques. 

35°. Les 1000 premiers carrés. 

36°. Les 1000 premiers cubes. 

37 . Nombres figurés. 

38°. Formules d'interpolation. 

39 . Puissances de séries infinies. 

4o°. Puissance des centièmes d'unité. 

4i°. Racines carrées des 100 premiers nombres avec 
7 décimales. 

4 2 . Racines carrées approchées en fractions. 

43°. Racines carrées de a ± sjb, etc. 

1 1 

44°- Les coefficients de (1 H- x) 1 et (1 -+- x) 2 . 



SUR LA DEFINITION GÉOMÉTRIQUE DE DIEl 

(voir Nouvelles Annales, t Mil, p. 366). 



On lit un historique instructif sur cette célèbre défini- 
tion dans l'ouvrage suivant, à la page 3 : 

Pensées de Pascal, publiées dans leur texte authen- 
tique, précédées de la fie de Pascal , par M"" Perrier 



( 3« ) 
avec un Supplément, et d'une Etude littéraire } et ac- 
compagnées d'un Commentaire suivi (sic); par Ernest 
Havet, agrégé près la Faculté des Lettres de Paris. In-8 , 
lviii-548 pages ; i852 (*). 

"\ incent de Beauvais, précepteur des enfants de saint 
Louis, mort vers 1260, dans son Spéculum majus , es- 
pèce d'encyclopédie , imprimée eu 10 volumes in-folio , à 
Strasbourg, en 1373, dit au premier chapitre du Miroir 
historique : Empedocles quoque sic Deum diffinire fer- 
tur: Deus est sphœra , cujus centrutn ubique, circumj'e- 
rentia nusquam. Et il dit (3firoir de la Nature, 1,4) 
qu'il a emprunté cette assertion à Hélinand, poète du 
xn e siècle , devenu moine et chroniqueur, et dont les écrits 
sont perdus. 

On trouve la même pensée chez saint Bonaventure 
(1121-1174)5 contemporain de Vincent de Beauvais, 
dans son Itinerarium mentis in Deum (Œuvres , t. VII, 
p. 320 : Mavence, 1609). C'est de là que le célèbre Gerson 
(Jean Charlier de) (i363-i42p,) a tiré cette même défi- 
nition. Dans un ouvrage grec, intitulé notficcvfyis, le Pas- 
teur, et attribué à Mercure Trismégiste, personnage fabu- 
leux , on lit à la fin du XIII e dialogue : 

O' kvk^oç afJuvxros tov Qtov irooS'içeto-'ja pov roi xéyov. 

« Le cercle immortel de Dieu accueille mon discours. » 
(Edition de Berlin, i852.) 

C'est par réminiscence que Rabelais dit (livre III , 
chapitre XIII) : 

« Nostre usine, lorsque le corps dort. . ., s'esbat et re- 



(*) C'est la seule édition qu'on devra désormais consulter. On y fait 
une parfaite dichotomie de Pascal, génie profond et toutefois janséniste 
timoré. Cette œuvre ne laisse rien à désirer sous le rapport de la philoso- 
phie, théologie, histoire et bibliographie. Quand nous donnera-t-on un 
semblahle travail sur les Provinciales ? 



( 3a ) 
veoit sa patrie , nui est le ciel. De là receoit participation 
insigne de sa prime et divine origine, et en contempla- 
tion de ceste infinie et intellectuale sphère , le centre de 
laquelle est en chas c un lieu de V univers , la circonfé- 
rence point (c'est Dieu selon la doctrine de Hermès Tris- 
mégiste) à laquelle rien rf advient , rien ne passe , rien 
ne déchet, tous temps sont présents , note non-seulement 
les choses passées... mais aussi les futures. » 

Pascal, qui, ainsi que Mallebranche et Descartes, fai- 
sait peu de cas de l'érudition historique, puisait la sienne 
dans les Essais de Montaigne 5 et on lit dans l'édition 
publiée par mademoiselle de Gournay, en i635 . 

(( Tris mégis te appelle la Dêité cercle dont le centre 
est partout 3 la circonférence nulle part. » 

Il résulte de tout ceci que l'idée est d'origine grecque. 
Voltaire l'attribue à Timée de Locres. En effet, il y a des 
idées analogues dans le Timée de Platon 5 c'est ce qui a 
induit en erreur la mémoire de l'illustre philosophe. A 
cette occasion, M. Havet se permet dédire : « C'est une 
de ses légèretés , pour ne pas dire plus. » 

C'est parler avec beaucoup de légèreté dune des plus 
vastes, des plus belles intelligences qui aient paru sur le 
sol de la France. Nous ne saurions parler avec trop de 
modestie respectueuse de ces génies créateurs , lors même 
qu'ils s'égarent; car notre littérature, notre philosophie 
actuelles, comme ces goules qu'on rencontre dans les 
Mille et une Nuits , ne se repaissent que de cadavres, ne 
vivent plus que des morts. 



33 



GAUSS. 

Euler et Gauss, deux génies identiques, ont tous deux 
profondément labouré, richement fécondé toutes les plages 
du vaste sol mathématique. Euler répandait sur ses dé- 
couvertes un océan de lumière, dont les rayons pénètrent 
dans les recoins les plus obscurs-, variant les expositions, 
ramiflant les applications, il sait assouplir ses médita- 
tions et les adapter aux intelligences de toute dimension . 

Gauss ne vise qu'à la perfection logique et littéraire, 
ne veut produire que des œuvres accomplies, dune ri- 
gueur inexorable; accumulant les preuves, ne les affai- 
blissant jamais par condescendance; présentant la théo- 
rie sous diverses faces , mais conservant toujours la di- 
gnité de la sévère abstraction. Il a peu écrit; mais chaque 
écrit est un modèle de style, un chef-d'œuvre de raison- 
nement. Dans la géométrie vulgaire et supérieure, dans 
L'algèbre des quantités finies et infinitésimales, dans la 
mécanique rationnelle, en dynamique céleste, partout on 
rencontre l'empreinte de ses pas : des pas de géant. Quels 
magnifiques théorèmes sur l'élément superficiel, sur l'é- 
lément attractif potentiel, sur l'élément magnétique! Que! 
admirable remaniement des méthodes géodésiques . des or- 
bites planétaires et cométaires! El toutefois ce ne sont pas 
là les plus brillants joyaux de sa couronne d'immortalité. 

La science de la quantité se divise en deux parties bien 
distinctes : lune renferme pour ainsi dire quelque chose 
de terrestre, de matériel; l'idée du nombre est attachée à 
deux formes ; espace et temps ; formes inhérentes à une 
intelligence humaine, à uu esprit asservi à des organes. 
Dans l'autre partie, qu'avec Ampère nous nommons arith- 
mologie, règne 1 idée pure, le nombre est débarrassé de 
Bulletin mathématique, t- I er . (Mars iS">."> 3 



( 34 ) 
ses deux entraves anthropologiques \ idée pure t qui est 
pour ainsi dire un rellet, Y ombre du paradigme divin , 
comme s'expriment les écoles de Pythagore et de Platon. 
Il y a encore une autre différence moins essentielle et très- 
importante. Dans les questions qui s'agitent dans la pre- 
mière partie, l'esprit découvre presque toujours à première 
vue des points d'appui d'où il peut prendre son essor, des 
guides pour diriger cet essor, des instruments très-com- 
modes , aisément maniables, pour opérer avec prompti- 
tude et facilité; tandis que, dans la seconde partie, la 
science du nombre pur, tous ces moyens font défaut. Dé- 
pourvu d'auxiliaires, livré à lui-même, l'esprit est obligé 
de tout créer, d'inventer de toute pièce la solution de 
chaque question. Aussi l'arithmologie semble être, en 
mathématique, le vrai critérium de l'intensité intellec- 
tuelle. Où cette intensité se manifeste-t-elle avec plus de 
vigueur, sujet incessant de surprise et d'admiration, que 
dans les Disquisitiones? Chaque chapitre développe une 
idée nouvelle; chaque idée nouvelle est une création. Les 
congruences, les résidus potentiels, les nombres com- 
plexes, les formes similaires rattachées aux déterminants 
ont fondé un monde, inauguré une ère, l'ère de Gauss. 
La statue qui transmettra ses traits à la postérité, pour 
représenter fidèlement la physionomie intérieure, devrait 
dépasser nature; et que de richesses, hélas! Gauss em- 
porte au tombeau. Sa mission est terminée; remercions la 
Providence d'avoir accordé au genre humain un tel mis- 
sionnaire pendant une longue carrière. On peut dire de lui 
ce que Cicéron dit de l'orateur Calidius (de Clar. Orat.. 
LXXIX) : INon fuit geometra uwos emultis, potii rs in- 

TER MULTOS PROPE SINGULARIS FUIT. 

Gauss a vu le jour, le 23 avril 1777, dans le duché de 
Brunswick. Ayant donné des indices très-précoces d'heu- 
reuses dispositions, il attira l'attention du duc régnant, 



( •> 

Charles -Guillaume -Ferdinand, qui ne cessa de proté- 
ger toute la carrière scientifique de son illustre sujet. 
Honneur à l'illustre mécène! 

Gauss fut nommé professeur à l'université deGottingue 
en 1807; conseiller de cour (liofrath) en 1816, et ensuite 
directeur de l'observatoire astronomique et de l'observa- 
toire magnétique: il est mort àGottinguele 23 février 1 855, 
âgé de soixante-dix-huit ans. 

Ses principaux ouvrages sont : 

i°. Demoiistralio nova theorematis omnem functio- 
ncm algehraicam rationalem integram unîus variabîlis 
in factures reaîcs primivel secundi gradus resolviposse. 
ln-4; Helmstadl, 1799- (/ oir Prouhet, Nouvelles An- 
nales, tome IV . page 44 * •) 

■2°. Disquisitiones arithmeticœ. In-8 , 1801. 

3°. Theoria motus corporum cœlestium. In-4, 1809. 
A contribué puissamment à faire entrer l'esprit d'exacti- 
tude dans les calculs astronomiques. 

4°. Theoria combinationisobservationinn erroribusmi- 
niniis obnoxiœ. Premier emploi de la méthode' des moin- 
dres carrés en Allemagne. 

5°. Dissertations sur la haute géodésie. Par ordre du 
gouvernement il continua, à travers le royaume de Ha- 
novre, l'arc du méridien mesuré en Danemark. A cette 
occasion il inventa un héliostat, instrument qui rend 
visibles, par la réflexion des rayons solaires, les stations 
les plus éloignées. 

6'°. Observations magnétiques, publiées annuellement 
depuis 1837, avec la collaboration de W eber (V\ illhelm). 
Le gouvernement (it élever, à côté de l'observatoire, un 
édifice destiné aux observations magnétiques. Gauss, par 
ses travaux sur le magnétisme terrestre, donnant à cette 
théorie difficile une nouvelle face, se !i\ 1 a à de nombreuses 
observations , consignées aussi dans Y Atlas <Ju magné- 
tisme terrestre. Leipzig, iSjo 



( 36 ) 
y . Les Commentaires de la Société royale de Gol- 
lingue contiennent un grand nombre de Mémoires de 
Gauss, remarquables par la profondeur des recherches et 
aussi par l'élégance du style. Nous en donnerons la liste; 
espérons qu'on en publiera la collection. 



BIBLIOGRAPHIE. 



Algèbre élémentaire, à l'usage des candidats au Bacca- 
lauréat es Sciences et aux Ecoles du Gouvernement; 
par M. E. Lionnet, agrégé de l'Université, professeur 
de Mathématiques pures et appliquées au Lycée impé- 
rial Louis-le-Grand , examinateur suppléant d'ad- 
mission à l'Ecole Navale. Rédigée conformément aux 
Programmes officiels des Lycées. Paris , i855 ; in-8 de 
245 pages (*). 

Ouvrage classique , bien soigné , entièrement conforme 
au règlement d'exercices qui régit maintenant l'ensei- 
gnement universitaire. La réputation de l'auteur est si 
bien établie , qu'il est presque superflu de dire que sa lâche 
est remplie et son but atteint. L'auteur établit très-clai- 
rement la division sur le principe de l'homogénéité algé- 
brique; la multiplication repose sur la définition d Eu- 
clide : c'est la bonne manière et qui donne sans embarras 
la règle des signes. Il y a quelques énoncés qu'on pouvait 
omettre ; par exemple celui-ci : Lorsque plusieurs frac- 
tions sont égales entre elles, la somme des numérateurs 
divisée par celle des dénominateurs forme une fraction 
égaleàl une quelconque des fractions proposées (p. 4 1 )- 
11 ne faut pas trop se défier de la spontanéité du lecteur. 

Le livre II (p. 45) traite des équations du premier 

(*) Chez Mallet-Bachelier, libraire. Prix : > ! 



( 3 7 ) 
degré. Avant de résoudre une équation, ou enseigne. 
comme principe, la mauière d'altérer une équation (p. 4j) • 
Cette disposition ne me semble pas naturelle. Ainsi, on 
dit qu'on altère l'équation x — 3=o en l'élevant au 
carré (x — 3) (x — 3) = o, parce que celle-ci admet 
deux fois la solution x = 3 , tandis que la première équa- 
tion ne l'admet qu'une jois. Cela suppose des idées que 
l'élève ne peut avoir en ce moment-ci. 

L'auteur établit la notion des quantités négatives sur 
des considérations cinématiques et aboutit à des conven- 
tions : il suffira de convenir (p. 70). Avec d'autres 
conventions on obtiendrait donc d'autres solutions j 
assertion singulière. Il me semble que tout se ramène 
à ces deux questions : Dans l'équation x -+- 1 =0, que 
doit-on écrire au lieu de x? Réponse : — 1. Un homme 
a 1 franc d'actif, que doit-on lui donner pour qu'il 
n'ait rien? Réponse ; 1 franc de passif. César est le pre- 
mier qui ait eu une idée nette des quantités négatives. 
Il disait : a Si quelqu'un me donnait quinze millions de 
sesterces , je serais au niveau d'un homme qui n'a rien. » 
Il avait autant de dettes. Il en est de même des quantités 
imaginaires. Dans l'équation. x~ — 4 = ° ■> que doit-on 
écrire pour x? Réponse: -4- v4 ou — V4 a d libitum. 
Que doit-on écrire pour x dans l'équation x 2 -+- 4 = o? 
Réponse: écrivez — 4 au ^ cu ^ e - r % ou, mnémonique- 
uicnt, écrivez au lieu de x, ■+- V — 4 ou — V — 4 5 signe 
qui rappelle qu'il faut remplacer x 2 par — 4- 

Il est utile pour les commençants d employer un signe 
particulier, par exemple r— * pour désigner les quantités 
positives et le signe «-« pour les quantités négatives , et de 
montrer ensuite qu'on peut se dispenser d'écrire ces 
signes. 

L'affirmation étant l'opposé de la négation, les quan 
tités positives devraient s'appeler quantités affirmatives 



( 38 ) 
.Ces dénominations erronées proviennent du jeu qui a 
donné naissance à l'Algèbre. Quand on élait amené à re- 
trancher un nombre d'un autre plus petit, on niait l'exac- 
titude des données ou bien on déclarait le problème 
impossible; de là le nom de fausses donné aux quantités 
négatives. Les dénominations progressives et régressives 
me semblent plus convenables. 

L'auteur passe en revue les cas d'impossibilité, d'in- 
détermination, avant d'aborder la discussion des équa- 
tions du premier degré à une et à deux inconnues. 

Le livre III est consacré à l'équation du deuxième degré. 
Àlapagex63, on lit: Les racines imaginaires d'une 
équation n'indiquent pas toujours l'impossibilité du pro- 
blème ; proposition chanceuse. Il s'agit de diviser la droite 
AB en deux segments tels , que la longueur AB = a soit 
moyenne proportionnelle entre les deux segments. Soil C 
le point de division; en prenant ce point C entre A et B . 
les deux segments CA, CB, de directions opposées, doi- 
vent, suivant le principe de M. Chasles , être de signes 
opposés: l'un étant désigné par -+- x, l'autre doit être 
désigné, non par a — X, mais par x — a , et 1 on a 

x [x — a) = a 7 ; 

les deux racines sont réelles et indiquent deux points, 1 un 
situé à la droite de B et l'autre à la gauche de A. 

En général, pour toute question, quelle qu'elle soit. 
l'Algèbre ne donne que des solutions numériques, mais 
elle ne prétend pas donner des règles pour l'interpré- 
tation de ces solutions. Elle s'en rapporte au bon sens, 
dont rien ne dispense. 

La théorie élémentaire des maxima et minima est 
donnée d'une manière complète et rigoureuse. 

Le livre IV et dernier contient les deux progressions 
les logarithmes, les intérêts composés et les annuités. 



( 3p ) 

Chaque livre est terminé par un bon nombre de ques- 
tions intéressantes auxquelles s'exerceront utilement les 
candidats aux Ecoles du Gouvernement. 

On ne trouve dans cet ouvrage aucun nom propre, 
aucun renseignement historique ; suppléons-y. 

Les signes -j- , — se trouvent pour la première fois 
dans la Coss de Christophe Rudolf ( ID24). Le signe = 
est de Robert Record (The whetstone ofu>it, etc; i55j). 
Descartes se sert encore de la lettre a retournée (»). 
Viète (i54o-i6o3) est le premier qui ait représenté des 
nombres par des lettres , mais par des lettres capitales; 
les petites lettres sont de Thomas Harriot (Artis ana- 
lyticœ praxis > etc ,• 1623). Les signes ^>, <^ sont aussi de 
Harriot. Les parenthèses entre crochets sont d'Albert 
Girard (Invention nouvelle, etc.; 1629). 

Cet ouvrage , dont nous avons cru devoir critiquer quel- 
ques parties, se distingue par un esprit de rigueur bien 
rare aujourd'hui. La médiocrité seule est à l'abri de toute 
critique. 

YS Algèbre élémentaire de M. Lionnet sera prochaine- 
ment suivie d'un autre ouvrage , qui complétera la pre- 
mière année d'algèbre pour les candidats à l'Ecole Po- 
lytechnique, et ce qui est exigé pour l'admission à l'Ecole 
centrale des Arts et Manufactures (*). 

' Complément (P Algèbre élémentaire . (Sou-].-' !•■■ Pri\ 1 fj 



( 4o ; 
NOTICE SUR LA DÉCOUVERTE «ES LOGARITHMES 

( ?oir page l 



Neper étant mort en 1617, son fils Robert publia 
en 1619 cette seconde édition de l'œuvre de son père, 
où le procédé des logarithmes est expliqué (*). 

Mirifici îogarithmorum Canonis description ejusquc 
usus in ut raque Trigonometria , ut etiam in omni lo- 
gis tica mathernatica , amplissimi , facillimi et expedi- 
tissimi explicatio. Accessevunt opéra posthuma : Primo, 
Mirifici ipsius Canonis constructio et Iogarithmorum ad 
naturales ipsorum numéros hahitudines . Secundo, Ap- 
pendix de alia, eaque prœstantiora logaî'ithmorum 
specie construendis . Tertio , Propositiones quœdam emi- 
jientissimœ, ad triangula sphœrica mira facilitait- 
resolvcnda ; authore ac inventore Joamse jNepero , barone 
Meuchistonii , etc. , Scoto. Edinburgi , excudebat Andréas 
Hart, anno 16195 in-4 ", 18 feuilles trois quarts. 

Les Opéra posthuma ont ce titre particulier : 

Mirifici Iogarithmorum Canonis constructio una cum 
appendice de alia atque prœstan tiore Iogarithmorum spe- 
cie condenda, quibus accessere propositiones ad trian- 
gula sphœrica faciliore calculo rcsolvenda: Una cum 
annotationibus aliquot doclissimi D. Henrici Briggii, in 
eas et memoratam appendicem\ authore et inventore 



(*) Un exemplaire de la première édition (161/j ) est à la bibliothèque 
de l'Institut. Il a été acquis en i83/j à la vente des livres de J. -F. Français, 
professeur d'art militaire à l'École d'Application de Metz. Ces livres ont 
appartenu àArbogast, qui les a légués a son disciple et neveu F Fran- 
çais, mort en 1810, professeur à l'École d'Artillerie de Mayence; c'est l< 
frère du professeur sus-nommé 



1 4i ) 
Joanjve Nepeuo, barone Merchistonii, ete.,Scolo. Edin- 
burgi, excudebat Andréas Harl, arino Domini 1619. 

En lète des Opéra posthuma est une préface de Robert 
>«eper où il donne en deux pages le contenu de ces œuvres 
posthumes. 

Dans la Canonis constructio,J.Hieipev dévoile le secret 
du calcul des logarithmes. Il fondece calcul sur cetteconsi- 
dération cinématique. Soient deux points fixes A et B pris 
sur une droite indéfinie ; deux points L et N.partent'simulta- 
nément de A et se dirigent vers B, avec la même vitesse ini- 
tiale* représentée par — 5 où «est un nombre donné; le 

. T . . . AB . ,., 

point L conserve toujours la même vitesse — ;desortequ il 

décrit d'un mouvement uniforme la droite AB, indéfini- 
ment prolongée. Il n'en est point ainsi du point N, dont 
la vitesse va sans cesse en diminuant, car elle est toujours 
présentée parla distance de ce point au point fixe B, dis- 
tance divisée par n; ainsi P étant le point d'arrivée de !N 

' 1 1 , , PB 

au bout du temps f, la vitesse sera représentée par — ; 

l'espace segmentaire que décrit le point N va donc tou- 
jours en diminuant , et il mettra un temps infini à par- 
venir en B où sa vitesse sera éteinte, pour devenir négative 
au delà de B. Voici comment jNeper définit ces deux 
mouvements : 

Avithmelice crescere est œqualibus temporibus œquah 
semper quantitate augeri (page 5 ) 5 

C'est le mouvement du point L. 

Geomctrice decrescere est œqualibus temporibus quan- 
litatem primo totam iude aliam cjus parlent superstilem 
simili semper proportionali parle decrescere (page i/\) : 

C'est le mouvement du point N . 

Neper ajout* 



(4» ) 

Numcrus ai lificialis (*) sinus dati est qui arithmetice 
crevit lanla semper velocitate quanta sinus lotus incipil 
geometrice decresccrc; 

C'esl-à-dire le nombre artificiel d'un sinus donné est 
celui qui s'est accru arithmétiquement, avec la même vi- 
tesse constante qu'avaitle sinus total lorsqu'il a commencé 
à décroître géométriquement 5 accroissement qui a eu lieu 
dans le même temps que le sinus total a mis pour devenir 
égal, en décroissant, au sinus donné. AP> est le sinus lotal : 
le but essentiel de jNeper étant de faciliter les calculs tri- 
gonomé triques, il s'attache principalement aux loga- 
rithmes des lignes trigonométriques. 

Traduisons ces considérations en caractères algé- 
briques. 

Soient : 

d = AB — sinus total ; 

x = chemin décrit arithmétiquement par le point L, 
dans le temps T ; 

y = chemin décrit géométriquement par le point N, 
dans le même temps T ; 

md =3 vitesse initiale commune aux points L et N; 

d — y = distance du point N au point B , au bout du 
temps T. 

Soit T partagé en un nombre // inliniment grand de 
temps égaux t infiniment petits, de sorte que T = ni; 
prenons t pour unité de temps; alors, à la fin des temps, 
o, t, il, 3t,..., nt les valeurs correspondantes de x seroni 
o, md, inid, 3 nid,..., nmd et les valeurs correspon- 
dantes de d — y seront 

d, d (1 — m) , d'i — m )■, d( i — m )*, . . , d (1 — in)" : 



• On 1 i l en marge !<■ mot Logarith Numcrus ar lificialis esl lo premici 
nom qu'avail adopte Nepei il n'a trouvé le mot logttrilhmt qu< lonfi 
,i,i- après la composition cl • 



( 43 ) 

donc au bout »lu temps T on aura 

x = nmd , y = d — d | i — ni)" = d — d I i j ? 

[x n .n — i x 2 n .n — i . n — 2 x" 

d i .2 nul' H i .2.3 7r~d* ~ "y 

or n étant infiniment grand, on a 



I .Z* I -t- »■*' 



i r i 

d 2 ' I .273 ~3 ~ 1.2.3-4 < 1 ' 



= d — ffc 



(j 



où e est la base des logarithmes hyperboliques 

— = e , _- = loghyp.— , 

d — y 
x — — rf log hyp. — - — • 

Mais x est le logarithme népérien de d — y\ doue 

d — r 
log nép. de d — y = — d log hyp. de — • 

Ainsi les logarithmes de Neper ne sont pas identiques aux 
logarithmes hyperboliques. Lacroix a donné pourtant le 
nom de népériens aux logarithmes hyperboliques, et 
avec justice, afin d'attacher à l'invention le nom de liu- 
venteur. 

Neper prend 

nf = io ; =: sin c)O n , 

— = 5 . 1 o" = sin 00 . 
2 

Dans la Table de Neper on trouve 

log sin 3o = Gg3 1 4 y 1 , 808943 ; 
or 

d — y 1 l „ 

— -— — -, log hyp. — =r — 0,0931471005599 ( m 1 



{M ) 

Pour avoir le logarithme népérien, il faut multiplier ce 
nombre par — io 7 [voir ci-dessus) , et l'on trouve 

6 9 3l 477 r>8o55g9; 

Terreur de Neper n'est donc que de 3 unités par excès sur 
la dixième décimale. 

Pour calculer les logarithmes, Neper n'emploie pas les 
séries 5 il calcule directement les termes successifs de la 
progression cl, d[i — m), d[i — m) 2 ,..., d(i — m) 100 , 
et prend d = io 7 , m = io~ 7 . Le calcul devient extrême- 
ment facile : il suffit de retrancher de chaque terme ce 
même terme divisé par io 7 , et Ton obtient le terme sui- 
vant. Ainsi il fait emploi des décimales et les écrit comme 
nous faisons aujourd'hui, à l'exception que, pour séparer 
les entiers, il prend un point au lieu de la virgule. [Nou- 
velles annales , tome XII, page 204.) 

Voici un spécimen de son calcul : 



a 10000000.0000000 

1 .0000000 

d{\ — m)... 9999999.0000000 

°- 9999999 

(l(i — m)-... 9999998.0000001 

-999999 8 

d(\ — m) 3 ... 9999997.0000000 

cl continuant ainsi, il trouve 

d(i — m y°° = 9999900 . 0004960 ; 
or 

d (1 — m) m = 10' ( I — 1 o- ; ) '"" ; 

si l'on développe le binôme et qu'on pousse jusqu à lO""* 81 . 
on trouve 

d[i — m) w = 9999900. 000499838300892 123, 
ce qui dillère très-peu du nombre de Neper. 



(45 ) 

Pour apprécier le degré d'exactitude de ses calculs, Ne- 
per démontre, par des considérations géométriques, que 

log(J — y) est compris entre y et -r— — ; chaque fois 

qu'il a besoin d'un logarithme exact, il calcule ces deux 
limites, et lorsqu elles diffèrent moins que l'ordre de la 
décimale qu'il veut conserver, il prend la moyenne arith- 
métique entre ces limites pour logarithme exact. Ceci 
peut s'établir analytiquement; en effet, 

log nép. d — y = — d log hyp. I i — — J 



d — y y d d'- d 



prenant la moyenne arithmétique entre y et , ou 



obtient 



y- y y* 

2 d id- art 3 



La différence entre cette moyenne et le logarithme népé- 
rien de d — y ne commence qu'au terme du troisième 
ordre ; cette différence est 

I -L 3 _ I Zl — 1 -L 3 
i d 2 3 d' ~ 6 r/ 2 ' 

Pour que cette différence s'élève à une unité de l'ordre 
io -14 , il faut que y soit égal à ^/6, que y soit compris 
entre i et i. Posons pour exemple 

alors 

d — yz= 9999999, 

dy io ; 



,/- r 



=r i ,000000100000001 : 



( 46 ) 

dy 
la moyenne entre > et — — est 

i oooo o5. 
Tel est clone, à très-peu près, le logarithme népérien de 

9999999= IO "— •• 
En effet, on a 

log nép. 10" — i = — io : .log Iiyp. i — 10 
i i i 

= H--io ' -+■ ■= • IO - " + -7 • IO~ 2 ' -f- . . . 
2 3 4 

= i ,00000 oo5 oooo 3333. 

Le résultat de Neper n'est donc en erreur que d'un tiers 
d'unité sur la quatorzième décimale. 

Ainsile logarithme népériendéio 7 (i— io -7 ) = 9. 999999 

est 1 ,ooooooo5 , moyenne arithmétique entre 

1 et — et log 10 ( 1 — io~') ull = logggo,o,f)oo = i 00,00000. 

Ce nombre 9999900 sert à Neper pour une seconde Table 
de progression géométrique dont la raison est 

9999900 99999 10 5 — 1 _ 1 

IO 7 IO ; ' io 5 1 00000 

le cinquantième et dernier terme de celte Tahle est 
9995001,222927-, Tahle qui se calcule aussi par sous- 
traction en partant de cl = io 7 , comme précédemment : 
ayant le logarithme de 9993000, il construit une troi- 
sième Tahle de progression géométrique ayant pour raison 

9995000 999 5 _ ! 

io : io 1 2000 

Celle Table n'a que vingt ternies et sert à calculer les 
logarithmes de 9990000 et 990000*). 

A laide de ces trois Tables , il construit une quatrième 
Table qu'il nomme Table radicale, parce qu'en eflel 



( 4; ) 

elle est fondamentale. Celle Table consiste en soixante- 
neuf colonnes verticales chacune de vingt et un termes 
écrits à côté les uns des autres. Le premier terme de la 
première colonne est io 7 ; ensuite les soixante-neuf pre- 
miers termes, formant la première ligne horizontale, 
suivent une progression géométrique dont la raison est 

99 __ j |_. 

100 ICO 

ensuite les nombres de chaque colonne suivent aussi une 
progression géométrique dont la raison esl 



io : — 5oo 



Chaque colonne est divisée en deux parties par une ligne 
verticale; la première partie contient les nombres natn- 
! els . termes des progressions géométriques dont on vient 
de parler, et la seconde partie contient les logarithmes 
correspondants faciles à calculer : car, pour la première 
ligne horizontale, les logarithmes forment une progression 
arithmétique dont la raison est ioo5o3, 3585228 , loga- 
rithme de 9900000'; de même, dans chaque colonne ver- 
ticale, les logarithmes forment une progression arithmé- 
tique dont la raisen est 5ooi,25o4i645 , logarithme de 
9995000, et ces deux derniers logarithmes ont été calculés 
ei-dessus. Le dernier des nombres naturels de la Table 
radicale est 4998609,4034 qui est à peu près la moitié 
de io 7 , par conséquent à peu près égal au sinus de 3o 
degrés; son logarithme est 6934253,4- Pour trouver les 
logarithmes des sinus des arcs moindres que 3o degrés 
Neper fait usage de ce théorème : 

log d-jr,) — \og(d- rt ) 
est compris entre — d et — // 



( 48) 

Ceux qui désirent plus de détails peuvent consulter 
l'analyse étendue du Mirifici logarithmorum, etc., qu'a 
donnée M. Riot dans le Journal des Savants (i835, 
p. 354) 5 et dont nous avons tiré en partie ce qui précède. 

Remarquons que l'on a 

log nep. a -+- log nep. b z= log nep. — - 5 

1 1 / 1 ad 

log nep. a — log nep. b = log nep. -— ■> 

formules incommodes. Aussi dans l'appendice De alia 
atqite prœstatitiore, etc., Neper propose de prendre d== 1 
au lieu de d = io 7 ; alors 

log 1=0 et lognép. a = — log hyp. «, 
les logarithmes de Neper sont positifs ou négatifs selon 
que a est moins grand ou plus grand que l'unité. 

John Speidel a remédié à cet inconvénient dans l'ou- 
vrage suivant dont la i' c édition est de 1619, la 3 e ' de 
1621 et la 6 e de 1624 : 

New logarithmes the first invention whereof was by 
llie lord Nepair, baron of Merchiston, and printcd at 
Edinburg in Scotland, anno i6i4« In whose use was 
and ïs required the Knowledge of algebrical addition 
and soubstraction according to -b and — . Thèse being 
extracted from and out of them [they being first over- 
see corrected and amended) require not ail any shill 
in algebra or cossihe numbers, but may be used by every 
one that can onely adde and substract in whole num- 
bers according to the common or vulgar arithmetiche ; 
without any considération or resjyect of ■+- and — ■ ; by 
John Speidel, professor of the Mathematiks, and are to 
be sold al his dwelling house in the fields, on the back 
side of Drury Lane , between Princes street and the Play- 
house. The 3 impression, in-4, 1621. 

ce Nouveaux logarithmes, dont la première invention 



1 49 i 

est de lord Jean jNepair, baron de Merchislon, est imprimée 
à Edimbourg en 1614, mais dont l'usage exige la connais- 
sance des additions et soustractions algébriques fondées sur 
les signes + et — -, ici on a laissé ces signes de côté et l'on 
n'a plus besoin d'aucune notion algébrique ni de nombres 
cossiques: il suffit de connaître seulement l'addition et la 
soustraction selon l'arithmétique vulgaire, sans égard aux 
signes -+- ou — . Se vend chez l'auteur à sa maison dans 
les champs, près de Drury Lane, etc. » 

Cette annonce explique le rapide débit de l'ouvrage. 
Les nouveaux logarithmes de Speidel sont les complé- 
ments arithmétiques des logarithmes de Neper rapportés 
à cl = i 5 de sorte que 

log Speidel a = log nép. - ? 

et au lieu de faire décroître les nombres de i vers zéro , 
Speidel les fait croître de zéro à i et trouve ainsi 

log io = 23o2584; 
ce sont les premiers logarithmes hyperboliques que l'on 
ait calculés, il vont de i à i ooo. 

John Speidel est le père d'Euclid Speidel qui a publié à 
Londres, en 1688, une Logarîthmotechnie , où il montre 
qu'on peut calculer géométriquement les logarithmes 
avec 20 décimales en carrant des hyperboles. 



BIOGnAPUIL 



VEGA et LALANDE. 

Ce qui suit est extrait d'une Lettre de M. Fournerat, 
juge honoraire au tribunal civil de la Seine, retiré «à Ancy- 
le-Franc. Parvenu à son quinzième lustre, il charme sa 
vieillesse, par la lecture des ouvrages des géomètres dont 

Bulletin mathématique , t. I er . (Avril i855.) 4 



( 5o ) 
il possède une belle collection. C'est bien là Otiutn cum 
rfigniiate. 

« Il y a environ vingt ans (en i834) 5 j ai eu l'occasion d<- 
l'aire l'acquisition d'un fort bel exemplaire du Thesaurut 
fogarithmoium de Vega , in-folio : ; 1 794- Ce volume pro- 
venait de M. de la Grave, ancien proviseur du lycée de 
Pau, auteur de l'article Sinus du Dictionnaire de F en- 
cyclopèdie méthodique. Le même exmplaire avait appar- 
tenu àLalandc, qui en a fait corriger toutes les fautes, 
et lui avait été adressé en présent par ^ ega même, avec 
une Lettre de sa main inscrite sur une des gardes. Je vous 
demanderai la permission de vous faire passer copie de 
l'autographe de cet habile et infortuné calculateur , qui à 
cette époque servait dans l'armée autrichienne. Peut-être 
est-ce le seul autographe de A ega qui existe en France. 

Astronome longe celeherrimo Josepho Hieron. La- 
landio S. P. 

Accipe, virclarissime, aninio benevolo , ojrss isliid lor- 
mentorum inter tonitru in lucem editum, sincerœ mecv 
erga mérita tua immortalia vejierationis testimonio , et 
grati animi pro fructibus quos ex lucubratione operum 
luorum pauculis haurire potuî pacis horis documento tibi 
mis sa m. F aie. 

Dabam Manhe'unii ad llhenum. Die 11 decemb. 1 795 . 
Georgius Kega. 

Manheim avait été alors repris sur les Français 
commandés par Pichegru; l'armée autrichienne était 
commandée par Clairfayt. » 

Note du Rédacteur. En 1802, Vienne fut consternée en 
apprenant la mort de \ega , noyé dans le Danube (*). On 
pensait à un suicide, attribué, dit-on, au chagrin qu'un 
passe-droit faisait éprouver au colonel. Telle était l'o- 



( 5, ) 

pinion publique sur celte catastrophe, lorsque, sept 
années après, en 1811 , un régiment d'artillerie vint à 

passer par "S ienne. L'officier qui surveillait la salle du des- 
sin vit entre les mains d'un canonmer un rapporteur en 
cuivre , portant le nom de J ega , et le canonnier dit que le 
bourgeois chez lequel il logeait, lui avait prèle cet instru- 
ment , et il disait vrai. Ce bourgeois était un meunier ; in- 
terrogé sur la possession de cet instrument, le meunier fît 
des réponses embarrassées, et l'on se rappela que c'était 
chez lui que ^ ega était descendu pendant son séjour à 
Vienne. Instruite de ces faits, la justice fit des pour- 
suites. Mis en prison, et après plusieurs interrogatoires, 
le meunier fit cet aveu: « Lorsque \ ega vint chez moi 
» en 1802, j'avais un très -beau cheval auquel j'étais pas- 
» sionnément attaché. Le colonel me demanda à diverses 
» fois de le lui vendre. Jai constamment refusé; mais il 
» finit par offrir un si haut prix , que je cédai, et afin 
» que je ne pusse changer de résolution, il me paya 
» comptant et la livraison devait avoir lieu dans la soirée. 
» A l'heure convenue, nous nous rendîmes à l'écurie, et 
» pour cela il fallait passer par-dessus uue passerelle, 
» jetée sur le cours d'eau dérivé du Danube et qui fait 
» aller le moulin. Arrivé sur la passerelle, j eus un si 
» violent regret de me séparer de mon cheval , que l'idée 
» diabolique s'empara de moi de garder l'argent et le 
» cheval. Il faisait tiès-obscur. Le colonel marchait de- 
» vaut moi: je lui donnai une forte secousse; il tomba 
» dans l'eau et disparut. » 

D'après cette déclaration, l'assassin mourut sur la 
potence. Ainsi cet incidentprovidentiel lava d'un soupçon 
injurieux la mémoire du célèbre artilleur. 

En France , dans l'état actuel du jury , le malheureux 
meunier , entraîné par un vertige momentané de fébrile 
cupidité, aurait obtenu la faveur des circonstances atté- 
nuantes. 

4- 



i 5a ) 

MATHURIN JOUSSE. 

« Mon cher Monsieur Terquem, 

» En recevant hier votre Lettre, je me suis empressé de 
faire des recherches au sujet de Mathurin Jousse, et je 
suis heureux de pouvoir vous transmettre quelques ren- 
seignements, ignorés des biographes, et d'une exactitude 
authentique. 

» La BiographieM'ichaud ne donne ni le lieu ni la date 
de sa naissance et de sa mort; je puis, comme vous allez 
le voir, combler celte lacune importante. 

» Je commencerai d' abord par transcrire un passage re- 
latif à Mathurin Jousse, que je tire d'un livre publié par 
un des fonctionnaires du Prytanée , et intitulé : Histoire 
de F École de la Flèche, depuis sa fondation par 
Henri IV jusqu'à sa réorganisation en Prytanée im- 
périal militaire; par Jules Clère; in-i8 5 la Flèche, 1 853. 

» Je transcris donc à peu près littéralement. 

« .... L'enseignement du collège de la Flèche exerça 
m encore une heureuse influence sur le développement 
» des arts mécaniques parmi les ouvriers delà ville. De ce 
» nombre fut Mathurin Jousse, né à la Flèche le 
» 27 août i6oj (*) , et qui dut commeexterne fréquenter 
» les cours vers l'année 1622. 11 se livra de bonne heure à 
» la mécanique, dut faire très-jeune son tour de France 
» et aller en Dauphiné et en la Franche-Comté, d'a- 
» près la manière dont il parle de la mode de l'un et des 
» petits hachereaux de l'autre; et dès 1627, n'ayant que 
» 20 ans, fil imprimer à la Flèche deux traites avec gra- 
» vures sur acier et sur bois, dont l'un a pour titre : La 
» fidèle ouverture de l'art du serrurier, oii l'on voit les 

(*) Cette date est authentique, je l'ai encore relevée moi-même au- 
jourd'hui sur les registres de la ville de la Flèche. (F. Codpy. 



( 53 ) 
» principaux préceptes _, dessins ei figures touchant les 
» expériences et opérations manuelles dudit art, ensem- 
» ble un petit traité de diverses trempes, le tout fait et 
» composé par Mathurin Jousse de la Flèche. A la prc- 
» mière page se lit une humble dédicace aux Pères ur col- 
» lége : Messieurs , le lustre et l'éclat incomparable de la 
» doctrine et vertu que vous professez avec une admira- 
» tion singulière de tout l'univers, sembleraient me devoir 
» rendre timide et craintif d'approcher de vous pour vous 
» présenter et consacrer ce rude et mal poly mien petit 
» labeur, etc.... 

« Le second ouvrage est intitulé : Le théâtre de l'art du 
» charpentier enrichi de diverses figures, avec l'inler- 
» prêtation d'icclles, terminé par un brief traité des cinq 
» ordres des colonnes. Ces deux ouvrages dilîérents ont 
» pu faire croire que Jousse était serrurier ou charpentier. 
» Il fut encore l'auteur d'un livre ayant pour titre : Le 
» secret de V architecture découvrant fidèlement les traits 
» géométriques , coupes et dèrohements nécessaires dans 
» les bâtiments. Il publia en dernier lieu la Perspective 
» positive. 

» Jousse commença par le métier et arriva à l'artetà la 
» science, l'érudition même marchant de pair à côté. Il 
» cite Yitruve, Diego, Lagredo, \ignole; il parle nom- 
» bres et proportions géométriques comme un mathema- 
» ticien 5 il versifie comme un poète du temps et même 
» mieux, et sa prose, simple et claire, mais arriérée, et 
» tenant plus du xvi c que du xvn e siècle, a très-souvent le 
« charme du doux style d'Amyot. 

» L'église du collège est embellie de l'une de ses œuvres: 
» il travailla aussi au château de la Varenne, et parmi 
» les différentes inventions mécaniques dont il fut l'au- 
« leur, on a longtemps admiré un fauteuil et une chaise 
» avec lesquels on pouvait avancer ou reculer et se tour- 
» ner en tous sens par le moyen d'un seul ressort 5 une 



( H ) 

» main et une jambe de fer qui suppléaient à la main ou à 
» la jambe amputées et se mouvaient à volonté. » [His- 
toire de V École de la Flèche , pages 164 et i65. ) 

» J'ajouterai ce qui suit aux détails précédents. 

» Vous pourrez sans doute vous procurer à la Bibliothè- 
que impériale les ouvrages de Jousse, et collationner les ti- 
tres que je vous envoie. [Nous possédons à notre bibliothè- 
que tous ses ouvrages, excepté le Secret de l'architecture 
et la Perspective positive. Dans le privilège du roi qui 
accompagne ces ouvrages , vous verrez que Jousse est qua- 
lifié de marchand et maître serrurier en notre ville delà 
Flèche. En tous cas, c'était un serrurier précurseur de 
Vaucanson , et s'occupanl au besoin de mécanique et d'ar- 
chitecture. Le titre d'ingénieur lui aurait mieux convenu, 
je crois, 

» Il était très-probable, d'après ce qui précède, que 
Jousse avait dû mourir à la Flèche : j'ai été feuilleter ce 
matin les poudreux registres de la ville, et j'ai été assez 
heureux pour y découvrir l'acte d'inhumation de Mathu- 
rin Jousse. Je transcris textuellement ici cette pièce, avec 
son orthographe ; 

» Le vingt et neuvième et dernier jour de février de 
Vannée bissextile mil six cent septante et deux 3 a été 
inhumé au grand cimetière de la paroisse de la Flèche 
parmoy -vicaire de la paroisse, Maître Malhurin Jousse, 
marchand orfèvre , âgé d'environ soixante ans , décède 
d'hier au soir. Ont été présents à la sépulture Jonas 
Jousse et (*) Jousse ses enfans . tous de cette paroisse . 
lesquels ont signé avec nous : 

\ . or, là PlàïïChe, 

Prestre. 

(Tire du registre des baptêmes, mariages, et sépultures de la ville d- 
!a Flèche, du i er janvier 1673 au 3i juillet 167^.) 

(") FI y a un blanc pouf le prénom qui manque, il v ;< rasai des blases 
pour les deux signatures qui manquent 



( 55 ) 

» ^ ous, remarquerez que Jousse est qualifié d'orfèvre 
dans cette pièce , et qu il était dans sa soixante-cinquième 
année, quoiqu'on ne lui donne là que soixante ans. Il de- 
meure donc acquis à la biographie que Mathurin Jousse 
est né à la Flèche le 27 août iGoy et y est mort à 65 ans 
le 28 février 1672. 

» "\ ous savez, du reste que la Flèche revendique encore , 
comme illustrations scientifiques, le fameux astronome 
Jean Picard, qui fonda en 1679 la Connaissance ries Temps, 
etle célèbre physicien Sauveur, tous deux nés à la Flèche 
Je ne cite pas Descartes, élevé seulement au collège. 

» Il ne reste plus actuellement aucune personnedunom 
de Jousse à la Flèche : mais il y en a encore dans les en- 
virons. J'ignore si ce sont des descendants. 

» Voilà , mon cher Monsieur Terquem, tout ce que je 
puis vous transmettre au sujet de Mathurin Jousse. 

» La Flèche, 23 mars 1 855. Emile Coupy, 

Prol'esseur. » 

M. de la Gournerie, ingénieur des Ponts et Chaussées, 
professeur de géométrie descriptive à l'Ecole Polytechni- 
que, avant été nommé professeur de la même science au 
Conservatoire des Arts et Métiers, y a prononcé un Dis- 
. ours d'ouverture du cours (*), le i4 novembre i854- 
On vlit un historique Irès-instruclif du trait stéréotomi- 
que, qui rappelle les travaux de Philibert de l'Orme et de 
Vlathurin Jousse appréciés avec beaucoup de justice. On 
aurait désiré autant de justice à l'égard de Desargues, qui 
le premier a donné une base théorique aux procédés gra- 
phiques des praticiens. Dans la triste discussion que le cé- 
lèbre géomètre eut à soutenir contre ces praticiens , il pré- 
tend ne reconnaître pour juges que les géomètres. M. de la 
Gournerie blâme cette prétention. Il me semble pourtant 

(») Discours sur l'Art du trait n la Géométrie. descriptive. In-8; chea 
Mallel Bacheliei , libraire Prix : i fl ■ 



( 56) 
très-naturel qu'un procès de théorie soit plaidé devant un 
tribunal de théoriciens. Si, par exemple, il s'élevait une 
discussion sur l'excellente Théorie des Voûtes que vient de 
publier M. Yvon Villarceau (*) , il faudrait consulter ceux 
qui connaissent la dynamique des voûtes plutôt que ceux 
qui savent seulement le tracé et l'appareil des voûtes. On 
ne peut non plus approuver ce que le savant professeur dit 
de la belle invention de la méthode dite des échelles que 
Desargues a introduite dans la perspective, avant Lambert. 
Pour atténuer le mérite de ces procédés, M. de la Gour- 
nerie dit que Monge n'en a pas fait usage dans les épures 
destinées à l'Ecole Polytechnique. Cette raison ne paraît 
pas suffisante -, Monge n'a pas nonplus employé la méthode 
des cotes , qui est pourtant d'un usage journalier et que 
le Mémoire de M. Noizet a rendue élémentaire [Mémorial 
du Génie, n° 6, 1823). Desargues était le précurseur de 
Frezier, le précurseur de Monge. Il ne lui a manqué 
qu'une qualité, la clarté ; elle est essentielle pour se faire 
valoir: c'est souvent le seul mérite de la médiocrité. Vol- 
taire dit que la limpidité des petits ruisseaux tient à ce 
qu'ils sont peu profonds. 

Quanta la question de savoir si la géométrie descriptive 
est une méthode à découvertes ou non. elle est tout aussi 
importante que celle desavoir si la logique est une science 
ou un art. Faites des découvertes, on ne s'inquiétera pas de 
l'instrument. 

ABEL. 

jNiels Henrik Abel (**) est né le 5 août 1802 à Findoë, 
sur la côte occidentale de ChrisliansandstilVt, en Norvège. 

(*) Sur l'établissement des arches de pont , envisagé au point de vue de la 
plus grande stabilité , et Tables pour faciliter les applications numériques. 
In-8, avec figures dans le texte et 3 planches. Chez Mallet-Bachelier, 
libraire. Prix: ia lianes. 

(**) Nicolas-Henri. 



( 5; ) 

Son père Sorn Georg Abel était ministre protestant dans 
un village. En i8o3, la famille fut transférée à Gierres- 
tadt, paroisse voisine de Findoë. Abel reçut la première 
éducation de son père jusqu'en i8i5, où il fréquenta 
l'école épiscopale de Christiania. Il ne se distingua pas 
dans ses études littéraires; mais en 1818 ses talents pour 
les mathématiques commencèrent à se développer subite- 
ment. M. Holmboë, professeur à cette école, lui donna 
des leçons particulières. Ayant passé rapidement les Élé- 
ments , on lui fit parcourir Y Introduction et les Institu- 
tiones d'Euler. Il étudia seul les ouvrages de Lacroix, 
Francœur , Poisson , Gauss et surtout ceux de Lagrange , 
et fît lui-même quelques essais. Sorti de l'école épisco- 
pale , il entra à l'Université de Christiania. Son père étant 
mort, il reçut des leçons gratis, jouit d'une bourse et des 
secours des professeurs. Les deux années suivantes , il ob- 
tint une subvention du gouvernement. A cette époque, il 
composa plusieurs Mémoires insérés dans le Magasin fur 
die Nalurwissenschaften [Recueil d'Histoire naturelle), 
journal qui parait à Christiania. Le premier de ces Mé- 
moires a été imprimé en 1820 , sous le titre : Allgemeine 
méthode functionen einer variabeln grosse zu finden , 
■wenn eine eigenschaft dieser functionen durch eine 
gleichung zwischen zwei 'variabeln aiisgedruckt ïst. 
Méthode générale de trouver les fonctions dune seule va- 
riable lorsqu'une propriété de ces fondions est exprimée 
par une équation entre deux variables. 

Il s'occupa aussi de la résolution de l'équation du cin- 
quième degré. Une fois, il crut l'avoir trouvée, mais ayant 
remarqué son erreur, il se proposa ou de la corriger, ou de 
démontrer l'impossibilité de la résolution générale des 
équations supérieures. Il réussit dans cette dernière tache 
et fit imprimer sa démonstration en 1824, à Christiania, 
en fiançais. S'élant extraordinairement distingué, leg»»u- 



( 58) 
vernement, sur les recommandations de MM. les profes- 
seurs Ramusen et Hansteeu , lui accorda des fiais de 
voyage pour continuer pendant deux années ses études, 
en Allemagne, en Italie, en France. Il arriva à Berlin en 
1825 et y resta six mois. M. Crelle dit que c'est à Abel 
qu'il doit l'idée de son journal. De Berlin, Abel se rendit 
par Vienne, A enise, Milan , Turin , à Paris, où il fit un 
séjour de dix mois, chez M. de Coite, ancien principal de 
collège, alors maître de pension (*). Abel était accompagné 
de son caraaradeMoler,filsd'un riche propriétairede mines 
en Norvège. M. de Cotte, géomètre bien capable d'ap- 
précier Abel-, m'a dit qu'il était d'un caractère doux, ou- 
vert, communicatif, très-jovial et dune extrême modestie. 
Son physique et sa tenue rappelaient une origine Scandi- 
nave. Cette tenue n'a pas permis aux grands géomètres 
de Paris de deviner le génie d'Abel. En eiïet, comment 
soupçonner qu'un homme qui se présente en casquette 
puisse avoir du génie ? En quittant Paris, il retourna à 
Berlin et de là à Christiania. Après une absence de vingt 
mois, il ne trouva pas d'abord un emploi convenable, el 
ce ne fut que peu de temps avant sa mort qu'il obtint des 
appointements fixes. 

En décembre 1828, au fort de 1 hiver, il entreprit un 
voyage pour les fonderies de fer de Froland, où se trotn ai i 
alors Mademoiselle Kremp, sa future, devenue depuis 
jypne Keilhan.^ ers la mi-janvier, ily tomba malade et mou- 
rut de phthisie le 6 avril 1829, entouré des soins de sa future 
et île M. Smith, alors propriétaire! de ces fonderies. 

Le Ministre des Cultes et de l'Instruction publique de 
Plusse avait résolu de lui envoyer une invitation pour 
venir occuper une chaire à Berlin. M. Crelle. chargé de 
cette mission, en écrivit tout de suite à Abel : la Lettre arriva 

Rue Sainte-Marguerile-Saint-Germain , dans la maison <>ti se tronyt 
maintenant 1 1 853 l'institution Gillel-Damiette 



( 5 9 ) 
peu oie jours après sa mort. Il a élé enterré près de 1 église 
de Froland, où ses amis lui ont érigé un monument en 
fonte de fer. Il a laissé une mère, une sœur et plusieurs 
frères. C'est à sa famille qu'ont été adressés les 1 5oo francs, 
moitié d'un prix de 3ooo francs que l'Institut a décerné à 
lui et à Jacobi conjointement en i83o; dans la Lettre d'A- 
rago à Abel, du 24 juillet 1 83o, on ditque le prix sera pro- 
clamé dans la séance publique du 26 juillet i83o. 

M. Holmboë , ancien professeur d'Abel , a publié : 

Œuvres complètes de N. H. Abel, mathématicien, avec 
des Notes et développements , rédigées par ordre du roi 
par B. Holmboë , professeur de mathématiques à l'Uni- 
versité de Christiania, membre de la Société physiogra- 
phique à Christiania et de l'Académie royale des Sciences 
de guerre à Stockholm. 

Tome I er , contenant les oeuvres de Fauteur qui out élé 
publiéesauparavant. Christiania, 1839; in-4,de479pages. 

Tome II, contenant les oeuvres de l'auteur qui n'ont 
pas élé publiées auparavant. Christiania, 18395 in-4, de 
294 pages. 

Observation. On a omis dans cette édition un Mémoire 
d'Abel sur l'élimination, que l'on trouve dans le Bulletin 
de Ferussac. 

^>ous croyons utile de donner un résumé succinct des 
Mémoires contenus dans ces deux volumes. 



JAMNITZER (Wentzel , 

Médaillecr, Opticien, Orfèvre, Mathématicien 

3«é à Nuremberg ou à \ienne vers i5o8. Un manuscrit 
de Jean Neudorfer, mathématicien, qui fut son ami et, à 
ce qu'on croit, son parent par alliance, nous apprend que 
lui et son frère Albert firent venir leurs vieux parents de 
N tenue à Nuremberg. Les deux frères, tou* deux artistes 



( 60 ) 
ont travaillé ensemble. Nous avons parlé de son ouvrage 
de perspective (Nouvelles Annales, tome Mil, page 1 38). 
Une médaille de i568, portant le portrait de Jamnitzer, 
existe à la Bibliothèque impériale (Magasin pittoresque, 
page 2865 1 85 1) . Il est mort à Nuremberg le i5 dé- 
cembre i586. 



SIR LA METHODE DES EQUPOLLENCES; 

Par M. Juste BELLAVITIS. 

L'étude des sciences mathématiques est tellement géné- 
ralisée, qu'il doit arriver fréquemment qu'on reproduise 
des choses déjà publiées, et il serait injuste d'en tirer une 
accusation de plagiat, et même futile d'en réclamer la 
priorité; néanmoins je vous prie, Monsieur, de me per- 
mettre une observation sur une assertion qu'on trouve 
dans le cahier de décembre i854 des Nouvelles Annales, 
tome XIII, page 46*4- 

Dans les Annales des Sciences, pour le royaume lom- 
bardo-vénitien (tome "VII, 1837), j'ai publié un long Mé- 
moire sur la méthode géométrique que j'ai nommée mé- 
thode des équipollences. Dans le volume I er (i843) des 
Mémoires de VI. R. Institut vénitien , et dans des autres 
publications , j'ai donné plusieurs applications de cette 
méthode, lesquelles n'étaient que de simples déductions 
des principes déjà posés dans mon Essai publié à la lin de 
l'année 1 835 (annales des Sciences, tome \ ). Je ne sache 
pas que M. Saint-Venant ait traité des sommes géomé- 
triques avant l'année i8/|5 (Comptes rendus du i5 sep- 
tembre, tome XXI, page 620), et je crois qu'il n'a pas 
donné à ces principes les extensions auxquelles j'étais 
parvenu dix ans auparavant. 11 me semble donc très- 
inexact de dire (pic les idées de M. Saint-\ enant et d<- 



( 6» ) 
M. Cauchy ont été reproduites par moi sous le nom d'é- 
(juipollences. 

Permettez-moi aussi d observer que les trois définitions 
suivantes sont tout à fait géométriques : i° une droite est 
équipollente à une autre droite multipliée par un nombre 
donné quand elle est parallèle à cette droite, égale à la 
même multipliée par ce nombre, et prise dans la même 
direction 5 2° une droite est équipollente à la somme de 
deux ou de plusieurs droites quand elle est équipollente 
au dernier côté d'un polygone, qui a les autres côtés équi- 
pollents à ces droites -, 3° dans un plan on dira qu'une 
droite est équipollente au produit de deux droites divisées 
par une troisième quand sa longueur est égale à ce quo- 
tient, et son inclinaison est égale à la somme des incli- 
naisons des deux premières droites diminuées de l'incli- 
naison de la troisième. Les conséquentes que j'ai déduites 
de ces définitions et des principes de géométrie élémen- 
taire sont rigoureuses autant que les théorèmes d Eu- 
clide. 

S il y a quelque cliose de nébuleux, c'est, à mon avis, 
l'usage ordinaire de v/ — i, regardé comme quantité; et 
je crois que le vrai moyen d'interpréter les quantités 
imaginaires est de les considérer comme des quantités géo- 
métriques. Tandis qu'une équation entre quantités réelles 
peut être regardée comme une relation des distances entre 
un point pris pour origine et les points d'une droite, 
une équation entre quantités imaginaires doit être regar- 
dée comme une équipollence entre les distances des points 
d'un plan, comptées d'une origine donnée; les quantités 
réelles sont prises sur une droite fixe, et les coefficients de 
\J — i sont pris perpendiculairement à cette droite. C'est 
la représentation des quantités imaginaires proposée par 
plusieurs auteurs et qui m'a donné la première idée de 
ma méthode des équipollenccs; mais, au lieu de dire que 



( te ) 

les points d'un plan représentent des choses qui n'exis- 
tent pas et qui sont impossibles , je dis que les binômes 
a -+- b v — i représentent les points du plan : de cette ma- 
nière, chaque question sur les quantités dites imaginaires 
a une véritable signification réelle, et l'Algèbre est, dans 
toutes ses parties, une science rigoureuse. La signification 
géométrique que j'adopte (et que je crois la seule possi- 
ble) donne beaucoup de clarté aux questions algébriques, 
comme j'ai cherché à le faire voir dans un Essai sur l'Al- 
gèbre des imaginaires, dont la première partie a été pu- 
bliée dans le tome I\ (1832) des Mémoires de l'Institut. 
vénitien. M. Cauchy, qui , à plusieurs reprises, a cherché 
à donner un sens précis au calcul des quantités imagi- 
naires, a adopté dernièrement la même opinion supérieu- 
rement exposée. 

La méthode des équipollences est tout à fait géométri- 
que, et il est accidentel au sujet que, dans la statique, la 
résultante de deux forces soit équipollente à leur somme. 
La seule chose un peu nébuleuse dans ma méthode, mais 
qui est tout à fait accessoire, c'est la théorie des points 
fictifs, c'est-à-dire des points qui, à la manière déjà con- 
nue, représentent les intersections imaginaires dune 
droite avec une courbe, lesquels points fictifs ont quel- 
quefois des propriétés analogues à celles des intersections 
réelles. 

Vous augmenterez, Monsieur, mes obligations, si vous 
avez la bonté de faire connaître, dans votre estimable 
journal, que, dans ma méthode des équipollences, je n'ai 
pas reproduit les idées de M. Saini-^ enant. 



63 



BIBLIOGRAPHIE. 

Lettre de Kepler a Nicolas Reimàrtjs Ursbs. 

Nicoïao Reimaro l/rso Diethmarsa, mathematico 
Cœsareo nobilissimo. 

Pragam. 
Qui ignoti ad ignotas in longinquas regiones trausmit- 
lunt epistolas, mirabiles sunt homines. Te mihi notum 
pridem fecit illuslrissima tua gloria, qua mathematicos 
hujus aevi praecedis uuus. quantum Phoebus orbis minuta 
sidéra. Sed nec tempus plura fert . née mathematicorum 
est garrulilas. Hoc unum habe, tanti a me fieri , quanti 
omnes docti te faciunt . quorum judicium aspernaii arro- 
gantis est, eollaudari modesti juvenis. Cùm itaque, prae- 
ceptorete, id est libris tuis, lioc quantulum est, cognitio- 
nis acquisiverim in mathcmaticis, œquum duxi ut te in re 
ardua, nec ut mihi videtur, coutemnenda, consulam. Si 
approbaveris quod ago, beatum meprsedicabo, proximum 
felicilatis gradum in eo statuo, ut a te corrigar : tanti est 
mihi tuuin judicium. Hypothèses tuas amo. Sed Coperni- 
cum satis admirari non possum, cujus hypothèses hoc 
habcnt, quod his versibus complexus sum : 

Qaid mundus, quœ causa Dco ratioque creandi t 

Unde Deo numeri , quœ tantœ régula moli , 
Quidfaciat sex circuitus, quo quœlibet orbe 
Intervalla codant , cur tanto Jupiter et Mars 
Orbibus haud primis interstinguantur Iiiatu , 
Accipc Pytliagorœ moiistratui» quinque figuris . 

Nam inier Saturnum et Jovem est cubus, sic ut una Sa- 
lur-ni periodus, sit orbis circumscriptus suninia Jovi in- 



( 64 ) 
scriptus; inter Jovcm et Marteni tctraedron, intcr Mar- 
tem et Terram dodecaedron , inter Terrain et Yenerem 
icosaedron, inter \ enerem. et Mercurium octaedron. Or- 
dinem hune corporum neque metaphysici , neque mathe- 
matici cum ratione inmiutaverunt. Jam et medii motus se 
accommodant, est enim eorum dupla ratio ad distantias, 
scilicet quia (vel eadein esset incitatio pai tium , in omni- 
bus) propter majorera amplitudinem , quidem tardius 
redirent, et jam accedit debilitatio in exterioribus, qualis 
accidit in lucidi radii extenuatione. Parum utrique ac 
Copernico disceditur, plus tamen si ex motibus mediis 
constituentur distantia?, quam si ex corporibus. Nain ex 
correctione distantiarum per corpora sequitur differentia 
prosthaphœresin , apogœoruni non major, quam in Sa- 
turno i2 m , in Jove 25 m , in Marte i gr ,45 m , in \enere i gr , 
in Mercurio 5i m . Plura non scribo, judicium tuum ex- 
pectans, quod non gravaberis in graliam nobilissimi ju- 
venis D. Sigismundi YVagani, cujus instinctu scribo, bac 
vel proxima occasione ad nos transmittere.\ale,sideribus 
et nostrœ scientiae, decus Germaniœ. 

Gratii, i5 Novernb., anno i595. 

Ex. tuœ discipulus M. Joanne Kepplerus, illustrium 
Styriœ provincialium matliematicus. 

Né en i5;7i (*), Kepler avait 24 ans, lorsqu'il écrivait 
cette Lettre, A cet âge, il était déjà en possession des idées 
suivantes: 

1 . Il admettait le système de Copernic , qui n'avait paru 
qu'en i543- 

2. Il rattachait le nombre des planètes au nombre des 
polyèdres réguliers. A cet effet, il imagine pour chaque 
planète une sphère d'un rayon égal à la dislance moyenne 

(*) Son lieu de naissance est AVeil , prés Stuttgardt Beaucoup de fa- 
milles israélites portent ce nom. 



( 65 ) 
de la planète au Soleil; il inscrit certains polyèdres régu- 
liers, dont les faces touchent une sphère dont le rayon 
représente la distance moyenne de la planète immédiate- 
ment inférieure, et il trouve la planète supérieure de la 
même manière. Ainsi , il circonscrit un dodécaèdre au- 
tour de la Terre : la sphère qui passe par les sommets est 
Mars 5 à cette dernière planète il circonscrit un tétraèdre: 
la sphère circonscrite à ce tétraèdre est Jupiter; il place 
de même Saturne, en circonscrivant un cube autour de 
Jupiter; ensuite il inscrit dans la Terre un icosaèdre : la 
sphère inscrite dans ce solide est \ énus ; il inscrit dans 
Vénus un octaèdre : la sphère inscrite est Mercure; 

Dans un ouvrage, publié en i5g6, il motive ces divers 
solides par des considérations qui ne sont pas plus admis- 
sibles que l'objet môme. 

Tout cela est la partie poétique- mais voici des points 
d une immense importance. 

3. Kepler a une idée de l'attraction (parlium incita- 
tio), de l'action des masses (corporuni) ; il compare la di- 
minution de cette action [debditatio in exterioribus) à 
l'affaiblissement des rayons lumineux [in lucidi radii ex- 
tenuatione), et cet affaiblissement est en raison inverse 
des carrés des distances. Cette simple réflexion, si Ke- 
pler l'avait faite, lui donnait la loi nevvtonnienne. 

4. Les racines carrées des moyens mouvements sont en 
raison inverse des distances au Soleil. Il donne la raison 
pourquoi les distances dépendent des moyens mouve- 
ments et non des masses. 

Les provinces stvriennes , étant catholiques, avaient 
adopté la réforme grégorienne et appelé Kepler à 
Gratz, en i5g3, pour enseigner 1 astronomie et faire 
des calendriers. Reimarus Lrsus (en allemand, Bar), de 
I)ithmar(rlolstein), était un gardeur de porcs, qui apprit 
Bulletin mathématique, t 1 er (Mai ! 855 . ) 5 



( 66 ) 

plusieurs langues et 1rs mathématiques tout seul, et a 
composé beaucoup d'ouvrages; le plus célèbre est ce- 
lui où il prétend que le système de Tycho de Bralié lui 
appartient, et accuse de plagiat et très-grossièrement 
l'illustre astronome qui , arrivé à Prague en i5p6, où se 
trouvait alors Ursus, lui intenta un procès en calomnie. 
.1 /empereur institua une commission de juges; mais la 
mort d'Ursus, en i5i)Q, mit fin à la procédure. Du reste. 
il n'est pas impossible qu'Ursus ne fût parvenu au même 
système que Tycho. Selon le dire de celui-ci, Kepler -, 
disposait à écrire contre Ursus, qui avait inséré dans un 
de ses ouvrages la Lettre rapportée ci-dessus. 



Nouvelle Arithmétique appliquée au Commerce et \ 
la Marine, mise en vers par L. Cnàtàgriaud, ex- 
maîlre de pension, ancien professeur de Mathémati- 
ques à l'Institut Rollin, auteur de plusieurs ouvrages. 
4 P édition, revue et corrigée. Toulouse, imprimerie 
Delsol. In 8 de $1 pages; i843 (*). 

Je plais en instruisant, ci ma rmlse facile 
Répand sur la jeunesse une semence atile. 

1/Epitre dédiée aux marins termine par ces trois yers 

Traduisant de Bourdon la docte Arithmétique, 

Je serai trop heureux , si mes utiles vers , 

En charmant vos instants , vous suivent sur les mers, 

L'auteur décrit, en effet, toutes les opérations de l'a- 
rithmétique Bourdon en vers techniques d'assez bonne 
facture. On est préparé d'avance à y trouver des chevilles 



(*) 11 y a une édition de Lyon, 1 8 ' t G . éditée par la veuve (chci Iflaïlcl 
Bachelier) libraire). 



( 6? ) 
en abondance. L'auteur débute ainsi : 

Définitions. 

L'utile Arithmétique , en ses peintures sombres , 
Nous fait connaître h fond la science des nombres , 
Dans ses divers rapports les fait envisager, 
Assembler, retrancher, composer, partager, 
Donne des moyens surs à l'homme r/ui s'exerce, 
Et grave en son esprit les règles du commerce . 

Les opérations sont en général birn indiquées pour 
ceux qui les connaissent, et ces -, ers peuvent servir à cer- 
taines intelligences pour les retenir. 

Voici le début de la règle d'escompte :' 

Lorsque le créancier veut faire une remise, 
Le débiteur alors , et la loi l'autorise , 
/:// retranche l'escompte au susdit commerçant , 
Qui change son billet pour de l 'argent comptant . 

Cela suffit pour donner une idée de 1 ouvrage. On a 
omis les extractions îles ra/ ines. 

Un Anglais nommé Guillaume Buckley a publié une 
Arithmetica uiemorainri en vers latins. Wallis a acheté 
i ei ouvrage qui était joint à la Logique de Seton , publiée 
à Cambridge en i o'3 1 • Il ignore si V Arithmétique est anté- 
rieure ou non à la Logique (Wallis , Opéra, t. II, p. 38). 
On y trouve le plus ancien exemple connu de l'extraction 
appi'ochc'e delà racine carrée, au moyen des décimales, 
en ces quatre vers hexamètres : 

Quadrato numéro, senas praefigito cyphras . 

Producti qiiadri radix per nulle seectur , 

Integra dat quotiens ; et pars ita recta maneb't 

Radie i ut ve/re ne pars mi/lisima desit ( subintellige uni us . 

Heilbronner écrit erronément Guillielmus Hudaui- 
(f!ist. matheseos, p. 783). Il était de Lichtfeld et trè— 

5. 



( es ) 

A\n\é d'Edouard M. Mort vers i55o, il était contemporain 
du célèbre Robert Record. 

Leslie, dans sa Philosophj of avithmetic (p. 2^7), 
donne les extraits suivants de cette Arithmétique. 

De numération e. 

. . . Numerorum signa decem surit 
Quorum signijîcant aliquid per se omnia , prœtei 
Postrcmum, nihili quœ die itur esse figura 
Circulas heee alias, alias quoque cyphra vocatur, 
Quœ supplere locum nota est non significarc. 
Hi characteri'S } prima si sede locentur, 
Significant se simpliciter, positique secundo 
Signijîcant deeies se ; quod si tertius il lis 
Obtigerit locus , ad centum se porrigit usqUe 
Sutnma ; locus quartus soins tibi milliafundit, 
Et quartum quint us deeies corhplectitur, huneque 
Tantumdem sextus supetat. Quid multa ? sequens cuni 
Quisque locus soleat deeies augere priorem. 

Ratio numeris tum sciïbendi tum expriment/; 

Scripturis niimcrum a dextris fac incipias , fiin< 
In lœvam tende ns , donec conscripseris omnes, 
Post signa minimis loea quarternaria purtetis 
Punctaquc quot fuerint , totidem tibi millia montrant. 
A lœva vero numerorum expressio fiât . 

Pour la division , il indique cette disposition : 
Au-dessous du diviseur, on tire deux traits laissant 
entre eux un certain intervalle, pour écrire les chiffres 
successifs du quotient \ on écrit le diviseur au-dessous du 
dernier trait et vers l'extrémité gauche: on cherche Je 
quotient qu'on met à la place indiquée 5 on fait le produit 
et l'on écrit le résidu au-dessus du diviseur-, on barre la 
partie du dividende employée; ensuite on fait avance] 



(%) 
le diviseur vers la droite, et ainsi de suite. Il résume ces 
diverses opérations dans un seul vers : 

Dinde , maltiplica , subduc, trunsfèrque secantem. 
N oiei la preuve : 

Ver d'wisorem, qaotientem multiplicabis ; 
Proilucto reliquum, si quodfuit , adde priorquc 
Exhibet numerus, nisi te deceperit error. 

Le titre de l'ouvrage est : Arithmetica memorativa . 

SÎVe COMPEKDIARIA ARITHMETICE TltACTATIO , HOU SolllIH 

ti'ronibuSj sed etiam veteranis et bene exeveitatis in ea 
arte viris, memoi'iœ juvandœ gratin, admodum neces- 
savia, authore Gidiehno Budœo, Cantabriensi. 

Neper, dans sa Rabdologie , a inséré des vers mnémo- 
niques pour expliquer 1 emploi de ses baguettes. 

On sait que le Lilavatij qui remonte au xn'' siècle de 
notre ère, est écrit en vers sanscrits mnémoniques. 



ChAyignàud (Pierre-Léon) , né à Saintes (Charente-In- 
férieure), en 1791 , fils d'un négociant honorable, s'appli- 
qua de bonne heure aux mathématiques et se destinait à la 
marine de guerre, dont un de ses oncles, Clavier, lieute- 
nant de vaisseau, devait lui faciliter l'entrée, alors assez 
difficile. La rentrée des Bourbons mit obstacle à ses projets. 
Dès lors se livrant à l'enseignement des mathématiques et 
des langues étrangères , il professa les mathématiques dans 
un des collèges royaux de la capitale et donna des leçons 
d'anglais et d'allemand. Depuis , il obtint la chaire de ma- 
thématiques de Chàteauroux, et, en 1820, vint se fixer 
à Saintes, sa ville natale. Chargé de l'organisation des 
écoles primaires et supérieures de l'arrondissement, il 
dirigea l'école d'enseignement mutuel de la ville de 
Saintes. C'est alors qu'il fit paraître la première édition 
de sa Méthode de lecture, imprimée, en 1820, chez 



( 7o ) 
Has (Alexandre) , et ensuite, en 18^4, son Histoire de 

France en vers lyriques, et un an plus tard sa Grammaire 
eu vers alexandrins, in- 12 de i5o pages, imprimée à 
Nantes en 182J par M. Laforest. Avant fait usage de ces 
deux ouvrages dans son école d'enseignement mutuel, il en 
obtint les meilleurs résultats, malgré les critiques qui ne 
lui manquèrentpas aiusi qu à tous les novateurs. D après 
ce succès il s'occupa de son Arithmétique en vers , œuvre 
à laquelle il s'attacha plus spécialement et qui était son 
œuvre de prédilection. 11 s attacha à mettre toute la clarté 
possibledans les définitions et à éviter toute redondance et 
toute superfluité. Cet ouvrage est le plus parfait en ce 
genre comme facilité de vers et rectitude d'impression. 
Les définitions, quoique en vers, ont beaucoup de clarté 
et de précision. La première édition parut en i83o, à 
Cognac, imprimerie Fournier. En i83o, il mit la Charte 
eu vers et fit des développements en vers sur le Pater, 
YAveet]e Credo, publiés par les soins du fils de 1 auteur, 
à Nantes, en i84<>. Dix éditions successives se sont écou- 
lées de la Grammaire et de Y Arithmétique en vers, par 
les soins du fils et de la veuve de l'auteur, et bien des per- 
sonnes ont réappris, à laide de ces deux ouvrages , les 
cléments de la grammaire et de l'arithmétique. 

L auteurnese faisait pointun jeud esprit en mettant en 
Vers des choses aussi arides: son désir était de se rendre 
utile en rendant faciles, parla mnémotechnie, les prin- 
cipes de Lhomond et de Bezout, et en répandant quel- 
ques fleurs sur un chemin aride et épineux. Sur les der- 
nières années de sa vie, il devint imprimeur et créa \\4- 
heille saintongeoise. 11 mourut en 1 83j. 

( Communiqué par M. Cn wk.n u r> fils. 






( 7« ) 



CHRISTOPHE RUDOLF. 

Le plus ancien ouvrage d'algèbre en Allemagne psj ce- 
lui de Christophe Rudolf de Jaucr (*), et a paru en i 324- 
le n'ai vu nulle part la description de cette première édi- 
tion; En if>52, l'ouvrage était déjà si rare, que le prix 
avait quadruplé. C'est ce qui engagea Michel Slillcl à en 
donner une nouvelle édition (*) c-ous ce titre : Die cosz 
Christorfs hudoljs mit schônen Exemple// (1er cosz, 
dm eh MichaelSliJJcl, gebessert ni/d sehr gemehrt , 1 5ji ; 
iu-4 de 491 pages : La cosz de Christophe Rudolf avec de 
beaux exemples de la cosz, améliorée et très-augmenléc 
par Michael SlifTel. 

Le litre porte i5ji ; mais à la fin de louvrage on lit : 
(lêdrucht zu Kô/iigsperg in P l'eusse// , durch Alexa//- 
dru/n Behm von Lulhoinissel ; voile/idel am dritlcn Va g 
i/es herbsîmo/iats ah ma/i zalt ziach der geburl Z//se/s 
Liebcn Hevren Jesu Christi 1 554 : Imprimé à Konigs- 
berg, en Prusse, par Alexandre Behm, de Luthoniissel , 
fini le troisième jour du mois d'automne, lorsqu'on 
compte 1 554 après la naissance de Notre Cher Seigneur 
Jésus-Christ. 

Ainsi, l'ouvrage a été publié dix-sept ans après l'im- 
pression. Voici comment Sliffcl raconte ce qui lui a fait 
entreprendre cet ouvrage : « Après l'apparition de la qosz 
i) de Rudolf, plusieurs maures tic calcul [rcclie/imcLslci) 
allemands s'occupèrent de l iilgcbra mime/osa, et con 
• traiicmenl à la charité chrétienne, (>11 injuriant cl 



Près de Liegnite, enSHesie, province qui, au Kv ; i e siècle, apjiai 
U na-il n l'Empereur, comme t"i de Bohème. 
(" ") Murhard indique nue édition de i6a6 el de Nuremberg 1-66 1 . 



( 7* ) 

» maudissant l'auteur, parce qu il avait donné ses règles 
» sans y joindre aucune démonstration. Cependant, 
» comme dit Salomon, le fou dit tout, ce qu il fait, 
» et le sage se relient (Prov.), et d'ailleurs voulant 
» faire un boa livre, il lui était loisible d'y mettre ce 
» qu'il voulait (*). » 

A la fin de l'impression de celte nouvelle édition , Stif- 
fel reçut de Jean Neudorfïér, maître de calcul à Nurem- 
berg, un autographe de Rudolf, contenant les démons- 
trations de ses théorèmes par des figures de géométrie. 
Stilfel ajouta ces figures à cette nouvelle édition, en aver- 
tissant qu'elles appartenaient à Rudolf, et cela pour écar- 
ter les soupçons qu'on avait répandus, que Rudolf ne 
comprenait rien a ses règles, et qu'il les avait tirées d'un 
manuscrit de la Bibliothèque de Vienne. Du reste, ces 
figures montrent t mais ne démontrent pas. 

Rudolf débute ainsi : « Ce livre est partagé en deux 
» parties : la première renferme huit algorithmes et au- 
» 1res préliminaires, nécessaires pour expliquer la cosz : 
» l'autre partie donne les règles de la cosz, chacune ex- 
» pliquée à pari, au moyen de nombreux et de beaux 
n exemples. » 

PREMIÈRE PARTIE. 

« La première Partie de ce livre est subdivisée en douze 
» chapitres : le Chapitre I er traite de l'algorithme ordi- 
» naire des nombres entiers; apprend à munérer, ajou- 
•» ter, soustraire, multiplier, diviser, progresser. » 
Voici comme il énonce le nombre 2437563456^ : 
Vingt-quatre fois mille mille mille trois cents fois mille 
mille soixante -quinze fois mille mille six cent mille 

(*) Rudolf est pour l'Allemagne ce qu'est pour l'Italie l'ibonacci, dont 
nous parlerons à l'occasion d'un manuscrit précieux qui vient d'être 
découvert et publié par le savant prince de Boneompagni. 



i ;3 ) 

trente— quatre mille cinq cent soixante-sept. Lrs mots 
million, billion ont été introduits plus tard par les Ita- 
liens, et on les trouve déjà chez Albert Girard (mort 
vers i633). 

]1 donne dans ce chapitre les règles pour la progres- 
sion arithmétique et géométrique. Stiflel ajoute les nom- 
bres parfaits, trigonaux, et les progressions qui donnent 
les côtés rationnels des triangles rectangles. 

Chapitre H. « De l'algorithme ordinaire des fractions, 
» enseigne brièvement a écrire, à énoncer, sommer, sous- 
» traire, multiplier, diviser les fractions. » 

Chapitre III . « Enseigne la règle detri en nombres 
» entiers et rompus : Donne la dernière place à l'objet 
» en question , pose à la première place ce qui a même 
» nom que l'objet en question, et met l'autre objet au 
» milieu ; ensuite multiplie le moyeu nombre avec le der- 
» nier et divise parle premier, et tu as dans le quotient 
» ce que coûte le troisième nombre. » 

Il termine par cette règle detri inverse : « Multiplie 
» le moyen nombre par le premier et divise par le troi- 
» sième, et tu as réponse à la question. >> 

Chapitre IV . « Enseigne à extraire des racines : cela 
» veut dire extraire des racines en carrés et cubes. » 

Mêmes procédés qu'aujourd'hui : il donne les racines 
des nombres irrationnels à une unité près, et pas d'ap- 
proximations ultérieures. 

Chapitre V. « De l'algorithme de la cosz, en latin : De 
» additis et dimiriutis integrorum : cela veut dire des 
» nombres ajoutés et retranchés. L'addition est marquée 
» par le signe -rh : cela signifie plus. La soustraction par 
» le signe — : cela signifie minus. » 

C'est la première apparition de ces signes. 

Numérer, « Les anciens, nos prédécesseurs, après une 



( 74 ) 
» application sérieuse ont inventé la cosz : cela \ eut duc 
» le calcul d'une chose et le compte des nombres d'après 
» Tordre naturel. . . , et ont aussi désigné, pour abréger, 
» par des signes tirés du commencement du mot ou du 
» nom de cette manière. » 

Ici Rudolf donne dix signes en caractères gothiques 
que, pour éviter les embarras typographiques, nous rem- 
plaçons par les lettres ordinaires : 

ri dragma correspond à x° = i , 
/ racine — x' , 



C Cl'flSUS 


x-, 


(' eu bus 


x\ 


ce ccrisus décrus — 


x\ 


se sursolidiim — 


**, 


eC censicubus 


X e , 


BeC Bsursoliditm 


■' \ 


ecc censecus dcceiis — 


*"ï 


CC cubus de cubo — 


x'. 



Il enseigne ensuite la règle des signes pour les quatre 

opérations comme aujourd'hui. 

Exemple: A multiplier 6" r + S^/parar — jd, 11 trouve 

pour produit 

3o c — i r — 5(> d; 



car //• est c et dd reste d 



5C 5d 

- ce - r 



Chapitre VI. Calculs des tractions cos>ique>. 
Chapitre f'JÏ. Algorithme de Sur dis ipiadruloi uni 
Rudolf distingue trois sortes d'irrationnelles quadia- 
I i(iues et se sert du signe actuel y 7 • 



Exemple : 

i°. Rationnelles - y a' -h y/6 2 = « + i. 

2°. Communicant : \ a : c -+- y/6 2 r =[a -{- 6) y < 

3°. Non-communicant : \'a -h \ b. 

L'addition et la soustraction sont fondées sur ces foi- 
mules : 



\ja +• y' 6 == y a ■+- b + \J^nb ; \]a — sjb = \a -\- b — 4 \Job • 

Chapitre FUI. Algorithme nommé en latin de surdis 
cubicorum. 

On désigne la racine cubique par ce signe \\\ ■ 
On y trouve la formule 



\jm -f- \ n — \ m -+- n -f- 3 y- m 1 n -+- 3 y niri 2 . 

Chapitre IX. Algorithme nommé en latin de surdis 
quadratorum de quadratis. 

La racine quatrième est représentée par y\j. Exemples 
des quatre opérations. 

Chapitre X. Algorithme nommé en latin de bino- 
miis et residuis. 

\a -f- \b est un binôme et \ja — y/6 est un résidu; il 
enseigne les quatre opérations sur les binômes et les ré- 
sidus. 

Exemple: 

16 4 y '64 _ (i6-f-y / 6~4)(io + y H 
io — y/ 4 (io — y/'4) (io H- y .{ 

_ » 7 6-+-y'.254i _ 5 / i3_ 

^6~ "'B- + V 36". • 
Chapitre XI. Extraction des racines cariées des nom- 
bres binômes el des nombres résidas. Enoncé de la même 
règle qu'on trouve dans 1 Arithmétique universelle de 
Newton i t sans démonstration; ainsi 



( 76) 
Chapitre XII. Les cinq espèces de nombres proportion- 
nés. 

TT 7 ■ 1 " l " 

i . Multiplex — : ainsi 



2 n 
il 


proportio 


dit]>l(i . 


3« 

n 


— 


tripla, 


n 
2rt 


— ■ 


subdupla, 


II 

37* 


. n -h i 


subtripla. 



2° . Superparticu lavis 



- scsquialtera, — sesquitertia, y sesquiquarta. 

3°. Superpartiens où p<^n et ^> î: 

5 7 

- superpartiens tertias, - superpartiens quartas. 

o 4 

4°. Multiplex superparticularis — : 

5 2.2 -f- I 

■ = dupla superpartiens tertias, 



2 2 

17 4-4+ 1 



= quadrupla sesquiquarta. 



4 _ 4 

3i 6.5h-i 

— r- = -, =r quintupla sesquisexta. 

b b 1 /- a 

M> If 7 • 7 • W " ■+■ P 

> . Multiplex superpartiens » p <^ /f et _> 1: 

82.2-4-2 

- = — — = dupla superbipartiens tc/tia, 

3 3 

18 3.54-3 

-p- = ; = tripla supertripartiens quint a. 

Ces dénominations, soildit en passant, prouvent cl une 



( 77) 
manière irréfragable que les Grecs, qui s'en sont servis, 
n'avaient aucune idée dune numération chiffrée. 

Lorsque deux quantités sont égales, il v a proportio 
œqualitatis ; pour deux quantités inégales, il y a pro- 
portio inœqualitatis et majoris, par exemple, pour - 

et min o ris pour ~ 

On voit que proportio est pris pour rapport chez les 
écrivains du moyen âge. Rudolf renvoie pour plus de 
détails à Boéce. 

SECOKDE PAKTIE. 

La seconde Partie est divisée en trois différences (*). 
Première différence. 

La première différence contient les huit règles de la 
cosz. 

Rudolf dit que « les anciens l'ont nommée l'art de.* 
» choses, parce quà son aide on peut résoudre les secrets 
» des questions sur les choses, savoir sur les nombres ci 
)> les mesures. 

» Dans chaque question, on se servait de la formule 
» Ponaturuna res. Les règles de solution ont été nommées 
i) en italien régule de la cosse, une cossa signifie une 
» chose. » 

L'ordre naturel des quantités est d, /', c, C, cc } etc.. 
(voir ci-dessus). /' est dit plus grand que d, c plus grand 
que r, et ainsi de suite. 

i re équation. Deux quantités qui se suivent dans l'or- 
dre naturel deviennent égales. 

Exemples : 

3r égal Ç>d fac. . r. %. 

4 c égal 8 r — 

5 C égal i o r — 

(*) Dénomination empruntée aux Arabes. L'expression Ponalur una tes 
«•5t l'origine de* nombres positifs. 



cela revient à 

3 j: — 6 , /\ x ! = Sx , 5 r • — i o x . 

d'où 

.r = 2. 

Rudolf ne connaît pas le signe =, il se sert du point. 
Ainsi r.i cela veut direx — 2 ; il choisit tous ses exem- 
ples de manière que Ion ail x = 2. 11 démontre la règle 
par une ligure de géométrie: c'est un rectangle partagé 
en cinq rectangles égaux. 

ZSous écrirons les équations suivantes d après la ma- 
nière actuelle. 

i e équation. Deux quantités sont égales entre lesquelles 
une quantité naturelle est supprimée. Nous écrirons : 

Exemple : 

2r= 8 x° , ) 
5 x 3 = ] 2 x , ) 

3 e équation. Exemple: 

ix : = i6x°, } 

3^ = 4.r, I *-*■ 

4 e équation. Exemple : 

2.r' = 32 x° , \ 

3.r^ = 48.r, ] x = 2 - 

5 e équation. Exemple : 

3 X 2 -+- 4 # — 20 1°, 

5x 3 -h 6x 2 = 32 x, 

Rudolf donne la règle ordinaire pour la résolution de 
l'équation du second degré. 

La figure se rapporte à l'équation 

«' + 8x = 2.4° 5 
on a 

240 = 144 + 965 96 == 2 . 48 = 4 • 1 2 -I- 4 • ' 2 > 

il construit les deux rectangles j. 12 et le carré ta. ta. 



( 79 ) 

Os irois rectangles ayant pour hauteur commune 12 
sont réunis clans un seul rectangle ayant pour hauteur i 2 
et pour hauteur 20, et dont Taire est 240 ; ainsi l'équa- 
tion se trouve vérifiée. Il en est ainsi pour toutes les au- 
tres figures celles ne démontrent pas les solutions. mais les 
vérifient. 

6 e équation. Exemple : 

4 x* -+- 8.r° = 1 2 x , 

3o. ,:i -|- qx = <4^ •'•'•. ■ 

o' > a? = 2. 

5x -f- ooa-° = 1 9 r , i 

2r-+- 3ix ~ ?i x, 
La ligure vérifie l'équation 

x- -+- 96 = 20 x , x = 1 2 . 

Stiilcl dit que Rudolf a d'abord donné un énoncé taux - 
mais qu'il a rectifié dans un opuscule qu'il a publié pos- 
térieurement. Quel est cet opuscule. 1 

7 équation. Exemple : 

Jj X — I2.r° -: 5 1' 

5 i : -t- i-i x = &x 3 

La figure vérifie l'équation 

x 1 =r 8j - — 240, x = 20. 
Rudolf donne a la valeur 20 le nom racine vraie : ("est 
qu'il regarde la seconde racine x = — 12 comme fausset 
8 e équation. Exemple: 

2} x' -h 5x- =r Ô2, 
3 jc 5 -f- 6 jr 3 = 72 x , 
.^_i_ 3. r . — 88, 

t 1 ^-4 ri ~ ■ 60 r > 

- c" -f- 8.r' — 64(1 , 
+-10J " 028 r 



( 80) 

Cette classification des équations quadratiques est évi- 
demment d'origine arabe (voir Alkhàgàmi de Woepcke, 
Nouvelles Annales, tome IX, page 38<), et tome XIII, 
page i48). L'Arabe introduit souvent l'unité comme fac- 
teur pour rétablir l'homogénéité géométrique, et par imi- 
tation Rudolf a un signe particulier pour représenter 
l'unité. 

Deuxième différence. (Cautèles.) 

On avait donné jusqu'à Rudolf vingt-quatre espèces 
d équations du second degré. Alkhàgàmi en donna même 
vingt-cinq (Nouvelles Annales, tome IX, page 389). 
Rudolf enseigne ici les moyens (cautèles) de réduire ces 
vingt-quatre espèces aux huit qu'il a indiquées. Il donne 
quatre règles pour opérer cette réduction : les deux pre- 
mières règles apprennent à transporter un terme d'un 
membre dans un autre par le changement de signe - , la 
troisième règle apprend à faire disparaître les radicaux 
par l'élévation à des puissances-, la quatrième enseigne à 
faire disparaître les dénominateurs. 

Troisième différence. (Enigmes.) 

Cette troisième et dernière Partie ne porte aucun titre, 
et contient quatre cent trente-trois problèmes (œnigmata ) 
pour l'application des huit règles cossiques. H y a des 
questions numériques pour la spéculation et d'autres 
pour la pratique. 

Et à la fin il y a huit problèmes qui ne peuvent se ré- 
soudre par ces huit règles cossiques, parce qu'elles mènent 
à des équations du troisième degré. Sliilel pense que par 
là Rudolf voulait dire : « Vois, mon cher lecteur, j'ai 
traité dans ce mien livre seulement de la cosz quadra- 
tique 5 eh bien, il y a encore la cosz cubique dont je ne 
t'ai rien dit: puisses-tu apprendre, à cause de cela. la 



( 8i ) 
cosz cubique: dans cette louable intention, je te montre 
ce cube. » En effet, l'ouvrage de Rudolf est terminé par 
la représentation d'un cube , divisé de manière à figurer 
les quatre termes du développement de (3 + v^ 2 ) 3 - 

Nous avons tiré ce qui précède des scolies que M. A. 
Drechsler, professeur, a publiées en i85i sous ce titre : 
Scholien zu Christoph Rudolf s Cosz. Dresde ; in-8 de 47 p. 

Kàstner donne des renseignements fort curieux sur 
l'ouvrage de Stiffel [ Histoire des Mathématiques , tome I , 
page 1 74 {*)]' Stiflel dédie son ouvrage à Christophe Ot- 
tendorffer, honorable bourgeois de Kœnigsberg (Prusse), 
et dans un appendice il lui raconte cette histoire de 
sa vie. Moine Augustin à Esslingen, il avait appris dans 
les livres de Luther que la vie monastique était une abo- 
mination devant Dieu, mais ne savait pas comment il 
pourrait subvenir à ses besoins hors de son couvent. 
Cela pesait lourdement sur sa conscience, surtout à 
cause des messes journalières. En i52o, ayant lu dans 
l'Apocalypse : Timidis autevi et incredulis... pars illo- 
ruin erit in stagno ardenti, igné et sulphure (XXI, 8), 
il ne pouvait plus ni dormir dans son lit ni veiller à 
matines, et lorsqu'il voyait les autres moines être gais, 
il déplorait de ne pouvoir être de même humeur. Enfin, 
lorsque, étant de nouveau dans la bibliolhèqueducouvent, 
il lut le chapitre XIII de l'Apocalypse, l'idée lui vint 
que la bête apocalvplique désignait le pape Léon X. 
Méditantsurlenombre apocalyptique666, il pensait: Mon 
Dieu, quelle consolation, si l'on avait quelque calcul cer- 
tain. Il trouvaitbien , dansLEODECIMVS.M.D.C.L.V.I, 
mais la lettre M était de trop, et il manquait la lettre X 

(") La première édition est de i5">4 et la seconde de 1671 ; il y a une 
édition de 161 5, imprimée à Amsterdam chez W. Janson. On dit qu'il 
existe une édition en hollandais delà même année 161 5, imprimée aussi 
à Amsterdam. 

Bulletin mathématique, t. 1 er . (Juin i855 ) 6 



( 8 2 ) 
pour faire 666. Or le nom peut s'écrire LEO X, et la 
lettre M peut signifier mystérieux ; ayant fait cette décou- 
verte, il rentra dans sa cellule , se mit à genoux, remercia 
Dieu de cette consolation , et reprit courage. Ayant quitté 
le couvent et devenu prédicateur de la cour à Mansfeld , 
il montra ses calculs à Martin Luther, qui lui conseilla 
d'abandonner. ces spéculations, qui n'avaient rien de cer- 
tain. Toutefois, en i532, menant une vie oisive, il poussa 
l'indiscrétion jusqu'à publier un opuscule, où, interpré- 
tant les paroles de Daniel, il fixait l'heure et le jour de 
la fin du monde en octobre i533. Quand on lui objectait 
les paroles du Christ : De die autem Mo vel horâ nemo 
scit (Marc, XIII, 32), il répondait que Jésus, comme 
homme, le savait pourtant; mais il avoue s'être trompé, 
confesse son erreur devant Dieu et les hommes, se repent 
de n'avoir pas écouté les conseils de son cher Luther, et 
devint si ennemi des calculs (bien entendu prophétiques), 
que, pendant quatorze années, il n'aimait pas d'en en- 
tendre parler (*) \ il eut pourtant une rechute {Nouvelles 
Annales, t. XIII, p. 267). 

Nous signalons ces aberrations mentales, parce qu'elles 
sont instructives. La psychologie ne sera établie sur des 
fondements stables que lorsqu'on aura bien étudié les 
anomalies de l'esprit humain, et les influences indestruc- 
tibles des idées telles qu'elles sont inoculées dans la molle 
cervelle des enfants. Les désordres tératologiques des 
formes et des fonctions répandent un grand jour sur 
la structure et la vie normales des êtres organisés. 

Note. Aux manuscrits de la Bibliothèque impériale 
(365, m. 4)1 il existe une traduction latine de l'ouvrage 
de Christophe Rudolf sous ce titre : Arithmetica Chris to- 

(*) Pleins de confiance dans cette prophétie, les paysans de sa cure se 
mirent à faire bombance et à dissiper tous leurs biens; trompés dans leur 
attente, ils voulurent tuer Stiffel ; qui ne du) son salut qu'à l'intervention 
île Luther. 



(83 ) 
phori Rudoljî ab Jauer e germanica lingua in latinam 
a Christophoro Auvero, Pétri Danesii mandato, Romœ, 
anno Christi i54o, conversa. 



BIBLIOGRAPHIE. 



A TrEATISE ON THE CALCULUS OF OPERATIONS, DES1GKED 
TO FACILITATE THE PROCESSES OF THE DIFFERENTïAL AND 
INTEGRAL CALCULUS AND THE CALCULUS OF FïMTE DIFFE- 
RENCES', by tlie Rev. Robert Carn achat l , A. M. feliow 
of Trinity collège , member of tlie royal irish Academy , 
and sometime examiner in matliematics in tlie Queen's 
University in Ireland. London , Longman , Brown , 
Green, and Longmans. In-8 de xn-170 pages; i855. 
— Traité du calcul des opérations, destiné à faciliter 
les procédés du calcul diuérenliel et intégral et du cal- 
cul aux différences finies. 

Dans toute opération analytique, on peut distinguer 
trois parties : i° le signe qui indique l'opération à faire; 
2 la quantité sur laquelle on opère, autrement le sujet 
de l'opération ; 3° le résultat. Ainsi dans v4, le signe est sj . 
le sujet est 4-> le résultat est 2. Dans d.x', le signe cm 
la lettre d, le sujet est x 2 et le résultat ixdx. On peut 
faire abstraction des deux dernières parties et ne raison- 
ner que sur les signes indicateurs. Alors on parvient a 
des théorèmes très-instructifs, de nature philosophique et 
dont l'ensemble constitue ce que les Anglais nomment le 
calcul des opérations, et qu'ils cultivent beaucoup depuis 
quelques années. Donnons un exemple. Dans l'algèbre 
ordinaire, on a 



( 84) 

c'est un théorème de calcul opératoire. Dans l'analyse in- 
finitésimale, 

d" 1 .d" =zd n . d" 1 = d m+ " , ds = sd 
sont d'autres théorèmes de ce genre. Le germe de cette 
doctrine est dans la relation indiquée par Leibnitz entre 
les exposants des puissances et les exposants différentiels. 
Mais le premier fondateur est Arbogast. On lit dans son 
Calcul de dérivation (1800) : « Ici nous allons présenter 
» la chose sous un autre aspect. Nous allons détacher des 
» dérivées leur échelle de dérivation (p. 3o8). » C'est 
ce qu'on appelle la méthode des échelles détachées (*). 
Mais Arbogast ne considère que les différences et les dif- 
férentiels, et ses notations sont disgracieuses. Le second et 
véritable fondateur du calcul des opérations est Servois 
[Annales de Gergonne , t. V, p. 93 -, i8i4)- Le premier 
il a considéré la question sous un point de vue général, 
l'a placée sur un terrain philosophique et a inventé les 
théorèmes fondamentaux qui découlent de cette position 5 
théorèmes que des géomètres anglais ont réinventés dans 
ces derniers temps. 

Le révérend Carmichael cite ces géomètres : ce sont Hai- 
greave, Boole , Bownin , Doukin , Graves , Murphy , Spotis- 
woodes, Sylvester , niais jamais Servois. La raison en est 
toute simple. Le savant auteur trouve qu'il est aussi su- 
perflu de dire que toute cette théorie est due à Servois . 
que de dire que la quadrature de la parabole appartient 
à Archimède. Cette explication admise, nous pouvons 
passer à l'analyse de cette production remarquable, qui 
réunit en un faisceau une foule de faits épars dans di- 
verses collections, et imprime aux méthodes d'intégration 
une uniformité qui manque complètement dans les traités 
ordinaires. 

(*) Cette idée se rencontre déjà chez Lorgna. 



( 85 ) 
1. Notation, cp.u. Le point ne désigne ni une multi- 
plication, ni que l'on a une fonction de u , mais il indique 
qu'il faut faire sur le sujet une certaine opération dé- 
signée par op. Soit X le résultat de cette opération, de 
sorte que 

Cp . U = X , 

alors 

cp -1 indique l'opération cp qu'il faut faire sur X pour re- 
produire u. On écrit aussi symboliquement 

X 

— = u; 
f 

<j> -i se nomme indice opératoire inverse. 

sin~'a; = arc sin = x y 

log -1 x = nomb. dont le log. = a-; 

•pn^H-i^n-s ••• r fî9i •« indique n opérations à faire sur n. 

On fait d'abord l'opération ^ , sur ce premier îésultat 
l'opération ^ 2 ? sur ce second résultat l'opération cp 3 , etc. 

Si toutes ces opérations sont identiques, on écrit cp".«} 
n est un exposant opératoire, et 

Cette équation définit l'indice opératoire négatif. D ail- 
leurs <f°.u indique qu'il ne faut faire aucune opération 
sur u, et, par conséquent, laisser la quantité telle qu'elle 
est. 

«, cp, « + flj <pj . u -H . . . -+- <?„ y n . « 

s'écrit symboliquement 

(a, y i + «jf a + . . . 4- "„ y n ) . u. 

F (<p) . u signifie qu'il faut développer la fonction F (y) 
et ensuite ajouter le sujet u 



( 86 ) 
Exemple : 

(a -+- w) m . u = a"' u + mn m ~' w.u -4- m a"'- 2 m- .u+ . . 

m — 2 

m — i 
1 Ht ma" 1 ' 1 <p -+- m a™' 2 <? 2 + ...).«. 



f_« =/,-!-. :*-.! 



1 1.2 1.2.3 

Si <p désigne une dérivation , on a 

n _ D 2 .** D 3 .« 

e" . u — u -f- D . u -\ h 



.2 1.2.3 

TV 



/ ^ D J D 3 \ 

i + DH 1 - + ...).«. 

\ 1.2 1.2.3 / 

Chapitre II. — Principes élémentaires. 
\ . Loi commutative. Lorsqu'on a 

<p, q> 2 . /* = <» 2 ep, «, 

les deux symboles opératoires <p t , <p 2 ? sont dits être sou- 
mis à la loi commutative. 

Les nombres sont soumis à cette loi. En effet , un nom- 
bre est une opération sur l'unité (Euclide, livre VII, dé- 
finition 2), de sorte que le nombre n peut s'écrire ». i, 
où l'unité est le sujet, et la multiplication par m est dési- 
gnée par mn. 1 (Euclide, liv. VII, déf. 1 5) ; on a 

mn . 1 — nm . 1 . 

De même, u étant une fonction de deux variables x,y, 

on a 

D x Dj, . u = D r D x . u ; 

ainsi les symboles de différentiation satisfont à cette loi. 

Donc toutes les propriétés des nombres uniquement 
fondées sur la loi commutative existent aussi pour tous 
les symboles opératoires qui satisfont a cette loi. 

Si l'on a 

posant 



( 8 7 ) 
on a 

<p,<p, <p, = tut <f] = f,<j>i<p-. = y] 

et , en général, 

?".' 9", = TÏ ?"'• 
De même qu'on a 

rt™ 6" = 6" «'" 
et de là 



« = U': 



Ceci n'aurait pas lieu sans la loi de commutation. 
En effet 

(<j>, + <f,y-= tp'; -f- tp, tp, 4- (p,cp, + y] , 

qui ne se réduit à 

«P* + 2<p, T2 -H^ 

que lorsque çp d cp 2 = ç a <pi. 

Les symboles étant commutatifs , on a l'équivalence 

e ?i -i- ? s , « — e ?i e ?i , M . 
11 suffit de développer les fonctions, on obtient 

[..+(».+f.)+fe£^+...].« 

La coïncidence est évidente. 

2. Zoi distributîve. u et ^ étant des sujets quelconques, 
lorsqu'on a 

y .u 4- (> =Z <f.U -\- <f.*>, 

le symbole <p est dit soumis à la loi distributive. 
Les nombres satisfont à cette loi. On a 

a .b + c =^i b 4- a c ; 

de même les dérivées de 

Du 4 v — O . w t IV c 



( 88 ) 
De 

<p.«4- V = «p. M-}- <p .v r 

on déduit 

tf n . u -f- v =■ if n . u H- (f n . v , 
ou 

<p 2 .M -f- V = tp.(<p« -h (p^) = (p'.K -f- <p 2 .f, 

et de suite et de même 

<p — n . u 4- *> = <p — » . « + <p— " . c r 

et, en général, 

F (y). « + c = F(f).i( + F((f).c. 
F étant une fonction algébrique, 

i i i 



F( T ) F T F( ? ) ' 

3. Loi des indices. Lorsqu'on a 

<f a . tf" . u = ?" • <? m • « = <p m+ " ■ w , 

le symbole <p satisfait à la loi des indices. 
Exemple : 

u étant une fonction de x seul , on a 

Dm .—.n _~n — m _m-t-i! 

jt . D x . u = Dj : . D* . « = D x .u. 

Le Chapitre III traite de l'intégration des différen- 
tielles totales linéaires et débute par ce théorème : 

(xD x )P.X m x m = mP.h m x m , 
car 

(x D x ) . A„, x m = »i A m x' 7 ' , 
(arD x ) s .A ni ar» = /n*A«'", 

et ainsi de suite. 

Donc 

F(a-D.r).A m .r'" = F (m). A n x m ; 

où F est une fonction algébrique de xDx. 



( 8 9 ) 

Si l'on aU= A -}- A t x -f- A.. 2 x* -f- . . .4- A„x n , 

F(.*D.r)TJ = F(o)A„ + F (i) . A, x 4- F (2) A 2 .r 2 4- . . . 
4-F(«) A r .x" 

et aussi ==^-rA + I? ^A 1 JB+...+ =7-, A„x", 

I (xDjc) F(o) F(i) Y (ri) 

o iDj U= A 4- rtA.jrH- a J A 2 .r J + . . . + a"A„.r n , 

U il 1 . 

— TT = A, + - A,ar + — A 2 .r J 4-. . . -f- — A„ x" , 

F («Dx).A I ''= F (o). 1 + F (n) A n x" 4- F -i^l(A n x"Y 

il suffit de développer e " . 

xD^Dj; — 1) (xDz— 2) ... (xD x — n + i).u=: x n D".u. 

F ( xD x ) .x m t>= x"' F (xD x 4- m ) «'. 

Si u = .*'", 

| xD j; (xD J — i)(a?D x — 2). . .(xD x — n 4- \).x m 
= m.m — 1 . . . m — n 4- 1 x m . 

Nous indiquons les relations suivantes faciles à trou- 
ver: 

V(D).w = kF(D).p+ — -F'(D> 4- — -F"(D)«> 

' F-(D),/ 



1.2.3 
u.F(D)v = F(D).ui> — F'(D).Vu.e 

' 1 .2 
Les accents sont des dérivations par rapport à 1). 
applications. 
x*Dly = ax m 4- bx", 
équation à intégrer. 



( yo ) 

Cette équation est équivalente à 

x D x ( x D x — i )y = rta: m + ta" , 

dont la solution symbolique est 

r = TTTTT^ 7\ ( axm — bx ") + 



xD x (xD x — i) xD x (xD x — i] 

Le premier terme est, d'après ce qui précède, 

ax m bx' 1 



m [m — 1 ) n ( n — i ) 



[voir(i)]; 



or 



xY> x [xD x — i) xD, — i xD x 



.rDj — i.Ax = o, Ax = 
xl> x . B = o , 



o 



o 



xD x 

Ainsi l'intégrale est 

ax"' bx" 

/»(>/* — i ) « ( « — 1 ) 

A et B sont deux constantes arbitraires , m et n ne doivent 
être égaux ni à zéro, ni à l'unité 

Le Chapitre //^applique le calcul des symboles aux 
équations à différentielles partielles. Ce qui est très-long , 
embarrassé, par les procédés ordinaires, devient court, 
facile et mnémonique. 

Par exemple, étant donnée l'équation 

x n D'sZ + rix n - t j-D[T t D 7 z 

-I x"-' r 2 D. r Dit + . . . = ô„ H- Ô A , 

1.2 

où 2 est une fonction de x . j ; 0„ , Q h des fonctions homo- 



(?« ) 

gènes de x, y, z de degré a et b, on trouve de suite 

9a e* 



a (« — i) . . . [a — « + i) & ( b — i) . . . (b — n -+- i) 

-+- «„ + «,+... «„_, , 

«o , Wi , */ 2 , etc., sont des fonctions homogènes arbitraires 
de degré o , i , i , etc. 

Le Chapitre V traite diverses équations remarquables 
aux différentielles totales et partielles. 

Le Chapitre VI est consacré à l'intégration de sys- 
tèmes d'équations différentielles simultanées , totales et 
partielles. On y intègre d'une manière prompte les équa- 
tions qui déterminent : i° les petits mouvements des gaz 
élastiques, des solides homogènes élastiques et des liquides 
homogènes incompressibles \ 2° les relations entre la vi- 
tesse angulaire de rotation et le temps 5 3° le mouvement 
azi mutlial du plan d'oscillation du pendule. La seconde 
section renferme des considérations sur la réduction d'in- 
tégrales définies. 

Le Chapitre VII contient des interprétations de sym- 
boles ou les résultats de certains symboles agissant sur 
des fonctions données. 

Le Chapitre VIII renferme des applications très-in- 
téressantes à la géométrie et que nous donnerons ailleurs 
(voir Nouvelles Annales, t.XLV, p. aai). 

L'équation symbolique 

^ D I + iD ;F(x, r) = o 
équivaut à l'équation 

F (x'-+-a, / + 4) = o 
ou à un changement d'origine 5 l'équation symbolique 

t , a D j+ tD. + cD :F(X) jr,z) = o 



équivaut à 



F (x -+- a , y -+- b, l + c) = o ; 



( 9» ) 
réqualion symbolique 

équivaut à 

F (x cos w — y sin w , x sin w -f- y cos w ) — o , 

ou à une rotation w de la courbe F ( x , y) = o. 

Le Chapitre IX contient diverses applications sur des 
opérations symboliques et sur des intégrations. 

Le Chapitra X et dernier donne les diverses formules 
du calcul aux différences finies. Voici un spécimen : 

e™.fx = f(x -f- h) , c».fx=f(x -h . ), . 
d'où 

[e*-i).fx=f{x -4- i) -/(.r) = Afx, 

et, par des opérations successives, on obtient 

(e D — i)".f[x) = A".fx = f{x + n) — «/(.r -f- « — i) 

« . n — i 
H f[x-\-n — 2JH-. . . , 

ou 

« « — I 

I . 2 

et de là 

F(A).b, = F( C d -i).«*; 

F est une fonction algébrique quelconque. 

f D =i + i, e» D .M x = (i-f- A )".«*, 



15 > 
OU 



« . « — I 

«x+n = « x "f" « • ^ M* H A 2 M 2 



L'ouvrage est terminé par deux appendices où Ton 
rencontre une très-belle et ingénieuse démonstration 
d'un théorème de Gauss sur l'action attractive d'une 
masse placée soit entre deux surfaces fermées qui ne se 
coupent pas, soit en dehors de ces surfaces. 



( 93 ) 

Cette analyse ne donne qu'une idée incomplète des ri- 
chesses de cet excellent ouvrage. Puisse bientôt une tra- 
duction faire revivre en France le calcul symbolique 
d'Arbogast et de Servois, calcul qui condense et mnémo- 
nise une foule de théorèmes. Telle doit être la tendance 
de renseignement, car la vie est courte, la besogne lon- 
gue et les ouvriers paresseux. C'est l'opinion du Talmud. 
Dans un autre endroit il dit : 

Mange du pain avec du sel, bois de Veau dans une 
écuelle, dors sur la dure et applique-toi avec ardeur 
à l'étude delà scien ce [Tor ali (*)]. Exhortation peu goû- 
tée de notre siècle. 



Cours de cosmographie ou Éléments d'Astronomie, 
comprenant les matières du nouveau Programme ar- 
rêté pour l'enseignement des Lycées et l'admission aux 
Ecoles spéciales 5 par Charles Briot, professeur de 
Mathématiques spéciales avi lycée Saint-Louis, doc- 
teur es sciences , etc. Paris, «853; in-8 de 3o4 pages, 
3 planches (sans préface.) 

Au temps jadis , lorsqu'on faisait encore des ouvrages, 
chaque auteur expliquait son dessein dans une préface et 
apprenait au lecteur en quoi l'ouvrage différait en mieux 
d'autres sur le même sujet. Aujourd'hui que nous ne fai- 
sons que des livres, toute préface est inutile. 11 suffit, pour 
assurer le débit, chose essentielle, la seule essentielle, 
d'écrire sur le titre que le livre est conforme aux pro- 
grammes. Faites-nous des Lettres persanes, demandaient 
les libraires au siècle de Montesquieu. Faites-nous des 
livres à programmes , demandent les libraires au siècle 

(*) Le 6«wfiK des Grecs dérive peut-être de l'hébreu torah, qui vent dire 
enseignement, doctrine. 



( y4 ) 

utilitaire. Nous avons ici une excellente réponse, et 1 àme 
commerciale du livre est dans la page finale (293) où 
l'on donne le programme arrêté pour les examens du 
Baccalauréat es Sciences et pour l'admission à l'École 
spécial emilitaire de Saint- Cyr et à V Ecole Polytech- 
nique, avec les renvois aux pages du livre. 

La cosmographie, en se tenant au sens strict de ce mot, 
ne doit contenir que la description des corps qui compo- 
sent l'univers, tout comme la géographie est la descrip- 
tion de la terre, et c'est ce qu'on peut faire en peu de 
pages. Mais ce mot a reçu une grande extension. Ainsi la 
cosmographie comprend les mouvements des corps célestes, 
les moyens de les constater et de les mesurer, et même la 
connaissance des forces qui produisent ce mouvement. 
En d'autres termes, la cosmographie est devenue un Traité 
élémentaire d'astronomie. Pour ne pas éloigner les gens 
du monde, on évite quelquefois les dénominations scien- 
tifiques \ mais de telles considérations ne devraient pas 
subsister dans l'enseignement sérieux universitaire. Le 
second nom Eléments d'Astronomie, que M. Briot a 
adopté, est le véritable, et c'est le seul qui devrait être 
adopté. 

Le savant professeur auquel nous devons un Traité re- 
marquable de Géométrie analytique et de bellesdémons- 
trations des théorèmes de mécanique de M. Poinsot, était 
très-apte à nous expliquer les positions mutuelles et les 
mouvements relatifs des divers rouages et ressorts du 
char céleste , comme s'exprime la Bible. 

Selon la méthode ordinaire > l'auteur part des mouve- 
ments apparents pour venir aux mouvements réels. La- 
caille suit une méthode opposée. Il suppose tout de suite un 
spectateur placé au centre du soleil et autour duquel val- 
sent les planètes. La méthode Lacaille me parait préféra- 
ble etsurtoul auprès des personnes étrangères aux sciences 



( 95 ) 
exactes. Après avoir expliqué les apparences à noire 
usage, il faudrait décrire les apparences pour un spectateur 
placé sur un satellite, sur la lune et même sur un satellite 
de Jupiter; et ensuite sur une planète inférieure et 
supérieure (*). On n'insiste pas assez sur ce qu'il faut en- 
tendre par le sens du mouvement. Le soleil décrit sur la 
calotte céleste une hélice sphérique. Cette hélice est-elle 
dexlrorsum ou smistrorsum ? C'est une question à laquelle 
beaucoup d'élèves ne savent pas répondre, parce que les 
explications ne sont pas assez nettes. Autre question pour 
un spectateur placé sur le pôle: Quel est le mouvement 
de la lune, combien a-t-elle de phases ? 

Les théories et les faits cosmiques consignés dans Y as- 
tronomie de sir Herschel et dans le Cosmos de M. Alexan- 
dre de Humboldt sont fidèlement et clairement exposés 
dans la présente Cosmographie , qui est ainsi au parlait 
courant de la science. On y trouve les orbites de quelques 
étoiles doubles calculées récemment par M, Y von ^ illar- 
ceau (page 292), et les expériences dynamiques de 
M. Foucault, avec une description du gyroscope que 
M. Briot avait déjà publiée dans la Revue ciel Instruc- 
tion publique (6 jauvier i853). L'explication n'est pas tout 
à fait à la portée des non-géomètres. M. Yvon\ illarceau a 
eu labonté de nous remettre depuis longtemps une théorie 
mathématique de cet admirable instrument, que le défaut 
d'espace ne nous a pas encore permis d'insérer dans les 
Nouvelles Annales, et que nous donnerons incessam- 
ment. 

A l'occasion de ces expériences, l'auteur parle du mecc- 
nisme de Cardan (page 273). Or Cardan ne donne pas ce 

(') J'en ai parlé il y a quelques années à Arago, qui m'a dit qu'en effit 
la méthode de Lacuillc était très-bonne, mais qu'on doit se conformer à la 
marchesuivie parLaplace. Jelui ai répondu que leJurareinverbaniagistn 
n'est admis qu'en théologie. 



196 ) 
mécanisme, comme étantde son invention. Voici ce qu'on 
lit dans Cardan, sur une voiture où l'empereur Charles- 
Quint pouvait rester assis tranquillement sur son siège , 
quels que fussent les mouvements de la voiture : 

Simili ratione invention est ut Cœsaris sedes ita dis- 
pojieretur ut, quocunque situ constituatur, Me immo- 
bilis ac commode, dum vehitur, sedeat. Hoc tractum ex ar- 
mittarum ratione. Cum enim circulitres chalybœi consti- 
tuentur, polis sursum, deorsum, ante, rétro, dextra et si- 
nistra mobUibus cum plares non possent esse silus, ne- 
cesse est ipsum in essedo quomodocunque agalur quies- 
cere perpeluo. Habet hoc aliquid non absimile lucer- 
nis a quorum exemplo ducta est ratio : circumvoluta', 
enim patulœ oleum nequaquam ejfundunt. (De subtili- 
tate, lib. XVII, de artibus, artificiosisque rébus, p. 612, 
Card. Opéra , tome III. Lugduni , 1 663 . ) 

On voit que cette voiture a été précédée de la lampe 
inversable. Le célèbre Januelo, horloger de Charles-Quint 
et qu'il a mené avec lui à sa retraite]de Yuste, est, dit-on, 
1 inventeur de la voiture. 

Nous soumettons une observation à tous nos cosmo- 
graphes. 

Il n'est pas d'usage en France de citer les auteurs. On 
pourrait cependant s'écarter de cet usage dans la compo- 
sition de cosmographies destinées à la jeunesse. Parlant 
constamment de l'horloge, n'est-il pas convenable de di- 
riger la pensée du lecteur vers l'horloger. Newton et 
Euler, tètes assez fortes , n'y manquent pas. Ecoutons 
d'ailleurs ce que dit là-dessus un philosophe du xvm c siè- 
cle, ami et partisan enthousiaste de ^ oltaire : 

« Les corps semblent assujettis dans leurs mouvements 
» à deux sortes de lois essentiellement différentes. Les 
>> unes sont des conséquences nécessaires de l'idée que 
» nous avons de la matière: les autres paraissent l'effet 



( 97 ; 

» de la volonté libre d'un être intelligent qui a voulu 
» que le monde fût comme il est plutôt que de toute autre 
» manière. » (Le marquis de Condorcet à M. dAlem- 
bert, sur le système du monde et sur le calcul intégral ; 
page 4- Paris, 1768 ; in-4.) 

Ceci me rappelle une anecdote de la vie de Kepler. 
Dans une réunion de professeurs chez Kepler, la conver- 
sation roulait sur des questions de philosophie. Lorsque 
tous furent partis, la femme de Kepler, dit à son mari : 
« J'ai entendu le professeur un tel soutenir que l'univers 
pouvait être le résultat du hasard. Je t'ai entendu dire 
souvent qu'il règne partout un ordre admirable; com- 
ment peut-on dire que cela provient d'un coup de dé ; c'est 
unegrosse absurdité. — Pas si grosseque tu penses. \ oyons, 
lorsque tu veux faire une salade, tu prends des feuilles de 
chicorée, de l'huile, du vinaigre et du sel. Supposons que 
tu jettes tous ces ingrédients en l'air, en retombant à terre, 
ils peuvent se mêler de manière à faire unesalade. — Cela 
n'est pas absolument impossible, j'en conviens, reprit 
Madame Kepler, mais tu es bien convaincu que la sa- 
lade ne sera jamais aussi bonne que si je 1 avais faite moi- 
même. » 

Cette philosophie domestique a bien son prix. 



Sopha gli ijvtegrali geîverali di aixuke equazionï a 

DERtVATE PARZIALI A COEFFICIENTI COSTAKTI. MeniOria 

del socia attuale prof. Barnaba Tovtolini , inserila 
nella parte secunda del tomo XXV délie Memorie délia 
Società italiana délie scienze in Modena. Modcna, 
i854 5 in-4 de 34 pages. 

Le savant analyste, connu par tant de beaux travaux , 
se sert ici de la méthode des symboles pour intégrer 

Bulletin mathématiqup , t. I er . ( Juillet i855.] 7 



facilement et avec beaucoup de généralité des équations 
aux différences partielles qu'on 1 encontre fréquemment 
dans la physique mathématique. Essayons de donner une 
idée de ce remarquable travail. 

Soit 

u=f(x), 
alors 

o 7 r- , 

f[x -+- at) = u + al ï) x H Dj. -+■ 



_ „<" D, 



équation symbolique. 
Soit maintenant 

alors 



u = /(x, y), 



i \ t.aD x i* 
f{a: -+- at, y -+- bt) = u ■+■ H 



a'D 2 x 

iabH x Xy r 

b>V} 



4-. 



rO 



OU 



□ = a T) x -+- b D, , 
et ainsi de suite. 

Etant donnée l'équation aux différences partielles 

(D, — aD x —bD / -cD i ... —m)=f(x,y, z . . . T); 

j?, ^, ,z,...,£ sont des variables indépendantes, les dé- 
rivées étant prises sur la fonction principale ?/; <7, />, c 
r?,..., m sont des constantes. 
On a 

« = é 1 "" f»'Q ^ ( ,r , j , c , . . ) 

; _+_ f ^,(/-T) r( ,-T)D/( X) j, *,.-.. T) rfT, 

^ est la fonction arbitraire à quoi se réduit f e.n faisant 
t = T. 
Posons 



F ! T)=/[.r + fl (/-T), : fr('-T), s«— T)„. . . T], 



( 99 ) 
on a 

U = i' ml ■!> (.r -+- at, y + bt, z + et, . . . ) 



1. 



t .m(,-T', F(T)f/T. 

Si Ton a 

{T>, — aD I —bD r — cD;...—m)u=o, 
alors 

u = e"" ^ (x -+- at, y -+- bt, z-+-ct, . . .)■■ 

A oici les principales équations intégrées dans ce Mé- 
moire : 

i". («D x -H bT> x -hcD : y.u=f(x,y, z); 

2". (Di + D/.-4-D I î ).«=/(x, r ,. z ); 

3°. (D* + Dj. + D;) 2 . « — /(.r, r , z) ; 

et, en général , 

(ad'; -h bd; 1 -+- cd;")".« =/{*,?, z ). 

L'intégrale est débarrassée d'imaginaires qui se trouvent 
dans l'intégrale donnée par Poisson. 

L'on donne les fonctions arbitraires à ajouter à chaque 
intégration et toujours par une marche uniforme. Nous 
regrettons que les limites imposées au Bulletin ne nous 
permettent pas d'entrer en plus de détails. 



BIOGRAPHIE. 

QUERRET (Jean-Joseph). 

Querret (Jean-Joseph) naquit «à Sainl-Malo, en i j83, 
de parents sans fortune. Son père, entrepreneur de bâ- 
timents, soutenait par son travail une famille composée de 
trois enfantsdont Querret étaille plus jeune. Le père mou- 
rut pendant que ses enfants étaient encore en bas âge, et sa 

7- 



( •"«»' ) 

veuveeutà passer plusieurs années laborieuses et pénibles, 

jusqu'à ce que son fils pût être en âge de venir au secours 
de sa famille par sonpropre travail. Ce moment ne tarda 
pas à arriver-, dès l'âge de onze ans, Querret était admis 
à l'école d'hydrographie de sa ville natale, et ses progrès 
y furent si rapides, que , deux ans plus tard , M. Lecerf , 
son professeur, le jugeait capable de le suppléer. 

C'est ainsi que Querret, à l'âge de treize ans, entrait 
dans la carrière de l'enseignement. Il s'y livra avec une 
ardeur qui ne se démentit jamais, et , outre une classe 
publique qu'il faisait deux fois par jour, il donnait un 
grand nombre de leçons particulières. Cependant son 
temps n'y était pas entièrement consacré} il trouvait en- 
core le moyen de se livrer à des études approfondies et 
acquit des connaissances très-étendues sur l'histoire des 
sciences qu'il enseignait. 

Ces études annonçaient un esprit sérieux et distingué. 
M. Lecerf pressa Querret de se présenter pour entrer à 
l'Ecole Polytechnique, où les admissions étaient alors 
gratuites. 

Mais Querret était le seul soutien de sa famille; son 
absence aurait été pour elle une cause de privations. Il 
sacrifia à cette considération toute-puissante le brillant 
avenir que lui aurait ouvert une admission certaine à 
l'École. 

Parvenu à l'âge de vingt ans, Querret sentit la nécessité 
d'apprendre les langues anciennes et voici comment il y 
parvint. Au commencement de ce siècle, il s'était formé 
à Saint-Malo une société de plusieurs jeunes gens : les uns 
enseignaient les mathématiques aux autres, qui, à leur 
tour, devenaient professeurs de langues. Le dimanche était 
ordinairement consacré à ces réunions ; les progrès furent 
rapides. Querret était le professeur de mathématiques; 
il avait pour élèves dans les sciences, puis pour maîtres 






( "il ) 
de langues , dans celle espèce d'enseignement mutuel , 
deux frères, devenus plus tard diversement célèbres : l'un, 
longtemps administrateur spirituel du diocèse de Saint- 
Brieuc, est aujourd'hui à la tête des Frères de la Doctrine 
chrétienne, qui reudent tant de services à l'instruction 
primaire-, l'autre était l'illustre auteur de Y Essai sur 
V Indifférence et des Paroles d'un Croyant. Des liaisons 
d'amitié entre Querret et ces hommes ont duré toute la 
vie. 

En i8i 2 , Querret avait été mis à la tête du collège de 
Saint-Malo, avec le titre de chef d'institution , qu'il 
conserva pendant onze ans. Vers la fin de cette adminis- 
tration, il avait acheté, aux environs de Saint-Malo, une 
propriété où il se retira en 1823, à l'époque où des dis- 
cussions survenues avec le conseil municipal le forcèrent 
d'abandonner ses fonctions. Déjà plusieurs écrits l'a- 
vaient fait connaître. En 1822, il avait publié un petit 
Traité d' Arithmétique, destiné à l'euseignement pour les 
écoles primaires , et dont il a été fait plusieurs éditions 5 il 
avait adressé au Journal de Mathématiques, rédigé par 
M. Gergonne (*) , depuis recteur de l'Académie de Mont- 
pellier, plusieurs articles qui l'avaient fait avantageuse- 
ment remarquer des hommes spéciaux 5 aussi, en 1824. 
M. l'abbé Jean-Marie de Lamennais, alors vicaire gé- 
néral de la grande aumônerie de France , l'engagea-t-il 
vivement à faire un voyage à Paris. A peine arrivé, Quer- 
ret se trouva en relation avec Cauchy, Binet, Poisson, 
Ampère, Francceur, Arago, Thenard, etc., qui appré- 
cièrent l'étendue de ses connaissances et conçurent pour 
lui une haute estime. 

Malgré les instances qui lui furent faites pour qu il 
restât à Paris, Querret n'y résida que le temps nécessaire 

(«) Tomes XII. XIII, \l\ , XV. Au tome XII, p. 36? (i8q3), sa belle 
démonstration >m 1'équivalenca des tétraèdres. Tu 



( 102 ) 

pour subir avec distinction les épreuves du doctorat es 
Sciences. Sa thèse de mathématiques fut surtout remar- 
quée. « C'est un bon ouvrage, » disait Legendre. 

Tous les jeunes gens de nos écoles connaissent, en ef- 
fet, aujourd'hui cette ingénieuse et élégante démonstra- 
tion des pyramides équivalentes , due à Querret ; elle sert 
de base à une foule de démonstrations pour la solidité des 
corps, et Legendre, comme on lésait, l'a insérée avec 
les plus grands éloges dans son Traité élémentaire de 
Géométrie. 

Docteur es Sciences, officier de l'Université, Querret 
fut nommé professeur de Mathématiques transcendantes à 
la Faculté des Sciences de Montpellier. Il y arriva en 
i8a5. 

Malgré les succès de son enseignement, Querret resta 
peu à Montpellier; il désirait vivement se rapprocher de 
sa famille, et, le i4 décembre 1826, il fut appelé à la 
chaire de Physique du collège royal de Nantes , avec l'au- 
torisation de conserver le titre de professeur de Faculté 
et la moitié des appointements qu'il avait à Montpellier. 
Pendant son séjour à Nantes, il fut admis au nombre des 
membres de la Société royale académique de cette 
ville. 

L'année suivante , et toujours par le désir de se rappro- 
cherencore davantage de sa famille, il alla occuper au col- 
lège royal de Rennes une place semblable à celle qu'il rem- 
plissait à Nantes, et il joignit à ses fonctions de professeur 
des sciences mathématiques et physiques uu cours de géo- 
métrie et de mécanique appliquées aux arts, établi à 
Rennes par l'administration municipale. 

M. Charles Dupin vint examinera Rennes cet ensei- 
gnement, et, sur son Rapport, M. le Ministre de l'In- 
struction publique envoya à Querret un grand ouvrage 
de mathématiques en témoignage de sa liante estime. 



( io3 ) 

11 est en ce moment qu'éclata la révolution de juillet. 
Le gouvernement nouveau supprima le cumul et Querret 
eut à choisir entre les fonctions qu'il remplissait à Rennes 
et celles qu'il avait remplies à Montpellier. Naturelle- 
ment il opta pour ces dernières. 

A peine arrivé à Montpellier, les fatigues du voyage, 
le climat du Midi, l'éloignement de sa femme et de ses 
nombreux enfants , et peut-être aussi d'honorables regrets 
politiques, altérèrent sensiblement la santé de Querret. 
Un congé d'un an lui avait été accordé ; mais, en i832 , 
l'état de sa santé ne lui permettait pas encore d'aller re- 
prendre ses travaux à Montpellier, et il demanda au Mi- 
nistre de l'Instruction publique l'autorisation de rester, 
avec des appointements modiques, dans ses foyers jus- 
qu'en i834 -, époque à laquelle il aurait complété le temps 
nécessaire pour avoir droit à une pension de retraite . Sa 
demande ne fut point accueillie, et, par un arrêté en 
date du 19 avril 1 833 , le Ministre déclara sa place va- 
cante à la Faculté de Montpellier. Cet arrêté doit paraître 
au moins bien rigoureux envers un professeur dont les 
travaux méritaient assurément d'autres égards. 

Toutefois Querret se résigna et se retira à la cam- 
pagne, rentrant dans la solitude de ses éludes, ne son- 
geant plus à s'occuper que de l'éducation de sa nombreuse 
famille. Dans sa retraite, les jeunes gens qui se livraient 
aux sciences étaient sûrs de trouver auprès de Querret 
toutes les ressources dont ils avaient besoin. Il se rendait 
souvent chez les Frères de la Doctrine chrétienne. 

Trois ans avant sa mort, il songea à fonder à Dinan un 
établissement qui réunit à la fois, sous la surveillance de 
l'autorité municipale et universitaire, sous son adminis- 
tration et celle de M. l'abbé deLamrnnais , les avantages 
de. l'instruction secondaire et ceux de l'enseignement pri- 
maire. Le Ministre avait donné son assentiment au projet 



( «>4 ) 

présenté, lorsque des intrigues et des tracasseries, sus- 
citées dans un intérêt tout matériel, vinrent en empêcher 
la réussite. Querret avait oublié les persécutions récentes 
aussi bien que les anciennes , lorsque la mort vint l'enle- 
ver à la science, à sa famille et à ses amis, le 8 décem- 
bre i83_9, à l'âge de cinquante-six ans. 

Il nous reste à indiquer, en quelques mots, ses prin- 
cipaux ouvrages. 

Outre le petit Traité méthodique d'Arithmétique déjà 
indiqué, il avait publié : 

i°. En 1 8 19, des Leçons cV Hydrographie , dont il fut 
fait une seconde édition dix ans plus tard avec la collabo- 
ration de Michelle , professeur d'hydrographie, prédéces- 
seur de M. Delafoie , professeur actuel. C'est à l'usage des 
capitaines de cabotage. ImprimeriedeHovins, à Sain t-Malo. 

2 . Un Traité d'Arithmétique, plus étendu, suivi 
d'une Exposition des principes fondamentaux de V Al- 
gèbre, avec leur application à l'Arithmétique et au Com- 
merce. Il y a eu également deux éditions de cet ouvrage. 

3°. Des Tables de Logarithmes et des sinus et co- 
sinus de seconde en seconde, et des tangentes et cotan- 
gentes de minute en minute pour tous les degrés du quart 
de cercle: suivies d'une Table des Logarithmes des nom- 
bres , depuis 1 jusqu'à 10800, avec une introduction en 
français et en anglais, dans laquelle on ramène à l'usage 
des sinus et cosinus seulement tous les problèmes usuels 
de l'astronomie [nautique. Un gros volume in-8 j Saint- 
Malo; L. Hovins, imprimeur libraire 5 i83o. 

4°. Des Leçons élémentaires d'Algèbre , approuvées 
par le Conseil royal. 

5°. Des Leçons élémentaires de Géométrie plane , 
qui devaient être complétées par la publication de la géo- 
métrie à trois dimensions. 

Tels sont les principaux ouvrages publiés par Querret, 



( 1g5 ) 

mais il reste dans ses papiers des recherches beaucoup 
plus longues et des travaux bien plus étendus encore. Un 
homme spécial y puiserait sans doute de précieux rensei- 
gnements. 

Nous devons citer, parmi ses travaux, des mélanges 
d'arithmétique , d'algèbre, d'hydrographie , de mécanique 
et d'astronomie; des Notices sur les travaux et la vie de 
plusieurs mathématiciens célèbres : L'Hôpital , Jean Ber- 
noulli , Lacroix, Bezout , etc. •, des Cours et des Pro- 
grammes de Chimie et de Physique, mais surtout une 
grande entreprise que la mort de Querret n'a pas permis 
de mener à fin: la traduction du Calcul intégral d'Euler, 
ouvrage en trois gros volumes in -4, dont Querret n'a eu 
le temps de traduire que les deux premiers. On doit faire 
des voeux pour qu'un homme , ami de la science , entre- 
prenne de terminer et de publier ce grand travail, dont 
l'apparition ferait sans doute sensation dans le monde 

Savant. (Communiqué /«a;- M. Cabaret, docteur en midecine, ami de Qucn si ) 

Note du Rédacteur. La traduction du Calcul diffè • 
rentieletintégral d'Euler est encore aujourd'hui l'ouvrage 
le plusclairqu' on puisse mettre entre les mains des élèves, 
et, en y ajoutant les progrès faits depuis, ce serait le 
meilleur manuel pour les professeurs. On ne saurait trop 
engager la famille à faire cette publication qui consolerait 
de tant de productions sans nom, sans valeur scientifique 
que chaque jour voit éclore et disparaître. Il y a quelques 
années, il s'est agi, à Bruxelles, de traduire les oeuvres 
d'Euler. L'entreprise n'a pas abouti. Les ouvrages publiés 
sont : Lettres à une princesse d'Allemagne, l 'Algèbre, 
l'Arithmétique, Essai sur la Théorie de la musique ; 
en tout cinq volumes. Un éditeur acquerrait un grand 
crédit, par un tel travail , mériterait les encouragements 
du gouvernement et la reconnaissance de la postérité. 



( io6 ) 

NEPER. 

Né à i55o à Merchiston, non loin d'Edimbourg, il esi 
mort le 3 avril 1617, âgé de soixante-sept ans. 

Un de ses ancêtres , Donald, second fils du comte de 
Lennox sous le règne de David le second (xtv c siècle), 
ayant fait une très-belle action, sans égale , pair less , la 
famille fut surnommée Nepair. Du reste, ce nom est dif- 
féremment orthographié : Neper, Neperus , Napeir, Na- 
per, JSapier. C'est ce dernier nom que la famille porte 
maintenant. 

Il a hérité de la baronnie de Merchiston , en i6o5 , par 
la mort du son père, mais il n'était pas pair cV Ecosse et 
ne portait pas le titre de lord. C est son fils et héritier. 
Archibaid, qui a été élevé à cette dignité en 1626. 

Neper fit son éducation au collège de Saint-Andrews 
où il entra en i563 , à l'âge de treize ans. Sorti de ce col- 
lège, il fit une tournée sur le continent, et, revenu un 
1071 à Merchiston, il s'y maria à l'âge de vingt et un 
ans. 11 ne quitta plus l'Ecosse, et, zélé puritain, il fut 
membre de plusieurs synodes presbytériens ; il fut un d;- 
ceux que l'assemblée générale d'Edimbourg députa vers 
Jacques pour demander l'excommunication contre certains 
seigneurs catholiques , parmi lesquels figure le père de la 
seconde femme de son père. Il avait perdu la première 
en 1079. 

Etant encore étudi an t à Saint-Andrews , il conçut l'idée, 
à ce qu'il raconte lui-même , de dévouer sa vie à l'inter- 
prétation des prophéties, étant excité à cette entreprise, 
dit-il , par l'aveuglement des catholiques qui ne voidaient 
pas voir que leur croyance était vouée à la destruction 
dans le livre de l' Apocalypse; et il dit même . vers la i\n 
de sa vie, que cette entreprise exégétique a toujours été 
bu principale occupation . et les mathématiques reniement 



( «o 7 ) 
un délassement. La première édition de son ouvrage sur 
Y apocalypse est d 'Edimbourg , i5g3,in~4, et la der- 
nière édition qu'il a donnée lui-même est de 1611, sous 
ce titre : 

A plaine discovery ofthe whole révélation ofS. John , 
set dowti in Iwo treaties: tlie one searching and pro- 
ving the truc interprétation thereoj ; the otherapplying 
the same paraphrasticallic and historicallic to the text ; 
setfoith by John Napeir (sic) , L. of Merchiston and 
now revised , correctcd and inlarged hj him, with a 
résolution of certain doubts moved by some wellaffec- 
ted brethren- whereunlo are annexed certain oracles 
of Sibylla agreing with the révélation and other places 
of Scripture. London, printed for John Norton; 161 1, 
cumprivilegio Regiœ Majestatis . In-4 de vm-SjS pages. 
Neper fixe la fin du monde entre 1688 et 1700, et, 
après nous avoir donné les prophéties sibyllines qui nous 
restent , il termine son ouvrage par cette singulière invo- 
cation : 

O toi Rome , si tu veux te réformer et croire au vrai 
christianisme , crois en cette révélation qui proclame pu- 
bliquement ta ruine; et si tu persistes à rester païenne, 
crois les anciens oracles de la Sibylle , si longtemps vé- 
nérée dans ta capitale; repens-toi à ton heure suprême 
si tu aimes ton salut éternel. Amen . 

Quelle aberration! Pascal dit que jamais on ne fait le 
mal si pleinement, si gaîment que quand on le fait pat- 
conscience; il en est de même des folies Jamais on ne les 
dit avec tant d'abondance et d'assurance que lorsqu'on 
les puise dans ce qu'on appelle sa conscience. Folie est le 
nom que donne Newton à cette exégèse apocalyptique a\>- 
pliquée à deviner Y avenir. Que fait-il lui-même? Il rem- 
place cette folie par une autre et se sert de celte exégèse 
pour expliquer le passé. A cette occasion on se rappelle 



( io8 ) 
encore cet admirable chapitre où Pascal décrit l'homme 
comme un composé de grandeur et de misère, et Pascal lui- 
même, sublime géomètre, sectaire digne de pitié, est une 
preuve éclatante de cette composition binaire. Il sait par- 
faitement que la terre n est qu une molécule de l'univers, 
et sans cesse il rattache le sort de l'univers à l'histoire 
de cette molécule, soumettant tout au problème des par- 
ties j tout excepté cette histoire. 

Toutefois cet ouvrage de?seper. dont le plan est géo- 
métrique, a fait une assez grande sensation. Il v en a eu 
deux éditions presque consécutives en 16^1 et i645 à 
Edimbourg, format in-4- Il a été traduit en français à 
la Rochelle, en 1662. format in-8, sous ce titre : 

Ouverture de tous les secrets de l'apocalypse de 
saint Jean . par deux Traités: 1 un recherchant et prou- 
vant la vraie interprétation d'ieelle ; l'autre appliquant 
au texte cette interprétation paraphrastiquement et his- 
toriquement; par Jean Napeir, c'est-à-dire non pareil, 
sieur de Merehiston, revue par lui-même et mise en fran- 
çais par Georges Thomson . Eseossais. 

Il v a une seconde édition aussi in-8 de 160D. Du reste. 
il en existe plusieurs traductions en allemand. 11 semble 
que 1 esprit humain a aussi son oïdium qui l'infecte de 
temps à autre. Ainsi aujourd'hui les tables tournantes et 
parlantes, les tendances mvstiques et thaumaturgiques , 
les efforts pour remplacer les classiques païens par les 
écrivains pieux du moyen âge , sont à coup sur les effets 
d'un tel oïdium. 

IVeper n est pas le premier protestant qui ait converti 
1 oeuvre de saint Jean en arme offensive et ce n'est pas à 
ce titre que limmortalité est acquise à son nom. Il doit 
relte immortalité à son second ouvrage Mirifici logarith- 
moruru, qui s adresse non à une secte, mais au genre hu- 
main ; nous en avons parlé longuement [voir p. 1 et 4°). 



( ">9 i 
l,.i même idée de rac< ourcir les cali ni» se retrouTc encore 
dans son troisième ei dernier ouvrage : 

Rabdologiœ seu numerationû pet virgula» librx duo : 
cwn appendice de expeditissimo multiplicationU promp- 
tuartO) auibits accessit r-t ariihmeticœ lo< "li\ lil><r unus; 
authore et inventore .Ioamve JVepero, barone Merchis- 
toni, etc. Seoto., Kdimhui ., 16175 in- 12. 

Dans la dédicace, uâlexandro Setonio tupremo 

regniScotiœ Cancellario, Neper dit qu'il a publié, l'an- 
née précédente, des Logarithmes pour faciliter lescaL nls 
et que depuis il avait découvert une meilleure espèce de 
logarithmes; mais , à cause de sa mauvaise ianté, il aban- 
donne le soin do calculer ces logarithmes 1 d'autre el 
principalement a llcnrico Hriggio, Londini publiée 
géométrie professori. Il aurait dû ajoute/ que I idée de 
ces nouveaux logarithmes appartient à Briggs. 

Voici, en peu de mots, la construction 'le cet instru- 
ment rabdologique (*) connu sous le nom de bâtons rie 
Veper. Il se compose de neuf planchettes rectangulaires 
léparées. La hauteur 0*0 chaque rectangle contient oeuf 
fois la largeur. On divise par des traits chaque rectangle 
in neuf petits carrés. Dans un premier rectangle, on <•< 1 ti 
1 dans le premier carré , 2 dan h- second carré, 3 dan 
le troisième carré, et ainsi de suite jusqu'à 9 ■. c'esl le rec- 
tangle régulateur qui sert de guide. Dans un econd re* 

tangle, on écrit 'j. dans le carré supériem et on divise en- 
suite chacun des huit autres cari <■ . pai desdiagonale itiré( 
degaucheadroiteen deux triangles. Dans le secondearréon 
i'( rit 4 dans le triangle supérieui et rien dan le triangle Infé- 
1 nui ; de même 6 dan s le 11 oisième ' arré et 8 dans le qua- 
trième carre ; pour le cinquième carré on a 10, cm écrit o 
dans le triangle supérieur et la dizaine 1 dansleti i angle in- 

' f'i/iâo bûdllui \e Rejffi det Hlemandt dérive de fijlâof. 



( MU ) 

férieur; pour le sixième carré, on a 1 2 = 2.6, on écrit 2 
dans le triangle supérieur et 1 dans le triangle inférieur, 
et ainsi de suite jusqu'à 18 = 2.9. On arrange de même 
la troisième planchette , en écrivant 3 dans le carré supé- 
rieur et 6, 9, 12, i5, 18, etc. , multiples successifs de 3 , 
dans les autres carrés , ayant soin de mettre les dizaines dans 
le triangle inférieur; on agit de même pour les planchettes 
restantes. Supposons maintenant qu'on veut multiplie)' 
9873 par 6 ; on met à côté les unes des autres , en allant de 
gauche à droite, les quatre planchettes 9 , 8, 7, 5 et à côté 
le rectangle régulateur. Alors sur la ligne qui répond à 6 
du rectangle régulateur, on lit les produits 6.5 , 6. 7. 6.8, 
6.9; il suffit d'ajouter les dizaines d'un triangle inférieur 
aux unités du triangle supérieur suivant. Lorsque le mul- 
tiplicateur a plusieurs chiffres, on obtient ainsi les pro- 
duits partiels. Cet instrument n'est pas sans utilité; Lam- 
bert dit en avoir fait quelquefois usage; Servois , un des 
premiers promoteurs de la géométrie segmentaire, a con- 
struit un semblable instrument perfectionné et amplifié. 
Nous pourrons peut-être en donner la description (*). 



SIR LA MALADIE DE NEWTON. 



Dans le volume XII des Transactions de la Société 
royale d'Edimbourg, publié en i852, il y a une Notice 
de M. James Crantor Gregory, professeur de physique au 
collège de cette ville, sur un manuscrit autographe de 
Newton, oflrant des notes sur le troisième livre des Prin- 
cipes, manuscrit découvert dans les papiers de David 

(*) Cet instrument est h Besançon en la possession de M.Simonnot, 
capitaine d'artillerie en résidence fixe, neveu et héritier du géomètre, 
mort célibataire. 



( I»I ) 

Grcgory. L'auteur a pour bui de réfuter les assertions de 
M. liiot, relatives à l'accès de folie de Newton en 1692. 

Voici ce qu'on lit dans une lettre de Hnyghens à Leib- 
nitz, en date du 8 juin 1694 : 

« Je ne sais si vous avez sceu l'accident arrivé au bon 
» JM. Newton , sçavoir qu'il a eu une atteinte de phré- 
» nésiequi a duré dix-huit mois et dont on dit que ses 
» amis, à force de remèdes et de le tenir enfermé, l'ont à 
» peu près guéri maintenant. Voilà un grand malheur 
» et le plus fâcheux qui puisse arriver à un homme. » 

Leibnitz répond ( 22 juin 1694) : 

« Je suis bien aise d'apprendre la guérison de M. New- 
» ton aussi tost que la maladie qui estait sans doute des 
» plus fascheuses. C'est à des gens comme vous, Mon- 
» sieur, et luy, que je souhaite une longue vie, préféra- 
» blement à d'autres dont la perte ne seroit guère consi- 
» dérable en parlant comparativement. » 

Et dans la suivante du i4 septembre de la même an- 
née , on lit : « N'a-t-on point de nouvelles de la restitu- 
» tion entière de M. Newton? Je le souhaite fort (*). » 

Une année après, presque jour pour jour, le 21 
juin 1695, Leibnitz écrit dans la dernière lettre de cette 
correspondance avec Huyghens : 

« J'ay appris de M. Bonval Basnage que vous avez 
» esté malade, mais j'espère que vous vous porterez bien 
» présentement. » 

Cet espoir ne s'est pas réalisé. Huyghens est mort le 
8 juillet 1695 , à ce qu'on présume, à la suite d'une mala- 
die mentale. 

(*) Dans cette même Lettre, on trouve les définitions suivantes : 

Diligcre, chérir, est se faire un plaisir de la félicité d'autrui. 

La bienveillance est un habitus diligendi. 

La charité est une bienveillance générale*. 

La sagesse est la science de la félicité. 

La justice est une charité conforme a la sagi 



THÉORÈME DE FERMAT SLR LES NOMBRES POLYGONAUX. 



Le théorème de Fermât sur les nombres polygonaux 
est cité par Descartes qui l'attribue à un M. de Sainte- 
Croix qui proposait souvent à Descartes des questions sur 
les nombres. 

Voici le passage d'une lettre de Descartes au P. Mer- 
senne, en date du 27 juillet i638. 

« Car supposant le théorème de M. de Sainte-Croix, 
» à savoir que tout nombre se peut réduire à trois tri- 
» gones, à quatre carrés, à cinq pentagones, etc , ou à 
» moins.... Mais , pour ce théorème, qui est sans doute 
» l'un des plus beaux qu'on puisse trouver touchant les 
» nombres, je n'en sais point la démonstration. Je la 
» juge si difficile, que je n'ose entreprendre de la cher- 
cher. » {Œuvres, t. VU, p. 1 13 5 édit. Cousin.) 

On lit dans la vie de Descartes par Baillet (tomel, 
page 146) : 

« Il semble qu'on pourroit aussi rapporter au temps 
» de la demeure de M. Descartes à Paris (1626) l'amitié 
» qu'il eut avec M. Frenicle l'ainé qu'il appelle souvent 

» M. de Bessy et M. de Sainte-Croix M. de Sainte- 

» Croix étoit (*) un autre arithméticien insigne, mais 
» encore plus intime ami de M. Descartes ; c'est le même 
» que nous trouvons appelé par d'autres André Jumeau , 
» qui étoit prieur de Sainte-Croix et qui avoit été pré- 
» cepteur de M. le duc de Verneuil. M. Descartes témoi- 
» gnoit estimer très-particulièrement la connoissance 
)> profonde que M. de Sainte-Croix avoit de larithmé- 
» tique et de l'algèbre. » 

(*) Racine écrit déjà paraître, connaître; ai au lieu de oi. Ainsi, Ra- 
pine suivait en partie l'orthographe que Voltaire a généralisée et lait ad- 
mettre. 



( "3 ) 



SIR é PROBLÈME D'ANALYSE INDÉTERMINÉE 

attribué à Arehimctle, et dit de bovino. 



On sait que l'Anthologie grecque est une collection de 
petits poèmes nommés épigrammes(*). Parmi ces poèmes 
il y en a plusieurs qui renferment des énoncés où il s'a- 
git de deviner des nombres. On trouve le texte, la traduc- 
tion en vers latins et les solutions de quarante-cinq de ces 
épigrammes dans Y Histoire des Mathématiques de Heil- 
bronner (p. 84^ )• Us se résolvent par une équation du 
premier degré à une inconnue et quelques-uns à deux in* 
connues. Une épi gramme grecque, renfermant une ques- 
tion d'analyse indéterminée, a été découverte en 1773 par 
Lessing dans la bibliothèque de Brunswick et il l'a publiée 
dans le tome I er , p. 4 21 ? d e son ouvrage intitulé: Bci- 
trage zur geschichete und litteratur: documents pour 
l'histoire et la littérature. 11 y a neuf conditions à rem- 
plir. Nous donnons ci-joint le texte grec et une traduc- 
tion vers pour vers presque littérale et qu'il faut lire 
avant de continuer. L'épigrammc est suivie d'une scolie 
grecque qui donne les nombres suivants sans dire com- 
ment on les a trouvés. 

Soient 



Nombres. 




N 


mu lires. 






B 


Taureaux blancs. 




b 


Vaches 


blanches. 


N 


— noirs. 




n 


— 


noires. 


J 


— jaunes. 




J 


— 


jaunes. 


T 


— tachetés. 




t 


— 


tachetées. 



1 'édition la plu^ complète cl la plu* récente est celle qui a été don- 
née par Frédéric Jacobs i8i3— 17' en 1 vol. in-8; toutefois, on .1 omis 
l'épigramnie d' Vrchimcdi 

Bulletin mathématique, 1 I'' lort! i855 O 



( "4 ) 

5 
B = 8293i856o = g N+J 

b = 5765o88oo = 2- Je 2 

' 12 



1405827360 



5q684lI20 =r-^-T H- J 

'' 20 

391459680 = -2- de 3° 



3". 



988300800 

T == 5886448oo = I? B -+- J 

f = 281265600 = — de 4" 
3o 



869910400 
J = 331950960 
j = 435i37o4o = -j- de i' 



767088000 



Total des quatre troupeaux : 4°3 1 1 2656o. 

Ces nombres ne sont pas les plus simples, mais satis- 
font aux sept premières conditions. Le scoliaste ajoute 
que B -h N est un carré et T -h J un nombre triangulaire 5 
ce qui serait conforme à la huitième et neuvième condi- 
tion 5 mais cela n'existe pas. On voit de suite que ces nom- 
bres sont tous divisibles par 80. Effectuant la division . 
on trouve 

( B= io366482 

."Troupeau... h = 7 2o636 ° 

1 7572842 



( m5 ) 

2 f Troupeau ... | " = 4&)3246 
12353760 



T= 7 358o6o 

3 e Troupeau... \ t = 35 1 5820 

o8 7 388o 



, -T = 4i49387 

4 e Troupeau... }J = 5439213 

( 9 5886oo 

4 1 49387 = 9- . 1 1 . 4657 ; 

465^ est un nombre premier. J n'est divisible ni par n 

ni par 4^5j; ces nombres sont donc les plus simples qui 
satisfont aux sept premières conditions. 

Le total se monte à 50389082, renfermant : 

Taureaux 2933 (443 

Vaches 2io5463q 

Total .... 50389082 

29334443 = 6299 4657 ; 

deux nombres premiers qui ne divisent pas le nombre des 
vaches. 

La huitième condition est que B 4- N soit un carré j 
or 

B -t- N = 17826996 = 4 « > .29.4657. 
Vax multipliant donc tous ces nombres par 
3 . i 1 . 29 . 4657 = 4456749 , 



( n6 ) 
on satisfait à la huitième condition et l'on trouve 

IB =46200808287018 
b = 32i 16937723640 
7831 77460 io658 

f N = 33 2 496383o6 9 86 
2 e Troupeau < « = 2 18079692 17 254 

' 550576075262^0 

/ T = 32793026546940 

3*- Troupeau J ' = 15669127269180 

( 48462 «538 16 120 

( J == 18492776362863 

4 e Troupeau ! J = 2 4 2 4^°7°9 853 7 

( 4 2 73398346i4oo 

Taureaux 1 30736249505807 

Vaclies. 9383524i 3o86ir 

Total 22457 i49o8i44'8 

Iî ne reste plus que la neuvième condition à remplir, 
savoir que J -h T égale un nombre triangulaire; mais- 
B -t- N devant toujours rester un carré , il faut multiplier 
tous les nombres trouvés par la quantité indéterminée ir 
et nous devrons satisfaire à 

(J + T) n* = 51285802909803 iû = +X - 

1 0257 1 6o58 1 9606 «' = x 7 + x , 

ix =. — 1 ± y/4- 10257 1 605819606 m- -t- 1 . 

La quantité qui multiplie 4 est paire sans être divisible 
par 4", donc le coefficient de vr n'est pas un carré parfait ; 
par conséquent , il existe une infinité de valeurs ration- 
nelles et entières de // qui donne pour radical un nombre 



( "7 ) 
entier nécessairement impair (Legendre, Théorie des 
nombres) et x sera entier et positif; au résumé, il s'en- 
suit que la question a un nombre infini de solutions. 

Si l'on n'avait égard qu'aux taureaux, on auraitpour sa- 
tisfaire aux trois premières conditions : 

B = 2226, 

N = 1602, 
T— i58o, 

J = 891, 
B + N = 3828, 
T + J = 247 1 • 

Quatre savants se sont occupés de ce problème. Le rec 
leur Christian Lcist a montré non-seulement l'exactitude 
des nombres donnés par le scoliaste, mais a trouvé les 
nombres les plus simples donnés ci-dessus. Son travail 
est inséré dans l'ouvrage de Lessing cité ci-dessus. 

A l'occasion d'une solennité académique qui devait avoir 
lieu, MM. Struve père et fils ont publié l'opuscule suivant: 
dites griechisches Epigramm mathematischen lu hait s 
von Lessing erst einmal zum D ruche befordert jetzt neu 
abgedruckt und mathematisch und kritisch behandelt: 
Ancienneepigramme grecque d'une teneur ma thématique, 
publiée pour la première fois par Lessing ; éditée de nou- 
veau et traitée sous le point de vue mathématique et cri- 
tique par le D* J. Struve, directeur du gymnase royal à 
Altona et le D' K.-L. Struve, directeur du gymnase com- 
munal de Konigsberg , père et fils. Altona, 1821; in-8 
de 47 pages. 

Le texte original de quarante-quatre vers, alternative- 
ment hexamètres et pentamètres, est à la p;>ge 7; il est 
suivi d'une traduction vers pour vers; viennent ensuite 



( .18 ) 
dps olculs beaucoup trop longs pour les lecteurs auxquels 
ils s'adressent. Nous les avons rapportés ci- dessus eu 
changeant l'ordre , moyen d'abréviation. Les calculs sont 
du père; il croit que le nom d'Archimède est une pure 
invention. En effet, cette épigramme est complètement 
étrangère à l'esprit des travaux qui appartiennent incon- 
testablement au géomètre sicilien ; Struve père pense 
même que les deux dernières conditions ont été ajoutées 
depuis. C'est encore probable, car les solutions du sco- 
liaste pour les sept premières conditions sont justes et 
on lui fait dire une chose fausse pour les deux dernières 
conditions. D'ailleurs , la neuvième et dernière condition 
consiste à résoudre en nombres entiers l'équation indé- 
terminée 

ax- -+- 1 === y' 1 , 

a n'étant pas un carré; solutions que 1 on ne connaît que 
depuis Pell (i66*6). Struve dit que c'est là le nœud gor- 
dien. Il n'y a rien là de gordien; le seul embarras est la 
longueur des calculs qui ne valent pas la peine d'être 
faits. 

L'opuscule est terminé, à partir de la page 38 , par les 
observations critiques qui sont de Struve fils. Nous les 
avons indiquées au bas du texte. Du reste, il déclare ne 
rien comprendre aux vers 35 et 36 , à cause de l'expression 
nïîvQov. Car les Grecs avaient diverses dénominations pour 
les nombres solides (?rg/W) résultant du produit de trois 
facteurs : i° Kvfiti-, les trois facteurs étant égaux ; a c-p *;«'«■- 
ko'i, coins, les trois facteurs inégaux; 3" «îW^W, pou- 
tres, deux facteurs égaux et le troisième plus grand: 
4° arAt vr/^lss- , briques, deux facteurs égaux et le troisième 
plus petit. Ainsi -n^ivOë ne peut signifier un carré comme 
cela devrait être. L'auteur soupçonne que le passage esl 
corrompu <n\ qu'il v a quelque omission. Nous venons 



( »9 ) 
une autre explication dans la brochure suivante à laquelle 
donna lieu une autre solennité académique : Ad memo- 
riam Kregelio-Sternbachianam in auditorio Jurecon- 
sultorum die X\II/u/«MDCCCXXVIII.H.IX celebran- 
dam invitant ordinum académies Lip s. Decani Seniores 
ceterique adsessores . De archimedis problemate bovino. 
Brochure in-4 de 1 2 pages. 

Charles de Sternbach, homme généreux, avait in- 
stitué un prix d'encouragement pour l'étude des ma- 
thématiques à l'université de Leipsig. M. Frédéric- 
Edouard Thieme , jeune homme versé dans ces sciences, 
lut cette production pour célébrer l'aniversaire de Stern- 
bach. L'auteur critique vivement l'œuvre des Struve et 
blâme avec raison certaines jovialités qui sont d'un goût 
un peu hasardé , et il propose une exégèse qui amène des 
nombres complètement différents de ceux de Struve. Il 
conserve rtTpx^ , mot final du verset 24 du manuscrit que 
Struve a remplacé par uT^x-a, ce qui change la sixième 
condition en celle-ci : Les vaches tachetés formaient les 
quatre cinquièmes plus les quatre sixièmes de toute la 
partie jaune. Alors les nombres suivants satisfont aux 
sept conditions : 

/ B 480660 ! 8 

I er Troupeau ! h 479 8, 94° = "^ de 2 " 



2 e Troupeau 



3 e Troupeau 





96053958 


N 


34591986 


n 


47673054 = -2- de 3" 
' ' 20 




82265040 


T 

t 


341 16940 

71823^0 = P de 4° 

' 3o 



105940120 



I 20 ) 

J 19239363 



4 e Troupeau I J 2 97 3o 9 8 7 = ^ de 1" 

48970350 

Le nombre des vaches est plus grand que celui des tau- 
raux, tandis que c'est le contraire dans le calcul précé- 
dent. 

Le changement le plus important est dans les vers 35 
et 36 que M. Thieme lit et ponctue ainsi : 

Illft%X(tvTo 7r>.[vbx QptvctKtqT TreJYa. 

Le sens est : Quant à ce qui concerne les côtés qui cir- 
conscrivent de toutes parts , les plaines de la Sicile étaient 
remplies de briques, c'est-à-dire que chaque côté du carré 
B + N doit être un nombre brique-, de sorte qu'on doit 
satisfaire, dit M. Thieme, à ces équations 

(B -4- N ) .r = 3828 .r 
= le carré d'un nombre brique = y 7 (y — z) 7 , 

(T + J)a = 2471 x 

11 («H- 1) 



— un nombre triangulaire = 

(B + N + T-hJ)* = £ 
= un nombre triangulaire = 



2 

Pour satisfaire à la première équation, il faut que 1 on ait 

x = igi4>'% 
et, par conséquent, 

4942. 191 4 /-2 = u ~ ~t~ u i 
12598. 191 4 r 7 = v 7 -4- c. 

Il est impossible de satisfaire simultanément à ces deux 
équations, mais la troisième équation n'est pas 'exigée. 



( 121 ) 

La seconde équation donne un nombre indéfini de solu- 
tions 5 la première équation devient 

îl suffit de prendre 

y = r et r > 3828 ; 

il y a donc une infinité de solutions. 

M. Thieme croit que l'épigrammc est d'Archimède , 
parce quelle est citée sous ce nom dans une scolie sur le 
Charmide de Platon et dans l'ouvragede Héron d'Alexan- 
drie sur la nomenclature des vocables géométriques. Ce 
sont de bien faibles arguments. M. Thieme tient de son 
collègue M. Molweide, que Gauss avait résolu le pro- 
blème, mais en adoptant les énoncés du scoliaste et de ses 
interprètes; ces énoncés étant faux, a ce que pense 
M. Thieme, cette solution ne se rapporte pas à la pensée 
d'Archimède-, c'est ce qui l'a engagé à ne pas s'adresser à 
Gauss pour demander sa solution. Cette abstention est 
regrettable. 

Nous devons la communication de cette brochure et de 
l'opuscule de MM. Struve à M. Vincent, membre de l'In- 
stitut, qui fait un usage si libéral des ouvrages d'érudition 
qui composent sa précieuse bibliothèque. 



nPOBAHMA 

oTrtp A'PXIMHAHZ iv i !*-<yp à. fcjtc et o-/y t'upay roiç tv ' AXtçat.vJ'pttX 

7Tlpt TO.VTCL irpUy/LCCCTlVOfttVOIÇ C^tJTtlV »7[tTTiiMt, 

iv rij TTpW 'EPATO20ENHN tov KYPHNAION. 



mi<rroXv\. 



n/ijCcjv qiXioio Cowv, w \ttvi, fttrf-y,<ro:^ 

<VpOVTiO tiriiTTqo-OCÇ, il jLClTlfcltS TO^f/Ji, 



( 122 ) 

Uoira-n xp ïv matois ~2,i%tXÎjs 7Tor lot/a-friro v^irov 
OpivctKinç, nrpxyyi G-Titpta a-Mnrp.lv vi) 
5. Xpotqv xX/\x<ro-ovrX' ro fA.iv Xiukoio yct\4.%T0Ç. i 

K«2»£» o' iripOV ■fcpUU.Xrl XxftXOfttVOV, 

AXXoyi jtiev £xvOoV) ro ai itoikiXov. Ev ai tKuo-ru 

Hri^it itxv raZpot vrXijQtn Qptiou.iv ai 
~E,ufcpt.irpi>jç roiîjo-o^i nriv%oriç. ' Aoyorpifrct; fji.iv 
IO. JLuxvi m rxupav ijfwrit qoi rpirai 

K.#< ÇxvOoiç o-u/X7rxo~iv io-oit, à ç.uvi, voqcrov. 

Avrxp %uctviov<r rai rirpxrai /xtpt'ï 
Mtx.ro^poaiv Kut TriftvTTa), iti rxvOom ri 7TCVrt . 

TOUÇ <r' U7f0XllyT0jU.lV0UÇ 7TOtK,lXo%p0rZS x'Jpn 

l5. Apyivvuv rccvOcov ix.rtafA.ipii., iC^oftccrai ri, 
Kxt PxvÔoiç ccvriç wrxrtv îcrxÇoftivouç. 
QqXtixio-t ai Cavtn rx è i7TXiro' Xiux.orpi%t;r /uiv 

He-xv trvfivretrqç xuxviij^ ttyiXqç 
Tairptrxrai ri ftipn y-xi rirpxrai ccrpi^i? io-xi. 
20. Aurstp x.vavia.1 rco rirpxrai ri ttxXiv. 

MiKTo%fioaiv x.cu iriftTrrai oftoiï ftipit la-cd^ovro, 

"Evv rxupots Ticto-aiv tW voftov ip%of&ivav. 
"ExvOorpix&iv a kyiXv,ç niffxrai ft-ipu toi KotïtKru 
Uoiki/kcci itrapiQfiov 7rX>j0or IX"* «wpt*es" ( ) . 
20. "EcLvQai a -/ipiOftiuvro ftipovç rpirov qfinrit itrxt 
Apyivvvi<i xyiXqç iCaoftxrai ri ftipit. 
Ht?v£, c-y o-/]i/\cto noiç 7ioe-xi ccrOtx.i<r imM. 

~K.apis ftiv Tciupav t^arpKpîaiv xptOftoy y 
Xû)p/5 a xv BqXncti itxi Kxrot psfâiftcc iKxa-rii. 
3o. Oux. ctioptç x.1 Myoi, ovè" ctptOftwv ccostviï, 

Où fttjVîTa) yi o-oÇaiç- ivxpiQtiiuç; â/\>\'i6i (ppctÇiu 

Kxt ruai rxvrx Qoav utX;oto vrxOtj. 
' Apyorpt^iç- rxupot fciv tirit fiiçxî<xra> 7r/\i]0vv 
Kvxviotç \a-rxvrif*7riàov io-ouirpot 
35 . Eitr CxOoç uç ihpo? ri rot. cT ' xî> iripiff/ix.ix 7Txvr>j 
Tiiu.7rXxvro 7T/\tvBov QptvuKitjç 71101X. 
"ExvOût à^aùr ùç iv tc-xt 7roix.i/\at xOpoirOivriç 

li;nis li' manuscril il \ a Tfrpx^H. 



( »3 ) 

"£.%?, fil Tî^tlOVVTiÇ TO TpmPetWt»S¥' O'JTt 7FfOF01)T6)V 

4o. AXXo^oaiy rxvpaiv, ovt i7ri)at7io/Lievtov. 

Ka< 'TT^diCûV cr.7To£cvï, à) £êV£, 7ttt.i; 2. ftiT'iCt 

Ec%to x.voioa)v viKtjCpocjoç' itrQi n tcolituç 
Kty-Ciifitvoç t3vt*i ofi7rvtoç tv c-o'ftvi. 

Notes philologiques . 

Ilpxy [i.*rtuopiiots , le manuscrit a nfity/attu/itiniç. 

Vers 8. Il faut -nhiftii. 

Vers i3 et ai. MiWo^fôœv, probablement des fautes cTimpression ; peut- 
être a-r/KTo^fôav, pointillé, piqueté de diverses couleurs, tacheté. 

Vers i.|. rioijmG^fa'Taç. c'est ainsi dans le manuscrit. Lessing a mal 
corrigé en écrivant TroixAo^fôzç, il ne s'est pas aperçu que c'est un vers 
pentamètre. 

Vers if>. A^ri'ç; Lessing met y.GT&vç ; probablement une faute d'impres- 
sion. 

Vers 22. Lessing met ffvtràç- . . ep^oy.ôv«ç. 

Vers 23. L. k-/;/.v;ç; il faut S'aytxviç. 

Vers 2.}- Lessing met s^oy. tvtfxjgî, ce qui ne présente pas de sens, (■ai- 
le vers finit au dernier mot ; on propose de lire aTpsxaç. 

Vers 29. L. Xpoixv. 

Vers 3i. L. àv «piOftoiî. 

TRADUCTION. 

Problème que, dans une lettre adressée à Eratosthène de Cyrène, Archimèdc 

a proposé à ceux qui s'occupent de ces matières à Alexandrie. 

O ami! calcule-moi le nombre de bêtes à cornes de Hélios, 
mais penses-v sérieusement si lu prétends à la science, 
hn quel nombre paissaient- elles dans les plaines de la Sicile, 
File aux trois angles? Elles se partageaient en quatre troupeaux 
5. divers en couleur. L'un était blanc comme du lait, 
l'autre brillait d'une couleur noire, 

un autre était jaune et encore un tacheté. Chaque troupeau 
renfermait des taureaux en grand nombre et ils étaient 
l<s uns aux autres dans ces rapports : I. I-cs blancs étaient autan 
h), que la moitié h le tiers ensemble «les noirs 



( "4 ) 

plus tous les jaunes; ainsi remarque bien cela. 

II. Ensuite les noirs égalaient la quatrième 

et cinquième part des tachetés, plus encore toits les jaunes. 

III. Considère les tachetés encore restants; 

i5. au sixième et au septième des taureaux blancs, 

plus au nombre total des jaunes, ils sont égaux. 

Il y a encore les vaches. IV. Les blanches 

étaient du troupeau noir entier 

exactement le tiers plus le quart. 
•20. V. Les vaches noires autant qu'un quart 

et un cinquième de tout le troupeau tacheté, 

lorsque ce troupeau paît ensemble avec les taureaux. 

VI. Les vaches tachetées faisaient un cinquième plus un sixième 

de toute la partie jaune. 
25. VIL Les vaches jaunes autant qu'un demi-tiers 

et un septième de toute la partie blanche du troupeau. 

Ainsi, si tu me dis maintenant nettement le nombre des bêtes à cornes de 

à partie nombre des taureaux bien nourris, [Hélios, 

à part les vaches et combien de chaque couleur , 
3o. on ne t'appellera pas maladroit ni inexpert dans les nombres, 

cependant on ne te comptera pas encore parmi les savants. Car, viens 

ce qu'on rencontrait chez les bètes à cornes de He'lios. [et dis-moi encore 

VIII. Si la foule des taureaux blancs se réunissait 
aux noirs, ils présentaient une surface égale 

35. en longueur et en largeur. Alors leur grande étendue 

remplissait de son aire toutes les plaines de l'ile aux trois angles. 

IX. Ensuite, si les taureaux jaunes réunis aux tachetés 

se formaient avec un en tète et croissaient successivement de un, 
ils formaient la figure d'un triangle, sans qu'il y eût avec eux 
4o. des taureaux d'une autre couleur et sans remarquer leur abscense. 
Si tu trouves cela et le mets dans ton esprit, 
si tu peux, ô ami, indiquer la mesure de tous ces nombres, 
alors avance glorieux , triomphant; sois convaincu 
que tu es un homme accompli en cette science. 

Note. Les chiffres romains indiquent les neuf conditions. 



( 1^5 ) 



BIBLIOGRAPHIE Dl JEU DES ÉCHECS. 



Beaucoup de géomètres jouent aux échecs ; tous du 
moins connaissent ce jeu, qui exige mentalement des so- 
lutions continuelles et successives de problèmes de la 
géométrie de situation (*). 

Nous croyons que cette Note peut n'être pas sans in- 
térêt et réclamons l'indication d'ouvrages omis , d'éditions 
omises et des renseignements divers. 

i5i2. Damiano : Libro impararc Giuocase. Roma 
(italien et espagnol). 

i55i , Lopez : Libra de la invencion libérale y arte de 
juego del Axedres en A'cara. 

1617. Selenus (Gustavus) : Das Schach und Kônigspieï. 
Leipzig 5 in-folio. Le nom véritable de Fauteur est Augus- 
lus Huneburgicius devenu duc de Wolfenbuttel, prince 
très-savant. 

i663. Gustavus Selenus, id est Augustus herzog zu 
Braunschwey und lùnen, Schach ader Konigs-Spiel. 
Frankfurt, in-12. 

1664. Christophorus Weickman : Neu erfundcncs 
grosses Konigs-Spiel, welches sich mit dem Schacîi-Spiel 
in etwaszwar verglicbt, jedoch aber von demselben dariu 
unterschieden, das vie jenes nor selb andern, dièses selb 
dritt, wiert,seclilsund selbaclitgesppieltwerdenkann,etc. 
Grand jeu royal nouvellement inventé, qui ressemble eu 



" (*) Les jeux de cartes ne sont que des combats de nombres de l'Ariti- 
momachie. Remplacez les figures par des nombres et les couleurs par d<" 
indices, personne ne voudrait jouer. 



i 126 ) 

quelque chose au jeu des ('■(lices, mais en diffère en ce 
que celui-ci ne se joue qu'à deux, landis que l'autre peut 
se jouer à trois, à quatre, à six et même à huit, etc. 
Ulm; in-folio. 

1667. Carera: Del giuoco d egli scacchi. Piossi. 

1673. Holli : Osservationi teoriche pratiche sopra il 
giuoco degli scacchi. Bologna. 

167 Barbier: Game ofChess play,'beinga priucely 

exercise, wherein thelearner may profit more by reading 
this small book, than by playing a thousand niatches 
Loud.-, in-8. 

1679. Palamedes redivivus, das ist, unterricht von dem 
stimm oder Schach-Spiel , Picquet-Spiel, und Tlmm- 
Spiel, Rumpfordnung und Regeln von Billard. Leipzig, 
16795 in-12. 

1694. Th. Hyde : De ludis orientalibus, lib. II. Oxonii ; 
in-8. 

1699. Greco (Calabrois) : Le jeu des échecs, traduit de 
l'italien. Paris. 

1725. Joannis Rezzetti : Ludorum scientia. Venetiis; 
in-4°. 

1^37. Stamma : Essai sur le jeu des échecs. Paris. 

1700. Dal Rio : Osservazioni pratiche sopra il giuoco 
degli scacchi. Modena. 

1759. Euler: Solution d'une question curieuse qui ne 
paraît soumise à aucune analyse sur la marche du cava- 
lier sur l'échiquier (Mémoires de l'Académie de Berlin, 
tome XV, page 3 10). 

1766. Cozio : 11 giuoco degli scacchi; deux volumes. 
Torinû. 

1771. Vandermonde, Académie tics Sciences, pro- 
blème du cavalier, p. 566. 

1773. Colini : Solution du problème du cavalier au 
jeu des échecs. Mannheim. 



( «7 ) 

177^- Voir 1786. 

1 777. Philidor : Analyse du jeu des échecs. Londres. 

1782. Pouziani : Il giuoco incomparabile degli scacchi. 
Modena. 

1786. Traité théorique et pratique du jeu des échecs 
par une société d'amateurs. Paris. La première édition 
est de 1775. 

1792. Zuyland de Niewehh: Supériorité aux échecs, 
mise à la portée de tout le monde ; in-8. 

1808. Sarrat : Treaties on the game of chess. Londou : 
deux volumes. 

18 11. Allgaico: Neue theorischepracktsche anweisung 
/.uni schachspiel. Wien. 

181 2. Anonyme : Il giuoco incomparabile degli scac- 
chi. Venezia. 

1817. Kenny's chess grammar. London. 

181 8. Chess exercise. London. 

1818. The games of the match at chess pi ayed bot ween 
the London and the Edinburgh chess club with back 
games. 

1818. The games of the match, etc., with back games 
by the comity of Edinburgh. 

1821. New treaties on the game of chess upon a plan 
of progressive improvement hitherto unattempted. Lon- 
don. 

1822. Cochrane: A treaties on the game of chess. Lon- 
don. 

1823. Nouvelle notation de parties et coups d'échecs , 
etc. , par une société d'amateurs et Philidor. Paris; in-8. 

182D. Anonyme : Studies of chess. London. 

1823. Reinganum (Benoni) : Oder die Yertheidigun- 
gen gegen die gambilzuge. Francfort. 

1826. Silberschmidt : Die jieue endeekten gelieinuiisse 
im gebiethe des schachspiels. Braunschwejg 



( ta? ) 

1826. Ciecolini : Del cavallo degli sraechi. Paris. 

1829. Silbcrschmidt : Angrilï in Vertheidigung gegen 
gambitzuge. Braunschweig. 

i83o. Problème du cavalier. Théorie des nombres de 
Legendre .3 e édition . t. II, p. i5i. 

i83i. Lewis: A séries of progressive lessons on the 
trame of ehess. London. 

o 

i832. Lewis : A second séries of lessons on the gaine 
of chess. London. 

i832. Fifl games at chess. London. 

i833. L.-C. delà Bourdonnais: Nouveau traité du jeu 
des échecs - , deux volumes (rare ). 

i833. G. Walker : A new trealies of chess. London. 

i834« Philidor andhis contemporaries. London. 

1 835. Chess made easy. London. 

1 835. Chess for beginners. London. 

i836. Greenwood Walker : A sélection of games at 
chess played in London by the late A. M. d'Ouhel and de 
la Bourdonnais. London. 

1837. The match played by the chess-club of Paris 
and Westminster. London. 

1837. A. Alexandre : Encyclopédie des échecs, ou Ré- 
sumé comparatif en tableaux synoptiques des meilleurs 
ouvrages écrits sur ce jeu parles auteurs français et étran- 
gers tant anciens que modernes, mis à l'usage de toutes 
les nations par le langage universel des chiffres. Paris et 
Londres. 

Format atlantique; les explications sont données en 
quatre langues: française, anglaise, allemande et ita- 
lienne. Prix : 3o francs broché; et 36 francs cartonné. 

184 On the knights move al chess, Cambridge and 

Dublin mathemtic journal, i' r série. \ ol 111, page 333; 
par le révérend Moon. 

i849- Introduction pratique an jeu des échecs, coin- 



{ l2 9 i 

prenant le Goniito de Damiano, L'Anonyme de Modène, 
la Centurie de Lolli, etc., publiée par Poirson , Prug- 
ncaux, Commercy, in- 12. 

1849. Kling (J) : The chess Euclid : a collection of 
200 chess problems and end-garnes . In-8 ; with 26 pi. ; 
London. 

i836 à i85i . Le Palamède, revue raensuelledes échecs 
et autres jeux. 

i re série, par M. de la Bourdonnais, .de i836 à i84o; 
3i mois in-8 et 4 mois in-12. 

2 e série, par M. Saint-Amant, 1841 à 1847 i in -8, grand 
raisin. 

3 e série, La Régence, faisant suite au Palamède 1849 ? 
i85o et i85i. 3 vol. in-12. 

1 85 1 . \ olpicelli : Sur le problème du cavalier [Comptes 
rendus des séances de l 'Académie , t. XXXI, p. 3i4)- 

i854. Sur îe problème du cavalier au jeu des échecs 
(Nouvelles Annales , tome XIII, page 181 ). 

.... Rabiano (comte de) : Les échecs simplifiés et ap- 
profondis , ouvrage entièrement neuf, dans lequel une 
théorie générale et facile ramène à l'unité rigoureuse les 
préceptes de détails, règles, etc., épars dans le traité 
in-8. 

184 Witcomb : Traité du jeu des échecs, par M. Le- 
wis, traduit de l'anglais par H. Witcomb et arrangé selon 
le système lexicographique de M. Kieseritzky (*). In-8. 
(Voir !83r.) 

i852. Ferdinand Minding : Sur la marche du cava- 
lier (Journal de Crelle, t. X.LIV , p. 73 5 en allemand). 

(*) Mort ii Paris en i853 ou i85/ ( . 



Bulletin mathématique, 1. I er , [Septembre l855. 



( i3o ) 



PROBLEME DE BOYINO (rectification) 

(voir pags lin . 



L opuscule dont il est question (p. 1 19) est de M. Her- 
mann (Godefroi) (*) et non de M. Edouard Thieme qui 
a seulement prononcé le discours d'apparat pour la so- 
lennité académique. C'est à l'obligeance de M. Vincent 
que je dois encore cette correction. 

Nesselmann (G. -H. -F), dans son célèbre ouvrage suc 
l'histoire de l'Algèbre chez les Grecs (**), consacre les 
cinq dernières pages à notre problème. Adoptant l'opinion 
de Rliigel et de S. Struve, il fait ressortir l'impossibilité 
d'attribuer une telle production à Archimède, et, d'après 
le mauvais goût que l'on remarque dans le style et la fac- 
ture poétique, Nesselmann pense que cela peut être le 
travail d'un écrivain du xiv e siècle, et même plus récent. 
Car Planude et Krephalas, auteurs du xiv c siècle, qui 
recherchaient avec ardeur de semblables bagatelles, 
n'ont pas admis ce problème dans leurs collections. 
La huitième et la neuvième condition sont, selon l'o- 
pinion de MM- Hermann et Nesselmann, une super- 
fétation faite postérieurement à la solution donnée 
par le scoliaste. Car cette solution est exacte pour les sept 
premières conditions et fausse pour les deux dernières, 
qui paraissent avoir été ajoutées par quelqu un entière- 
ment étranger à la science des nombres, et qui s est amuse- 
nt proposer une difficulté dont il ne comprenait pas la 
portée. MM. Struve, Hermann, Nesselmann font à ce 
sujet des raisonnements sur l'étendue de la Sicile, sur le 

(*) Voir Bibliothèque des auteurs classiques grecs et romains, par Guil- 
laume Engelmann. Paris. i84" ; in-S. 

Oie a/fehra der Gviechen. Berlin, 18 i > , in y 



( '3i ) 
nombre des bètes à cornes qu'elle peut contenir, nourrir, 
sur le rapport entre les bœufs et les vaches , etc. Comment 
des esprits aussi sérieux, aussi distingués, peuvent-ils se 
livrer à de semblables considérations à propos d'un ba- 
dinage littéraire où l'auteur n'a eu pour but que de donner 
une forme dramatique à une question d'arithmétique (*) ! 

BIBLIOGRAPHIE. 



Traité d'Arithmétique théorique et pratique en rap- 
port avee les nouveaux Programmes d'enseignement , 
terminé par une petite Table de logarithmes disposée 
comme les Tables de Callet; chaque théorie est suivie 
d'un choix d'exercices gradués de calcul et d'un grand 
nombre de problèmes ; par le P. P. Faton, de la Com- 
pagnie de Jésus. Paris, i854 ; in-12 de vin-328 pages. 
Avec l'épigraphe : Deus scientiarum dominus est 
(IReg.iiH**). 
L'auteur anonyme de l'ouvrage : Arilhmetices inlro- 

ductio ex'variis authoribus concinnata , i546, in-4? a 

pris pour épigraphe le distique suivant : 

Ingcnuas j-idens artes mercator avarus, 

Ncgligit hanc minime, proven il unde lucrum. 

En effet, ceux même qui font le moins de cas des arts 
libéraux, ne négligent pas la connaissance du calcul , au- 
tant qu'elle est nécessaire à leurs intérêts \ ils cultivent 
volontiers les procédés sans s'enquérir des principes logi- 
ques. N'ayant égard qu'à ces dispositions mercantiles, les 
arithmétiques ont été dans le moyen âge ymement deserfp- 

(*) Le catalogue imprimé (17^0) des manuscrits de la Bibliothèque im- 
périale por^e l'épigramme <i<? lovino sous le numéro 2/J48. U y a peut-être 
des variantes. (Breton dé Champ. 

(**) Chei Mallet-Bachelier. Pris : 2' - 

Q. 



( i3a ; 
tives et les arithmétiques raisonnées ne commencèrent que 
vers la lin du xvn e siècle. C'est une preuve évidente dupro- 
grès de l'esprit humaiu qu'aujourd'hui tous les Traités d'A- 
rithmétique les plus usuels ont le caractère démonstratif. 
Toutes ces opérations, en dernière analyse, se réduisent 
à avoir des procédés pour compter, soit en avant, soit en 
arrière, le plus rapidement possible \ les moyens logiques 
sont restreints, et il n'y a de diversité que dans l'exposi- 
tion, dans l'ordre de succession. 

A commencer par les définitions, nous croyons qu'en 
thèse générale il ne faut jamais définir un objet avant que le 
cours du raisonnement ait amené la nécessité de définir 
cet objet. D'après ce principe , les définitions que donne 
l'auteur dans son Introduction nous paraissent déplacées : 
grandeur, continuité, discontinuité, entier, fraction ; tou- 
tes ces notions ne devraient apparaître que plus loin. Unité 
et nombre sont les deux seuls objets à définir. Ce n'est 
qu'après la division que se manifeste la nécessité de faire 
la distinction des entiers et des fractions. On a omis la dé- 
finition de compter, définition capitale 5 toute l'arithmé- 
tique n'est que l'art de compter promptement en avant vers 
H- 00 (addition ), en arrière vers — co (soustraction) (*). 
Pour faciliter l'étude , on devrait mettre à la fin une table 
des objets définis avec renvoi aux pages du livre, et, poul- 
ie même motif, une table des principes et des théorèmes 
telle qu'elle a élé donnée par Bezout et reproduite récem- 
ment dans la petite arithmétique de M. Rambosson. 

Les quatre opérations sont si bien analysées, qu'il pa- 
raît impossible de ne pas comprendre 5 toutefois , on s'est 
trop étendu sur la division : l'exposition de M. Faucheux 
[Nouvelles Annales, p. 5i) paraît préférable. Les exem- 
ples sont généralement bien choisis et souvent instruc- 

(*) L'oubli de cette distinction a conduit M. Bertrand à introduire gra- 
tuitement dans l'Algèbre des conventions scabreuses {Algèbre, a e éd.. p. 9) 



( '33 ) 
tifs; la divisibilité des nombres, si nécessaire à la théo- 
rie, est traitée avec soin, et on fait usage de notations 
littérales ; on aurait désiré y rencontrer la méthode des 
tranches [Nouvelles Annales, p. 118). Il parait utile de 
faire précéder les fractions de quelques considérations 
sur les séries des nombres consécutifs fractionnaires, par 

,1234 1234 1 

exemple -, -, -, -, etc., -, -, -, ^ , etc., et de mon- 
r 2222 3333 

trer les ternies égaux qui se rencontrent simultanément 
dans ces séries, ce qui conduit à la théorie des nombres 
premiers, etc. Le calcul décimal est la description de no- 
tre système métrique. On y fait l'observation instructive 
que la vraie mesure du mètre n'est pas 3 p,eds n llgnes ,296, 
mais 3 pieds n li ^ es ,^5 ou bien o toise ,5i3n8. Dans un 
ouvrage uniquement destiné aux classes , est-il convena- 
ble de donner les mesures anciennes? C'est douteux. On 
aurait mieux fait de rejeter ceci à la fin et en petit 
texte. 

L'exercice sur la longueur des ondulations lumineuses 
(p. 170) est-il bien adapté aux connaissances présumées 
des lecteurs? 

Les fractions périodiques sont développées , selon l'im- 
portance du sujet, avec beaucoup de clarté. Le théorème 
de Fermât étant la base implicite de tout ce qu'on peut 
dire là-dessus , n'y aurait-il pas une économie de paroles 
à introduire ce théorème dans les éléments? 

Le chapitre XI (p. 2o5) est consacré aux opérations 
abrégées et le chapitre XII aux approximations numé- 
riques. Il semble que le chapitre XII devrait précéder 
le XI e . Les estimations de degrés d'erreurs sont l'âme 
du calcul pratique, qui roule toujours sur des données es- 
sentiellement affectées d'erreurs , et, soit dit en passant, 
toutes nos trigonométries sont défectueuses. Elles don- 
nent des formules littérales sans nous apprendre les degrés 



( i34 ) 

d'erreurs des applications numériques. C'est ainsi que 
Gauss a trouvé que le Thésaurus logartthmorum de Vega 
renferme plus de einq mille résultats inexacts. 

Pour ces deux chapitres si importants, l'auteur a con- 
sulté l'ouvrage de M. Vieille: Théorie générale fies ap- 
proximations. L'ouvrage est cité p. 222 5 c'est une rareté 
in regionibus nostris. 

La proportion géométrique , base des opérations com- 
merciales, fournit de nombreuses applications. Les solu- 
tions reposent sur la méthode du baron Reynaud, la ré- 
duction à l'unité. 

Aux pages 263 et 265 , on parle de mélanges et d'al- 
liages directs et inverses. En quoi consiste ici l'inversion? 

On donne comme question (p. 280) la course entre 
Achille et la Tortue 5 question célèbre dans les annales 
de la philosophie et qui présente une difficulté réelle, 
lorsqu'on ne compare pas le flux simultané des deux con- 
tinuités, extérieure et intérieure, objective et subjective^, 
espace et temps 5 le dx et le dt fluent simultanément. 
C'est pour n'avoir pas fait cette comparaison que M. le 
docteur Beaux (Jean- Jacques) est parvenu à cette étrange 
assertion, quel' espace n'est pas divisible à l'infini (article 
Atome dans le Dictionnaire de Médecine de iSysten, 
18 \l\). Le chapitre des logarithmes est terminé par une 
Table de 1 à 4000 disposée comme celle de Callet. C'est 
une bonne idée. Nous recommandons comme modèle de 
simplicité, de rigueur, sans cesser d'être élémentaire, ce 
qu'on lit sur les logarithmes dans Y Arithmétique de Quer- 
ret, ouvrage précieux, imprimé en province (Saint-Malo, 
18225 in-8 de 292 pages) et très-rare à Paris (*). 

(*) L'idée du logarithme-limite est très- commode. Du reste , comme 
nous verrons, la véritable nature du logarithme n'a été connue que de 
Kepler. Tout logarithme est essentiellement infini. Le rapport de deux 

de ces infinis est fini. 



I J 3^ ) 

Dans deux pages (3o8-3 10) , M. Falon donne une des- 
cription claire et suffisante de la règle à calcul, instru- 
ment très-utile dans la vie domestique, commerciale, 
industrielle et d'atelier. Lu moyen certain de déprécier 
cet instrument est d'en exagérer l'utilité et d'en vouloir 
préconiser l'emploi hors de ses limites naturelles. Par 
quelle fatalité ne pouvons-nous rien faire en France sans 
dépasser les bornes, sans pousser les meilleures choses 
jusqu'à ce qu'elles deviennent mauvaises! 1 

Si nous avions l'arithmétique à enseigner, nous adop- 
terions comme guide le Traité que nous venonsd' analyser. 



Invention nouvelle en l'Algèbre, par Albert Girard, 
mathématicien; tant pour la solution des équations, 
que pour recognoistre le nombre des solutions qu'elles 
reçoivent, avec plusieurs choses qui sont nécessaires a 
la perfection de cesle divine s( ence. A Amsterdam. ch< z 
Guillaume Jansson Blaeuw; MDCXX1X , petit in-4- 

Au milieu du titre est une sphère armillaire à axe in- 
cliné; à la droite de la sphère, on voit Hercule avec sa 
massue et la peau du lion de Némée; à gauche, le 
Temps avec sa faux. Au-dessous de la sphère on lit : 
Ijndefessus agekdo. 

L'ouvrage n'a aucune pagination. Au bas , le registre 
va de A en H-, chaque lettre renferme huit pages, ainsi 
cm tout soixaiiie-quatie pages. 

L'ouvrage est dédié à M. Henri delïergaignc , capitaine 
d'une compagnie de cavalerie pour niesseigneufs les 
F.stats-Généraux des Provinces-Unies des Pays-Bas. Il dit 
qu'il lui ollre trois petits Traités. Le premier est une 
briève introduction à l'arithmétique, et les deux an 
contiennent quelques nouveautés en l'algèbre et la 
métrie inconnues des modernes et des ancii i 



( '36 ) 

Le premier Traité débute ainsi: Complément mathé- 
matique. Les commencements de l'arithmétique. Prœla- 
tion des nombres. 

i re masse. Nombre, mil, milion,mil milions. 

2 e masse. Bilion, mil bilions, milion de bilions , mil 
milion de bilions. 

3 e masse. Trilion, mil trilions, milion de trilions, 
mil milions de trilions. 

4 e masse. Quadrilion , etc. 

Chaque masse renferme douze chiffres. On voit que le 
bilion de Girard n'est pas le même que notre billion , de 
même le trilion, etc. 

De là, il passe aux quatre conjugaisons . Dans la sous- 
traction , le nombre supérieur est le subject et le nombre 
inférieur Y exacteur. Dans la division , il remarque que 
le diviseur étant 19, le chiffre du quotient est la moitié 
du premier chiffre à gauche du diviseur s'il est pair, et 
la plus grande moitié s'il est impair. Cela n'est pas 
exact. Le chiffre du quotient peut être aussi la petite 

moitié , par exemple dans — • 

Comme préparation aux fractions , il indique comment 
on trouve le plus grand commun diviseur et le plus pe- 
tit multiple de deux nombres donnés. Il donne en deux 
pages les quatre conjugaisons des fractions et finit par la 
règle de trois. 

Il a les mots numérateur et dénominateur ,• ce sont . 
dit-il, les deux notes, note supérieure et note infé- 
rieure. 

L'algèbre commence par les caractères des puissances 
et racines. 

(2), (V, i dénotent les puissances secondes , tierces 

quartes, etc. 



( '3 7 ) 

(T) 49 dénoie la puissance tierce de la seconde de 49 
ou la racine carrée du cube de 49; c'est toujours 343. 

11 ajoute: Comme J~ est en usage , on le pourra pren- 
dre au lieu de (J) , et de même y/ - au lieu de (J) , etc. : 

il indique aussi ce signe ce. 

Des caractères de conjonctions et disjonctions 
appelez signes. 

-f- s'appelle plus, vaut autant à dire que et, ou bien 
encore; 

— ou -f- signifie moins ; 

= signifie différence entre les quantités où il se 
trouve ; 

ff signifie plus que ,- 

§ signifie moins que. 

Viennent ensuite les quatre conjugaisons des signes 
■+- et — . 

Tous les exemples sont numériques. 

La racine carrée de -f- 9 est -f- 3 ou bien — 3 ; la ra- 
cine carrée de — 9 est indicible. 

Dans la division, Gilbert distingue deux sortes de 
quotients , par excès et par défaut. Pour en donner ma- 
tière d'exercices aux apprentifs , il donne une jTable 

d'exemples d'additions de radicaux carrés. Pour la divi- 

a _ 

si on 7=> il multiplie haut et bas par c — \jd\ il est 

inutile de répéter que ses exemples sont toujours numé- 
riques. De là il passe à Y extraction des racines des 
multinômes radicaux et d'abord des binômes. Exemple. 



\ 7 -f- \Jfà = 2 -f- \ 3 , 
par la méthode en usage, sans explication. Il distingue 



i38 



avec Euclide six espèces de binômes conjoints (\ a -+- sfb) 

et six disjoints (y« — \jï). 

Racine cubique dun binôme. Il dit que sa reigîe n'a 
encore été inventée par personne et que celle de Bombelli 
est fausse. Voici cette règle. 

On a 

(a -+- \Jiy = a- 4- 3ab H- \J~b~ ( b + 3a'), 
or 

(a> + 3aby — [\fb{b -h 3a')} == (a* — b) 3 . 



Ainsi , étant donné VA -f- \/ti, pour que l'extraction soit 
réalisable, il faut que A 2 — 13 soit un cube parfait et que 
l'on ait 

VA 2 — B =a a- — b ; 

c'est ainsi qu'on trouve 



V72 -+- y/5 1 20 = 3 4- y/5 . 

Construction algébrique sur les questions. 
Il représente l'inconnue par un petit cercle, ainsi 

® = * 3 , 

mais nous nous servirons toujours de la notation ac- 
tuelle. 

Pour donc résoudre une question, il faut la remettre en 
question de nombres abstract, sans parler [si on peut) de 
matière, comme d escus , pieds, etc. Finalement, il y a la 
position, les conditions (dont la dernière fait V équation 
si la question n est défaillante) , la réduction, puis la 
solution de l'équation ordonnée. Voyez les questions de 
Diophante , réduites en six livres dat/s l'arithmétique 
de Slevin , qu'avons fait depuis peu réimprimer en l an 
lôaS, avec quelques augmentations , corrections et 
plications. 



( '39 ) 
De la rédaction algébrique. Il s'agit do la manière 
de préparer une équation , défaire disparaître les déno- 
minateurs, les multiplicateurs , les radicaux, etc.; il ren- 
voie pour cela à la page 25o de X Arithmétique ùo. Stevin. 
nouvelle édition, et se contente de donner le tableau sui- 
vant : 

L'addition sert contre le désordre, redondance et défaut. 

La soustraction — les fractions des nombres et des 

quantités en général. 

La multiplication — des grands nombres, aussi des quan- 

tités. 

La division — l'assymétrie et trop grande dépres- 

sion. 

La puissance — les exaltations excessives des quau • 

tités. 

L'extraction — l'intempérance des nombres seule- 

ment. 

L'isomère 

Il n'explique que l'isomère. 

Isomère. On opère non-seulement par multiplication 
pour se dépestrer des fractions , mais aussi par division 
pour s'affranchir des grands nombres. 

Exemple : 

. , i ?. 

x 3 esgale a i - x -+- 5 ; 
i 

on met les quantités obmiscs. Ainsi 

i , l r 

.z 3 escale o..r- -f- i - x : H- o, 
D 2 

on écrit dessous les proportionnant- 

i . >.4-b\ 
les produits sont 

- - sgalc i il.- 



( i4o ) 

Exemple contre les grands nombres. 

g<z 2 esgale à 72 x + 1 456 , 

on divise par les nombres proportionnait* 

g. 12. 16, 
les quotients sont 

x" 1 esgale à 6 x + g 1 , 

où x vaut i3 et — 7} il faut diviser par -^ ou j\ ainsi 

, • 3 « 

les solutions requises sont 17-5 encor — 9 - • 

x 3 esgale à i^x — y 228, 
il Y a défaut des x' 1 . 

x 3 esgale à o . x 1 -h 1 4 * — \ ; 288 
Divis. prop aux . .1 \li 2 V^ 

Quotients r 3 esgale à 7 x — 6 

la valeur de x vaut 



- 3, 

lesquels, divisés par — , donnent pour les valeurs re- 

V 2 
quises 

v^ 
\/8, 

Ces procédés reviennent à ceux qui sont eu usage. 



( Mi ) 

Il ne connaît pas le signe d égalité et ne s'en sert jamais. 

Des équations ordonnées. Quand il n'y a pas assez de 
conditions pour mener à une équation, la question est 
défaillante et recevra autant de solutions qu'on voudra , 
si l'on admet les moins, et, si l'on n'admet les nullités et 
les moins, elle sera plus restrainte. Si l'on peut résoudre 
la proposition sans se servir de toutes ces conditions , 
elle sera excèdente et il faut retrancher la dernière con- 
dition, si elle répugne. Dans tout autre cas, la pro- 
position sera pleine et entière. Une équation pré- 
parée, preste à recevoir la dernière main r, est dite une 
équation ordonnée. 

Par exemple , 

5 x- = i S .r -f- 7 2 , 

il résout à la manière ordinaire et trouve pour valeurs 6 

12 

et =-■ 

5 

Notez aussi qu'où les (o) (c'est ainsi qu'il désigne les 
quantités toutes connues) sont — , ily a plus de solutions 
par -+- qu'autrement, et ce en toutes les équations : or 
les solutions par — ne se doivent omettre. 

On voit que Girard savait que lorsque le dernier terme 
tout connu de l'équation est négatif, il y a des racines 
positives. Il n'emploie pas les mots positifs, négatifs. 

x 3 ■— 6 x -+- 4o , 



x = y 20 H- v/3o/2 -\-\jio -+- ^092 = 2 + ^2-1-2 — ^2= 4; 

il suit la règle de Cardan, sans citer 5 ne donne pas les 
deux autres racines. 

x 3 = 1 3 x -+■ 12, 
solution par la Table des sinus; donne les trois racine- 



( *4* ) 

4 , — 3 , — i ; indique une construction géométrique 
qui n'est autre que la trisection de l'angle , et prend une 
certaine quantité comme raid (rayon). 

x 3 — 3ox — 36, 

quantité connue négative 5 il dit que le moyen de solution 
est le même \ les trois racines sont : 

— 6, 3 + v^, 3-v/3- 

Il s'étend beaucoup sur divers cas de solutions; le sui- 
vant est le plus remarquable et s'applique aux solutions 
entières. Soit 

n 

x 3 = n x — 6 , x 1 = n ■> 

x 

il cherche les diviseurs de 6 ; et c'est la méthode encore 
en usage. Chez lui les diviseurs sont des efficients 

x ? ' = 3 x — 1 ; 

par l'isomère, on amène celle-ci à 

x 3 =r 3oo.r — 1000 ; 

la racine est entre i5 et 16, donc la racine cherchée esi 

i5 16 
entre — et — 
10 10 

Girard donne ensuite douze définitions relative- 
ment aux signes , aux coefficients et au rapport des 
termes des équations, définitions qui lui servent dans 
l'énoncé de ses théorèmes. Dans la onzième définition , 
il nomme première faction la somme de plusieurs nom- 
bres pris un à un , deuxième faction la somme des 
mêmes nombres pris deux à deux, et ainsi de suite. 

La douzième définition explique le triangle arilhmé- 



( '43 ) 
tique, qu'il nomme triangle à extraction, probablement 
parce qu'il sert à l'extraction des racines. 

Premier théorème. La multitude des produits dans 
une faction peut s'exposer par le triangle d'extraction ; 
c'est-à-dire, selon nos notations, le nombre de produits 
différents de m lettres prises n à n est 

m [m — i ) . . . m — n+i 



1 .2.3 ... n 

Deuxième théorème, exprimé selon le langage actuel. 

Une équation a autant de racines qu'il y a d'unités 
dans le plus haut exposant; le coefficient du second 
terme, pris avec un signe contraire, est égal à la somme 
des racines; le coefficient du troisième terme pris avec son 
signe, etc. 

Girard laisse le premier terme dans un membre etplace 
tous les autres termes dans l'autre membre, ce qui l'oblige, 
pour énoncer son théorème, à faire beaucoup de distinc- 
tions. 11 montre que son théorème subsiste même avec 
des racines imaginaires , par exemple 

= 4 x — 3 , 

les racines sont 

I , I , — I -+- \/ — 2 — 1 — y 2 ■ 

Il connaît les racines égales. 

On pourrait dire: A quoi sert ces solutions qui sont im- 
possibles? Je réponds .• Pour trois choses ; pour la certi- 
tude de la reigle générale , et qu'il n'y a point d'autres 
solutions, et pour son utilité. 

Il apprend à former une équation correspondante aux 
factions données, mais il ne faut pas confondre les 
meslés (combinaison) avec la somme des puissances des 



( *44 ) 

solutions (racines). Soient 

A premier meslé, 
B deuxième meslé, 
C troisième meslé, 
D quatrième meslé , 
etc.; 
on a 



A 




sera la somme 


des solutions. 


A- 


— 2B 


— 


carres. 


A 3 


— 3 AB -+- C 3 


— 


cubes. 


A' 


— 4BA 2 4- 4AC -+- 2B ! 


-4D 


carrés-carrés 



Pas plus loin que les bicarrés. 

Ces théorèmes et ces formules sans démonstrations : il 
est évident que Girard avait des démonstrations. 

Connaissant une solution , il indique le moyen de trou- 
ver les coefficients de l'équation débarrassés de cette so- 
lution. Il n'a pas recours à la division 5 uniquement à 
la composition des coefficients qu'il nomme les meslês. 

Jus que s icy nous 11 avons encore expliqué à quoy 
servent les solutions par — quand il y en a. La solution 
par — s'explique en géométrie en rétrogradant, et le 
— recule là où le -f- avance. 

C'est la première trace dune interprétation géométri- 
que des quantités négatives: la géométrie de Descaries 
n'a paru qu'en 1637. 

Problème d'inclinaison. ABOF est un carré donné , 
AB = 4- 11 s'agit de mener par le point A une droite ANC 
de manière que la droite NC, interceptée dans l'angle 
droit adjacent à 0,soit égale «à \/i53.0n demande la Ion" 
gueux de FN. 

Solution. Soit 

FN — x ; 



( "45 ) 
sans dire comment, il dit qu'on a l'équation 

jt' = 8a; 3 -f- 1 20 .r -+- i 5<8.r — ?.5() ; 
les quatre valeurs sont 



-4 j- y/iv 



V 4 4' 



N est entre F et O ; il porte FN = i , FD = 16 du même 
côté et les deux autres dans le sens opposé. Les données 
sont clioisies de manière h avoir des racines rationnelles , 
ce qu'on ne fait pas dans les traités modernes qui tous ont 
adopté cet exemple. 

Des postposées quantités en algèbre. Ce titre obscur 
renferme la résolution de cette équation 

xy = a y -\- b , 
d'où 

b 



Il énonce ici six théorèmes de Y Arithmétique an Stevin 
dont je ne puis deviner le sens, n'ayant pas cet ouvrage 
à ma disposition-, ils sont relatifs à la trigonométrie, il y 
est question de sécante. 

C'est pour n'avoir pas connu ce mode de solution , dit 
Girard, que Cardan et Stevin ont donné, souvent sans 
nécessité , des solutions embarrassées. 11 choisit pour 
exemple une question qui mène aux équations suivantes : 

.f+j+ 1=26, y" — xz , z 7 = 1 j'z H- 6z. 

C'est icy où ils se sontarrestez, mais nous achèverons 
et nous passerons à travers ce nuage. 
Par voie d'élimination , il trouve 

.1 • = 2, y = G, Z— 18. 
Bulletin mathématique , t. 1 er . (Octobre i855.] 10 



I i46 ) 

Après ce problème , on lit : Fin de V Algèbre, au Las 
de la page , recto. Sur le verso , on lit : De la mesure de 
la superficie des triangles et polygones sphériques, nou- 
vellement inventée par Albert Girard. 

Il dit qu'il va découvrir des choses qui n'avaient 
jamais été cognâtes, sinon avant le déluge (*) . 

Il commence par faire des réflexions judicieuses sur 
l'emploi des mesures. Le pied sert à mesurer lignes, aires 
et solides -, mais ce mot pied ne conserve pas même signi- 
fication: c'est successivement un pied linéaire, superfi- 
ciel, solide ; de même le mot degré, quand il s'agit d'un 
arc, est un degré circulaire, et quand il s'agit d'un angle, 
c'est un degré angulaire. Il donne une plus grande exten- 
sion à ce mot degré et s'en sert pour mesurer des angles so- 
lides et des aires sphériques; à cet elîét , il suppose que 
l'angle solide trirectangle a 90 degrés ; les huit angles soli- 
des qu'on obtient par le prolongement des faces, remplis- 
sant tout l'espace, contiennent 720 degrés. Assignant 
autant de degrés à Taire de la sphère, alors toute aire splié- 
rique peut être exprimée en degrés, minutes, secon- 
des , etc. Il adopte ces nombres , dit-il , parce que la cir- 
conférence est divisée en 36o parties égales; mais il aurait 
mieux valu adopter la division par dixme. 

Il procède ensuite à des définitions et à des propositions 
que nous allons rapporter dans le même ordre, mais avec 
les notations modernes. 

Définitions. Cercle majeur, mineur; grand cercle et 
petit cercle de la sphère ; Jibule = triangle sphérique 
ayant deux côtés chacun de 90 degrés. 

Lemme I. ABC étant un triangle sphérique et A le 
pôle ,ce/c/eBC majeur ou mineur, l'aire ABC esta l'aire 



(*) Il parait que Girard admet avec Stevin qu'il a existe avant le dé- 
luge un peuple très-sape, très-instruit , Irès-heureus Opinion poétique 



I '47 ) 

enlevée par le cercle BC comme l'angle A à quatre 
droits. 

Lemme II. a et b étant deux angles moindres chacun 
qiiun quadrant, on a 

fang« n sin a a 
tang b b >in b b' 

il démontre la première inégalité et, pour la seconde, 
il s'en réfère à la fin du chapitre IX du Hure I er de l'Al- 
raageste et au théorème VI du livre I er de Copernique 
en sei Révolutions. 

Lemme III. La somme des angles intérieurs d'un po- 
lygone recliligne est égale à autant d'angles droits que 
le double du nombre des côtés moins 4. 

Théorème. Tout polygone sphérique compris d'arcs 
de cercles majeurs tient autant de degrés superficiels 
que la somme de tous ses angles intérieurs excède la 
somme des angles intérieurs d'un polygone rectiligne de 
même nom, quand la superficie de la sphère est posée 
estre de J20 degrés superficiels. 

Suivent des explications numériques sur le triangle , 
l'heptagone. Œil et yeux au pluriel, dénomination 
pittoresque, est ce que nous appelons fuseau. Soit un œil 
de 3o degrés; Taire est de 60 degrés superficiels, car le 
polygone rectiligne de même nom est biligne et n'est pas 
polygone. Il ne faut donc rien ôler de 60 degrés. 
Ainsi le théorème subsiste pour \csyeux. 
Ce sont de simples énoncés, les démonstrations sont 
plus loin. 

Mixte r= triangle sphérique formé par deux arcs de 
grands cercles égaux et par un petit cercle. 

Aire du mixte. Soit ABC un triangle mixte, AB = AC. 
et BC un petit cercle. Si 1 on pose le rayon égala 1. nu 



( M» ) 

aura 

aire ABC = A sin verse AB. 

Girard ne suppose jamais le rayon [raid) égal à 1 

Soit 

AB = 36° Si' , A = 1 5° , 

i 
sin verse AB = ■= environ , 
5 



donc 



aire ABC = = 3° environ. 

120 



Problème. Construire un triangle sphérique rectangle 
équivalent à ce mixte et ayant même angle A , 
Solution. Soit ADE ce triangle, 

A == i5'\ D = go°; 

de là, d'après le théorème, on conclut qu'on doit avoir 
E = 78 , car 

90 4~ 78 4- 1 5 — (80 = 3. 

Par les formules delà trigonométrie sphérique, Gi- 
rard calcule les côtés et trouve 

AE = 37°5o/; 
ainsi 

AE>AB et AD = 36° 33', aire AD < AB. 

DE = 9 « 4'; 

les 1 5 degrés du petit cercle BC ne valent que 9 degrés 
environ d'un grand cercle. Ainsi BC <C DE. 

Proposition. Un triangle sphérique de trois arcs ma- 
jeurs tient autant de degré z de superficie, que l'excez 
des trois angles sur 180 degré z. 

I. Démonstration particulière es fi bulles. Soit la ii- 
bulle ABC, AB = 90°, AC = 90 ; la somme des trois 



( '49 ) 
angles est i8o°-f-A; donc, d'après le théorème, l'aire 
ABC égale A , ce qui est évident. 

II. Démonstration es triangles rectangles sphéricités 
avant un chacun costé défaillant: en conclusionprobahle . 

Défaillant = aigu; conclusion probable. Girard ne 
donne pas sa démonstration comme rigoureuse. 

Soit BDN un triangle sphérique rectangle en N , pro- 
longeons BD en Q et BM en C, de manière qu'on ait 
BDQ = B>C = 90° ; Tare CQ mesure l'angle B. Prolon- 
geons CQ en R de manière que CQR = 90 , on aura 
RQ <^ D , car D > 90 — B ; portons l'arc qui mesure D 
de R en F de sorte que l'on ait 

RQF = D, QF=: B + D — 90", CF = 90 — D; 

ainsi , si le théorème est vrai , QF représente en degrés 
superficiels l'aire du triangle BD?s . 
Posons 

BD = n, DN = b , NB = d , 

séc/i = tangB tangD; 

d'après le lemme II , 



îpres 



tangB B 



d< 



>nc 



tanggo — D 90 — D' 



B 90 — D 

90 — D a 

• ™ ^ 9°° - D 
cosrt = sinDQ, sinDQ<^ : - • 



Augmentons l'arc QD , 

QDG — QD 4- DG = 90 -- n -4- «, 



( i5o ) 
tel que 

qo° — D 

sin 90° — n -f- a = o = cos(a — n) = - — = sinQDG, 

G tombe entre D et B. 







sécr/ = 


sin 


B secD. 






ar le 


lerame II 


5 
















B 
90° — D 


> 


sin 
sin 90° 


B 


D' 


B 


^> 


sec d 




9°°^ 


- D '' 




cosr/ 


> 


90 — 
B 


I) 

■ 




?os d = 


sin CN ; 




one 






sinCN 


> 


90 


1 — D 

B 







Diminuons l'arc CJN , 

CP = CN — NP = 90° — d — p , 

et tel que 

q » — d 
sin(go°+ p) = cos(rf+ p) = J - ■- - =sinCP. 

Le point T tombe entre C et N ; 

r/ -f- (3 = a — « , 
donc 

s — »>«*, BG>BN, BG = BP. 

Si donc, du point B comme centre et d'un rayon sphé- 
rique BG, on décrit un arc GP, contenu dans l'angle l> . 
le point P tombe entre N et C 

L'aire du mixte 

BGP = B sin verse, 
BG = B sin verse a — H = B [1 — cos (a — // )] 
= B -+- D — 90 = QF ; 

or l'arc GP croisant toujours /arc 1)\ . Vaire du mixte 



1 ) 

est équivalente à celle du triangle BDN. Donc l'aire de 
re triangle est CF on B -f- D -+- 90 — 180; ce croisement 
est la seule raison que Girard allègue. Aussi il regarde cette 
raison comme donnant une probabilité et non comme dé- 
monstrative. Il finit même par dire: Notez que j'ai es- 
prouvè en deux divers exemples que GD estoit plus que 
double à NP, etc. Il a dû recourir à un moyen empirique. 
Il serait intéressant d'avoir une démonstration rigou- 
reuse de l'équivalence des aires BDN et BGP, bien en- 
tendu sans connaître 1 aire de BDX. puisque cette équi- 
valence doit servir à trouver cette ah-e. 

III. Démonstration en tous triangles sphériques. Il 
décompose chaque triangle en deux triangles rectangles. 

IV. Démonstration de tous les polygones sphériques. 
Il les décompose en triangles. Il termine partes paroles 
remarquables auxquelles on n'a pas fait attention : 

Mais le lecteur se contentera présentement de la dé- 
monstration contingente , jusques à ce qu'ayant plus 
de loisir, je la donne à sa perfection . 

De la mesure des angles solides lesquels sont circuits 
de superficies planes. Pour faire cela , on mesure les incli- 
naisons des plans , on les ajoute ensemble, et de la somme 
on retranche la somme des angles d'un polygone recti- 
ligne de même nom que la base. C'est ici la première 
idée de la mesure d'un angle solide. Il indique la mesure 
des angles solides des secteurs sphériques , el 1 ouvrage est 
terminé par la mesure de l'angle solide d'un cône isocèle. 

On voit, d'après ce résumé, que Girard a le premier : 

i°. Fait connaître les relations combinatoires entre 
les coefficients des équations et des racines, ordinaire- 
ment attribué à Newton 5 

2°. Donné 1 "interprétation des racines négatives, ordi- 
nairement attribué à Deseartes. 

3°. Fait sentir l'utilité des racines imaginaires: 



( I5a ) 

4°. Donné des formules pour les sommes des puissances 
des racines ; 

5°. Donné Taire du triangle et des polygones sphé- 
riques ; 

6°. Donné la mesure des angles solides. 

Girard doit être placé au premier rang parmi les grands 
géomètres du xvn e siècle, ce qui ne l'a pas empêché de 
mourir en i638 dans un état très-voisin de la misère. 

U Invention nouvelle, etc., est un ouvrage excessive- 
ment rare. Il n'existe pas dans les bibliothèques publiques 
de Paris. J'en dois la communication à l'obligeance de 
M. Chasles (*). 



NOTE HISTORIQUE SIR L'AIRE Dl TRIANGLE SPHÉRIQIE. 

(Extrait d'une Lettre de M. Promu. 

Lagrange dit au sujet de ce théorème [Journal de l'É- 
cole Polytechnique, p. 275, 1798) : 

« On 1 attribue communément à Albert Girard qui 
» l'énonce, en effet, dans l'ouvrage intitulé : Invention 
» nouvelle en V Algèbre, et imprimé à Amsterdam en 
)> 1629 ; mais comme la preuve qu'il en donne n'est pas 
» rigoureuse et qu'elle ne peut pas même être regardée 
» comme une induction, on devrait plutôt l'attribuer à 
» Cavaleri qui l'a donnée dans le Direct orium gerierale 
» uranometricum , imprimé à lîologne en i632 avec la 
» belle démonstration rapportée par Wallis et iris< 
» depuis dans la plupart des trigonométries. » 



* Il l'a trouvé dan- un paquet de livres qu'il a l'ait venir en bloc d'Aile* 
magne. 



( *53 ) 

On doit ajouter que Girard ue donne pas sa démons- 
tration comme rigoureuse , mais comme une probabilité 
provisoire et promettant une démonstration rigoureuse. 

Euler a rapporté la démonstration de Girard dans son 
Mémoire De mensuraangulorumsolidoriim acta, Ac. Se. 
Pctrop. pro i 778, pars posterior, p. 33, et le nomme acu- 
tissimum geometram. 

Evidemment Euler n'a pas lu l'ouvrage de Girard. Il 
lui attribue une démonstration que l'on doit à Cavaleri. 

Le titre complet de l'ouvrage de Cavaleri est : 

Direclorium générale uranometriewn in quo trigono- 
metriœ logarilhmicœ fundamenta ac regulœ demons- 
irantur. astronomicœque supputationes ad solam fere 
vulgavem additionem reducentur, opus utdissimum as- 
tronomis, arithmeticis , perspectives , archîteclis principue 
mïlitaribus, mechanicis, geo g raphias, nec non ipsis 
philosophis naturalibus ; authoreFii. Bonav. Cavalerio, 
Mcdiolajiensi ordinis Jesuatorum S. Hieronymi , priore 
titidati ac in almo Bononiensi gymnasio primario mathe- 
maticorum professore. Bononiœ , \6?>2; in-4- 

L'ouvrage est composé de trois Parties : , 

i re . Introduction historique, notions préliminaires sur 
les lignes trigonométriques et les Tables de logarithmes ; 

2 e . Trigonométrie rectilïgnej 

3 e . Trigonométrie sphérique. 

L'ouvrage est suivi d'une Table de sinus et d'une Table 
de logarithmes des nombres de 1 à 10000. 

Le théorème sur l'aire du triangle sphérique est donné 
dans la troisième Partie, chapitre Mil, page 3i5. 

Après quelques mots sur la nouveauté et l'utilité de 
1 invention, il ajoute cette singulière comparaison : 

Ptdchcrrimuni igitur hoc inventum aliis quoque com- 
municandum esse censui, ittudque hoc postremo capite 
jioii incongrue fuit reservalum, quo sublatis dapibus qui- 



( '54 ) 
bus in mcnsa communiter ïmsci consuescimus, his ex- 
empta James novo hoc cibo restiluta, famelici potins 
quant saturi ab astromica mens a clecedamus . 

Cetle métaphore culinaire a été reproduite clans le 
litre suivant : Freundchajtliche Bewirthung meiner 
matheniatischen Bruder mit einem Traelament von 
sechs geruchten, oder curieuse math, aufgabe nebst 
ihreti auflosung. Hospitalité amicale offerte à mes frères 
en mathématiques; repas en six plats, ou problèmes de 
mathématiques curieux avec leurs solutions, par Jacques 
Jacobsen. Sleswig , i 790 ; in-8. 

Cavaleri (B.) est né à Milan en 1098. Il entre dans 
l'ordre des Jésua tes (*), s'adonne aux mathématiques, 
devient élève de Galilée, se distrait de violentes attaques 
de goutte par l'étude, et meurt le 3 décembre 1667. 



BIBL!0(iftAPIIIE. 



Licence es Sciences Mathématiques. — Résolution nES 

QUESTIONS RELATIVES A l'ÉPREUVE PRATIQUE, d' après le 

Programme officiel an 20 avril i853 ; par E.Reynaud, 
ancien élève de l'Ecole Polytechnique. Paris , 1 855 , 
in-8 de vn-120 pages. 

L'auteur a résumé eu ce petit nombre de pages les so- 
lutions de trente-huit questions les plus difficiles de la 
partie mathématique du programme delà licence. On y 



* Fondé pour des frères lais au xiv c siècle, devient un ordre régulier; 
porte le nom des Hiérony,mites. <le son patron -.uni Jérôme; fui sup- 
primé en [668. 



( *55 ) 
trouve les formules de résolution, l'exposition des théo- 
ries qui servent à établir ces théorèmes. 

Les dix premières questions concernent renseignement 
des lycées. ±Sous signalons la cinquième question relative 
à la recherche d'une racine réelle d'une équation trans- 
cendante par la méthode des différences ; vu l'exigence 
du moment et la pénurie des moyens, cette indication 
est précieuse. Les questions 12 à 26 se rapportent «à la 
mécanique rationnelle et pratique. Pour celte dernière . 
on a résumé les formules répandues dans les ouvrages de 
MM. Poncelet, Morin; bien entendu que ces calculs 
supposent des connaissances physiques comme prélimi- 
naires. L'astronomie sphérique, planétaire, stellairc est 
l'objet des questions 26 a 38. Dans la question 34 , on éta- 
blit les relations entre l'ascension droite, la déclinaison, 
la longitude et la latitude d'un astre , ayant égard a la 
précession, la nutation et l'aberration. 

En traitant dans les collèges des changements de coor- 
données linéaires et polaires, il serait convenable d'ap- 
prendre aux élèves les noms que portent ces changements 
chez les astronomes 5 cela donnerait quelque intérêt à ces 
opérations et préparerait aux études astronomiques. 
Plusieurs de ces questions auraient pu être simplifiées 
d'après les travaux consignés dans les A ' stronomischen 
nachrichten (*), journal qu'il est désormais indispensable 
de consulter en écrivant sur l'astronomie. Ce journal ci 
celui de M. Crelle sont deux monuments impérissables 
que l'Allemagne élève à la science. Quand counailrons- 
nous les travaux de Hansen , Encke, Brunow sur le cal- 
cul des perturbations planétaires? Combien de temps 
resterons-nous encore le seul peuple civilisé qui soit 



(*) Voir l'excellent Mémoire de M Gœtz n° \ •■ 1 \\\ll p \\\ 

11 > r ' 1 



( '56 ) 
privé d'un journal d'astronomie? C'est une manière de se 
distinguer qui n'est pas très-flatteuse. 

M. Reynaud a voulu faire un travail utile. Le but est 
atteint. 

Eléments de Géométrie, par S. -F. Lacroix, membre de 
l'Institut. Dix-septième édition, rédigée conformément 
aux Programmes de l'enseignement scientifique dans 
les Lycées, par M. Prouhet, professeur de mathéma- 
tiques (*). 

Les géomètres éminents de l'école des Lagrange et des 
Laplace n'ont pas dédaigné de descendre de temps en 
temps des hautes régions de l'analyse dans le champ plus 
modeste des éléments de la science. C'est là , dans les élé- 
ments, que leur esprit a dû. s'exercer non plus à résoudre 
des problèmes d'un ordre plus ou moins élevé , mais à 
former une classification méthodique et lumineuse des 
vérités simples et fondamentales, base du vaste édifice 
<Je la science des grandeurs. A côté du Traité des fonctions 
elliptiques et du grand Traité de calcul infinitésimal, fi- 
gurent deux ouvrages élémentaires de géomètres auxquels 
s'attachent respectivement, comme aux précédents, les 
noms de Legendre et de Lacroix, et peut-être que ces 
livres élémentaires ont présenté à leurs auteurs des diffi- 
cultés non moins grandes que cellesi qu'ils on eu à vain- 
cre, de diverses manières, dans une sphère plus élevée. 
Depuis, on ne s'est jamais sensiblement écarté de la mar- 
che suivie par ces illustres maîtres. Le groupement gé- 
7iéral des théories partielles, adopté par Legendre, a 
peut-être constamment prévalu j mais pour ce qui est de 
i 'exposition en elle-même , il est facile de reconnaître que 
les procédés de Lacroix sont plus empreints de cet esprit 

(*)ln-8, avec figures dans le texte. Chez Mallet-Bachelier, libraire. 
Prix : .'i francs 



( i5? ) 
d'analyse qui est dans la nature des choses et qui fait passer 
sans effort d'une vérité à une autre successivement plus 
complexe. L'expérience et la nécessité des temps ont fait 
sentir le besoin d'introduire dans l'enseignement un 
ordre uniforme et déterminé. L'ouvrage de Lacroix de- 
vait, en conséquence, recevoir en certains points une 
distribution différente des matières et dans d'autres quel- 
ques développements que l'auteur avait négligés. M. Prou- 
het s'est chargé de ce double soin. La dix-septième édi- 
tion de la Géométrie de Lacroix qui vient de paraître a 
été divisée en quatre Parties. La première Partie com- 
prend toute la géométrie plane, c'est-à-dire ce qui se rap- 
porte à l'enseignement de la classe de troisième (sciences) . 
La deuxième répond à l'enseignement de la classe de se- 
conde et comprend conséquemment les propriétés géné- 
rales delà géométrie de l'espace. Dans la troisième Partie 
on trouve le complément de ces propriétés en vue de la 
classe de spéciales. Enfin la quatrième Partie renferme 
les notions sur les courbes usuelles qui sont destinées à la 
classe de rhétorique. 

Les énoncés du Programme officiel sont intercalés dans 
le texte, de façon que les leçons se trouvent distribuées 
dans leur ordre naturel. Il en résulte une économie de 
temps pour l'élève qui se trouve par là dispensé d'aller 
rassembler les fragments épars d'une même théorie. 

On connaît le mode d'exposition clair, précis et simple 
qui caractérise les écrits de Lacroix. Dans les endroits, 
peu nombreux , il faut le dire , où il est devenu indispen- 
sable d'introduire quelques nouveaux développements, 
M. Prouhet s'est montré pour le fond et pour la forme 
le digne émule de l'illustre auteur. L'ouvrage forme ainsi 
un tout parfaitement homogène, et, en le Ji\rant à la 
publicité, M. Prouhet a rendu un véritable service aux 
élèves et aux professeurs. 



( '58 ) 

Aujourd'hui les livres élémentaires pullulent en quel- 
que sorte. Il semble malheureusement que leur valeur 
moyenne diminue proportionnellement à leur nombre. 
On doit donc regarder comme une bonne fortune la ré- 
apparition, sous une forme plus appropriée aux besoins 
actuels, de l'oeuvre de l'un des hommes qui ont le plus 
profondément et le plus efficacement médité sur la phi- 
losophie de renseignement. 

Je dois ajouter en terminant que l'éditeur, M. Mallet- 
Bachelier, a pris un soin particulier de la partie typo- 
graphique. 

E. CoMBESCCBE. 



Tables des logarithmes et co-logarithmes des nombres 
et des lignes trigonométriques , disposées de manière 
à rendre les parties proportionnelles toujours additives, 
suivies d'un Recueil de Tables astronomiques et. nau- 
tiques ,• par V. Caillet^ examinateur de la Marine, an- 
cien professeur d'astronomie et de navigation aux Eco- 
les Navale et d'Hydrographie. Paris, Mallet-Bachelier, 
Robiquet, édition stéréotype, 1 854- Grand in-8 de 
33 1 pages-, 47 Tables. 

Du moment qu'une question est ramenée au calcul nu- 
mérique, tout ouvrage qui permet une plus grande rapi- 
dité dans l'exécution rend service à la science. De ce 
nombre est l'ouvrage dont nous allons rendre compte. 
Composé de quarante-sept Tables, il contient les prin- 
cipales Tables nécessaires au calculateur, à l'astronome 
et au navigateur. La première Table contient une série 
de quelques nombres usuels avec leurs logarithmes dont 
l'emploi simplifie les calculs. La seconde Table donne les 
mêmes expressions pour tous les nombres , et, dans le 
cadre, trois colonnes de divisions de la circonférence 



( i5g I 
décuples les unes des autres. I ne colonne de parties pro- 
portionnelles est jointe aux logarithmes. L'auteur donne 
une règle pour rendre les parties proportionnelles tou- 
jours additives, règle dont l'emploi est surtout commode, 
dans la Table III des lignes trigonométriques qui sont 
données de i5 en i5 secondes. 

On prend toujours le logarithme inférieur à celui que 
l'on cherche, et si l'argument et le logarithme croissent 
dans le même sens, on lit la partie proportionnelle à 
gauche, et à droite de la page en cas contraire. Comme 
dans les grandes Tables de l'Observatoire , on donne en 

outre les cinq premiers degrés des logarithmes de cl 



tan» a . . ,, . , . , , 

— - — qui, se suivant cl unîtes en unîtes, ne nécessitent 

a L 

pas d'autre solution. De manière que pour avoir le loga- 
rithme de sin« ou de tanga, il suffit d'ajouter le loga- 
rithme de l'arc pris dans la Table II à celui du rapport. 
La Table IV , qui sert aux marins à faire le point , peut 
servir aussi à résoudre rapidement les triangles rectangles : 
elle donne ces deux formules, 

b — à cosC et c = (i sinC. 
La Table ^ contient la latitude croissante sur l'ellip- 
soïde terrestre en prenant l'aplatissement égal à — -: 
elle est calculée par la formule 

10800' , , .. LA 

L c = — m- tan» 45" - 

-M c > 

10800' ( (- sin 3 \' 

C MM L -1 



Les autres Tables sont spéciales à L'astronome ou au 
navigateur. Parmi celles-ci, quelques-unes sont nouvelles 



( 1G0 ) 
et d'autres sont publiées pour la première fois en Fram e 
La Table X, qui sert à résoudre immédiatement un trian- 
gle, connaissant un côté adjacent à deux angles, est très- 
commode dans les atterrissages. 

Les Tables XI et XII, qui permettent de déterminer à 
quelle distance on se trouve d'un objet dont la hauteur 
est connue , sont nouvelles en France. Par leur étendue , 
elles facilitent singulièrement les moyens de vérifier les 
chronomètres lorsqu'on est en vue de terre. 

Le moyen le plus juste et le plus constamment em- 
ployé à la mer pour déterminer la latitude est la hauteur 
méridienne du soleil. Quand il arrive que cet astre n'est 
pas visible à cet instant précis, le navigateur est obligé 
d'employer d'autres méthodes longues et moins exactes ; 
parmi celles-ci , la méthode des circumméridiennes est la 
meilleure. Elle donne la quantité à ajouter à une hauteur 
pour la rendre méridienne. Delambre a calculé des Ta- 
bles pour faire ce calcul 16 minutes avant ou après midi. 
La correction est celle-ci : 

i 

2 sin 2 - P , 

2 cosLcose/ ! 

x = — : -7T- -. — - 1 rot.'L — <7)sin i X I er It'i'iiii'j 

sin i sin ( L — a ) i 

P étant l'angle horaire, L la latitude estimée , ci la décli- 
naison. 

La Table XL donne 

- jsL cos<7 
I( 



î T cos 

° L(s>n 



(L-rf)J 

Dans la Table XLI , poussée jusqu'à 3o minutes, on 
trouve les valeurs des deux coefficients m et n nécessaires 
pour le calcul comméridien 



sin 2 — P 2 sin 1 1' 

3 

— et m = 



( i6i ) 
la deuxième correction est souvent insensible. La pre- 
mière Table est tirée tîe l'ouvrage anglais : The practice 
of navigation — by Henry Ruper, et la deuxième a élé 
prise avec correction dans : Hulfstafehi zur zcit und 
bestimmurigcn . \ ou H.-C Schumacher (1820). 

La Table XLIII, qui donne la réduction des heures, 
minutes et secondes en fractions décimales, est très-utile. 

La dernière Table contient les établissements des ports 
et les unités de hauteur des marées pour les principaux 
ports. En passant, je ferai remarquer que X Annuaire du 
Bureau des Longitudes et beaucoup d'autres ouvrages 
donnent à Dunkerque 1 i h 45 m pour établissement, tandis 
qu'il est de i2 h i3 m ; de même pour Calais il est de 
n h 49 m et non n h 45 m . Les quarante-sept Tables sont 
suivies d'explications détaillées qui permettent d'en faire 
rapidement usage. 

Ce serait une erreur de croire que ces Tables ne sont 
utiles qu'aux navigateurs: les professeurs des lycées peuvent 
s en servir également avec avantage. Ils y trouveront des 
exercices des deux tri gonomé tries et de cosmographie avec 
emploi continuel de logarithmes et aussi de co-logarith- 
mes. Ce mot est nouveau, mais la chose est ancienne-, c'est 
ce qu'on appelait jusqu'ici complément des logarithmes, 
opération très-commode et encore plus quand on n'a pas 
besoin de la faire, car, dans cet ouvrage, elles sont pour 
la première fois toutes faites. Lorsque presque toutes les 
productions du jour ne se distinguent les unes des autres 
que parce que les unes mettent à droite ce que les autres 
mettent à gauche, on est heureux de rencontrer un tra- 
vail où se manifeste une pensée spontanée qui a un mé- 
rite intrinsèque et qui porte lecaehel d'un perfectionne- 
ment réel . 

Terqlem (Paul) . 

Professeur d'hydrographie à Dunkerque. 
Bulletin mathématique, 1 I e ' Novembre i855 11 



( *6 2 ) 

Cours d'Arithmétique, rédigé conformément aux Pro- 
grammes officiels; par M. Dupain, ancien élève de 
l'École Normale. In-8. Prix : 3* 5o c . 

Cours de Géométrie, rédigé conformément aux Pro- 
grammes officiels; par M. Dupain, ancien élève de 
l'Ecole Normale. In-8. Prix : i f , 5o. 

Encore une Arithmétique! Il y en a déjà tant! Elle est, 
comme la plupart de ses devancières, conforme aux Pro- 
grammes officiels et utile aux élèves qui veulent passer 
des examens. 

L'auteur a d'abord fait une arithmétique pour ceux 
qui se proposent simplement à? apprendre l'arithmé- 
tique , puis il s'est étendu sur ce lit de Procuste qu'on ap- 
pelle programme, et , à force de s'y débattre , il a pu s'en 
relever sinon sans meurtrissures, du moins sans mutila- 
tions. 

Ecrire sur un sujet si rebattu, c'est prendre l'engage- 
ment de dire autrement que tout le monde; cet engage- 
ment, M. Dupain l'a tenu. Tantôt c'est la forme qui se 
renouvelle: pour démontrer, par exemple, qu'un produit 
de deux facteurs ne change pas quand on change l'ordre 
des facteurs ; tantôt c'est le fond même de la démonstra- 
tion : pour trouver, par exemple, l'erreur relative d'un 
produit. 

Le style est en général concis. M. Dupain aime la 
brièveté; il ne doit pas être bavard. Mais quand il s'ayii 
d'éclairer une question , il en prend son parti et n'écono- 
mise pas ses phrases. Ainsi la définition de la division est 
très-détaillée et tient plus de deux pages -, il est vrai que 
l'élève qui aura lu attentivement ces deux pages aura une 
idée nette du but multiple de cette opération , autrefois 
l'épouvantail des écoliers. 



( -63) 

Quelle analogie y a-t-il entre la multiplication et la 
division des entiers et celle des fractions? Comment les 
théorèmes sur les facteurs entiers s'étendent-ils aux fac- 
teurs fractionnaires? Quelle est la portée de cette géné- 
ralisation? ^oilà des questions que traite longuement 
l'auteur et dont la solutiou jettera plus tard du jour sur 
la théorie algébrique des quantités négatives. 

Ceux qui aiment le summum jus trouveront téméraires 
quelques paragraphes qui ne peuvent être acceptés que 
par une interprétation libérale de la lettre du Programme. 
Nous citerons la théorie des chiffres romains , des nom- 
bres premiers, la preuve par 9, les mesures de temps, etc. 

Pour se faire pardonner cette audace, M. Dupain a fait 
de larges concessions à l'esprit nouveau. Arrière les pro- 
portions! il n'en reste qu'un souvenir. Heureusement 
que le Programme, qui a pour Y adjectif \e même faible 
que les romantiques dont parle Alfred de Musset, nous 
laisse les quatrièmes proportionnelles et les grandeurs 
proportionnelles sur lesquelles M. Dupain a pu conso- 
lider les règles de trois qui ont aussi reçu des novateurs 
un laissez-passer. 

Parler des logarithmes à des lecteurs qui ne connaissent 
ni les progressions ni les exposants fractionnaires est un 
de ces tours de force imposés par le Programme et dont 
M. Dupain s'est tiré par une définition empruntée au 
Cours d'analyse algébrique de M. Cauchy. 

La théorie de la règle à calcul est une de ces utilités 
introduites récemment. Le sujet est traité en quatre pa- 
ges qui en disent plus que bien des brochures. 

Mais le triomphe (Jes utilitaires est dans les exercices, 
gâteau de farine et de miel que l'auteur jette dans la 
triple gueule de Cerbère pour franchir le seuil de nos 
écoles. Le budget, la bourse, les chemins de fer, l'armée, 
la marine, l'éclairage au ga/., la boucherie, la boulan- 

1 1 . 



( '64 ) 
gerie, l'agriculture, l'almanaeh et jusqu'aux allumettes 
chimiques y ont trouvé place et étouffent quelques ques- 
tions de science pure que l'incorrigible auteur y a glis- 
sées. 

Nous signalerons encore dans l'Arithmétique de M. Du- 
pain quelques notes historiques et une table de matières 
très-développée qui facilite beaucoup les recherches. 

En géométrie, l'auteur avait moins de concurrents, 
mais aussi moins de guides ; il a interprété largement le 
Programme , et, à l'aide de notes, d'appendices, d'intro- 
duction , d'exercices , il a trouvé moyen d'initier les élè- 
ves studieux (il y en a encore) à l'étude sérieuse des sec- 
tions coniques. 

Pour racheter cette hardiesse , il a fallu sacrifier à Vu- 
tile; aussi est-il question de vis ordinaires, de vis d'Ar- 
chimède , d'escaliers , de bateaux à vapeur, de solénoïdes, 
d orbites planétaires, d'aplatissement .du méridien, de 
projectiles, de miroirs, de jardinage, de voûtes à con- 
struire, d'alignements de routes à raccorder, etc. 

Par un Professetr. 

Note du Rédateur. La science n'est plus qu'un in- 
strument accessoire dans l'enseignement : les applications 
sont le point essentiel. C'est à qui entassera le plus de 
questions disparates sur la mécanique, l'agriculture, la 
physique , le commerce , la chimie , l'astronomie , la mé- 
tallurgie, les voies de fer, ele; sorte d'exposition mathé- 
matique de bric-à-brac. Descartes ne l'entendait pas ainsi. 
Voici ce qu'il nous dit : « Mais je ne m'arrête point à 
» expliquer ceci plus en détail, à cause que je vous ôlerais 
» le plaisir de l'apprendre de vous-même et 1 utilité 
» de cultiver votre esprit en vous y exerçant, qui est à 
» mon avis la principale qu'on puisse tirer de cette 
» science» {Géométrie, édit. de Cousin, t. V,p. 3i(5). 



( «65 ) 
C'est précisément à cette principale utilité qu'on fait la 
guerre. On n'en voit d'autre que celle dont les résultats 
peuvent se coter à la Bourse. Contradiction singulière î 
ils préconisent une philosophie spiritualiste et un ensei- 
gnement matérialiste. Cela rappelle les dernières pa- 
roles du juste : 

x yuo wdaoi t< izousai. 



SIR LE PROBLEME DES BŒUFS ATTRIBUÉ A ARCHIMÈDE 

.(voir page 113). 



Monsieur le Rédacteur, 

Puisque vous m'avez donné l'occasion de m'occuper du 
Problème des Bœufs attribué à Archimède, je vais vous 
faire part de quelques remarques que m'a suggérées 
votre article curieux. 

Je crois comme Struve, non-seulement que les deux 
dernières conditions ont été ajoutées, mais qu il en est 
de même de tout ce qui est relatif aux vaches, depuis le 
vers 17 e jusqu'au 26 e inclusivement, plus les vers 28 et 29 
qui me paraissent interpolés , de manière à séparer eu 
deux le dernier distique où je lirais tto'o-oi au vers 27. 

Ainsi les vers 1 à 16 me semblent présenter un énoncé 
complet, auquel les vers 27 et 3o forment un épilogue 
très-convenable. 

Le problème ainsi réduit a pour solution la plus sim- 
ple ou principale les quatre nombres que vous donnez à 
la page 117, savoir : 

2226 bœufs blancs 

(je pense que le rédacteur primitif n'avait pas s< 



( i66 ) 
à distinguer les sexes, et qu'il prenait Toûipôi tout simple- 
ment dans le sens de fias?) ; 
Ensuite : 

1602 bœufs noirs, 
i58o bigarrés, 

891 roux. 

On obtient toutes les autres solutions du problème 
en multipliant ces divers nombres par un entier quel- 
conque. 

L'auteur concluait en disant: « Mon cberami, si tu 
» nous dis exactement d' après cela le nombre des bœufs 
» d'Hélios , tu n'as pas à craindre de passer pour inlia- 
» bile ou ignorant en arithmétique. » 

Cette conclusion est évidemment complète et n'indique 
aucune restriction de la part de l'interrogateur. 

C'est donc bien un nouveau rédacteur qui ajoute : 
« Mais je ne te tiens pas quitte : il faut encore , si tu veux 
» passer pour vraiment savant , etc. » 

Or, quelles sont les nouvelles conditions auxquelles 
sont assujettis les nombres demandés? il y en a deux. 
Voici comment je comprends la première : je ne pense 
pas que la somme des nombres de bœufs blancs et noirs 
doive être un carré parfait 5 je suppose que l'auteur a 
voulu dire simplement : si les bœufs blancs et noirs réu- 
nis étaient rangés en carré, en comptant tous ceux du 
circuit, la somme des premiers rangs sur tout le péri- 
mètre du carré, t« mpifutxs* , égalerait la mesure des plai- 
nes de la Sicile; et je lis en conséquence wùîiQoç au lieu 
de itllvBov qui n'a pas de sens en cet endroit. 

(Peut-être aussi faut-il lire épSa^ov au lieu de 'tfinzSov.) 

En deux mots, le quadruple de la racine carrée du 
nombre des bœufs blancs et noirs sérail la mesure de la 
Sicile. 



( '6 7 ) 

Du reste, cette condition ne me parait pas devoir être 
prise en rigueur, c'est-à-dire exiger une racine carrée 
exacte : quel que soit le nombre des hommes d'une 
troupe, on peut toujours proposer de les disposer en ba- 
taillon carré ou supposé tel. L'auteur dit simplement : 
« quand ils étaient placés de manière à avoir la même 
» mesure en largeur et en profondeur. » 

Je reviendrai tout à l'heure sur la manière de satis- 
faire à cette condition } je dois auparavant examiner la 
secondée Celle-ci ne comporte pas la même tolérance 
que la première 5 il y est dit expressivement que les 
bœufs roux joints aux bigarrés doivent former un nom- 
bre triangulaire , sans qu'il en manque ni qu'il en veste 
aucun. Or, tout nombre triangulaire devant être de la 



forme - x (x -+- 1) , il faut donc faire en sorte que le 



1 



nombre 2471, qui représente la somme des j nombres 
cités, (T-j-J), dans la plus simple des solutions de la 
question primitive, ou que le facteur 353, nombre pre- 
mier qui est le septième de 2471 •> puisse être identifié à 
l'un des nombres x, x -f- 1, ou à leurs moitiés. Les hy- 
pothèses qui se présentent le plus naturellement sonl 
celles-ci : 



x = 247 1 , 


;< 


r -(- 1) == 1 236 , 


x -+- 1 = 2471 , 




- x = 1235, 
2 


- X = 247 i , 
2 




« -+- ' =4943, 


- [x + l) = 2471 , 

2 v 




* = 49^' > 


- x = 353 , 
2 




r -+- I =707 = 



Pour chaque cas, le nombre qui multiplie 2^7 1 dans 



( «68 ) 
le produit -x (x 4- i) est le facteur par lequel il faut 

multiplier tous les nombres de la solution principale. 

Ainsi, dans la cinquième hypothèse ci-dessus, le multi- 
plicateur sera 101 . 

Maintenant, il faut, en revenant à la première con- 
dition supplémentaire, que le multiplicateur adopté 
puisse conduire à la mesure de la Sicile, ce qui détermi- 
nerait complètement le problème. Deux nombres se pré- 
sentent en premier lieu de manière à satisfaire approxi- 
mativement à cette condition. Ce sont les nombres 
i235495o et i2355o5o. En effet, d'abord chacun d'eux 
fournit un uombre triangulaire quand on le multiplie 
par 2471, puisque le premier donne pour produit 

247099.247 »oo 



et le second 



247 101 .247 100 



2 



Ensuite , si on les multiplie respectivement par !3 S 
ils donnent pour produit 

472947^8600 et 47 2 95 I 3i4°°> 
dont les racines carrées sont (à une unité près) 

217473 et 217474? 
et les quadruples de ces racines 

869892 et 869896. 

Maintenant , si nous cherchons dans Strabon (liv. \ II) 
les dimensions de la Sicile, nous voyons qu il attribue à 
sa forme triangulaire un périmètre de 4 [oo stades qui se 



( i<\9 
distribuent ainsi : 



1720 st. pour le grand cote, 
i 55o st . pour le moyen côté , 
1 1 3o st . pour le petit côté . 



Total . . . 44°° 

Or, si l'on caleule l'aire de ce triangle par la 'formule 
de Héron d'Alexandrie, on obtient d'abord, pour le 
carré de cette aire, le nombre 734 448 000 000, lequel se- 
rait un carré parfait si le chiffre 8 s'y trouvait remplacé 
par 9, et la racine de ce carré serait 85 7 000, nombre 
représentant des stades carrés. 

On conçoit d'ailleurs que cette évaluation est néces- 
sairement au-dessous de la vraie valeur du territoire de 
Pile , à cause des sinuosités du contour, dont la formule 
fait abstraction. 

On peut donc considérer les deux nombres ci-dessus 
trouvés, 869892 et 869896, comme représentant approxi- 
mativement l'aire totale de la Sicile , conformément à 
1 énoncé. En conséquence, on a pour solution de la 'pre- 
mière et de la troisième partie de la question, les for- 
mules 

B = 2226/ , 

N = 1 602 k , 

T = i58o* , 

J = 89 1 / , 

dans lesquelles  = 12 355 000 ± 5o. 

On peut d'ailleurs arriver à un résultat plus rapproché 
de 837000 en multipliant 2471 par 99, ce qui donne 
244 629, et posant 

T ,. f — 244629X244628 

■ 



( i 7 o ) 
Alors, faisant 

B -+- N = 3828 X 99 X 2 ^ 6a8 = 46 35358i 208, 

ou a pour la racine carrée 21 5 298 qui , multiplié par 4, 
donne 861 182, ce qui est bien près du résultat cherché. 
Enfin , on aurait un résultat trop faible en multipliant 
2471 par 98, ce qui donne 242 i58, et posant 

_ _ 242 1 58 ±2.42 i5q 
2 

11 faut alors faire 

B + N = 3828 X 49 X 242 1 59 = 45 4 22 2 47 94^ S 

la racine carrée est 2i3i24 et le quadruple de cette ra- 
cine donne 852496 ( + ). 

Au surplus, l'incertitude qui reste ici quant au chiffre 
exact du résultat, ne doit pas étonner, et elle ne suffirait 
pas pour permettre de conclure que la voie proposée 
ne peut conduire à la bonne solution. Un nombre tel 
que l'évaluation de la surface totale de la Sicile n'a ja- 
mais pu être donné que comme approximation ; et il est 
d'ailleurs vraisemblable que si l'auteur avait eu en vue un 
nombre exact , il n'eût pas ajouté la condition du nombre 
triangulaire qui rendait alors le problème plus que déter- 
miné, à moins toutefois que ce ne fut comme simple vérifi- 
cation. Mais il arrive justement que les hypothèses qui 



(*) Les géographes modernes donnent à la Sicile i35o lieues carrées de 
superficie, ce qui, en supposant le degré de 25 lieues et de 700 stades, 
porte cette môme surface à 1 o58 ,'joo stades carrés. En multipliant i\~i 
par rai, on a 2989915611 multipliant ensuite 3 828 par 121 et par 298992 : 1, 
on a pour résultat 1 o5a . r >-r>. Maison multipliant i 2\- / \ par 133, <•" a 
3oi /|fi2; et multipliant alors 3 828 par 61 el par 3oi }6i, on obtienl 
1 061 268. Entre cette limite et les nombres proposés précédemment, je 
n'ai trouvé aucun carré parfait. 



( '7' ) 
remplissent cette dernière eondition d'une manière sa- 
tisfaisante ne paraissent nullement de nature à donner 
le carré parfait exigé par l'hypothèse que je combats. 

Restent maintenant les vers 17 à 26, plus les vers 28 
et 29 dont je n'ai pas encore parlé. 

Ces douze vers me paraissent avoir été ajoutés tout à 
fait après coup; et même il me semble probable que le 
distique composé des deux vers 25 et 26 constitue une 
interpolation faite encore en surcharge et tout en dernier 
lieu. Faisons donc pour un instant abstraction de ce dis- 
tique, et ne considérons que les huit vers compris de 17 
à 24. Ici je crois que les traducteurs et commentateurs se 
sont complètement trompés en supposant aux mots <r»v 
faJpoiç, au vers 22, cette signification que le nombre des 
taureaux devait être ajouté à celui des vaches. Je lis avec 
Lessing7r«<7>jç... ipyo^i-rr,- 5 mais je place le point à la fin du 
vers précédent, en faisant dépendre erùv raJpotç de epxpfctwK . 
ce qui alors signifie simplement : Les vaches rousses qui 
paissent avec les taureaux ; en un mot , je vois ici ce qu'en 
terme d'écoleon nomme une cheville. J'ajoute, en outre, que 
je lis é^ovt arpsY-k à la fin du vers 24. Alors, les conditions 
du nouveau problème, tout à fait indépendant du pre- 
mier quant à la solution, seront celles-ci : i° le nombre 
des vaches blanches forme le tiers et le quart de celui des 
vaches noires-, 2 le nombre des vaches noires est le quart 
et le cinquième de celui des vaches bigarrées ; 3" le nom- 
bre de ces dernières est le cinquième plus le sixième de 
celui des vaches rousses. 

Je suis d'autant plus porté à interpréter ainsi l'énoncé, 
que j'y crois voir une imitation des conditions du pre- 
mier problème, où : i° le nombre, des bœufs ou des tau- 
reaux blancs était la moitié et le tiers du nombre de- 
noirs (en faisant abstraction des roux); le nombre des 
bœufs noirs et ail \e quart ^ius \e cinquième desbigarrés; 



( »7 2 ) 
tt 3° celui des bigarrés, le sixième plus le septième des 
blancs. 

Avec ces trois conditions, auxquelles sont soumis les 
nombres des vaches de diverses couleurs, ces nombres sont 
indéterminés, bien que leurs rapports soient déterminés. 
.Mais si Ton ajoute une quatrième condition, savoir, 
comme dans les vers 25 et 26, que le nombre des vaches 
rousses doit être le sixième plus le septième de celui des 
vaches blanches , alors il est clair que le problème de- 
vient absurde. Il me semble voir là une addition mala- 
droite faite par un scholiaste inintelligent, qui, n'enten- 
dant pas la question , aura jugé nécessaire de compléter 
ainsi l'énoncé où il croyait apercevoir un oubli. 

Rejetant donc cette dernière condition comme entière- 
ment apocryphe, on a pour les nombres les plus simples 
qui satisfont à la nouvelle question : 

b = 9.3 1 , 

n = 3g6, 
t =880, 

j = 24on ; 

et l'on obtiendra toutes les autres solutions en multipliant 
par un nombre entier quelconque. 

Telles sont, Monsieur le Rédacteur, les remarques que 
m'a suggérées votre intéressant article. Elles ne lèvent 
sans doute pas toutes les difficultés; peut-être jugerez- 
vous néanmoins qu'elles peuvent encore présenter quel- 
que intérêt à vos lecteurs. 

J'aurais bien aussi quelques observations à vous adres- 
ser sur le texte grec que vous avez édité ; mais je ne veux 
pas me faire de mauvaises affaires. 

Au surplus, c'est là une de ces questions auxquelles 
on consacre volontiers quelques heures de loisir, mais on 
>c reprocherait d v sacrifier une trop notable fraction de 



( i73 ) 
cette précieuse étoffe de la vie humaine que l'on nomme 
le temps : car 

Fugit interea,fugit irreparabile tempus. 

Agréez , Monsieur le Rédacteur, etc., 

A.-J.-H. VlWCEMT, 
Membre de l'Institut. 



LÉONARD BOMCCI DE PISE (XIII e siècle 



Les coordonnées du centre de gravité de l'homme rap- 
portées à trois plans fixes varient à chaque instant. Lors 
même que nous nous tenons en repos , la circulation, la 
respiration, tous les mouvements involontaires delà vie 
organique déplacent ce point sans cesse. La ligne décrite 
par ce centre de gravité, depuis la naissance jusqu'à la 
mort , est la trajectoire vitale géométrique de chaque in- 

de 
dividu. La vitesse , le — - en chaque point de cette trajec- 
toire est sans doute très-variable. Mais si Ton divise la 
longueur totale de la trajectoire par le temps, soit par le 
nombre de secondes qu'on a vécu depuis l'entrée dans le 
monde jusqu'à la sortie, on obtient une vitesse moyenne 
qui diffère beaucoup d'un individu à l'autre , d'un peuple 
à l'autre. Il en est ainsi de la trajectoire de la vie intel- 
lectuelle. Cette trajectoire se compose de pensées qui se 
comptent par le nombre et se mesurent par le ternj)s. Ce 
nombre et surtout le temps établissent une grande diffé- 
rence entre les esprits; c'est surtout la durée de la pensée 
qui caractérise les esprits supérieurs. Buffon définit l< 
génie: une aptitude à la patience, c'est-à-dire la faculté 
de faire durer la pensée, delà maintenir longtemps et 



( «7* ) 
avec intensité sur le môme sujet. Souvent cette faculté 
de concentration intellectuelle rend impropre aux occu- 
pations vulgaires qui exigent des pensées fugaces et mul- 
tiples. Il résulte de là que des hommes supérieurs pas- 
sent souvent pour des niais chez les hommes inférieurs. 
C'est ainsi que les négociants de Pise, compatriotes de 
Léonard, lui ont donné le sobriquet de Bighelone (*) ; 
toutefois, c'était un des plus profonds penseurs du 
siècle de saint Louis et comme tel jusqu'à ce jour pres- 
que inconnu. Les érudils savaient que Léonard avait pro- 
mulgué et propagé la numération et apporté en Occi- 
dent l'algèbre des Arabes. Ce sont sans doute d'immenses 
services, mais qui n'ont que le mérite de l'importation 
première. Mais on ne se doutait guère qu'un géomètre 
du xni e siècle eût dépassé beaucoup Diophante et les 
Arabes et n'a été dépassé que par Fermât au xvn e siècle. 
Découverte historique que nous devons aux persévérantes 
investigations du célèbre prince Boncompagui; découverte 
infiniment supérieure à ces travaux sur des écrivains 
obscurs qu'on se plaît à tirer des ténèbres du moyen 
âge et qui, pour être publiés et illustrés, n'en restent pas 
moins obscurs. La mise au jour des trois écrits de Léonard 
enrichit de faits précieux les annales de l'esprit humain. 
Ce sont les seuls ouvrages qui soient complètement pu- 
bliés. On en connaît sept : 

i°. Liber abaci (1202 et corrigé en 1228) •, c'est un 
Traité d'Arithmétique et d'Algèbre. Le XV chapitre 
concerne l'algèbre et a été publié par M. Libri [Histoire 
des sciences mathématiques, tome II , page 307, note III, 
i838). 



(*) Bighelone est peut-être le synonyme de Bonacci qui revient au bo- 
nace français. Il est connu sous le nom de Fibonacci par contraction de 
Filins Bonacci. 



( '7* ) 

2°. Practica geometrïœ (1220 à 1221); théorique et 
pratique. 

3°. Liber quadratoriim (1223); ces t l'œuvre prinei- 
cipale (publié). 

4°. Flos super solutionibus qùarundam questionum 
ad arithmeticani et ad geomelriam vel ad utramque 
pertînentium ( publié ) . 

5°. De modo solvendi questioncs avium et sîmiliutn 
(publié). 

6°. Un commentaire sur le livre X des Eléments d'Eu- 
clide. 

7 . Libro di me.rcliatanti detto di minor guis a; 
n'existe plus, à ce qu'on sache, dans aucune bibliothèques 
renfermait des règles d'alliage des métaux. 

Les trois écrits 3°, 4°) 5° sont réunis dans un manus- 
crit du xv e siècle, sur parchemin , appartenant à la bi- 
bliothèque ambrosienne de Milan (E. ^5 , parle supe- 
riore). La description de ce manuscrit et des détails bi- 
bliographiques sur tous les écrits de Léonard sont exposés 
dans l'ouvrage suivant avec une érudition et une exacti- 
tude auxquelles nous ne sommes plus guère accoutumée : 

lntorno ad alcune opère di Leonar do Pisano mate- 
matico del secolo decimoterzo. Notizie raccolte du 
Baldassare Boncompagni, socio ordinario dell' Accadc- 
mia Pontificia de' Nuovi Lincei. Roma, tipografîa délie 
Belle Arti, i854- Iu-8 , vm-4oo pages. 

C'est là que nous puiserons des renseignements sur la 
vie et les œuvres de l'illustre Pisan (*). 



(*) M. Roncompagni, dans l'Avertissement, page m, fait savoir qn< 
tout ce qifon trouve dans cet écrit doit être reproduit dans un ou 
plus vaste qu'il se propose de faire sous le titre : Délia vita e délie open- 
di Leonnrdo Pisano et dont une partie a déjà été publiée dans les Atti 
dell' Accadcmia Pontificia de' Nuovi Lincei , tomo V, anno V (i 85 1 -."••'. 
pages 5-gi . 70S-246. 



( i 7 6) 
Nous ne connaissons d'antres circonstances de la vie 
de Léonard que ce qu'il nous apprend lui-même au com- 
mencement de son Traité de l'Abaque et qu'on trouve 
dans l'ouvrage de M. Libri [Histoire des sciences mathé- 
matiques, t. II, p. 287, i838). En voici la traduction : 

« Ici commence le livre de YAbacus composé par 

» Léonard, fils de Bonacci de Pise, dans l'année 1202. 

» Mon pèrelétait constitué à Bougie par les marchands 

» de Pise comme greffier public {publiais scriba) (*) à la 

» douane de Bougie. Comme il y avait continuellement 

» affluencede commerçants chez lui, il me fit venir dès 

» mon enfance, et voulut que je restasse pendant quelque 

» temps pour inappliquer à l'étude de l'abaque en vue d'un 

» avantage , d'une utilité à venir. Un admirable maître 

» m'ayant initié dans l'art des figures indiennes , je pris 

m tant de plaisir à l'esprit de cet art, que je voulus savoir 

)> tout ce qu'on enseignait là-dessus en Egypte , en Sy- 

» rie, dans la Grèce, en Sicile et dans la Provence 

» (Proventiam) , avec les diverses variétés. Ayant par- 

» couru auparavant ces contrées, je m'y instruisis par 

» beaucoup d'études et de discussions, mais je considérai 

» tout ceci et même l'Algorisme de Pythagore {Picta- 

» gorœ) comme défectueux en comparaison de la méthode 

)> indienne. C'est pourquoi ayant serré de plus près 

» cette méthode et étudié plus attentivement, y ajoutant 

» quelque chose de mon propre fonds et y appliquant 

v quelques artifices géométriques d'Euclide , j'ai travaillé 

» à la composition de cet ouvrage, et pour être le plus 

» intelligible qu'il m'est possible, je l'ai divisé en quinze 

» chapitres distincts. J'ai tout donné avec des raisonne- 

» monts démonstratifs, afin que ceux qui aspirent à 



(*) Scriba. Il y en a qui voient là un notaire : c'est probablement une 
espèce de consul commercial. 



I »7> / 
» cette science seulement parce qu'elle est plus parfaite 
» que les autres . puissent s instruire et (ju'à l'avenir la 
» gente latine ne s en trouve pas dépourvue comme jus- 
» qu'à présent. 

» Si par hasard je n'ai pas dit assez ou trop et plus 
m qu'il n'est nécessaire, je prie qu'on ait de 1 indulgence 
» pour moi . car il n'y a personne qui n'ait quelques dé- 
» iauts et qui soit circonspect en toutes choses et par- 
» tout. » 

Léonard avait au moins une vingtaine d'années en 
écrivant son abaque en 1202, ce qui porte 1 année de sa 
naissance vers 1 1 70 ou 1 1 80 ; on ignore Tannée de sa mort . 
Il y en a qui le font voyager vers Constantinople à la fin 
du xiii siècle, ce qui est impossible. Quoi qu'il en soit , 
il est certain que notre géomètre ('-tait à Pise en 1225. 
lors du passage de 1 empereur Frédéric II. 

Ce souverain, dédaignant les idées régnantes . ennemi 
des croisades, projeta l'indépendance de l'Italie, sa pa- 
trie. 11 eut à combattre d ambitieux compétiteurs, d'au- 
dacieux pontifes romains, et mourut à la peine. Malgré 
ces tribulations ,il cultivait les lettres, la poésie, et com- 
posa un ouvrage sur la chasse estimé encore aujourd'hui. 
Aimant aussi les sciences, il encouragea les savants et 
avait dans sa suite deux géomètres de mérite, à en juger 
par le choix des questions qu'ils adressèrent à Léonard 
et dont les réponses ont donné naissance aux trois écrits 
mentionnés (3°, 4" et 5°). 

L'un de ces géomètres est Jean de Païenne. Le lieu de 
sa naissance est la seule chose qu'on en connaisse. Il a 
proposé trois questions en présence de l'empereur, sorte 
de tournois scientifiques qui se sont maintenus jusqu'au 
XVII e siècle. 

Le second savant est un nommé Théodore. Il eut à sou- 
tenir une joute philosophique contre nu docteur de l'or- 
Bulletin mathématique , t. I er Décembn 18 



( '78 ) 
dre des frères Prêcheurs, premier nom des Dominicains, 
fondé à Toulouse en i2i5. Voici comment le fait est ra- 
conté par le P. Thomas Malvenda , lui-même Dominicain, 
dans son Histoire des frères Prêcheurs sous Vannée 1 238. 
{Annalium sacri ordinis Prœdicatorum centuria prima, 
A. R. P. F. Thoma Malvenda. Neapol., MDCXXVII.) 
C'est un trait curieux des mœurs du temps. 

«Le frère Roland, Crémonais de nation, qui passaitpour 
grand philosophe dans ce siècle , était le premier des frè- 
res Prêcheurs qui fut licencié et docteur de l'Université 
de Paris. Il composa avec beaucoup de finesse un résumé 
de philosophie, car il était très-érudit en matières théo- 
logiques et philosophiques. Etant une fois à Crémone, 
il apprit de quelques frères Prêcheurs qui revenaient de 
l'armée de Frédéric II, assiégeant alors Brescia (i238) , 
que le philosophe de l'empereur les avait embarrassés de 
questions au sujet de la philosophie de Roland, sur les- 
quelles ils nesavaientpas répondre. Enflammédezèlepour 
son ordre, il dit : « Préparez-moi un âne. » Car il était 
goutteux et ne pouvait aller à pied. Cela étant fait, assis 
sur l'àne, il entra, accompagné de quelques frères Prê- 
cheurs, dans le camp et commença par demander où était 
le philosophe. Beaucoup d'hommes considérables qui con- 
naissaient et honoraient le philosophe s'étant réunis, et le 
philosophe étant appelé, Roland lui dit : « Afin que tu 
saches, toi , maître Théodore , que l'ordre des frères Prê- 
cheurs a des philosophes, je te donue le choix, en pré- 
sence de ceux-ci , de faire des objections ou de préparer 
des réponses sur quelque partie de la philosophie que tu 
veuilles, i) Comme Théodore choisit les objections de pré- 
férence aux réponses, Roland remporta dans cette lutte 
remarquable une victoire qui fut pour l'ordre un grand 
honneur et une grande gloire. » {Intorno ad alcune 
opère, etc., p. 4;.) 



( "79 ) 

Ce résultat serait moins contestable, s il était raconté 
par une personne étrangère à 1 ordre, car les corporations, 
système d'esprits concentrés en un seul esprit, possèdent 
à un degré éminent l'art d'arranger les faits et ne se font 
pas faute d'exercer cet art. 

En janvier i855, nous donnerons l'analyse complète 
des trois écrits [Tre scrittî, etc.,) et des considérations 
de MM. Boncompagni , Genocchi et Lebesgue sur cetie 
mémorable production qui inaugura le grand siècle de 
saint Louis. 



BIBLIOGRAPHIE. 



Eléments de Géométrie, rédigés d'après les nouveaux 
Programmes de renseignement scientifique des Ly- 
cées ; par M. A. Amiot, professeur de Mathématiques 
au Lycée Saint-Louis, à Paris. Paris, i855; in-8 de 
i44 pages ; figures dans le texte. (Cours de troisième 
scientifique. ) 

C'est un fait généralement admis, nullement con- 
testé, que les études, tant littéraires que scientifiques, 
baissent dans les institutions et collèges universitaires; 
que les examens, gagnant sans cesse détendue, par suite 
même de celte étendue, diminuent sans cesse d'intensité. 
Les ouvrages qui prennent le titre de conformes sont, en 
effet, conformes à cet état maladif, à cette asthénie qui 
mine l'enseignement. Lorsqu'on prescrit aux auteurs la 
forme, le fond et même l'ordre logique des matières; 
lorsque , enfermés dans ce cercle de Popilius , ils ne peu- 
vent en sortir, s'en écarter pas plus que le soldat de ses 
théories,, la pensée frappée d'hémiplégie, n'enfante que 

i ?.. 



( i8o ) 
des œuvres malingres, rabougries, sans espoir aurun de 
vitalité. Toutefois, il serait injuste de ranger dans la 
même catégorie tous les écrits conformistes . Le manteau 
que le Programme jette sur l'esprit et le talent ne les em- 
pêche pas de percer lorsqu'ils existent. C'est ce qu'on 
aperçoit en lisant ce cours de troisième. Le savant pro- 
fesseur a publié naguère un Traité, excellente introduc- 
tion à la géométrie segmentaire , dite supérieure . On ne 
dépouille jamais le vieil homme, et on retrouve dans cet 
opuscule plusieurs qualités qui distinguent le Traité. Les 
trente-trois leçons roulent sur les figures planes. Chaque 
leçon , précédée d'un énoncé du Programme , développe 
cet énoncé. 

Nous soumettons à l'estimable auteur quelques obser- 
vations. 

On appelle corps une portion limitée de l'étendue 
(p. i). 

Le corps est un volume impénétrable, et, comme tel, 
appartient à la mécanique et non à la géométrie, qui ne 
considère que des volumes, que des figures pénétrables. 
Dans cette définition, il s'agit de Y espace général et non 
de X étendue qui exprime la manière d'être d'un corps 
particulier. Il me semble que la vraie définition géomé- 
trique est celle-ci : On appelle volume une portion li- 
mitée de l 'espace (*). 

La surface d'un corps, c'est-à-dire ce qui le limite en 
tout sens, n'a que deux dimensions : la longueur et la 
largeur (p. i). 

La surface est la partie commune au volume et à l'es- 
pace ; c'est ce qui sépare le volume de l'espace général , 
c'estee qui fait qu'il a une dimension de moins. De même 
la ligne est la partie commune à deux surfaces, et le point 

(*) Tanger? enim et lattfp., nisi corpus, nulla potest tes. 

( Lucret. lib. I , \ . :îo5.) 






I 181 ) 
la partie commune à deux Ligues 5 celle communauté en- 
traine toujours la perte d'une dimension. 

-Nous croyons d'ailleurs avec M. Vincent qu'à l'entrée 
la notion des dimensions est déplacée. D'abord on ne 
peut en donner une explication nette • ensuite, cette no- 
tion est inutile, on peut s'en passer pour le moment. 

La ligne droite est la ligue qui tend constamment 
vers un seul et même point, c'est-à-dire quelle va d r un 
de ses points vers un autre par le chemin le plus court 
(p. a). 

L'idée d'un chemin , et surtout d'un chemin minimum 
suppose déjà l'idée d'une droite et ne peut servir à la dé- 
finir; renoncer à toute définition est encore ce qu'il y a 
de mieux. Il est à remarquer qu'en latin et en français la 
droite n'a pas de nom spécial et n'exprime que l'idée de 
direction. Linea recta, directa, ligne droite. Chez les 
Grecs, elle a un nom spécial, e«0««, ligne bien posée. 

Leur somme égala un angle droit (p. 6); ne faut-il 
pas: leur somme est égalcà un angle droit? Egaler, c'est 
rendre égal et non pas être égal. De même pour d'autres 
locutions de ce genre. 

Je trace par le point E la perpendiculaire EF à la 
droite AB. 

Sur le terrain on trace, mais en style géométrique on 
élève, des perpendiculaires. Les lignes sont des concep- 
tions mentales sans traces matérielles. 

Un triangle est la portion de plan terminée par trois 
lignes droites qu'on appelle ses côtés. 

On évite toute ambiguïté en disant : Le triangle est 
une figure plane déterminée par trois lignes droites qu'on 
appelle les côtés du triangle. 

iNous signalons une démonstration très-simple de cette 
proposition fondamentale que si deux triangles ont deux 
côtés égaux chacun à chacun et les angles compris //lé- 
gaux, les troisièmes côtés sont inégaux (p, 11). L'auteur 



( 1*2 ) 

suppose la bissection d'un angle , supposition très-admissi- 
ble. Euclide ne pouvait recourir à ce moyen, car il veuf 
d'abord démontrer la possibilité de cette bissection. 

On donne comme exercice cette belle propriété : La 
somme des trois médianes est moindre que le périmètre 
du triangle. 

La V e leçon a pour objet le triangle isocèle. 

On prend pourha.se. d'un triangle un côté de ce tri- 
angle, etc., la hauteur du triangle est la perpendiculaire 
tracée de son sommet sur sa base (p. i4)> 

Il me paraît plus convenable de renverser cet énoncé 
et de dire : La perpendiculaire abaissée d'un sommet sur 
le côté opposé se nomme hauteur, et ce côté prend alors , 
relativement à cette hauteur, le nom de base. 

A la page i5 on lit ces deux corollaires : Un triangle 
èquilatéral est èquiangle \et un triangle èquiangle est 
èquïlatéral. Jusqu'ici rien ne démontre la possibilité de 
tels triangles. 

Tracer une perpendiculaire à une droite (p. 17). On 
ne trace pas à une chose. 

Dans le théorème I de la VI e leçon (p. 17), il est 
question d'une oblique sans qu'on ait dit ce qu'on en- 
tend par une oblique. 

Dans un triangle OCD rectangle en C, il est facile de 
démontrer que OD est plus grand que OC ; donc l'angle en 
D est moindre que l'angle C,et, par conséquent, D est ai gu 

Remarque (p. 20). On appelle lieu géométrique; il 
faut ajouter d\in point. Alors le lieu géométrique d'un 
point est une ligne dont tous les points jouissent de la 
même propriété que ce point. 

A la page 21, on indique un problème de minimum et 
de maximum fort utile. 

VIL e\ F II I e Leçons . Leçon doit être 'au singulier '$ ainsi 
le wui la grammaire. On dira que ce pluriel est générale- 
ment admis; je réponds qu'on a généralement tort. Les 



[ i83 ) 
lois de la grammaire dohent être respectées surtout ]>ai 
les géomètres. C'est l'observation rigoureuse de ces lois 
qui, sous la plume de Desearles et de Pascal, a donné à 
notre langue cette clarté qui établit sa supériorité sur 
toutes les autres langues (*); supériorité qui tend mal- 
heureusement à s'affaiblir. 

A la page 22, on définit les parallèles et puis on dé- 
montre que deux droites perpendiculaires à une droite 
sont parallèles; il semble qu'il faut suivre la marche in- 
verse : démontrer qu'il existe deux droites qui ne peu- 
vent se rencontrer ; et dire ensuite que de telles droites 
sont dites parallèles. Principe général : Il ne faut jamais 
définir un objet avant d'en avoir montré l'existence. 

L'auteur a le bon esprit de fonder la théorie des pa- 
rallèles sur ce postula tu m de Gergonne : Par un même 
point ne passe qu'une seule parallèle à une droite. 

Dans la IX e leçon, qui traite des polygones, on 
fait cette bonne remarque, qu'un polygone convexe n'a 
pas plus de trois angles intérieurs aigus. 

Il y a un bon choix de problèmes à la fin de la 
X e leçon. 

XI e Leçon (p. 37). La circonférence est. une ligne 
courbe dont tousles points sont également éloignés aVun 
même point au on appelle centre. 

Puisqu'on a déjà défini ci-dessus le lieu géométrique, 
on pourrait dire : La circonférence est le lieu géométri- 
que d'un point également éloigné d'un même point fixe 
nommé centre. 

On démontre ensuite que celte ligne n'a nulle pari 

(*) L'étude trop générale des littératures étrangères est nuisible à la lit- 
térature nationale. Les Grecs, les Romains nous ont légué des chefs-d'œuvre; 
chez chacun de ces peuples on ne cultivait que la langue nationale. Les 
écrivains français du xvn 1 ' nous oui transmis des chefs-d'œuvre, parce 
qu'ils ne lisaient el ne s'inspiraient que des chefs-d'ceiu re grecs et latins 



( '84 ) 
trois points en ligne droite, donc elle est courbe ; mais 
1 épithèle courbe ne doit pas se trouver dans la définition. 

XII e Leçon (p. 43). Problème. Etant donnés sur une. 
carte quatre points dont trois ne sont pas en ligne- 
droite, tracer sur cette carte une route circulaire qui 
passe à égale distance de chacun de ces points. 

C'est la question de concours de troisième en 1 853 
(Nouvelles annales, t. XII, p. 3 18). 

La XIII e leçon est terminée par cette belle pro- 
priété : Soient ABCD un quadrilatère rectangle en C et 

en D: E le milieu de BD et AD = AE = - AB : menant 

2 

la droite CE, on a 

angle AEC = 3 angles ECB. 

Chez les géomètres grecs , on rencontre une trisection 
mécanique de l'angle fondée sur cette propriété. 

Dans la XV e leçon, on commence à s'occuper des 
mesures. Voici le biais que prend l'auteur pour établir 
la proportionnalité des incommensurables. Soient A et B 
deux grandeurs n'ayant aucune commune mesure pos- 
sible 5 divisons B en n parties égales et cherchons com- 

T> 

bieu de fois- est contenu dans A. Soit ce quotient /zz; il 
n 

y aura toujours un résidu, puisque A et B sont inconi- 

mensurables; faisons = A' ; le résidu est moindre 

n 

r> 

que le diviseur -; plus // sera grand et plus le résidu sera 

petit, moins A' différera de A. Prenant donc n infini- 
ment grand, on pourra substituer A' à A, et le rapport 

de B à A est — : on substitue ainsi deux ligues commen- 
surables à deux autres incommensurables. Cette substitu- 



( i85 ) 
lion esi Légitime tant qu'il ne s'agit que des besoins pra- 
tiques de l'arithmétique : il n'en est plus ainsi lorsqu il 
s'agit des besoins de la logique, 11 ne faut pas confondre 
les valeurs approchées quasi vraies avec des vérités ap- 
prochées, avec des vérités quasi vraies ; de telles véri- 
tés sont sympathiques à l'esprit des programmes, mais 
antipathiques à l'esprit de la géométrie. 

Parmi les beaux problèmes qui terminent cette leçon . 
on trouve celui-ci : 

Si d'un point de la circonférence circonscrite à un 
triangle on abaisse des perpendiculaires sur les côtés , 
les pieds de ces perpendiculaires sont en ligne droite. 

C'est Servois, dans ses solutions peu connues, qui a 
rappelé l'attention sur cette importante propriété. 

Le reste de l'ouvrage roule sur les polygones sembla- 
bles, sur les polvgones réguliers, les aires des figures 
planes, du cercle, etc. 5 les levers de plans , les opéra- 
lions sur le terrain, etc. 

Cest le centre de similitude (Euler) qui devrait être, 
qui est le vrai point de départ de toute théorie sur la si- 
militude directe et inverse (symétrie). Ce moyen d ex- 
position réunit facilité et rigueur. 

Page 1 1 1 , on dit que Lambert est un géomètre français : 

en effet, il est né à Mulhouse, ville aujourd'hui française. 

mais en 1728 Mulhouse appartenait à la Suisse. 

345 
L'inventeur du rapport — = se nomme Adrien Metius ; 

c'est par erreur que Montucla lui donne le prénom de 
Pierre; le fils avait le même prénom Adrien. 

L'étendue de cette analyse montre l'intérêt (pie nous 
attachons à celte estimable production; nous nous occu- 
perons prochainement du complément de cet ouvrage, 
destiné aux cours de seconde el de rhétoi ique scientifiques. 



86 



NOTE SIR LA PROPORTION HARMONIQUE; 
NICOMAQIE et JAMRLIQUE. 

( Extrait de Nesselmann.) (*) 



On lit dans Jamblique que cette proportion a été en 
usage chez les Babyloniens et que Pythagore l'a importée 
dans la Grèce. Son premier nom était vxovcivtU , Yopposè. 
Voici la raison de cette dénomination. Soient a, /> , c 
trois grandeurs décroissantes*, si elles forment une pro- 
portion continue arithmétique, on a j <^ --, si la propor- 

7 • î» ' • a -^ b a 

tion est harmonique, on a 1 oppose, savoir t Z> - î dans 

, , , • a b 

la proportion géométrique, r = — 

Ce sont Archytas ( — v e siècle) et Hippasus qui ont 
donné à cette proportion le nom de harmonique, à cause 
de son emploi dans la musique ; Jamblique l'appelle même 
proportion musicale. 

Euclide ( — iv e siècle) donne seulement la théorie de 
la proportion et de la progression géométriques (**). Le 
premier chez lequel on trouve la théorie delà proportion, 
des progressions arithmétiques et de la proportion har- 

(*) Nesselmann voulait écrire une Histoire générale de l'Algèbre , il n'a 
publie que la première partie : L'Algèbre chez les Grecs ; travail conseien- 
cieux, fait en consultant les sources, et qui doit faire amèrement regret- 
ter (]ue, peu encouragé, l'auteur ait abandonné l'entreprise et même, à ce 
qu'on dit, la carrière scientifique. 

(**) 11 démontre qu'on a 

„m l,m m _| ,„_ | „,_j . 2 

— =a i_„ h -f- a b -+-. . . . 

(i — b 

( I.iv. 1\ . prop 



( '8 7 ) 
monique est Nicomaque, qui vivait, à ce qu'il parait. 
sous Tibère. Il était de Gerase , ville près de Bostra , en 

Arabie. On lui doit la théorie complète des nombres po- 
lygonaux et cette belle observation sur la suite naturelle 
des nombres impairs : que la somme donne la série des 
nombres carrés ; que le premier est le cube de i ; que la 
somme du deuxième et troisième est le cube de 2; que la 
somme du quatrième, cinquième et sixième est le cube 
de 3 ; du septième, huitième, neuvième et dixième le 
cube de 4", et ainsi de suite. Il énonce ces propriétés sans 
les démontrer \ son but n'était pas de composer une arith- 
métique, mais seulement une introduction [XpiBfurruc^s 
ùa-jyu^vj ) • mais il n'emploie pas, comme Euelide, des 
lignes pour montrer les propriétés numériques; il fait 
partout usage des nombres, ce qui est un progrès. Son 
ouvrage a été publié par Wechel en i538 : Nucopâ%ov Vip»- 
Fitou tépi8fti)TiKÎis fitCxltt Sûo. Nicomachi Gerasini Arithme- 
licce libriduo, nunc prïmum lypis excusi, in luceni edun- 
tur. Parisiis, 1 538 ; in-4°. Ily a une édition de i55/j. 

On a encore : 

Theo/ogamena arilhmeticœ, etc., accedit Nicomachi 
Gerasini instiluto arithtnetica ad /idem codici/m mona- 
censium emendaïa. Edidil F. destins. Lips. 18 17. 

Les deux ouvrages sans traductions. 

Jamblique , célèbre pythagoricien du iv e siècle , dis- 
ciple d'Anatole et ensuite de Porphyre, a composé plu- 
sieurs écrits dans l'esprit de cette philosophie arithméti- 
co-mystique. 

L'ouvrage cité ci-dessus est : Jamblicus Chalcidensis 
ex Cœle^Syria in Nicomachi Gerasini Arhhmelicam in- 
troductionem et de Fato. Nunc primum cdiius, in laii- 
uum sermonem conversus, nolis perpetuis illustratus à 
Samuele Teiinulio. Acccthl Joachùni Canicrarii Expli- 
calio in duos fibros Nicomachi, cum indice rerum et ver- 



( i88 ) 
horum loc.upletissimo. Artilwmiœ. Proslant apud Jah. 
Frideriam Hagium. Daventrœ typis descripsit TVdhel- 
mus Wier. CIDDCLXVIII ( 1668 ) ; in-4 de 181 pages. 

L'Explication de Camerarius jointe à cet ouvrage porte 
la date 1667 et contient 238 pages ; mais la première édi- 
tion de cette Explication est de i554*. in-8, Augus. Vin- 
del. Ces explications se trouvent aussi sous le titre : Ex- 
plicatiunculce Arilhmetices doctrinœ Nicomaclii , dans 
l'ouvrage suivant de J. Camerarius : 

De grcecis et latinis numerorum iiolis et prœterea Sa- 
vacenis seu Indicis. Lipsiae, 1 556 ^ 1069. 

La traduction et les no Les de Tennulius sont mauvai- 
ses sous le rapport philologique et scientifique. On peut 
indiquer aux philosophes de l'Ecole Normale, comme 
beau et bon travail à entreprendre, une nouvelle édition 
avec traduction française. C'est un moyen de ramener 
nos philosophes contemporains vers les études mathéma- 
tiques. Prétendre professer la philosophie et vouloir res- 
ter étranger aux sciences exactes , n'est qu'une plaisan- 
terie, qui aurait fait bien rire, chez les anciens, Platon, 
Aristote , Nicomaque, Jamblique, Proclus, et, chez les 
modernes , Descartes, Mallebranche, Gassendi , Spinosa, 
Leibnitz , Clarke, Locke et Rant. Quand aurons-nous 
une traduction de Nicomaque ? Il ne faut pas confondre 
son Arithmétique avec l'oeuvre mystique suivant qu'on 
lui a faussement attribué : tu. .tûXoyéfitv» rtjs ûoi(^(tikÎjs. 
Habes hic, studiose lector, novum opusculum anlehac 
nusquam excusum, in quo ita numerorum ratio explica- 
tur ut non sit obscurum intelligere, liane arithmeticam ad 
interiorem illam de philosophie! disputeitionehi, quant 
theologiam veteres vocabant, conferre plurimum. Pa- 
risiis, 1 543- 

jNicomaquc et même son commentateur Anatolius sont 
cités dans cel oui 



( i»9 ) 

L'ouvrage suivant , lire à a5o exemplaires , est excessi- 
vement rare : Th. Taylor. Théorie arithmetic in three 
books, containing the substance of ail that lias been 
written on this subjeetby Théo ofSniyrna, Nicomachus , 
Jambliehus, and Bœtius. London, 1816; in-8. 

On rencontre encore dans Jamblique la solution de 
deux questions importantes pour 1 histoire de la science. 

Il résout la première de ces questions au moyen dune 
certaine règle qu'il attribue à un nommé Thymaridas, 
dont il cite aussi ces deux définitions. L'unité est la gran- 
deur déterminée; c'est en effet par l'unité que toute 
grandeur se détermine {jat^uliooa-x 7coowij?) (p. 11), et les 
nombres premiers sont des lignes droites (iijuy-a.ftftty.oi ') } 
parce que ces nombres sont les seuls qui ne peuvent se 
présenter sous la forme d'un rectangle (p. 36). La règle 
est nommée épanthème iTïuritjfi*, fleurs, ornement ajouté 
(p. 88). Le texte est très-corrompu eu cet endroit ; voici 
l'explication de M. JNesselmann en style moderne (p. 232). 

Soient les n équations suivantes entre les n inconnues 

r. 1 , . r-> 5.) »~i '• 

x 4- v, -+- r? 4- • • ■ -+- Tn-\ = a : 
x +/, = 6,, 
ar-H/i = b,, 
*-¥?% = b 3 , 



X — r - y n—\ "n — \' 

a . /;, . b ti ..., ^h_i sont des quantités connues; on obtient 

t,+ i, + ..+ b n -\ — a 

x ■= ■ • 

n — 2 

Jamblique applique cette règle à la question suivant* 
d'analyse indéterminée : 

x t -+- Xi = 2 {x z -+- x A ) , 

x, -\-x z = 3(.r, -f-.r 4 ), 

x, -+- ^4 = 4 ( x * ■+- 

à résoudre en nombres enti< 



( l 9° ) 

On déduit de la dernière équation 

j, + Xi + x 3 4- x\ = 5 ( x 2 4- Xi ) ■ 
Posons 

.r, H- ar, 4- #3 4- #« = 2 . 3 . 4 • 5 = »ao . 

La première équation donne 

3 (*, 4-' x 7 ) = 2(1, + ^ + ^ + ^) = 240 
et 

.z, -i- Xi = 80, 
4(jr, -4- x 3 ) = 3 (x, 4- x 2 + x 3 4- x t ) = 36o, 
x { 4- #3 = 90 , 

et de même 

x, 4- x t = 96 . 
Nous avons donc 

j, 4- x 2 4- #3 +- -^4 = 1 20 , 
x, 4- #î == 80 , 
x, 4- ^3 == 90 , 
#, 4- x A = 96 ; 

appliquant Vêpanthème, on obtient • 

_ 80 4- 90 4- 96 — 1 20 



73, 



?j = 7, *3= »7 > -r« = 23 



Ce sont, dit Jamblique, les nombres les plus simples: 
en les multipliant ou les divisant par un nombre quel- 
conque, les résultats obtenus satisfont aussi au problème. 

On voit donc que les Grecs s'occupaient d'analyse in- 
déterminée avant Diopliante. Celui-ci ne traite princi- 
palement que les équations du second degré, mais il est 
probable qu'il a donné aussi les équations du premier 
degré et que cette partie a disparu du manuscrit qui nous 
est parvenu. Il est assez, singulier que ce soit la partie la 
plus facile qui se soil perdue. Dans ce même problème, 



■( «9« ) 
Jamblique parlant algébriquement se sort du mot ùô^ttoç 
(non déterminé) pour désigner l'inconnue,' et du mot 
mpioftivos pour désigner les nombres donnés déterminés, 

mais sans aucun signe soit littéral , soit opératoire. 

Le second point d'intérêt historique est l'énoncé de la 
propriété suivante : Si l'on ajoute les trois nombres i , 
2 , 3 , on obtient la somme 6. On obtient la même somme 
par l'addition de chaque agrégation suivante de trois 
nombres , sans en sauter un , sans le prendre deux fois, 
si l'on prend toujours, au lieu des dizaines, les unités cor- 
respondantes, ou si l'on considère les dizaines comme des 
unités d'un ordre supérieur, comme a fait Pythagore , 
ainsi qu'il a été dit ci-dessus (p. i45-i46). 

En style moderne, cela veut dire que si l'on a addi- 
tionné trois nombres consécutifs dont le plus grand soit 
divisible par 3 et que l'on fasse la somme des chiffres , 
puis la somme des chiffres de cette dernière somme et 
ainsi de suite, on parvient finalement au nombre 6. 

Exemple : 

997 + 99 8 + 999 = 2 994 » 
2 +9 + 9 + 4=4> 
2 + 4 = 6. 

On voit, d'après l'énoncé de Jamblique, qu'il avait une 
idée très-exacte de la composition décimale des nombres . 
mais aucune notion d'une numération de position, d'une 
numération topique. D'ailleurs il est certain que si les 
pythagoriciens avaient connu une telle numération, ils 
n'auraient pas manqué, d'après la tendance de l'école, à 
rattacher quelque propriété mystique à la position des chif- 
fres. Le théorème de Jamblique n'est qu'un cas particu- 
lier. Appliquant la même opération aux nombres de la 
forme 9 -h p où p <^ 9 , on parvient enfin au nombre p ; 
car ces sommes conservent toujours la même forme 
9 -f- p . et, allant en diminuai! l . il faut bien qu'on par- 



( '9 2 ) 
vienne à p. Une propriété analogue existe pour le nom- 
bre ii ; en général, pour tous les nombres qui diffèrent 
de la base dune unité, par excès ou par défaut, dans 
un système quelconque. 



1856. 

Nous avons la satisfaction d'annoncer pour paraître 
en i856 les traductions suivantes : 

i°. Propriétés des lignes du troisième ordre de Ma- 
claurin , par M. E. de Jonquières, lieutenant de vaisseau. 

i°. Theoria de motn planetarum, etc., de Gauss; par 
M. Dieu, professeur à la Faculté de Grenoble. 

3°. Divers Mémoires de Gauss: par M. Bertrand, pro- 
fesseur au lycée Napoléon. 

Le Mémoire sur les Moindres carrés a déjà paru (*). 

4°. Astronomie spliérique de M. Brunow, par mon 
fils, Terquem (Paul), professeur d'hydrographie à Dun- 
kerque. 

5°. Mémoires de MM. Encke , Hansen, Brunow ^«/' 
le calcul des perturbations planétaires ,• par MM. Lafon, 
attaché à l'Observatoire de Paris, et le Rédacteur des 
Nouvelles Annales. 

6°. Mémoire couronné de M. Stern sur les équations 
transcendantes ; par M. Levi (Edouard), agrégé, ex- 
professeur au lycée de Saint-Etienne. < 

Pour paraître prochainement : 

Les Recherches astronomiques par le célèbre directeur 
de l'Observatoire, M. Le Verrier; 

Les Éléments de Calcul infinitésimal > par M. Duhamel. 
L'année s'annonce sous de bons auspices. 

*] Chez Mallet-Bachelier, quai des Augustins, 55.— Prix : 'i IVanrs. 



( I9 3 ) 

TABLE DES MATIÈRES PAR ORDRE METHODIQUE. 

Biographie. 

Pages . 

j . Rlieticus 8 

Pitisous i ■>. 

Bagay ( Valentin ) 11 

Vega 4y 

Mathurio Jousse ; par M. Coupy 5a 

Abel 56 

Jamnitzer 5g 

Chavignaud (P.-L.) 69 

Querret (J.-J. ) ; par M. Cabaret 09 

Neper 1 06 

Cavaleri 1 5 \ 

Bibliographie. 

Mirifici logarithmorum description etc a et |o 

Théorie générale des équations numériques: par M. Jules 

l icillc 7 

G. J . Rhetic. doctrina trianguiorum, etc g 

Opus pedatinum <i 

Thésaurus mathematicus, etc m 

Rhetici magnus canon doctrina trianguiorum 12 

Mundt Car. iem. De accure&ione auâ possit quantitas,etc... 1 j 
Nouvelles Tables astronomiques et hydrographiques; par / . 

Bagay n 

Die geometrischen konstructionen , etc.; par M. Steiner ■> ., 

se zii den logarith. tabellen, etc.; par Lambert 

Pensées de Paseal . édition Havet 3o 

New logarithms, etc.; par /. Speidel 

Discours d'ouverture, etc. ; par M. de la Gournerie >5 

lie Arithmétique appliquée au commerce, etc.; par 

vignaud (iO 

Bulletin mathématique, t. l or . (D ■ l3 



( '94 ) 

Pages 

Die cosz Christqfs Rudolfs ; par Stiffel 71 

Scholien zu Rudolfs cosz 81 

A Treatise on the calculas of opérations, etc.; par the rev. 

R. Carmichael 83 

Inventeurs de ce calcul 84 

Cours de Cosmographie ; par Charles Briot 93 

A plaine discovery of the whole révélation of S. John, r/r.;par 

Neper 107 

Rabdologiœ , etc.; par Neper 109 

Problème d'Archimède dit de Bocino 1 1 3 

Bibliographie du jeu des échecs 125 

Histoire de l'École de la Flèche, etc.; par /. Clère 5a 

Rectification relative au problème d'Archimède 1 3o 

Traité d'Arithmétique théorique et pratique, etc. ; par le Père 

P. Faton 1 3 1 

Arithmetices introductio, etc.; i546 1 35 

Invention nouvelle en l'Algèbre, etc. ; par Albert Girard. ... i33 

Directorium générale uranometricam, etc.; de Cavaleri 1 53 

Freundschaftliche bewirthung, etc.; de Jacobsen 1 54 

Résolution des questions relatives à l'épreuve pratique, etc.; 

par E. Reynawl 1 54 

Éléments de Géométrie; par S. -F. Lacroix (Édition Prouhet.) 1 56 
Tables des logarithmes et co-logarithmes , etc., de V. Cad- 

/et ; par M. Terquem ( Paul ) 1 58 

Cours d'Arithmétique et de Géométrie; par M. Dupain 162 

Sur le problème des bœufs attribué à Archimède ; par M. Vin- 
cent i65 

Bonacci ( Léonard ) 173 

Éléments de Géométrie ; par M. Amiot 1 79 

Sur la proportion harmonique • 1 86 

Traductions annoncées 192 

Historique. 

Notice sur la découverte des logarithmes 1 et 4<> 

Grandes Tables logarithmiques de l'Observatoire 14 

Formules de Neper G 

Sur la définition géométrique de Dieu 3o 

Véritables logarithmes népériens 43 

Sur la méthode dos équipollences ; par M. Bellavitis Go 



( i95 ) 

Pages . 

Lettre de Kepler à Ursus (> ' 

Première apparition des signes -h et — 7 * 

Noms des divers rapports 7° 

I Irigine de la dénomination nombres positifs 77 

Origine de la dénomination nombre* négatifs 

Mécanisme de Cardan 9 ' 

Sur la maladie de Newton • ' ' 

Théorème de Fermât sur les nombres polj gonaux i»a 

Origine du signe = ^0 

< hrigine des lettres capitales pour désigner des nombres 3g 

i hrigine des petites lettres pour désigner des nombres '»<> 

Origine des mots million, billion 7 * 

Noms chez les Grecs de certains produits llS 

Méthode de la réduction à l'unité, appartient au baron Rey- 

naud ' 'i 

Notation employée par Albert Girard ' >7 

Course entre Achille et la tortue ' i • 

Première observation sur l'utilité des racines imaginaires. ... i i '■ 
Première observation sur la relation entre les racines et les 

coefficients d'une équation ' i i 

Première observation sur le nombre des solutions d'une équa- 
tion M 1 

Invention des formules pour la somme des puissances des ra 

cines ' 1 1 

Première interprétation géométrique des quantités négatives, i M 

Première application de cette interprétation in 

Première évaluation d'aires de triangles spbériques 1 48 

Première évaluation d'angles solides i5i 

Note historique sur l'aire du triangle sphérique i ■ ■ 



1 V«LI£ DES NOMS IMIi OIUIItE ALhlUitiUHE 



AUEL (N.-l. 56, 57, 58 et 5g 

ABEL (Sorn-Georges) '■-- 

VLBATEGNIUS g 



( '96 ) 

Pages . 

ALEXANDRE 128 

ALLGAICO 137 

AMPÈRE 33 et 101 

AMIOT 53 et 179 

AXATOLIUS 188 

ARAGO 5g et 101 

ARBOGAST 40, 84 et 93 

ARCHIMËDE 84, n3, 118. 121 et iG5 

ALCIIYTAS 186 

ARISTOTE 188 

BACON 1 ! 

BAGAY(V.) 21, 22 et 23 

BAILLET 112 

BARBIER 12.5 

BASNAGE 111 

BEAUX ( le docteur J.-J) i34 

BELLAYITIS (J.)| 60 

BERGAIGNE (Henri de) i35 

BERTRAND., professeur 192 

BERXOULLI (J.) 16 et io5 

BEZOUT..... 70, io5 et i3i 

BIXET 101 

BIOT 1, 48, et m 

BOMBELLI i38 

BGNACCl ( Léonard 1 1 73 , 1 74 , 1 75 . 1 -(> et 177 

BONCOMPAGN1 (le Prince) 174 , 175 et 17.. 

BOULE 84 

BOURDON 66 

BOURDONNAIS (délai 128 et 129 

BOWN1N 84 

BRIGGS 14 et 10g 

BRIOT (Ch. ) 93 et 94 

BRUNET 1 4 

BRUNOW i55 et 192 

buckley (g.) 67 

butmeus 67 

BUFFON 173 

CABARET, médecin a Saint-Malo io5 

CAILLET (V.) i58 

CALLET |3, i3i el 



1 '97 ) 

Pages . 

CALLHMUS 33 

CAMERARIU8 187 et 188 

CARDAN 9 3. 96, 141 et 145 

CARERA '. 125 

CARMICHAEL ( le Rév.) 83 

CARXOT 14 

CAUCHY 62, 101 et i63 

CAVALERI i53 et i54 

CÉSAR 37 

CHABRAL 22 

CHARLES I er 1 

CHAULES , prince de Galles 2 

CHARLES-QUINT 96 

CHASLES 2, 38 et i52 

CHAVIGNAUD 66, 69 et 70 

CHRISTMAXX | J.) 42 

CICCOLLM. i25 

cicéron. . . : 33 

CLAIRFAYT 5o 

CLARKE 188 

CLAVIER 69 

CLÈRE (Jules) 5s 

CLERMOXT-TOXXERRE 22 

COCHRAXE 125 

COL1XI i 2 5 

COMBESCURE ( E.) i58 

O iXDORCET 97 

Q tPLRXIC 8, 9, 63 , 64 et 147 

COTTE (de) (*) 58 

COUPY E.) 

COUSIN [64 

COZIO 

CRELLE 58 . 12g et 1 5 i 

DAMLANO 125 et 129 

DANIEL ' le prophète) 82 

DELAMBRE 10 et 160 

DESARGUES 

Mort septuagénaire en décembre i855,amatei 
tiques qu'il il jusqu'à sa dernière 1" 



( *98) 

Pages. 

DESCARTES 112, i5i, 164, i83 et 188 

DIDOT(F.) ai et 23 

DIEGA 53 

DIOPHANTE 1 ; j 

DOUKIN. 84 

DRECHSLER 81 

DUHAMEL , membre de l'Institut 192 

DUPAIN 162,163 et 164 

DUPLN ( Charles) 102 

ENCKE 1 55 

EMPEDOCLES 3 1 

EUCLIDE 61 

EULER 29, 33, 57 , 96 , io5, 126 et i53 

FATON (l'Abbé) i.3i et i35 

FAUCHEUX 1 32 

FERDINAND (le duc C.-G) 35 

FERMAT 112 et 174 

FOURNERAT 49 

FRANÇAIS (J.-F.) 40 

FRANCKLIN 1 

FRANCŒUR 101 et !83 

FRENICLE 112 

GALILÉE 154 

GASSENDI 188 

GAUSS 33, 34, 35, 36 et 1 34 

GENOCCHI i 79 

GERGONNE 26 et io'i 

GERSON ( Jean-Ch arlier) 3 1 

GIRARD (Albert) 73, i35, i36, 137, 141, 142 

14 5, 14C et i5i 

GOETZ i55 

GOURNAY ( M"" de) 32 

GOURNERLE ( de la ) 55 et 56 

GRAVE (de la ) 5o 

GRAVES 84 

GRECO 126 

GUILM1N , professeur 1 3 

HANSÉN i55 et 192 

I1ARGREAVE s , 

HARRIOT (T. l 3«i 



( *99 ) 

Pages 

HAUSTEN 58 

HA VET (E.) 3i et 3a 

HEILBROXNER 67 et n3 

HELLXAUD 3i 

HERMAXX (Godefroï) i3o 

HÉROX , d'Alexandrie 169 

HIPPASUS 186 

HOLLI 126 

HOLMBOE 5; 

HOVRTS, imprimeur 104 

HUMBOLDT ( Alexandre de) 93 

HUS (Alexandre), imprimeur 70 

HUVGHEXS m 

HYDE 126 

JACOBS (Frédéric ) 1 1 3 

JÀCOBSEN r5 

JAMBLIQUE 186, 187, 188, 189 et 190 

JAMXITZER 59 et 60 

JAMN1TZER Albert) 5g 

JANUELO 96 

JEAX DE PALERME 177 

JONQUIÈRES (de) 192 

JOUSSE (Matiïurtn ) 52, 53, 5 j et 

JUMEAU ( André) 112 

JUNIUS André) 3 

KANT 1 88 

KASTNER 81 

KEILHAX (Madame) 58 

KEXNY 127 

KEPLER 63, 64, 65, 66 et 97 

KEPLER - Madame | 97 

KLESERITZKV 129 

KLIXG 129 

KLUGEL i3o 

KORALEK 

KREGEL STEBNBACH 119 

KREMP 1 M"' 58 

KRÉPHALAS i3o 

l.\( AILLE 94 

! \UW>I\ S.-F.ï i56 el i5 7 



( 200 ) 

l'aies 

LACROIX 43 et i55 

LAFON , attaché à l'Observatoire impérial io5 et 192 

LAFONTAINE i3 

LAFORET, imprimeur 70 

LAGRANGE i52 

LAGREDO 53 

LALANDE 49 et 5o 

LAMBERT 1, 26, 28, 27 et 110 

LAMENNAIS ( l'Abbé Jean-Marie ) 101 et 1 o3 

LEBESGUE 179 

LECERF 100 

LEGENDRE 117 et i56 

LEHMANN 8 

LEIBNITZ 84, in et 188 

LEIST (C11.) 117 

LÉONX 81 et 82 

LESLIE 68 

LESSING n3 et 117 

LEVI ( Edouard ) , professeur 1 92 

LE VERRIER, astronome directeur 192 

LEVIS 128 

LHOMOND 76 

LHOPITAL 104 

LIBRI 174 

LIONNET i3, 36 et 3g 

LOCKE 188 

LOLLI 129 

LOPEZ i2Ô 

LOUIS (Saint) 3i 

LUTHER (Martin) 82 et 188 

MALLEBRANCHE 32 

MALLET-BACHELIER , libraire 1 58 

MALVENDA | Thomas) 17K 

MANIMILIEN 10 et 11 

MERSENNE na 

MINDING 129 

MOLWEIDE 121 

MONGE 5(i 

MONTAIGNE 

MONTESQUIEU 



( 2f)I ) 

Pages. 

MOON (R.) 128 

MORIN , membre de l'Institut i55 

MUNDT (Cabl) 14 

MURPHY 84 

MUSSET (Alfred de ) i63 

NEPER 1, 2 , 40 , 4i> 43, 44, 46, 47, 49- r ».> 

ioG, 107, 108 et 109 

NEPER ( Archibald) 106 

NESSELMANN i3o, 186 et 18g 

NEUDORFER (J.) 72 

NEWTON./. 75, 96, 107, 110, m et 101 

NICOMAQUE 186, 187 et 188 

N1EWELTH (Zuyland de) 127 

NYSTEN .- i34 

OTHON VALENTLN 10, 1 1 et 12 

OTTENDORFFER 81 

PASCAL 30,32,107 et i83 

PELL 28 et 118 

PERRIER (Madame ) 3o 

PHILIDOR 127 

PICARD (J.) 5j 

PICHEGRU. 5o 

PIOBERT, membre de l'Institut i3 

PYTHAGORE 17G 

PITISCUS 11 et 13 

PLANCHE (dé la) 54 

PLANUDE i3o 

PLATON 3a, 34, 121 et 188 

POINSOT. membre de l'Institut 94 

POrnSON-PRUGUEAUX 129 

POISSON 99 et 10; 

PI >\i ,ELET, membre de l'Institut i55 

POUZIAM 127 

PRIEUR, de la Côte-d'Or 

PROCLUS 188 

PROXY 8, i3 01 14 

P1K KJHET 1 .54 , 1 , r >6 et 1 »- 

PYTHAGORE 29 el 

QUERRET l.-l.i.. 99, ioi, 102, io3, 104, (•o5 ol i>i 

RARELAIS 3i 



( lOI ) 

Pages. 

RABIAN< ) ( le comte de ) i r >\) 

RAMBOSSON i3a 

RAMUSEN 58 

RECORD (Robert ) 3g et 68 

REINGANUM 127 

UKVXAUD (E.) i54 et i56 

REYNAUD (le baron) 1 34 

REZZETI 126 

RI1ETICUS 8, 9, 10 11, et vi 

RIO (dal) 126 

ROLAND , dominicain 178 

RUBER (le comte J.) 10 

RUDOLF (C11.) 39, 71, 72, 80, 81, 82 et 83 

RUPER ( Henri ) 161 

SAINT-AMANT 129 

SAINTE-CROIX 112 

SAINT-VENANT 60 et 62 

SARRAT 127 

SCHUMACHER 161 

SELENUS 125 

SÉNÈQUE 14 

SERVOIS 84, 93, no et i85 

SÉTON 67 et 109 

SHORTRËDE 23 

SILBERSCHMIDT 127 et 128 

SMITH 14 

SMITH , maître de forges 58 

SPEIDEL (John) 48 et [g 

SPFNOSA 188 

SPOTISWOOD 84 

STAMMA 126 

STEINER ( J.) 24 

STERN i3 et 192 

STERNBACH 119 

STIFFEL(M.) 71, 79. 80 et 81 

STEVIN i3g et i45 

STRUVE(père) 117. 1 18. 1 19 ot i65 

STRUVE (fils) 11 ;, 118 et i3< 

SYLVESTER S, 

TAYLt >R 22 et 18S 



( 203 ) 

Pages . 

TENNULIUS 187 et 188 

TERQUEM (Paul ) iGi et 172 

THENARD 101 

THÉODORE 17701 178 

THLEME(E.)(*.) TI 9 et I21 

THOMSON (G.)- 108 

TIBÈRE 187 

TTMÉE DE LOCRES 32 

TORTOLLNI ( B.) 97 

TVCHO DE BRAHÉ 66 

URSUS REIMARUS 63 , 65 et 66 

VANDERMONDE 126 

VEGA 41, 49, 5o et i34 

VERNEUIL (ducDE) 112 

VIEILLE (J.) 7, i3, 14 et i34 

VIETE 39 

VIGNOLE 53 

VDLLARCEAU(Yvon) 56 et g5 

VINCENT, membre de l'Institut 121, i3o et 173 

VINCENT DE BEAU VAIS 3i 

VITRUVE 53 

VOLPICELLI 129 

VOLTAIRE 32 et 96 

WALLIS 67 

WALKENAER 1 

WALKER 128 

WEBER ( Wilhelm ) 35 

WECIIEL 187 

WEICKMANN 125 

WITCOMB 129 

(*) Voir une correction page i3o 



( 204 ) 



ERRATA. 



Page 137, 1 
i38, 1 
140, 1 
i/,o, 1 
i/,i, 1 

•44» 1 

■ 65, 1 



gne 10 en rem., au lieu de Gilbert, lisez Girard. 

gne 7. au lieu de a % , lises a*. 

gne 9, au lieu de 22S, lisez 288. 

gne 8, au lieu de 228, lisez 288. 

gne 5 en rem., au lieu de V-Î92 , lisez — \fMji. 

gne 10, au lieu de c*, lisez 3c. 

gne 2, au lieu de 120, lisez 12 1. 



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